循环矩阵的若干性质及应用
．编 ｄ．． — ％．．～０ ． 号 Ｌ ． ： ． 中 图 分 类 号 ： １ １２ 文 献 标 识 码 ： 文．．．．． ７ １ ２ （０ ２０ － ０ ６ ０ ０ ５ ．１ Ａ — ．．．嘶 ２ ９２ ０ ） １ ０ ６ — ３ 章 ．． ０ １
０ 基 本 概 念
复 数 域 上 阶 方 阵
证 明 Ａ ｌ Ａ～ 由性 质 ２ ＝ ｂｌｂＤ …＋ ＝Ａ Ｉ ， ，Ａ ｏ 。＋ ６ ＋ Ｉ ｂＤ ¨ ＋ｌ ｆ Ａ ｌｌ十 － ６ 。 ’
也是 循环 矩 阵．
是循 环 矩 阵． 因此 ，Ａ Ｉ ｂ ＋ ＝Ａ ｌＪ
性 质 ３：任 何 一 个 循 环 矩 阵 Ａ 在 复 数 域 上 都 与 一 个 对 角 矩 阵 相 似 ．
设 Ａ＝ ｄ ａＯ＋ ￣ － 一 ＝ ＤＪ是 任 意 一 个 ｎ阶循 环 矩 阵 ， Ａ 相 似 于对 角 矩 阵 ａ ＋ １ ａ９ Ｄ ｉ ｒ ， 则 ｄａ ∥ √ ）… √ ＾ ） ｉ 【 ｇ ， ）
Ｊ ｎ．２ ０ ａ ０２
循 环 矩 阵 的 若 干 性 质 及 应 用
勾
称
阶 循 再 环 漫 吴 世 歼 （ 方 冶 金 学 院 理 学 院 ． 西 赣 州 ３ 矩 南 江 ４１￣ ０ ０） 阵
摘 要 ： 论 了循 环 矩 阵 的 若 干 性 质 ． 到 了 ｎ阶 方 阵 可 以 对 角 化 的 一 个 充 要 条 件 讨 得 关 键 词 ： 环 矩 阵 ；特 征 值 ； 相 似 ； 对 角化 循
…＋ ｌ ） （ ｏ＋ ｌ ｂＤ ＋ ＋ 】 ） ‰一 Ｄ －ｂｌ ｂＤ＋ ２ … ６ Ｄ ＝
０ ｌ】ｑ ２ … ＋ ｌ ）＋ ｂ＋ ０１ 。 】２ … ＋ ２ ） ｂ ６ 。ｂ ， （ ０ ６ ＋ ｂ ＋ 】 ｎ６ Ｄ 】
十 … ＋（ ６ Ⅱ ｌ‰ … ＋ ０ 】Ｄ … ｑ 】 ｂ＋ ｂ＋ ６ ） ２ 要 使 Ａ・ ｆ 必 须 且 仅 须 下 列 方 程 组 成 立 Ｂ： ，
性质 ２ 可逆 的循 环矩 阵的逆 矩阵仍 是 循环 矩阵．
收 蕾 日期 ： ０ １ ０ — ０ ２ ０ — ３ ２ 作 者 筒 舟 ： 世 王 （ ９ ４ ） 男 讲 师 吴 Ｆ １６ 一 ．
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第２ ３卷 第 １期
吴世 矸 ： 环 矩 阵的 若 干 性 质 厦 应 用 循
证 明 由 文 献 ［】 ， １知 ｎ阶循 环 矩 阵 Ｄ 的特 征 值 为
： ｃ０ｓ
旦 ＋
ｎ ｎ
： ｏ
，
１ ．ｎ １ ．一 ） ２ ，
一） １
由 于 ≠ （ ） 由 文 献 ［］ ， 相 似 于 对 角 矩 阵 ≠ ， ２知 Ｄ
Ａ＝ ｉｇ ， ｊ ¨１ ｄａ ｛ Ｉ … 即 存 在 可 逆 矩 阵 Ｐ， －ｇ ＝＾ ｐ Ｐ ／ －
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第２ 卷第１ ３ 期
２０ ０２ 年 １ 月
南 方 冶 金 学 院 学报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｓ ＯＵＴＨＥＲＮ ＮＳ Ｔ Ｅ Ｔ Ｌ Ｉ ＴＩ ＵＴ ＯＦ ＭＥ ＡＬ ＵＲＧＹ
ｖ１ ， ＿ 。 ３ ． Ｎ１ ２ ０
证 设 Ａ＝ ｃ ａ． 啦Ｄ ＋ １ ｉ『 ｊ Ｂ ｂ ＋ ＋ ２… 一 ‘＝ ａ／ Ｉ＋ …＋ Ｄ ＋ Ｄ ， ， ＝ｄｂ ６ ＋ Ｄ ｌ Ｉ 口ｊ
因 ． Ｄ ＝ 为 非 负 整 数 ， ，， ． ｊ Ｄ
阻 １．Ａ， Ｄ）ｇＤ ＝ （ 。（ ｛ｈＤ）＝ Ａ ） Ｂ ｊ （ 。（ １ｇＤ１ Ｄ ＝ （ ｝ Ｂ－ 这 里 ＾ 是 一 个 不 高 于 ｎ １次 的 多 项 式 ， ｊ — 由此 知 ， Ｂ是 阶 循 环 矩 阵 ， Ａ－ ＝ Ａ Ａ－ 且 Ｂ Ｂ－
６ ７
证 明
由 性 质 １ 只 要 能 找 到 循 环 矩 阵 Ｂ＝ ｏ＋ 。 ｂＤ ＋ ＋ Ｄ一 ，ｂ ， 一～ ， ， ｂｌ ｂＤ＋ ２ … ６ （。ｂ ｂ 为 ・％一 ＋ 。 Ｄ
Ａ－ （ 。Ｄ＋ ＝ ８ ＋ 】 ｏ
（
待 定 常 数 ）使 得 Ａ ・ Ｉ即 可， 中 Ａ 为 可 逆 的 循 环 矩 阵 ＝ ｏ＋ 。 ０ ， Ｂ＝ 其 ａｌａＤ＋
％ ６ ‰一 】４ 凸 ２ … ４ 嘞ｂ ０ ｌ － ｎ ｂ ＋ － ＝１ ａ ｂ － ｌ ０４ 嘞 】 ０ ｂ －… ＋ ｎ 】 ＝ ＋ 】 ２４ ２ ０
‰ 一 ０＋ ‰ ２ｂ】 － ｌ ｂ ４
－
６ ２＋ … ＋ ％ ６ ＝ ｌ ０
以 上 方 程 组 以 ｂ， 一 为 未 知 数 ， Ａ ｏ ｂ ｂ 以 为 系 数 矩 阵 似 表 示 Ａ 的 转 置 矩 阵 ） ．
嘶 ％ 一 啦
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０ Ｄ ＝ １ ０ ０ ０
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则 Ｄ 也 是 循 环 矩 阵 ， 为 基 础 循 环 矩 阵 ， 然 ． Ｄ … 一Ｄ ＝ （ 称 显 Ｄ， ， ，ｎ阶 单 位 矩 阵 ） 是 循 环 矩 都
阵且 Ａ＝ ｃ ａ ａＤ￣ … ＋ １ ａ／ １ ２ ＋ ． ＋ Ｄ＋ Ｄ
设 肿
嘞＋ ＋ ２… ＋ ＋
则 Ａ
ｊ此 时 凸＝ ， ｏ
１ 循 环 矩 阵 的 一 些 性 质
性 质 １ 两 个 循 环 矩 阵 Ａ、 的 乘 积 仍 为 循 环 矩 阵 ， Ａ・ ＝ Ａ Ｂ 且 Ｂ Ｂ－
由 于 Ａ 可逆 ， ｌ ｌ ｌ ≠ｏ 方 程组 （） 故 Ａ ＝Ａ ｌ ， １ 有且 仅 有 唯 一 的解 ｂ， 一 ， 。ｂ ｂ 而 就 是 Ａ
的 逆 矩 阵 ， 曰 也 是 循 环 矩 阵． 且
推 论 ： Ａ 为 ｎ阶循 环 矩 阵 ， Ａ 可 逆 ． Ａ 的 伴 随 矩 阵 Ａ 设 且 则 也 是 循 环 矩 阵．
关于循环矩阵若干问题的研究的开题报告
关于循环矩阵若干问题的研究的开题报告题目：关于循环矩阵若干问题的研究一、选题背景与意义循环矩阵是一种特殊的方阵，它的每一行都是该矩阵所有行向右移位后的结果。
因此，循环矩阵具有周期性，可用于描述周期信号、图像等。
在信息学、数学、物理等学科领域，循环矩阵的应用非常广泛。
本次研究旨在深入探究循环矩阵中的数学性质与隐含规律，为循环矩阵应用提供更加科学的理论支撑，并期望通过解决循环矩阵的若干问题，拓展循环矩阵的应用领域。
二、研究内容1.循环矩阵的定义、性质及应用通过对循环矩阵的定义及其基本性质进行分析，深入掌握循环矩阵的特点，了解循环矩阵在信号处理、图像处理等领域的应用。
2.循环矩阵的谱分解及奇异值分解对循环矩阵的特殊结构，可以使用两种不同的分解方法——谱分解和奇异值分解，通过分析不同分解方法的优劣，探究其在循环矩阵应用中的作用。
3.循环矩阵的运算通过对循环矩阵加、减、乘、逆等运算的研究，深入探究循环矩阵在数学上的特殊性质，了解其在图像处理、通讯等领域的应用。
4.循环矩阵的逆针对循环矩阵的特殊结构，研究其逆的求解方法及其应用。
5.循环矩阵的压缩表示基于循环矩阵的结构特征，探究在不影响其特性的前提下，采用压缩表示来提高循环矩阵处理效率的可行性及实现方法。
三、研究方法与计划1.相关理论知识的学习与梳理。
2.选取合适的数学工具，进行数学分析和建模。
3.编写程序对相关算法进行实现。
4.测试并分析算法的性能，探讨实验结果。
5.根据实验结果改进算法，提高研究成果的可靠性和实用性。
时间安排：1.调研期：两周。
2.撰写开题报告与开题答辩：一周。
3.理论知识学习与梳理：两周。
4.算法设计与编程：四周。
5.性能测试与分析，结果分析与修正算法：三周。
6.撰写论文，参加中期汇报会和最后答辩会：五周。
