循环矩阵的若干性质及应用
关于循环矩阵若干问题的研究的开题报告
关于循环矩阵若干问题的研究的开题报告题目：关于循环矩阵若干问题的研究一、选题背景与意义循环矩阵是一种特殊的方阵，它的每一行都是该矩阵所有行向右移位后的结果。
因此，循环矩阵具有周期性，可用于描述周期信号、图像等。
在信息学、数学、物理等学科领域，循环矩阵的应用非常广泛。
本次研究旨在深入探究循环矩阵中的数学性质与隐含规律，为循环矩阵应用提供更加科学的理论支撑，并期望通过解决循环矩阵的若干问题，拓展循环矩阵的应用领域。
二、研究内容1.循环矩阵的定义、性质及应用通过对循环矩阵的定义及其基本性质进行分析，深入掌握循环矩阵的特点，了解循环矩阵在信号处理、图像处理等领域的应用。
2.循环矩阵的谱分解及奇异值分解对循环矩阵的特殊结构，可以使用两种不同的分解方法——谱分解和奇异值分解，通过分析不同分解方法的优劣，探究其在循环矩阵应用中的作用。
3.循环矩阵的运算通过对循环矩阵加、减、乘、逆等运算的研究，深入探究循环矩阵在数学上的特殊性质，了解其在图像处理、通讯等领域的应用。
4.循环矩阵的逆针对循环矩阵的特殊结构，研究其逆的求解方法及其应用。
5.循环矩阵的压缩表示基于循环矩阵的结构特征，探究在不影响其特性的前提下，采用压缩表示来提高循环矩阵处理效率的可行性及实现方法。
三、研究方法与计划1.相关理论知识的学习与梳理。
2.选取合适的数学工具，进行数学分析和建模。
3.编写程序对相关算法进行实现。
4.测试并分析算法的性能，探讨实验结果。
5.根据实验结果改进算法，提高研究成果的可靠性和实用性。
时间安排：1.调研期：两周。
2.撰写开题报告与开题答辩：一周。
3.理论知识学习与梳理：两周。
4.算法设计与编程：四周。
5.性能测试与分析，结果分析与修正算法：三周。
6.撰写论文，参加中期汇报会和最后答辩会：五周。
四、预期成果1.研究出循环矩阵中的数学性质与隐含规律。
2.设计出优秀的算法，解决循环矩阵的若干问题，如谱分解、奇异值分解、逆的求解等。
循环矩阵性质及应用论文
循环矩阵性质及应用论文循环矩阵是一种特殊的矩阵，其最后一行等于第一行，最后一列等于第一列的矩阵。
循环矩阵的性质和应用已经在许多研究论文中得到了研究和应用。
首先，循环矩阵具有周期性的性质。
由于最后一行等于第一行，最后一列等于第一列，循环矩阵的元素具有周期性的变化规律。
这个性质可以用来处理数据周期性变化的问题，比如对于一段时间内的某种数据，可以将其表示为循环矩阵的形式，从而能够更好地分析和理解数据的周期性变化规律。
其次，循环矩阵具有线性性质。
循环矩阵乘以一个标量或者与另一个循环矩阵相加、相减，结果仍为循环矩阵。
这个性质可以简化矩阵运算的过程，减少计算量，提高计算效率。
循环矩阵的应用已经广泛地涉及到数学、信号处理、通信等领域。
以下是一些循环矩阵应用的论文：1. Bini D. et al. (2011). "Circulant preconditioners for Toeplitz systems". 这篇论文讨论了循环矩阵作为预处理器在Toeplitz系统求解中的应用，通过循环矩阵的性质和特点，提出了一种高效的求解方法。
2. Tseng P. T., et al. (2016). "Circulant structure-preserving algorithms for data recovery problems". 这篇论文研究了循环矩阵在数据恢复问题中的应用，通过利用循环矩阵的性质，提出了一种结构保持的算法，能够更好地恢复数据中的缺失信息。
3. Chan R. H., et al. (2009). "Circulant preconditioners for linear systems with oscillatory or decaying coefficients". 这篇论文探讨了循环矩阵在线性系统求解中的应用，注意到循环矩阵具有周期性的变化规律，作者提出了一种预处理器方法，能够有效地处理具有振荡或者衰减系数的线性系统。
循环矩阵的性质及其应用
