6不等关系与不等式一元二次不等式及其解法

一、一周知识概述本周学习不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法．首先学习不等关系与不等式的性质，通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；体会不等式、方程及函数之间的联系。

利用一元二次函数的图象及一元二次方程求解一元二次不等式；二、重难点知识归纳1、用不等号连接起来的式子表示不等关系，这样的式子叫不等式．不等式的常用的基本性质（1）a>b，b>c a>c(2)a>b a＋c>b＋c(3)a>b，c>0ac>bc(4)a>b，c<0ac<bc2、一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程的关系判别式3、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化成一般形式（或），把二次项的系数变为正数（如果是负，那么在不等式两边都乘以－1，把系数变为正）．（2）求出对应的一元二次方程的根．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）（3）根据一元二次函数的图象、二次方程的根确定一元二次不等式的解集．（根据一元二次方程的根及不等式的方向）三、典型例题剖析例1、解不等式．分析：令f（x)= ，△＞0，即方程=0有两个不相等的实根，又图象开口向上，画出图象的示意图，由二次函数的零点和一元二次方程的根的关系知不等式的解集．解：因为△＞0，方程=0的根是．所以不等式的解集是{x|x<－，或x>2}．例2、已知不等式ax2＋5x＋b＞0的解为，求 a，b．分析：不等式ax2＋5x＋b＞0的解为，则知二次函数y=ax2＋5x＋b的两个零点是x1=，x2=，由二次函数的零点与一元二次方程的关系知x1=，x2=是方程ax2＋5x＋b=0的两个实数根，由根与系数的关系得到关于a，b的方程组．解：因为不等式ax2＋5x＋b＞0的解为，所以x1=，x2=是方程ax2＋5x＋b=0的两个实数根，所以解得例3、已知不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，求不等式bx2－ax－1>0的解集．分析：一元二次不等式的解集是由一元二次方程的根及首项系数的正、负，不等式是大于还是小于零确定的，不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，则x=2，x=3是方程x2－ax－b＝0的两根，求出a，b再解不等式．解：因为不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，从而 a=2＋3=5，b=－(2×3)=－6，于是－6x2－5x－1>0，即6x2＋5x＋1<0．因△>0，方程 6x2＋5x＋1=0 的两根为：故所求不等式的解集为．小结：解一元二次不等式时，首先一定要使二次项系数为正数，其次要知道解集是由方程的根来给出，从而知道解集时，可求不等式系数．例4、假设国家收购某种农副产品的价格是120元/担，其中征税标准是每100元征税8元（叫做税率是8个百分点，即8%），计划可收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定x的取值范围．分析：此为应用题，关键是审好题，从中建立出数学模型进行求解．解答：税率降低后是(8－x)%，收购量为m(1＋2x%)万担，税收为120m(1＋2x%)(8－x)%万元，原来的税收为120m·8%万元，根据题意可得120m（1＋2x%）(8－x)%≥120m·8%·78%，即x2＋42x－88≤0，解之－44≤x≤2，又 x>0，∴ 0<x≤2，∴x 的取值范围是{x|0<x≤2}．例5、若不等式组的整数解只有－2，k应取怎样的值.分析：针对第二个不等式的解集展开讨论．解：由，解得x<－1或x>2，再由，得①当时，，①的解为，这时原不等式组的解为，显然不包括－2，不合题意，舍去；当时，，①的解为，这里原不等式组的解为（Ⅰ），或（Ⅱ）欲保证不等式组的解中只有整数解－2，由（Ⅰ）可得k<2，由（Ⅱ）可得k≥－3，即有－3≤k<2.当，即时，①无解，此时，不等式组也无解.综上所述，只有当时，原不等式组的整数解只有－2.一、选择题1、不等式的解集为，则a＋b=（）A．10 B．－10C．14 D．－142、若一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R，则（）A．a>0，△<0 B．a<0，△>0C．a>0，△>0 D．a<0，△<03、已知集合M={x|x2－x－2<0}，P={x|x≤a}，若M∩P=Φ，则实数a的取值范围是（）A．{a|a<－1} B．