四、预期成果1.研究出循环矩阵中的数学性质与隐含规律。
2.设计出优秀的算法，解决循环矩阵的若干问题，如谱分解、奇异值分解、逆的求解等。
循环矩阵性质及应用论文
循环矩阵性质及应用论文循环矩阵是一种特殊的矩阵，其最后一行等于第一行，最后一列等于第一列的矩阵。
循环矩阵的性质和应用已经在许多研究论文中得到了研究和应用。
首先，循环矩阵具有周期性的性质。
由于最后一行等于第一行，最后一列等于第一列，循环矩阵的元素具有周期性的变化规律。
这个性质可以用来处理数据周期性变化的问题，比如对于一段时间内的某种数据，可以将其表示为循环矩阵的形式，从而能够更好地分析和理解数据的周期性变化规律。
其次，循环矩阵具有线性性质。
循环矩阵乘以一个标量或者与另一个循环矩阵相加、相减，结果仍为循环矩阵。
这个性质可以简化矩阵运算的过程，减少计算量，提高计算效率。
循环矩阵的应用已经广泛地涉及到数学、信号处理、通信等领域。
以下是一些循环矩阵应用的论文：1. Bini D. et al. (2011). "Circulant preconditioners for Toeplitz systems". 这篇论文讨论了循环矩阵作为预处理器在Toeplitz系统求解中的应用，通过循环矩阵的性质和特点，提出了一种高效的求解方法。
2. Tseng P. T., et al. (2016). "Circulant structure-preserving algorithms for data recovery problems". 这篇论文研究了循环矩阵在数据恢复问题中的应用，通过利用循环矩阵的性质，提出了一种结构保持的算法，能够更好地恢复数据中的缺失信息。
3. Chan R. H., et al. (2009). "Circulant preconditioners for linear systems with oscillatory or decaying coefficients". 这篇论文探讨了循环矩阵在线性系统求解中的应用，注意到循环矩阵具有周期性的变化规律，作者提出了一种预处理器方法，能够有效地处理具有振荡或者衰减系数的线性系统。
循环矩阵的性质及其应用
循环矩阵的性质及其应⽤\S 1循环矩阵的定义及多项式表⽰设\mathbb{K}为数域. 任取\mathbb{K}中n个数a_1,a_2,\cdots,a_n,下列矩阵称为\mathbb{K}上的n阶循环矩阵:A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \\ \end{pmatrix}.\quad(1)取a_2=1, a_1=a_3=\cdots=a_n=0, 则可得到如下基础循环矩阵:J=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix}.\quad(2)由复旦⾼代⽩⽪书的例 2.1 可知, J^k=\begin{pmatrix} 0 & I_{n-k} \\ I_k & 0 \\ \end{pmatrix}\,(1\leq k\leq n), 从⽽A=a_1I_n+a_2J+a_3J^2+\cdots+a_nJ^{n-1}.\quad(3)令g(x)=a_1+a_2x+a_3x^2+\cdots+a_nx^{n-1}, 则g(x)是\mathbb{K}上次数不超过n-1的多项式, 使得A=g(J), 这就是循环矩阵关于基础循环矩阵的多项式表⽰.记C_n(\mathbb{K})为\mathbb{K}上所有n阶循环矩阵构成的集合, 容易验证: 在矩阵的加法和数乘下, C_n(\mathbb{K})是⼀个n维线性空间, 它的⼀组基为\{I_n,J,\cdots,J^{n-1}\}. 再任取循环矩阵B=h(J), 其中h(x)是\mathbb{K}上次数不超过n-1的多项式, 则利⽤多项式乘法和J^n=I_n可知AB=g(J)h(J)仍然是⼀个循环矩阵 (参考⾼代⽩⽪书的例 2.12). 因此, C_n(\mathbb{K})是\mathbb{K}上的n维交换代数, 同构于\mathbb{K}[x]/(x^n-1).\S 2循环矩阵的性质下⾯将依次研究循环矩阵的特征值、特征向量和可对⾓化等性质, 由此可得循环矩阵的⾏列式、秩和⾮异性等信息. 这些内容包含在⾼代⽩⽪书的例 2.52, 例 6.9, 例 6.32 和例 6.39 的推论中.容易计算出基础循环矩阵J的特征多项式|\lambda I_n-J|=\lambda^n-1, 从⽽J在复数域中有n个不同的特征值, 即n次单位根\omega_k=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\,(0\leq k\leq n-1), 因此J在复数域上可对⾓化. 经计算可知, 特征值\omega_k的特征向量是\alpha_k=(1,\omega_k,\omega_k^2,\cdots,\omega_k^{n-1})'. 将这些特征向量按列分块拼成⼀个矩阵: P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\cdots & 1 \\ 1 & \omega_1 & \omega_2 & \cdots & \omega_{n-1} \\ 1 & \omega_1^2 & \omega_2^2 & \cdots & \omega_{n-1}^2 \\ \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & \omega_1^{n-1} & \omega_2^{n-1} & \cdots & \omega_{n-1}^{n-1} \\ \end{pmatrix},\quad(4)则由Vandermonde ⾏列式或特征值特征向量的性质可知, P是⾮异阵, 并且满⾜P^{-1}JP=\mathrm{diag}\{1,\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_{n-1}\},\quad(5)从⽽P^{-1}AP=P^{-1}g(J)P=g(P^{-1}JP)=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}.\quad(6)由 (6) 式可知循环矩阵A=g(J)具有如下基本性质:(P1) A的特征值为g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1}), 对应的特征向量是\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{n-1};(P2) |A|=g(1)g(\omega_1)g(\omega_2)\cdots g(\omega_{n-1});(P3) 循环矩阵A可对⾓化;(P4) r(A)=\sharp\{0\leq k\leq n-1\mid g(\omega_k)\neq 0\};(P5) A⾮异当且仅当g(\omega_k)\neq 0\,(0\leq k\leq n-1), 也即当且仅当(\lambda^n-1,g(\lambda))=1.定理 1 n阶复循环矩阵全体C_n(\mathbb{C})与n阶复对⾓矩阵全体D_n(\mathbb{C})之间存在⼀个⾃然的代数同构\xi.证明n阶复对⾓矩阵全体在矩阵的加法、数乘和乘法下成为复数域上的代数. 我们通过 (6) 式来定义映射\xi, 即\xi: C_n(\mathbb{C})\toD_n(\mathbb{C})定义为\xi(A)=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}. 容易验证\xi保持矩阵的加法、数乘和乘法, 从⽽是⼀个代数同态. 