循环矩阵的性质及其应⽤\S 1循环矩阵的定义及多项式表⽰设\mathbb{K}为数域. 任取\mathbb{K}中n个数a_1,a_2,\cdots,a_n,下列矩阵称为\mathbb{K}上的n阶循环矩阵:A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \\ \end{pmatrix}.\quad(1)取a_2=1, a_1=a_3=\cdots=a_n=0, 则可得到如下基础循环矩阵:J=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix}.\quad(2)由复旦⾼代⽩⽪书的例 2.1 可知, J^k=\begin{pmatrix} 0 & I_{n-k} \\ I_k & 0 \\ \end{pmatrix}\,(1\leq k\leq n), 从⽽A=a_1I_n+a_2J+a_3J^2+\cdots+a_nJ^{n-1}.\quad(3)令g(x)=a_1+a_2x+a_3x^2+\cdots+a_nx^{n-1}, 则g(x)是\mathbb{K}上次数不超过n-1的多项式, 使得A=g(J), 这就是循环矩阵关于基础循环矩阵的多项式表⽰.记C_n(\mathbb{K})为\mathbb{K}上所有n阶循环矩阵构成的集合, 容易验证: 在矩阵的加法和数乘下, C_n(\mathbb{K})是⼀个n维线性空间, 它的⼀组基为\{I_n,J,\cdots,J^{n-1}\}. 再任取循环矩阵B=h(J), 其中h(x)是\mathbb{K}上次数不超过n-1的多项式, 则利⽤多项式乘法和J^n=I_n可知AB=g(J)h(J)仍然是⼀个循环矩阵 (参考⾼代⽩⽪书的例 2.12). 因此, C_n(\mathbb{K})是\mathbb{K}上的n维交换代数, 同构于\mathbb{K}[x]/(x^n-1).\S 2循环矩阵的性质下⾯将依次研究循环矩阵的特征值、特征向量和可对⾓化等性质, 由此可得循环矩阵的⾏列式、秩和⾮异性等信息. 这些内容包含在⾼代⽩⽪书的例 2.52, 例 6.9, 例 6.32 和例 6.39 的推论中.容易计算出基础循环矩阵J的特征多项式|\lambda I_n-J|=\lambda^n-1, 从⽽J在复数域中有n个不同的特征值, 即n次单位根\omega_k=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\,(0\leq k\leq n-1), 因此J在复数域上可对⾓化. 经计算可知, 特征值\omega_k的特征向量是\alpha_k=(1,\omega_k,\omega_k^2,\cdots,\omega_k^{n-1})'. 将这些特征向量按列分块拼成⼀个矩阵: P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\cdots & 1 \\ 1 & \omega_1 & \omega_2 & \cdots & \omega_{n-1} \\ 1 & \omega_1^2 & \omega_2^2 & \cdots & \omega_{n-1}^2 \\ \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & \omega_1^{n-1} & \omega_2^{n-1} & \cdots & \omega_{n-1}^{n-1} \\ \end{pmatrix},\quad(4)则由Vandermonde ⾏列式或特征值特征向量的性质可知, P是⾮异阵, 并且满⾜P^{-1}JP=\mathrm{diag}\{1,\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_{n-1}\},\quad(5)从⽽P^{-1}AP=P^{-1}g(J)P=g(P^{-1}JP)=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}.\quad(6)由 (6) 式可知循环矩阵A=g(J)具有如下基本性质:(P1) A的特征值为g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1}), 对应的特征向量是\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{n-1};(P2) |A|=g(1)g(\omega_1)g(\omega_2)\cdots g(\omega_{n-1});(P3) 循环矩阵A可对⾓化;(P4) r(A)=\sharp\{0\leq k\leq n-1\mid g(\omega_k)\neq 0\};(P5) A⾮异当且仅当g(\omega_k)\neq 0\,(0\leq k\leq n-1), 也即当且仅当(\lambda^n-1,g(\lambda))=1.