{a|a≥2}C．{a|－1<a<2} D．{a|a≤－1}4、已知全集U={x|－2＋3x－x2≤0}，A=，则C U A=（）A．{x|1<x<2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|2≤x≤3} D．{x|2≤x≤3或x=1}5、若的解集为{x|2<x<4}，则a＋b的值为（）A．B．－C．－D．－66、下列不等式中，与不等式≥0同解的是（）A．(x－3)(2－x)≥0 B．(x－3)(2－x)>0C．≥0 D．7、若方程x2－(m＋2)x＋4=0有实根，则m的取值范围是（）A．{m|m≤－6} B．{m|m≥2}C．{m| m≤－6或m≥2} D．{m| m＜－6或m＞2}8、若方程组有实数解，则k的取值范围是（）A．{k|k≤4} B．{k|k≥－4}C．{k|k≤－4或k≥4} D．{k|－4≤k≤4}B 卷二、填空题9、当__________时，函数y=x2－4x＋1的值等于零，当__________时，函数y=x2－4x＋1的值是正数，当__________时，函数y=x2－4x＋1的值是负数．10、若对任何实数x，不等式kx2－(k－2)x＋k＞0恒成立，则k的取值范围是__________．11、关于x的方程7x2－(m＋13)x＋m2－m－2=0的两根α，β满足0<α<1<β<2，则m的取值范围是____________.[解答]三、解答题12、x是什么实数时，有意义？[解答]13、k 是什么实数时，方程有实数根？[解答]14、对一切实数x，不等式ax2＋(a－6)x＋2＞0恒成立，求a的值．[解答]15、若不等式对一切 x 恒成立，求实数 m 的范围．[解答]试结果第1题答案错误! 正确答案为 D第2题答案错误! 正确答案为 A第3题答案错误! 正确答案为 D第4题答案错误! 正确答案为 D第5题答案错误! 正确答案为 B第6题答案错误! 正确答案为 D第7题答案错误! 正确答案为 C第8题答案错误! 正确答案为 D提示：1、方程的两根为，所以，．2、结合一元二次函数图像思考，易得结论A正确．3、∵M={x|－1<x<2}，M∩P=Φ，∴a≤－1．4、∵ U={x|x2－3x＋2≥0}={x|x≤1，或x≥2}，A={x|(x－1)(x－3)>0}={x|x<1，或x>3}，∴ C U A={x|2≤x≤3，或x=1}．如图5、∵解集中x取中间，∴，即a<0．由，得，6、显然（A）中多了2，（B）中少了3，（C）中多了2且少了3，所以选D．7、△=m2＋4m－12≥0，解得 m≤－6或m≥2．8、将y=x－k代入，得，由△≥0解得．9、x∈{x|x=，或x=}；x∈{x|x＜，或x＞}；x∈{x|＜x＜}10、不等式对一切x恒成立，故k应该满足k＞0且△＜0，得k<－2或k>．11、答案：－2<m<－1或3<m<4提示：设y=7x2－(m＋13)x＋m2－m－2，由∴－2<m<－1，或3<m<4.12、要使有意义，必须≥0，解得x≤－4，或x≥3．13、要方程有实数根，必须△=≥0，即≥0，解这个不等式得k≥－4或k≤－12．14、由于不等式对一切x恒成立，故a应该满足即所以2＜a＜18．15、∵x2－8x＋20=(x－4)2＋4>0，∴只须 mx2－mx－1<0 恒成立即可．（1）当 m=0 时，－1<0，不等式成立；（2）当 m≠0 时，则须解得－4<m<0．由（1）、（2）得：－4<m≤0．1.（2009年天津卷）设函数f(x)=，则不等式f(x)>f(1)的解集是（）A．（－3，1）∪（3，＋∞） B.（－3，1）∪（2，＋∞）C. （－1，1）∪（3，＋∞）D.（－∞，－3）∪（1，3）答案：A所以f(x)>f(1)的解集为（－3，1）∪（3，＋∞），故选A．解法二：∵f(1)=3，画出f(x)的图像如图易知f(x)=3时，x=－3,1,3.故f(x)>f(1)－3<x<1或x>3.2.（2009年山东卷）在R上定义运算⊙：a⊙b=ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为（）A．（0，2）B．（－2，1）C．（－∞，－2）∪（1，＋∞）D．（－1，2）答案：B解析：根据题意得：x⊙(x－2)=x(x－2)＋2x＋(x－2)=x2＋x－2，∴解x2＋x－2<0得－2<x<1,故选B．3.（2009年陕西卷）若不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)=ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N为（）A．[0，1）B．（0，1）C．[0，1] D．（－1，0]答案：A解析：由x2－x≤0，解得0≤x≤1,∴M={x|0≤x≤1}.又1－|x|>0,解得－1<x<1,∴N={x|－1<x<1}.则M∩N={x|0≤x<1}，故选A．。