对任⼀\Lambda=\mathrm{diag}\{\lambda_0,\lambda_1,\cdots,\lambda_{n-1}\}, 利⽤ Lagrange 插值公式可知, 存在次数不超过n-1的复系数多项式h(\lambda), 使得h(\omega_k)=\lambda_k(0\leq k\leq n-1). 令B=h(J), 则\xi(B)=\Lambda, 即\xi是满射. ⼜\dim C_n(\mathbb{C})=\dim D_n(\mathbb{C})=n, 从⽽\xi是⼀个线性同构, 从⽽是代数同构. \Box推论 2 n阶复矩阵B可对⾓化的充要条件是B相似于某个循环矩阵.证明由定理 1 中的代数同构\xi是通过相似变换实现的即得结论. \Box推论 3 设A\in C_n(\mathbb{K}), 则A^*也是循环矩阵.证法 1 由 (6) 式可知P^*A^*(P^*)^{-1}=(P^{-1}AP)^*=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}^*仍为对⾓阵. 注意到P^*=|P|P^{-1}, 故上述等式可化为P^{-1}A^*P=(P^{-1}AP)^*=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}^*.因此由定理 1 可知, A^*=\xi^{-1}\bigg(\xi(A)^*\bigg)也是循环矩阵.证法 2 由⾼代⽩⽪书的例 6.62 可知, 存在多项式h(\lambda)\in\mathbb{K}[\lambda], 使得A^*=h(A). 设A=g(J), 则A^*=h(A)=h(g(J))仍为J的多项式, 从⽽是循环矩阵.证法 3 设A=(a_{ij})的代数余⼦式为A_{ij}\,(1\leq i,j\leq n), 要证A^*是循环矩阵, 根据定义只要证明: 对任意的1\leq i,j\leq n,A_{ij}=A_{i+1,j+1}成⽴即可, 其中若i+1>n或j+1>n, 则需要把i+1或j+1换成i+1-n或j+1-n. 证明A_{ij}=A_{i+1,j+1}只需要简单的⾏列式计算即可. ⽐如先把A_{ij}的最后⼀列经过n-2次相邻对换换⾄第⼀列, 再把得到⾏列式的最后⼀⾏经过n-2次相邻对换换⾄第⼀⾏, 最后就能得到A_{i+1,j+1}. 我们把验证的细节留给读者完成. \Box推论 4 若A\in C_n(\mathbb{K})是⾮异阵, 则A^{-1}也是循环矩阵.证法 1 由定理 1 可知, A^{-1}=\xi^{-1}\bigg(\xi(A)^{-1}\bigg)也是循环矩阵.证法 2 由 Cayley-Hamilton 定理可知, 存在多项式h(\lambda)\in\mathbb{K}[\lambda], 使得A^{-1}=h(A) (参考⾼代⽩⽪书的例 6.61). 设A=g(J), 则A^{-1}=h(A)=h(g(J))仍为J的多项式, 从⽽是循环矩阵.证法 3 设A=g(J), 则由A⾮异可知(\lambda^n-1,g(\lambda))=1. 由互素多项式的性质可知, 存在u(\lambda),v(\lambda)\in\mathbb{K}[\lambda], 使得(\lambda^n-1)u(\lambda)+g(\lambda)v(\lambda)=1. 令\lambda=J, 代⼊上式可得g(J)v(J)=I_n, 从⽽A^{-1}=v(J)也是循环矩阵.证法 4 由A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*以及推论 3 即得结论. \Box推论 5 \mathbb{K}上的n阶⾮异循环矩阵全体GC_n(\mathbb{K})在矩阵乘法下成为⼀个 Abel 群.推论 6 设A为n阶复循环矩阵, f(z)是收敛半径等于+\infty的复幂级数, 则f(A)也是循环矩阵.证法 1 注意到f(P^{-1}AP)=P^{-1}f(A)P, 从⽽f(A)=\xi^{-1}\bigg(f(\xi(A))\bigg)也是循环矩阵.证法 2 由可知, 存在多项式h(z), 使得f(A)=h(A)也是循环矩阵.证法 3 设f(z)=\sum\limits_{i=0}^\infty a_iz^i, f_p(z)=\sum\limits_{i=0}^p a_iz^i为f(z)的部分和多项式. 设A=a_1I_n+a_2J+a_3J^2+\cdots+a_nJ^{n-1}, 则f_p(A)=b^{(p)}_1I_n+b^{(p)}_2J+b^{(p)}_3J^2+\cdots+b^{(p)}_nJ^{n-1}. 由于矩阵序列\lim\limits_{p\to\infty}f_p(A)收敛到f(A), 故每个数列\lim\limits_{p\to\infty}b^{(p)}_i都收敛. 若设\lim\limits_{p\to\infty}b^{(p)}_i=b_i\,(1\leq i\leq n), 则f(A)=\lim\limits_{p\to\infty}f_p(A)=b_1I_n+b_2J+b_3J^2+\cdots+b_nJ^{n-1}仍为循环矩阵. \Box\S 3循环矩阵的应⽤下⾯我们给出循环矩阵的⼀个应⽤.命题 7 设有\mathbb{K}中n^2\,(n\geq 2)个不同的数, 则存在⼀个全排列, 记为a_1,\cdots,a_{n^2}, 使得\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_{n+1} & a_{n+2} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n^2-n+1} & a_{n^2-n+2} & \cdots & a_{n^2} \\\end{vmatrix}\neq 0.证明对n进⾏归纳. n=2时, 先取到a_1,a_2, 使得a_1+a_2\neq 0, 从⽽\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_2 & a_1 \\ \end{vmatrix}=(a_1-a_2) (a_1+a_2)\neq 0, 于是B=\{(a_1,a_2),(a_2,a_1)\}是\mathbb{K}^2的⼀组基. 注意到(a_3,a_4)\neq 0, 故由基扩张定理, 必可从基B中选取⼀个基向量, 不妨设为(a_1,a_2), 使得\{(a_1,a_2),(a_3,a_4)\}成为\mathbb{K}^2的⼀组新基, 因此\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\\end{vmatrix}\neq 0. 设n-1时结论成⽴, 现证n的情形.证法 1 先取到a_1,a_2,\cdots,a_n, 使得a_1+a_2\omega_k+\cdots+a_n\omega_k^{n-1}\neq 0对0\leq k\leq n-1都成⽴. 这⼀定能做到, ⽐如先选定a_2,\cdots,a_n, 则不满⾜上述条件的a_1最多只有n个, 从⽽可取到满⾜上述条件的a_1. 由循环矩阵的性质可知, (1) 式中的循环矩阵A是⾮异阵, 特别地, A的n个⾏向量\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\}是\mathbb{K}^n的⼀组基. 