定理 1 n阶复循环矩阵全体C_n(\mathbb{C})与n阶复对⾓矩阵全体D_n(\mathbb{C})之间存在⼀个⾃然的代数同构\xi.证明n阶复对⾓矩阵全体在矩阵的加法、数乘和乘法下成为复数域上的代数. 我们通过 (6) 式来定义映射\xi, 即\xi: C_n(\mathbb{C})\toD_n(\mathbb{C})定义为\xi(A)=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}. 容易验证\xi保持矩阵的加法、数乘和乘法, 从⽽是⼀个代数同态. 对任⼀\Lambda=\mathrm{diag}\{\lambda_0,\lambda_1,\cdots,\lambda_{n-1}\}, 利⽤ Lagrange 插值公式可知, 存在次数不超过n-1的复系数多项式h(\lambda), 使得h(\omega_k)=\lambda_k(0\leq k\leq n-1). 令B=h(J), 则\xi(B)=\Lambda, 即\xi是满射. ⼜\dim C_n(\mathbb{C})=\dim D_n(\mathbb{C})=n, 从⽽\xi是⼀个线性同构, 从⽽是代数同构. \Box推论 2 n阶复矩阵B可对⾓化的充要条件是B相似于某个循环矩阵.证明由定理 1 中的代数同构\xi是通过相似变换实现的即得结论. \Box推论 3 设A\in C_n(\mathbb{K}), 则A^*也是循环矩阵.证法 1 由 (6) 式可知P^*A^*(P^*)^{-1}=(P^{-1}AP)^*=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}^*仍为对⾓阵. 注意到P^*=|P|P^{-1}, 故上述等式可化为P^{-1}A^*P=(P^{-1}AP)^*=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}^*.因此由定理 1 可知, A^*=\xi^{-1}\bigg(\xi(A)^*\bigg)也是循环矩阵.证法 2 由⾼代⽩⽪书的例 6.62 可知, 存在多项式h(\lambda)\in\mathbb{K}[\lambda], 使得A^*=h(A). 设A=g(J), 则A^*=h(A)=h(g(J))仍为J的多项式, 从⽽是循环矩阵.证法 3 设A=(a_{ij})的代数余⼦式为A_{ij}\,(1\leq i,j\leq n), 要证A^*是循环矩阵, 根据定义只要证明: 对任意的1\leq i,j\leq n,A_{ij}=A_{i+1,j+1}成⽴即可, 其中若i+1>n或j+1>n, 则需要把i+1或j+1换成i+1-n或j+1-n. 证明A_{ij}=A_{i+1,j+1}只需要简单的⾏列式计算即可. ⽐如先把A_{ij}的最后⼀列经过n-2次相邻对换换⾄第⼀列, 再把得到⾏列式的最后⼀⾏经过n-2次相邻对换换⾄第⼀⾏, 最后就能得到A_{i+1,j+1}. 我们把验证的细节留给读者完成. \Box推论 4 若A\in C_n(\mathbb{K})是⾮异阵, 则A^{-1}也是循环矩阵.证法 1 由定理 1 可知, A^{-1}=\xi^{-1}\bigg(\xi(A)^{-1}\bigg)也是循环矩阵.证法 2 由 Cayley-Hamilton 定理可知, 存在多项式h(\lambda)\in\mathbb{K}[\lambda], 使得A^{-1}=h(A) (参考⾼代⽩⽪书的例 6.61). 设A=g(J), 则A^{-1}=h(A)=h(g(J))仍为J的多项式, 从⽽是循环矩阵.证法 3 设A=g(J), 则由A⾮异可知(\lambda^n-1,g(\lambda))=1. 由互素多项式的性质可知, 存在u(\lambda),v(\lambda)\in\mathbb{K}[\lambda], 使得(\lambda^n-1)u(\lambda)+g(\lambda)v(\lambda)=1. 令\lambda=J, 代⼊上式可得g(J)v(J)=I_n, 从⽽A^{-1}=v(J)也是循环矩阵.证法 4 由A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*以及推论 3 即得结论. \Box推论 5 \mathbb{K}上的n阶⾮异循环矩阵全体GC_n(\mathbb{K})在矩阵乘法下成为⼀个 Abel 群.推论 6 设A为n阶复循环矩阵, f(z)是收敛半径等于+\infty的复幂级数, 则f(A)也是循环矩阵.证法 1 注意到f(P^{-1}AP)=P^{-1}f(A)P, 从⽽f(A)=\xi^{-1}\bigg(f(\xi(A))\bigg)也是循环矩阵.证法 2 由可知, 存在多项式h(z), 使得f(A)=h(A)也是循环矩阵.证法 3 设f(z)=\sum\limits_{i=0}^\infty a_iz^i, f_p(z)=\sum\limits_{i=0}^p a_iz^i为f(z)的部分和多项式. 设A=a_1I_n+a_2J+a_3J^2+\cdots+a_nJ^{n-1}, 则f_p(A)=b^{(p)}_1I_n+b^{(p)}_2J+b^{(p)}_3J^2+\cdots+b^{(p)}_nJ^{n-1}. 由于矩阵序列\lim\limits_{p\to\infty}f_p(A)收敛到f(A), 故每个数列\lim\limits_{p\to\infty}b^{(p)}_i都收敛. 若设\lim\limits_{p\to\infty}b^{(p)}_i=b_i\,(1\leq i\leq n), 则f(A)=\lim\limits_{p\to\infty}f_p(A)=b_1I_n+b_2J+b_3J^2+\cdots+b_nJ^{n-1}仍为循环矩阵. \Box\S 3循环矩阵的应⽤下⾯我们给出循环矩阵的⼀个应⽤.命题 7 设有\mathbb{K}中n^2\,(n\geq 2)个不同的数, 则存在⼀个全排列, 记为a_1,\cdots,a_{n^2}, 使得\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_{n+1} & a_{n+2} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n^2-n+1} & a_{n^2-n+2} & \cdots & a_{n^2} \\\end{vmatrix}\neq 0.证明对n进⾏归纳. n=2时, 先取到a_1,a_2, 使得a_1+a_2\neq 0, 从⽽\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_2 & a_1 \\ \end{vmatrix}=(a_1-a_2) (a_1+a_2)\neq 0, 于是B=\{(a_1,a_2),(a_2,a_1)\}是\mathbb{K}^2的⼀组基. 注意到(a_3,a_4)\neq 0, 故由基扩张定理, 必可从基B中选取⼀个基向量, 不妨设为(a_1,a_2), 使得\{(a_1,a_2),(a_3,a_4)\}成为\mathbb{K}^2的⼀组新基, 因此\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\\end{vmatrix}\neq 0. 设n-1时结论成⽴, 现证n的情形.证法 1 先取到a_1,a_2,\cdots,a_n, 使得a_1+a_2\omega_k+\cdots+a_n\omega_k^{n-1}\neq 0对0\leq k\leq n-1都成⽴. 这⼀定能做到, ⽐如先选定a_2,\cdots,a_n, 则不满⾜上述条件的a_1最多只有n个, 从⽽可取到满⾜上述条件的a_1. 由循环矩阵的性质可知, (1) 式中的循环矩阵A是⾮异阵, 特别地, A的n个⾏向量\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\}是\mathbb{K}^n的⼀组基. 由归纳假设, 可从剩下n^2-n个数中选出(n-1)^2个数的全排列, 使得\begin{vmatrix} a_{n+2} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n^2-n+2} & \cdots & a_{n^2} \\\end{vmatrix}\neq 0,后⾯随便选取a_{n+1},\cdots,a_{n^2-n+1}, 均可使n-1个⾏向量(a_{n+1},a_{n+2},\cdots,a_{2n}), \cdots, (a_{n^2-n+1},a_{n^2-n+2},\cdots,a_{n^2})线性⽆关 (参考复旦⾼代教材的习题 3.4.9). 因此由基扩张定理, 必可从基\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\}中选出⼀个基向量, 不妨设为\beta_1, 使得\{(a_1,a_2,\cdots,a_n), (a_{n+1},a_{n+2},\cdots,a_{2n}), \cdots, (a_{n^2-n+1},a_{n^2-n+2},\cdots,a_{n^2})\}构成\mathbb{K}^n的⼀组新基, 从⽽结论得证.