由归纳假设, 可从剩下n^2-n个数中选出(n-1)^2个数的全排列, 使得\begin{vmatrix} a_{n+2} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n^2-n+2} & \cdots & a_{n^2} \\\end{vmatrix}\neq 0,后⾯随便选取a_{n+1},\cdots,a_{n^2-n+1}, 均可使n-1个⾏向量(a_{n+1},a_{n+2},\cdots,a_{2n}), \cdots, (a_{n^2-n+1},a_{n^2-n+2},\cdots,a_{n^2})线性⽆关 (参考复旦⾼代教材的习题 3.4.9). 因此由基扩张定理, 必可从基\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\}中选出⼀个基向量, 不妨设为\beta_1, 使得\{(a_1,a_2,\cdots,a_n), (a_{n+1},a_{n+2},\cdots,a_{2n}), \cdots, (a_{n^2-n+1},a_{n^2-n+2},\cdots,a_{n^2})\}构成\mathbb{K}^n的⼀组新基, 从⽽结论得证.证法 2 ⽤反证法, 设对n^2个数的所有全排列, 对应的⾏列式都等于零, 我们来推出⽭盾. 先取到a_1,a_2,\cdots,a_n, 使得a_1+a_2+\cdots+a_n\neq 0, 再由归纳假设, 不妨设取到的⾏列式中, a_1的代数余⼦式A_1\neq 0. 设其余元素a_i的代数余⼦式为A_i\,(2\leq i\leq n), 因此a_1A_1+a_2A_2+\cdots+a_nA_n=0. 在取到的⾏列式中, 对换第⼀⾏的a_1与a_i\,(2\leq i\leq n), 其余n^2-2个元素保持不变, 则有a_iA_1+\cdots+a_1A_i+\cdots+a_nA_n=0. 由此可得(a_1-a_i)(A_1-A_i)=0, 但a_1\neq a_i, 从⽽A_1=A_i\,(2\leq i\leq n). 最后,0=a_1A_1+a_2A_2+\cdots+a_nA_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)A_1\neq 0, ⽭盾. \Box注 1 命题 7 的证法 1 是构造性的, 利⽤这⼀证法可以给出满⾜条件的全排列的总个数的⼀个粗略估计. 命题 7 的证法 2 由复旦数学学院 16 级本科⽣朱民哲提供.注 2 本⽂的主要结论还可以推⼴到特征零的域或者特征p>0的域 (要求p\nmid n) 及其分裂域或代数闭包上. 另外, ⾼代⽩⽪书第⼆章的解答题 13 还给出了b-循环矩阵的推⼴. 有兴趣的读者可以⾃⾏学习和验证这些结论.参考⽂献[1] ⾼代教材: 姚慕⽣, 吴泉⽔, 谢启鸿编著, ⾼等代数学 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2014.[2] ⾼代⽩⽪书: 姚慕⽣, 谢启鸿编著, 学习⽅法指导书: ⾼等代数 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2015.Processing math: 0%。
dsst 循环矩阵
dsst 循环矩阵循环矩阵（Circulant Matrix）是一种特殊类型的方阵，其每一行都是通过对前一行进行向右或向左循环移位得到的。
循环矩阵在信号处理、数字滤波、图像处理和密码学等领域中具有广泛的应用。
在本文中，我将介绍循环矩阵的定义、性质以及一些常见的应用领域。
首先，循环矩阵的定义是指一个方阵，其每一行都是通过对前一行进行向右或向左循环移位得到的。
换句话说，循环矩阵的第一列是从最后一列循环移位得到的。
数学上，一个n阶的循环矩阵可以表示为：```C = [c₀ c₁ c₂ ... cₙ₋₁cₙ₋₁ c₀ c₁ ... cₙ₋₂cₙ₋₂ cₙ₋₁ c₀ ... cₙ₋₃...c₁ c₂ ... c₀]```其中c₀, c₁, ..., cₙ₋₁是矩阵的每一列的元素。
因此，循环矩阵只需要存储一个列向量，其它列都是通过循环移位得到的，这样可以大大减少储存空间。
接下来，我将介绍一些循环矩阵的性质。
首先，对于一个n阶的循环矩阵C，其特征向量可以写成以下形式：```vₙ = [wₙ wₙ₊₁ ... wₙ w₁ w₂ ... wₙ₋₁]ᵀ```其中wₙ是一个复数，称为循环矩阵的特征值。
这个性质非常有用，因为它可以用来快速计算循环矩阵的特征值和特征向量。
另一个重要的性质是循环矩阵的乘法可以通过离散傅立叶变换（DFT）来实现。
具体而言，如果C是一个循环矩阵，x是一个n维向量，那么循环矩阵乘以向量的运算可以表示为：```C × x = F⁻¹(f ∘ F(x))```其中F表示离散傅立叶变换，f表示一个逐点的函数，它将输入的向量F(x)中的每个元素都乘以循环矩阵C的特征值，最后再通过逆离散傅立叶变换F⁻¹得到最终结果。
最后，我将介绍一些循环矩阵的应用领域。
循环矩阵在信号处理中经常用来实现卷积运算。
由于循环矩阵的乘法可以通过离散傅立叶变换来实现，因此可以大大加速卷积运算的速度。
另外，循环矩阵在数字滤波中也经常被使用，因为滤波操作可以表示为循环矩阵与输入信号的乘法。
对称循环矩阵
对称循环矩阵对称循环矩阵是一种特殊的矩阵结构，具有一定的特点和应用。
本文将介绍对称循环矩阵的定义、性质以及其在数学和工程领域中的应用。
一、对称循环矩阵的定义对称循环矩阵是一种特殊的方阵，其主对角线上的元素相等，并且每一行都是前一行循环右移一位得到的。
换句话说，对称循环矩阵的每一行可以通过右移操作得到下一行，最后一行可以通过右移得到第一行。
例如，一个4阶的对称循环矩阵可以表示为：$$\begin{bmatrix}a &b &c &d \\d & a & b & c \\c &d & a & b \\b &c &d & a \\\end{bmatrix}$$其中，a、b、c、d为矩阵中的元素。
1. 对称性：对称循环矩阵关于其主对角线对称，即矩阵的第i行第j列元素等于第j行第i列元素。
2. 循环性：对称循环矩阵的每一行可以通过右移操作得到下一行，最后一行可以通过右移得到第一行。
3. 特征值：对称循环矩阵的特征值具有一定的规律，即特征值可以表示为主对角线元素以及第一行或最后一列元素的线性组合。
三、对称循环矩阵的应用1. 图像处理：对称循环矩阵在图像处理中有广泛的应用。
例如，对称循环矩阵可以用于图像的平滑处理、图像的边缘检测以及图像的压缩等。
2. 信号处理：对称循环矩阵在信号处理中也有重要的应用。
例如，对称循环矩阵可以用于信号的滤波、信号的谱分析以及信号的降噪等。
3. 优化问题：对称循环矩阵在优化问题中有一定的应用。
例如，对称循环矩阵可以用于解决线性规划问题、二次规划问题以及半正定规划问题等。
4. 循环编码：对称循环矩阵在通信领域的循环编码中有着重要的应用。
循环编码是一种纠错编码技术，对称循环矩阵可以用于构造循环码的生成矩阵，实现对传输数据的编码和解码。
总结：对称循环矩阵是一种特殊的矩阵结构，具有对称性和循环性的特点。
循环矩阵 傅里叶
循环矩阵傅里叶循环矩阵与傅里叶变换循环矩阵和傅里叶变换是现代数学的两个重要领域。
从表面上看，似乎它们没有任何关系，但是实际上它们之间有着深刻的联系。
本文将探讨循环矩阵和傅里叶变换之间的关系，并且讲解它们的定义、性质、应用等方面的内容。
一、循环矩阵的定义和性质1. 定义一个$n\times n$的循环矩阵$C=[c_{ij}]$，是这样一个矩阵：$$ C= \begin{bmatrix} c_{1,1} & c_{1,2} &\cdots & c_{1,n-1} & c_{1,n}\\ c_{2,1} & c_{2,2} & \cdots & c_{2,n-1} & c_{2,n}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots\\ c_{n-1,1} & c_{n-1,2} & \cdots & c_{n-1,n-1} & c_{n-1,n}\\ c_{n,1} &c_{n,2} & \cdots & c_{n,n-1} & c_{n,n}\end{bmatrix} $$其中，$c_{i,j}$表示矩阵的第$i$行，第$j$列的元素。