证法 2 ⽤反证法, 设对n^2个数的所有全排列, 对应的⾏列式都等于零, 我们来推出⽭盾. 先取到a_1,a_2,\cdots,a_n, 使得a_1+a_2+\cdots+a_n\neq 0, 再由归纳假设, 不妨设取到的⾏列式中, a_1的代数余⼦式A_1\neq 0. 设其余元素a_i的代数余⼦式为A_i\,(2\leq i\leq n), 因此a_1A_1+a_2A_2+\cdots+a_nA_n=0. 在取到的⾏列式中, 对换第⼀⾏的a_1与a_i\,(2\leq i\leq n), 其余n^2-2个元素保持不变, 则有a_iA_1+\cdots+a_1A_i+\cdots+a_nA_n=0. 由此可得(a_1-a_i)(A_1-A_i)=0, 但a_1\neq a_i, 从⽽A_1=A_i\,(2\leq i\leq n). 最后,0=a_1A_1+a_2A_2+\cdots+a_nA_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)A_1\neq 0, ⽭盾. \Box注 1 命题 7 的证法 1 是构造性的, 利⽤这⼀证法可以给出满⾜条件的全排列的总个数的⼀个粗略估计. 命题 7 的证法 2 由复旦数学学院 16 级本科⽣朱民哲提供.注 2 本⽂的主要结论还可以推⼴到特征零的域或者特征p>0的域 (要求p\nmid n) 及其分裂域或代数闭包上. 另外, ⾼代⽩⽪书第⼆章的解答题 13 还给出了b-循环矩阵的推⼴. 有兴趣的读者可以⾃⾏学习和验证这些结论.参考⽂献[1] ⾼代教材: 姚慕⽣, 吴泉⽔, 谢启鸿编著, ⾼等代数学 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2014.[2] ⾼代⽩⽪书: 姚慕⽣, 谢启鸿编著, 学习⽅法指导书: ⾼等代数 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2015.Processing math: 0%。
dsst 循环矩阵
dsst 循环矩阵循环矩阵（Circulant Matrix）是一种特殊类型的方阵，其每一行都是通过对前一行进行向右或向左循环移位得到的。
循环矩阵在信号处理、数字滤波、图像处理和密码学等领域中具有广泛的应用。
在本文中，我将介绍循环矩阵的定义、性质以及一些常见的应用领域。
首先，循环矩阵的定义是指一个方阵，其每一行都是通过对前一行进行向右或向左循环移位得到的。
换句话说，循环矩阵的第一列是从最后一列循环移位得到的。
数学上，一个n阶的循环矩阵可以表示为：```C = [c₀ c₁ c₂ ... cₙ₋₁cₙ₋₁ c₀ c₁ ... cₙ₋₂cₙ₋₂ cₙ₋₁ c₀ ... cₙ₋₃...c₁ c₂ ... c₀]```其中c₀, c₁, ..., cₙ₋₁是矩阵的每一列的元素。
因此，循环矩阵只需要存储一个列向量，其它列都是通过循环移位得到的，这样可以大大减少储存空间。
接下来，我将介绍一些循环矩阵的性质。
首先，对于一个n阶的循环矩阵C，其特征向量可以写成以下形式：```vₙ = [wₙ wₙ₊₁ ... wₙ w₁ w₂ ... wₙ₋₁]ᵀ```其中wₙ是一个复数，称为循环矩阵的特征值。
这个性质非常有用，因为它可以用来快速计算循环矩阵的特征值和特征向量。
另一个重要的性质是循环矩阵的乘法可以通过离散傅立叶变换（DFT）来实现。
具体而言，如果C是一个循环矩阵，x是一个n维向量，那么循环矩阵乘以向量的运算可以表示为：```C × x = F⁻¹(f ∘ F(x))```其中F表示离散傅立叶变换，f表示一个逐点的函数，它将输入的向量F(x)中的每个元素都乘以循环矩阵C的特征值，最后再通过逆离散傅立叶变换F⁻¹得到最终结果。
最后，我将介绍一些循环矩阵的应用领域。
循环矩阵在信号处理中经常用来实现卷积运算。
由于循环矩阵的乘法可以通过离散傅立叶变换来实现，因此可以大大加速卷积运算的速度。
另外，循环矩阵在数字滤波中也经常被使用，因为滤波操作可以表示为循环矩阵与输入信号的乘法。
对称循环矩阵
对称循环矩阵对称循环矩阵是一种特殊的矩阵结构，具有一定的特点和应用。
本文将介绍对称循环矩阵的定义、性质以及其在数学和工程领域中的应用。
一、对称循环矩阵的定义对称循环矩阵是一种特殊的方阵，其主对角线上的元素相等，并且每一行都是前一行循环右移一位得到的。
换句话说，对称循环矩阵的每一行可以通过右移操作得到下一行，最后一行可以通过右移得到第一行。
例如，一个4阶的对称循环矩阵可以表示为：$$\begin{bmatrix}a &b &c &d \\d & a & b & c \\c &d & a & b \\b &c &d & a \\\end{bmatrix}$$其中，a、b、c、d为矩阵中的元素。
1. 对称性：对称循环矩阵关于其主对角线对称，即矩阵的第i行第j列元素等于第j行第i列元素。
2. 循环性：对称循环矩阵的每一行可以通过右移操作得到下一行，最后一行可以通过右移得到第一行。
3. 特征值：对称循环矩阵的特征值具有一定的规律，即特征值可以表示为主对角线元素以及第一行或最后一列元素的线性组合。
三、对称循环矩阵的应用1. 图像处理：对称循环矩阵在图像处理中有广泛的应用。
例如，对称循环矩阵可以用于图像的平滑处理、图像的边缘检测以及图像的压缩等。
2. 信号处理：对称循环矩阵在信号处理中也有重要的应用。
例如，对称循环矩阵可以用于信号的滤波、信号的谱分析以及信号的降噪等。
3. 优化问题：对称循环矩阵在优化问题中有一定的应用。
例如，对称循环矩阵可以用于解决线性规划问题、二次规划问题以及半正定规划问题等。
4. 循环编码：对称循环矩阵在通信领域的循环编码中有着重要的应用。
循环编码是一种纠错编码技术，对称循环矩阵可以用于构造循环码的生成矩阵，实现对传输数据的编码和解码。
总结：对称循环矩阵是一种特殊的矩阵结构，具有对称性和循环性的特点。
循环矩阵 傅里叶
循环矩阵傅里叶循环矩阵与傅里叶变换循环矩阵和傅里叶变换是现代数学的两个重要领域。
从表面上看，似乎它们没有任何关系，但是实际上它们之间有着深刻的联系。
本文将探讨循环矩阵和傅里叶变换之间的关系，并且讲解它们的定义、性质、应用等方面的内容。
一、循环矩阵的定义和性质1. 定义一个$n\times n$的循环矩阵$C=[c_{ij}]$，是这样一个矩阵：$$ C= \begin{bmatrix} c_{1,1} & c_{1,2} &\cdots & c_{1,n-1} & c_{1,n}\\ c_{2,1} & c_{2,2} & \cdots & c_{2,n-1} & c_{2,n}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots\\ c_{n-1,1} & c_{n-1,2} & \cdots & c_{n-1,n-1} & c_{n-1,n}\\ c_{n,1} &c_{n,2} & \cdots & c_{n,n-1} & c_{n,n}\end{bmatrix} $$其中，$c_{i,j}$表示矩阵的第$i$行，第$j$列的元素。
并且，$c_{i,j}=c_{i,j+n}$，以及$c_{i,j}=c_{i+n,j}$。
也就是说，循环矩阵是由一列数据重复构成的矩阵。
2. 性质（1）循环矩阵$C$的每一行都是由第一行循环移位得到的。
也就是说，对于循环矩阵$C$的任意一行$i(1\leq i\leq n)$，都有：$$ \begin{bmatrix}c_{i,1},c_{i,2},\cdots,c_{i,n} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} c_{1,1},c_{1,2},\cdots,c_{1,n}\end{bmatrix} \circledast \begin{bmatrix}0,0,\cdots,0,1 \end{bmatrix}^{i-1} $$其中，$\circledast$表示循环卷积运算，也就是说：$$ \begin{bmatrix}c_{1,1},c_{1,2},\cdots,c_{1,n} \end{bmatrix}\circledast \begin{bmatrix} 0,0,\cdots,0,1\end{bmatrix}^{i-1} = \begin{bmatrix}c_{i,1},c_{i,2},\cdots,c_{i,n} \end{bmatrix} $$（2）循环矩阵$C$的特征多项式为：$$ f(\lambda)=\lambda^n-\sum_{k=1}^{n-1}c_{1,k}\lambda^{n-k}-c_{1,n} $$证明：由于循环矩阵$C$是由一列数据重复构成的，因此，它的每一行都是由第一行循环移位得到的。
循环矩阵实际应用
循环矩阵实际应用