并且，$c_{i,j}=c_{i,j+n}$，以及$c_{i,j}=c_{i+n,j}$。
也就是说，循环矩阵是由一列数据重复构成的矩阵。
2. 性质（1）循环矩阵$C$的每一行都是由第一行循环移位得到的。
也就是说，对于循环矩阵$C$的任意一行$i(1\leq i\leq n)$，都有：$$ \begin{bmatrix}c_{i,1},c_{i,2},\cdots,c_{i,n} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} c_{1,1},c_{1,2},\cdots,c_{1,n}\end{bmatrix} \circledast \begin{bmatrix}0,0,\cdots,0,1 \end{bmatrix}^{i-1} $$其中，$\circledast$表示循环卷积运算，也就是说：$$ \begin{bmatrix}c_{1,1},c_{1,2},\cdots,c_{1,n} \end{bmatrix}\circledast \begin{bmatrix} 0,0,\cdots,0,1\end{bmatrix}^{i-1} = \begin{bmatrix}c_{i,1},c_{i,2},\cdots,c_{i,n} \end{bmatrix} $$（2）循环矩阵$C$的特征多项式为：$$ f(\lambda)=\lambda^n-\sum_{k=1}^{n-1}c_{1,k}\lambda^{n-k}-c_{1,n} $$证明：由于循环矩阵$C$是由一列数据重复构成的，因此，它的每一行都是由第一行循环移位得到的。
循环矩阵实际应用
循环矩阵实际应用
循环矩阵是一种特殊的矩阵，它的最后一行与第一行相邻，最后一列与第一列相邻，具有循环的特性。
循环矩阵的实际应用非常广泛，下面就来介绍一下几个常见的应用场景。
1.图像处理
在图像处理中，循环矩阵可以用于实现卷积运算，尤其是在处理边缘处的像素时非常有用。
循环矩阵可以将卷积核与图像进行卷积运算，对图像进行边缘增强、模糊、锐化等操作。
2.信号处理
在信号处理中，循环矩阵可以用于实现数字滤波器，尤其是在处理周期信号时非常有用。
循环矩阵可以将数字滤波器与信号进行卷积运算，对信号进行降噪、去除干扰等操作。
3.编码技术
在编码技术中，循环矩阵可以用于实现纠错码，尤其是在处理传输过程中出现的错误时非常有用。
循环矩阵可以将纠错码与数据进行矩阵乘法运算，对数据进行纠错、恢复等操作。
综上所述，循环矩阵的实际应用非常广泛，可以应用于图像处理、信号处理、编码技术等领域，具有重要的实际意义和价值。
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循环矩阵 傅里叶
循环矩阵傅里叶循环矩阵在信号处理和通信系统中起着重要作用。
傅里叶理论在信号和图像处理中也有广泛应用。
本文将阐述循环矩阵和傅里叶理论的基本概念，并讨论它们在信号处理和通信系统中的应用。
一、循环矩阵的定义$$\begin{bmatrix}c_1 & c_2 & \cdots & c_{n-1} & c_n \\c_n & c_1 & \cdots & c_{n-2} & c_{n-1} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\c_2 & c_3 & \cdots & c_n & c_1\end{bmatrix}$$$c_1, c_2, \cdots, c_n$ 是循环矩阵的第一行元素。
可以通过移位操作将第一行变换为任意行。
1. 循环矩阵是一种稠密矩阵，因为它的每一行都包含了 $n$ 个元素。
2. 循环矩阵是一个 Toeplitz 矩阵，因为它的每一条从左上到右下的对角线都具有相同的元素。
3. 循环矩阵的转置等于它自身的逆矩阵。
4. 循环矩阵可以通过傅里叶变换来计算其特征值和特征向量。
三、傅里叶变换的定义$$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-2\pi i\frac{kn}{N}}$$$k = 0, 1, \cdots, N-1$，$i$ 为虚数单位。
$X_k$ 表示频率为 $k$ 的正弦和余弦函数的振幅，$x_n$ 表示信号或函数在时间 $n$ 的值。
1. 循环卷积循环矩阵可以用来处理循环卷积（Circular Convolution）问题。
循环卷积是指两个循环信号间的卷积运算。
这种数学运算在数字信号处理、图像处理和通信系统中经常用到。
我们可以用循环矩阵来表示循环卷积的卷积核，然后通过矩阵乘法来求解卷积结果。
关于循环矩阵的计算
引言循环矩阵的概念是T Muir于1885年首先提出来的，直到1950至1955年，Good等才分别对循环矩阵的逆、行列式及其特征值进行了研究[1]．从此拉开了对循环矩阵各个方面的研究的历史．近年来，循环矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域中的一个非常活跃和重要的研究方向[2-4]．它之所以引起广大数学研究者如此大的兴趣，主要是基于下面两个方面的原因：一方面循环矩阵是一类非常重要的特殊矩阵，在现代科技工程领域中被广泛的应用，比如在分子震动，信号处理，纠错码理论，编码理论，图像处理，结构计算，电动力学等领域．另一方面由于循环矩阵类有许多特殊而良好的性质和结构，已被广泛地应用于应用数学和计算数学的许多领域，如控制理论，最优化，求解（偏）微分方程，矩阵分解多目标决策，二次型化简及平面几何学等．本文主要利用循环矩阵的性质对其逆的求法、对角化、行列式计算等问题进行研究．1、预备知识1.1 循环矩阵的概念定义1.1 形如0121101221031230n n n n n n a a a a a a a a A a a a a a a a a ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的矩阵称为循环矩阵．定义1.2 形如100001000011000D ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的矩阵称为基本循环矩阵．定义1.3 若12-1,,,n a a a 为复数域C 上的n 个数，n 阶矩阵()ij A a =满足：,,1,2,,,j i ij n j i a j i a i j n a j i-+-≥⎧==⎨<⎩即01221101322104312310n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a ----------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦称矩阵A 为复数域上的n 阶循环矩阵，简记为0121(,,,,)n A C a a a a -= ．当12-1,,,n a a a 为实数域R 上的n 个数时，称矩阵A 为实数域上的n 阶循环矩阵，简记为0121(,,,,)n A R a a a a -= ．1.2 循环矩阵的一些性质设基本循环矩阵为0100001000011000D ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦显然，21,,,,n n D D D D I -= （n 阶单位矩阵）都是循环矩阵且210121+n n A a I a D a D a D --=+++ ．设210121()+n n f x a a x a x a x --=+++ ，则()A f D =，此时00a a I =．性质1.1 两个循环矩阵,A B 的乘积仍为循环矩阵，且AB BA =． 证明 设210121+()n n A a I a D a D a D f D --=+++= 210121()n n B b I b D b D b D g D --=++++=因n k k D D +=（k 为非负整数，0D I =），因此，()()()()()AB f D g D g D f D h D BA =⋅=⋅==．这里()h x 是一个不高于1n -次的多项式，由此知AB 是n 阶循环矩阵，且AB BA =．性质1.2 可逆的循环矩阵的逆矩阵仍是循环矩阵． 证明 由性质1.1知，只要能找到循环矩阵10121()n n B b I b D b D b D g D --=++++=其中，0121,,n b b b b - 为待定常数．使得AB I =即可，其中A 为可逆的循环矩阵：即：210121n n A a I a D a D a D --=++++则：212101210121()()n n n n AB a I a D a D a D b I b D b D b D ----=++++⋅++++00112211100121()()+n n n n n a b a b a b a b I a b a b a b D -----=+++++++++110213201()n n n n n a b a b a b a b D -----++++ ．要使AB I =，必须且仅须下列方程组成立001122111001122110213201100n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ba b a b ---------++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ （1.1）以上方程组以0121,,n b b b b - 为未知数，以T A 为系数矩阵（T A 表示A 的置换矩阵）．由于A 可逆，故0T A A =≠．方程组（1.1）有且仅有唯一的解0121,,n b b b b - ，而B 就是A 的逆矩阵，且B 也是循环矩阵．性质1.3 任何一个循环矩阵A 在复数域上都与一个对角矩阵相似． 证明 由文献[5]知，n 阶循环矩阵D 的特征值为22cos sin k k k i n n ππλ=+ (0,1,2,1k n =- ) (21i =-)． 由于()k j k j λλ≠≠，由文献[6]知，D 相似于对角矩阵 011(,,)n diag λλλ-Λ= 即存在可逆矩阵P ，使得1P DP -=Λ．设210121+()n n A a I a D a D a D f D --=+++= ，是任意一个n 阶循环矩阵，则A 相似于对角矩阵011{(),(),()}n diag f f f λλλ- ．事实上，1D P P -=Λ1111011()()()n n A f D f P P a I a P P a P P -----==Λ=+Λ++Λ1011{(),()()}n P diag f f f P λλλ--=⋅⋅ ．2、循环矩阵的求逆循环矩阵的逆可以用初等变换法、伴随矩阵法、分块矩阵法等一般的方法来求解，但作为一类特殊的矩阵，如果用这些方法来求逆未免太麻烦．下面给出的方法比现有的方法简单，适用的范围更广．定理2.1[3] 设n 维向量(1,0,0,,0)T e = ,矩阵()B A e = ，对矩阵B 进行初等变换，使矩阵A 变成单位矩阵，如果e 变为12(,,,)T n M M M ，那么12311221111322341n n nn n n n n n nM MM M M MM M M M A M M M M M M MMM M -------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 证明 由于循环矩阵的逆为循环矩阵，因此可以设A 的逆为12311221111322341n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x -------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由于1AA E -=从而12,,,n x x x 是方程组11221111221111231221321111000n n n n n n nnn n n nn nn n n n a x a x ax a xa x a x ax a x a x a x a x a x a x a x ax a x-----------++++=⎧⎪++++=⎪⎪++++=⎨⎪⎪++++=⎪⎩（21） 的解．此方程的系数矩阵就是A ，增广矩阵为()B A e = ，根据方程组的理论只要将B 进行初等变换，使矩阵A 变成单位矩阵，如果e 变为12(,,,)T n M M M ，那么方程组（2.1）的解为1122,,,n n x M x M x M === ． 从而12311221111322341n n nn n n n n n nM M M M M M M M M M A M M M M M M M M M M -------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 例1 求矩阵1012210112100121A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆 解 因为1012210112100121⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12341000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 的解为[]123412113333TTx x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦． 从而111123333211133331211333311213333A -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦． 定理3.2[4] 设n 阶循环矩阵的分块矩阵为1234AA A A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中1A 为12n m ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦阶矩阵，则（1）A 可逆的充要条件是4A 和11243A A A A --为可逆矩阵． （2）如果4A 和11243A A A A --可逆且11243A A A A --的逆为111212122212m m m m mm x x x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 那么n 阶循环矩阵的逆为11121111211111113112131121114112131112111m k k m km m m kk k x x x x x x x x x xm xx A x x x xx x x xx x xx -------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． （2.2）证明 （1）由分块矩阵的理论知1240E A A E -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1234A A A A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1430EA A E -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11243400A A A A A -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦两边取行列式得1234A A A A A ==141243A A A A A -⋅-从而0A ≠的充要条件是40A ≠且112430A A A A --≠．