循环矩阵是一种特殊的矩阵，它的最后一行与第一行相邻，最后一列与第一列相邻，具有循环的特性。
循环矩阵的实际应用非常广泛，下面就来介绍一下几个常见的应用场景。
1.图像处理
在图像处理中，循环矩阵可以用于实现卷积运算，尤其是在处理边缘处的像素时非常有用。
循环矩阵可以将卷积核与图像进行卷积运算，对图像进行边缘增强、模糊、锐化等操作。
2.信号处理
在信号处理中，循环矩阵可以用于实现数字滤波器，尤其是在处理周期信号时非常有用。
循环矩阵可以将数字滤波器与信号进行卷积运算，对信号进行降噪、去除干扰等操作。
3.编码技术
在编码技术中，循环矩阵可以用于实现纠错码，尤其是在处理传输过程中出现的错误时非常有用。
循环矩阵可以将纠错码与数据进行矩阵乘法运算，对数据进行纠错、恢复等操作。
综上所述，循环矩阵的实际应用非常广泛，可以应用于图像处理、信号处理、编码技术等领域，具有重要的实际意义和价值。
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循环矩阵 傅里叶
循环矩阵傅里叶循环矩阵在信号处理和通信系统中起着重要作用。
傅里叶理论在信号和图像处理中也有广泛应用。
本文将阐述循环矩阵和傅里叶理论的基本概念，并讨论它们在信号处理和通信系统中的应用。
一、循环矩阵的定义$$\begin{bmatrix}c_1 & c_2 & \cdots & c_{n-1} & c_n \\c_n & c_1 & \cdots & c_{n-2} & c_{n-1} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\c_2 & c_3 & \cdots & c_n & c_1\end{bmatrix}$$$c_1, c_2, \cdots, c_n$ 是循环矩阵的第一行元素。
可以通过移位操作将第一行变换为任意行。
1. 循环矩阵是一种稠密矩阵，因为它的每一行都包含了 $n$ 个元素。
2. 循环矩阵是一个 Toeplitz 矩阵，因为它的每一条从左上到右下的对角线都具有相同的元素。
3. 循环矩阵的转置等于它自身的逆矩阵。
4. 循环矩阵可以通过傅里叶变换来计算其特征值和特征向量。
三、傅里叶变换的定义$$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-2\pi i\frac{kn}{N}}$$$k = 0, 1, \cdots, N-1$，$i$ 为虚数单位。
$X_k$ 表示频率为 $k$ 的正弦和余弦函数的振幅，$x_n$ 表示信号或函数在时间 $n$ 的值。
1. 循环卷积循环矩阵可以用来处理循环卷积（Circular Convolution）问题。
循环卷积是指两个循环信号间的卷积运算。
这种数学运算在数字信号处理、图像处理和通信系统中经常用到。
我们可以用循环矩阵来表示循环卷积的卷积核，然后通过矩阵乘法来求解卷积结果。
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．编 ｄ．． — ％．．～０ ． 号 Ｌ ． ： ． 中 图 分 类 号 ： １ １２ 文 献 标 识 码 ： 文．．．．． ７ １ ２ （０ ２０ － ０ ６ ０ ０ ５ ．１ Ａ — ．．．嘶 ２ ９２ ０ ） １ ０ ６ — ３ 章 ．． ０ １
０ 基 本 概 念
复 数 域 上 阶 方 阵
证 明 Ａ ｌ Ａ～ 由性 质 ２ ＝ ｂｌｂＤ …＋ ＝Ａ Ｉ ， ，Ａ ｏ 。＋ ６ ＋ Ｉ ｂＤ ¨ ＋ｌ ｆ Ａ ｌｌ十 － ６ 。 ’
也是 循环 矩 阵．
是循 环 矩 阵． 因此 ，Ａ Ｉ ｂ ＋ ＝Ａ ｌＪ
性 质 ３：任 何 一 个 循 环 矩 阵 Ａ 在 复 数 域 上 都 与 一 个 对 角 矩 阵 相 似 ．
设 Ａ＝ ｄ ａＯ＋ ￣ － 一 ＝ ＤＪ是 任 意 一 个 ｎ阶循 环 矩 阵 ， Ａ 相 似 于对 角 矩 阵 ａ ＋ １ ａ９ Ｄ ｉ ｒ ， 则 ｄａ ∥ √ ）… √ ＾ ） ｉ 【 ｇ ， ）
Ｊ ｎ．２ ０ ａ ０２
循 环 矩 阵 的 若 干 性 质 及 应 用
勾
称
阶 循 再 环 漫 吴 世 歼 （ 方 冶 金 学 院 理 学 院 ． 西 赣 州 ３ 矩 南 江 ４１￣ ０ ０） 阵
摘 要 ： 论 了循 环 矩 阵 的 若 干 性 质 ． 到 了 ｎ阶 方 阵 可 以 对 角 化 的 一 个 充 要 条 件 讨 得 关 键 词 ： 环 矩 阵 ；特 征 值 ； 相 似 ； 对 角化 循
…＋ ｌ ） （ ｏ＋ ｌ ｂＤ ＋ ＋ 】 ） ‰一 Ｄ －ｂｌ ｂＤ＋ ２ … ６ Ｄ ＝
０ ｌ】ｑ ２ … ＋ ｌ ）＋ ｂ＋ ０１ 。 】２ … ＋ ２ ） ｂ ６ 。ｂ ， （ ０ ６ ＋ ｂ ＋ 】 ｎ６ Ｄ 】
十 … ＋（ ６ Ⅱ ｌ‰ … ＋ ０ 】Ｄ … ｑ 】 ｂ＋ ｂ＋ ６ ） ２ 要 使 Ａ・ ｆ 必 须 且 仅 须 下 列 方 程 组 成 立 Ｂ： ，
性质 ２ 可逆 的循 环矩 阵的逆 矩阵仍 是 循环 矩阵．
收 蕾 日期 ： ０ １ ０ — ０ ２ ０ — ３ ２ 作 者 筒 舟 ： 世 王 （ ９ ４ ） 男 讲 师 吴 Ｆ １６ 一 ．
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第２ ３卷 第 １期
吴世 矸 ： 环 矩 阵的 若 干 性 质 厦 应 用 循
证 明 由 文 献 ［】 ， １知 ｎ阶循 环 矩 阵 Ｄ 的特 征 值 为
： ｃ０ｓ
旦 ＋
ｎ ｎ
： ｏ
，
１ ．ｎ １ ．一 ） ２ ，
一） １
由 于 ≠ （ ） 由 文 献 ［］ ， 相 似 于 对 角 矩 阵 ≠ ， ２知 Ｄ
Ａ＝ ｉｇ ， ｊ ¨１ ｄａ ｛ Ｉ … 即 存 在 可 逆 矩 阵 Ｐ， －ｇ ＝＾ ｐ Ｐ ／ －
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第２ 卷第１ ３ 期
２０ ０２ 年 １ 月
南 方 冶 金 学 院 学报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｓ ＯＵＴＨＥＲＮ ＮＳ Ｔ Ｅ Ｔ Ｌ Ｉ ＴＩ ＵＴ ＯＦ ＭＥ ＡＬ ＵＲＧＹ
ｖ１ ， ＿ 。 ３ ． Ｎ１ ２ ０
证 设 Ａ＝ ｃ ａ． 啦Ｄ ＋ １ ｉ『 ｊ Ｂ ｂ ＋ ＋ ２… 一 ‘＝ ａ／ Ｉ＋ …＋ Ｄ ＋ Ｄ ， ， ＝ｄｂ ６ ＋ Ｄ ｌ Ｉ 口ｊ
因 ． Ｄ ＝ 为 非 负 整 数 ， ，， ． ｊ Ｄ
阻 １．Ａ， Ｄ）ｇＤ ＝ （ 。（ ｛ｈＤ）＝ Ａ ） Ｂ ｊ （ 。（ １ｇＤ１ Ｄ ＝ （ ｝ Ｂ－ 这 里 ＾ 是 一 个 不 高 于 ｎ １次 的 多 项 式 ， ｊ — 由此 知 ， Ｂ是 阶 循 环 矩 阵 ， Ａ－ ＝ Ａ Ａ－ 且 Ｂ Ｂ－
６ ７
证 明
由 性 质 １ 只 要 能 找 到 循 环 矩 阵 Ｂ＝ ｏ＋ 。 ｂＤ ＋ ＋ Ｄ一 ，ｂ ， 一～ ， ， ｂｌ ｂＤ＋ ２ … ６ （。ｂ ｂ 为 ・％一 ＋ 。 Ｄ
Ａ－ （ 。Ｄ＋ ＝ ８ ＋ 】 ｏ
（
待 定 常 数 ）使 得 Ａ ・ Ｉ即 可， 中 Ａ 为 可 逆 的 循 环 矩 阵 ＝ ｏ＋ 。 ０ ， Ｂ＝ 其 ａｌａＤ＋
％ ６ ‰一 】４ 凸 ２ … ４ 嘞ｂ ０ ｌ － ｎ ｂ ＋ － ＝１ ａ ｂ － ｌ ０４ 嘞 】 ０ ｂ －… ＋ ｎ 】 ＝ ＋ 】 ２４ ２ ０
‰ 一 ０＋ ‰ ２ｂ】 － ｌ ｂ ４
－
６ ２＋ … ＋ ％ ６ ＝ ｌ ０
以 上 方 程 组 以 ｂ， 一 为 未 知 数 ， Ａ ｏ ｂ ｂ 以 为 系 数 矩 阵 似 表 示 Ａ 的 转 置 矩 阵 ） ．
嘶 ％ 一 啦
一 Biblioteka ． 一 ． 一
一
一
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０ Ｄ ＝ １ ０ ０ ０
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０
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１
１
Ｏ
０
０
则 Ｄ 也 是 循 环 矩 阵 ， 为 基 础 循 环 矩 阵 ， 然 ． Ｄ … 一Ｄ ＝ （ 称 显 Ｄ， ， ，ｎ阶 单 位 矩 阵 ） 是 循 环 矩 都
阵且 Ａ＝ ｃ ａ ａＤ￣ … ＋ １ ａ／ １ ２ ＋ ． ＋ Ｄ＋ Ｄ
设 肿
嘞＋ ＋ ２… ＋ ＋
则 Ａ
ｊ此 时 凸＝ ， ｏ
１ 循 环 矩 阵 的 一 些 性 质
性 质 １ 两 个 循 环 矩 阵 Ａ、 的 乘 积 仍 为 循 环 矩 阵 ， Ａ・ ＝ Ａ Ｂ 且 Ｂ Ｂ－
由 于 Ａ 可逆 ， ｌ ｌ ｌ ≠ｏ 方 程组 （） 故 Ａ ＝Ａ ｌ ， １ 有且 仅 有 唯 一 的解 ｂ， 一 ， 。ｂ ｂ 而 就 是 Ａ
的 逆 矩 阵 ， 曰 也 是 循 环 矩 阵． 且
推 论 ： Ａ 为 ｎ阶循 环 矩 阵 ， Ａ 可 逆 ． Ａ 的 伴 随 矩 阵 Ａ 设 且 则 也 是 循 环 矩 阵．