（2）由于当4A 和11243A A A A --可逆，A 的逆为1111241111114344324R R A A A A A RA A A R A A ----------⎡⎤-=⎢⎥-+⎣⎦其中11243R A A A A -=-，又因为1A -为循环矩阵．所以1A -为（2.2）的形式．根据定理2.2的（2），求n 阶循环矩阵的逆可以进行分块，分块的原则是以12n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦阶顺序主子式为一块，共分成四块，这样就可以将n 阶循环矩阵的逆转化成一个12n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦阶循环矩阵的逆，从而给问题的解决带来很大的简便．例2 求1012331012231011231001231A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵．解 根据定理（2.2）的结论（2），将矩阵A 分块为1234AA A A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中，12101233101223101A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，,341231001231A A ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 那么11243A A A A --=81168911588⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，从而1-11243-1640-231=-9-16407719-9-16A A A A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦（） 于是1164023199916402319119916402377231991640402319916A ----⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦．3、循环矩阵的对角化问题 3.1 循环矩阵的对角化n 阶矩阵A 关于多项式函数()f x 生成的矩阵为()f A ，A 的特征根与的()f A 特征根有下面的结论：结论3.1 设()f x 是一个1n -次多项式函数，若λ是矩阵A 的特征根，则()f λ是矩阵()f A 的特征根．结论3.2 设()f x 是一个1n -次多项式函数，若矩阵A 相似于矩阵B ，则矩阵()f A 相似于矩阵()f B ．考察n 阶基本循环矩阵D ，D 的特征多项式为：211(),(1)n j njnj E D ei πλλληη-=-=-=-==-∏如果n 阶循环矩阵A 记为210121()n A n A f D a E a D a D a D --==++++ ，不难求得D 与特征值j η相应的特征向量，记：()(1)1j j n j X ηη-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 则2()()(1)11j j j j j j j n j DX X ηηηηηη-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由结论3.1得()()()()j j j j A A AX f D X f X η==可以验证11(1)()(1)000,1(,)1,1n n m kmkm k k k m X Xm ηηη----==≠⎧===⎨=⎩∑∑ 将这个两两正交的向量()j X 单位化，可得标准正交基(0)(1)(1)111,,n X X X n n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭令矩阵(0)(1)(1)1(,,,)n T X X X n-==11(1)(1)111111n n n n n ηηηη----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则'(0)(1)(1)1'1(,,)n T T X X X n--==． 于是有下面的结论：结论3.3[5] 任意n 阶循环矩阵()A A f D =在复数域C 上都可对角化，即101(1){(,(),,()}n A A A T AT diag f f f ηηη--= )．在一类n 阶可对角化的相似矩阵中，如果对角化的矩阵为：011(,,,)n B diag b b b -=由结论3.3，只要令()(0,1,2,,1)j A j f b j n η==- 即可得n 个关于011,,,n a a a - 的线性方程组．又由于矩阵T 及特征根η由n 阶矩阵K 确定，且0T ≠．所以，多项式函数()f x 中的系数011,,,n a a a - 是唯一确定的[6]．于是，循环矩阵()A A f D =是唯一确定的．因此，可得出在一类可对角化的相似矩阵中，一定含有且仅含有一个循环矩阵．否则，就不对角化.下面以四阶循环矩阵举例说明：例3[7]求四阶循环矩阵1234412334122341A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征根，并对角化. 解 令23()1234f X X X X =+++得()A A f D =，0100001000011000D ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由于2i nei πη==，所以，A 的特征根分别为：0123()10,()22,()2,()22A A A A f f i f f i ηηηη==--=-=-+其中，11111111111211i i T i i ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦，1111111111111i i T i i -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦可以验证1(10,22,2,22)T AT diag i i -=----+．3.2 一般矩阵对角化与循环矩阵的关系称多项式211012()n n f x a a x a x a x --=++++ 为循环矩阵A 的生成多项式． 定理 3.1[8] n 阶矩阵P 可以对角化的充要条件是P 相似于一个n 阶循环矩阵．证明 一方面，若n 阶矩阵P 与循环矩阵A 相似，由于A 可以对角化，所以P 也可以相似对角化．反过来，若n 阶矩阵P 可以对角化，总存在n 阶循环矩阵A 与之相似． 事实上，设112(,,,)n Q PQ diag λλλ-= ，若能得到A 的生成多项式则A 就被唯一确定了．为此令1(),0,1,,1k k f k n ελ+==- ．即21010*******01121112210112111n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a εεελεεελεεελ---------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ 其中，0=1ε．这个非齐次线性方程组的系数行列式是Vandermonde 行列式，从而不等于0，于是该方程组有唯一解011(,,,)n a a a - ，则()f x 被唯一确定．此时1121((1),(),(),,())n T AT diag f f f f εεε--= =12(,,,)n diag λλλ即11T AT Q PQ --=所以存在循环矩阵A 与矩阵P 相似．定理3.2[9] 设P 和Q 是两个n 阶复矩阵，则它们可以同时对角化（即1C AC -和1C BC -均为对角形）的充要条件是存在可逆矩阵C 及两个多项式()f x 和()g x 使得1()P C f B C -= ，1()Q C g B C -=其中，B 为基本循环矩阵．4、循环矩阵的行列式计算及应用引理4.1[10] 设A 是以12,,,n a a a 为元素的n 阶循环矩阵，则矩阵A 的行列式12()()()n A f w f w f w = ，其中123,,,w w w 是n 次单位根．证明 取0100001000011000n J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为012010000010000100nn n nn n J E J J J J E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，， 所以n J 的特征值为方程10n x -=的根[11]，设为12,,,n ωωω ． 记112()n n n n n A a E a J a J f J -=+++=令112()n n f x a a x a x -=+++则由引理4.1知，A 的特征值为12(),(),,()n f f f ωωω ． 故而12()()()n A f f f ωωω= ．推论4.1 设A 是以12,,,n a a a 为元素的n 阶循环矩阵，则A 可逆的充分与必要条件是112()n n f x a a x a x -=+++ 与()1nn f x x =-互素，即1((),)1n f x x -=．证明 由12()()()n A f f f ωωω= ，A 可逆的充要条件是0A ≠，即112()n n f x a a x a x -=+++ 与()1nn f x x =-没有公共根，从而1((),)1n f x x -=．推论4.2 若112()n n f x a a x a x -=+++ 与()1nn f x x =-互素，则211121()n n n f x a a x a x a x --=++++ ，212112()n n n n f x a a x a x a x ---=++++ ， ，211231()n n n n f x a a x a x a x ---=++++ 都与()1nn f x x =-互素．证明 因为分别以121(),(),,()n f x f x f x - 的系数为元素的循环矩阵和以()f x 的系数为元素的循环矩阵的行列式最多相差一个符号，由推论4.1 便可推出此推论．例4[12] 设[1,2,3,]A n = ，，求矩阵A 的行列式． 解 因为[1,2,3,]A n = ，所以1231211122341nn n A n n n -=--=12()()()n f f f ωωω ，其中，12,,,n ωωω 是()f x =1n x -的根，而21()123n f x x x nx -=++++ ，通过计算得11(1)(1)2n n n n A --+=-．参考文献：[1] 江兆林，周章鑫．循环矩阵[M]．成都：电子科技大学出版社，1999． [2] 程云鹏．矩阵论[M]．西安：西北工业大学出版社，2005． [3] 詹颖，于宝满．循环矩阵的逆[J]．数学通报，1989（05）：29-31． [4] 北京大学数学系．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，1999． [5] 赵继安．循环矩阵与矩阵对角化[J]．数学通报，1994，（4）：41-42．[6] 蔡剑芳，钱吉林，李桃生．高等代数综合题解[M]．武汉：湖北科学技术出版社，1986． [7] G W 斯图尔特．矩阵计算引论[M]．上海：上海科学技术出版社，1980． [8] 王萼芳．高等代数教程[M]．北京：清华大学出版社，1996． [9] 白述伟．高等代数选论[M]．哈尔滨：黑龙江教育出版社，2001．[10] 黄赐玺．循环矩阵的非异性[J]．山东师范大学学报，1991，6（2）：22-26． [11] 沈光星．关于某些循环矩阵的特征值[M]．应用数学，1991，4(3)：76-82．[12] 贾璐，姚光同．有关循环矩阵的行列式计算及其应用[J]．信阳师范学院学报（自然科学版）， 2005（2）：131-132．致谢在四年的大学学习和生活中，我得到了来自学院老师、亲人、同学对我多方面的关怀及帮助，使我得以顺利地走过了我人生道路上重要的一段旅程．我深深的感谢他们，并将以此激励我在今后的学习、工作和生活中不断进取！本文的完成离不开黄保军老师和刘凯老师的热情指导，他们在本文的内容研究和文章撰写过程中都给予我细心指导，并提出了宝贵意见．他们渊博的学识，严谨的治学态度和一丝不苟的教学精神，使我受益匪浅．同时，感谢所有给予我帮助的老师和同学，正是在他们的帮助下，我的论文才得以顺利完成．。
H_循环矩阵的一些性质
[收稿日期]2009-05-29 [基金项目]山东省教育厅学术研究课题(J 06P04);许昌学院青年基金项目(2009095)。
[作者简介]岳晓鹏(1981-),男,2004年大学毕业,硕士,讲师,现主要从事矩阵理论及应用方面的研究工作。
H 循环矩阵的一些性质 岳晓鹏 (许昌学院数学科学学院,河南许昌461000) 赵立宽 (青岛科技大学数理学院,山东青岛266061)[摘要]根据循环矩阵和H 2矩阵的定义,给出了H 2循环矩阵的定义,并根据其特殊结构,借助于置换矩阵等工具,得到了H 2循环矩阵的一些性质和判定定理。
[关键词]循环矩阵;H 2矩阵[中图分类号]O151121[文献标识码]A [文章编号]1673-1409(2009)03-N115-021 预备知识定义1[1] 设A ∈C n ×n ,如果A 的比较矩阵m (A )是非奇异的M 2矩阵,则称A 为非奇异H 2矩阵,简称H 2矩阵。
定义2[2] 设a i ∈R (或C),i =1,2,…,n ,称形如: A =a 1a 2a 3…a n-1a n a n a 1a 2…a n-2a n-1a n-1a n a 1…a n-3a n-2………………a 2a 3a 4…a n a 1的矩阵为n 阶循环矩阵,通常情况下记为A =Circ (a 1,a 2,…,a n )。
定义3[3] 对应于定义2,记矩阵:π=010 0001…0.........ω...000 (1)100 0为n 阶基本循环矩阵,记为π=Circ (0,1,…,0)。
定义4[4,5] 如果循环矩阵A =Circ (a 1,a 2,…,a n )是非奇异Z 2矩阵,并且A -1≥0,则称A 为非奇异M 2循环矩阵。
定义5 如果循环矩阵A =Circ (a 1,a 2,…,a n )的比较矩阵m (A )是非奇异的M 2矩阵,则称A 为非奇异H 2循环矩阵。