伴随矩阵的性质知识讲解

伴随矩阵的性质编号2009011118毕业论文（设计）（ 2013 届本科）论文题目：伴随矩阵的性质学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：09级本科1班作者姓名：魏瑞继指导教师：俱鹏岳职称：副教授完成日期：2013年 4 月20日目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (4)摘要 (5)关键词 (5)0引言 (5)1主要结论 (6)1.1伴随矩阵的基本性质 (6)1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (9)1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (10)1.4两伴随矩阵间的关系性质 (11)2应用举例 (12)例1 (12)例2 (12)结束语 (13)参考文献 (13)致谢 (14)陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

作者签名：二〇一二年十二月二十日伴随矩阵的性质魏瑞继（陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000）摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵0引言伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广.定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ⨯=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即ij A = (1)i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n).定义2[2] 方阵()ij n n A a ⨯=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M O M M 称为矩阵A 的伴随矩阵.1主要结论1.1伴随矩阵的基本性质性质1 若A 是n 阶方阵(2)n ≥,那么()r A *= (A)1(A)10(A)1n r n r n r n ⇔=⎧⎪⇔=-⎨⎪⇔<-⎩.证明 （1）⇒）设()r A n *=,设()r A n <,则0A =，AA A E *=0= 由()r A n *=知A *为可逆矩阵，从而推得0A =，即A 为零矩阵. 于是A *也为零矩阵，与()r A n *=矛盾，所以()r A n =;(2) ⇒）如果()1r A *=,则A *中至少有一个元素ij A ≠0，即A 中至少有一个1n - 阶子式不为0，故()1r A n ≥-. 而r(A *) =1<n ，所以()1r A n =-;(3) ⇒）如果()0r A *=,即A *为零矩阵，而A *中元素均为A 中的1n -阶代数余子式，从而A 中的所有1n -阶子式全为0，所以()1r A n <-;性质2[4] 若矩阵A 为非奇异阵，k 为常数（k ≠0），则1()n kA k A *-*=. 证明 由A *=1A A -及111()kA A k--=可得 111()()n kA kA kA k A A k*--==⋅=111n n k A A k A ---*=.性质3 （1）无论A 是奇异阵还是非奇异阵，等式1n A A -*= (2n ≥)成立[5];（2）设A 为n 阶方阵，则2()n A AA -**=[6].证明 （1）当A 是奇异阵时，0A =，因为A *=1A A -0=为零阵. 所以 10A A A *-==，从而等式1n A A-*= (2n ≥)成立.当A 是非奇异阵时，0A *≠，由AA A E *=得nA A A E A *==. 所以 1n A A-*=（2n ≥）.（2）当A ≠0时，()A **=111()()n A A AA --*-*==121()n n AA A AA ---=.当A =0时，知()1r A n ≤-，若()1r A n =-，则()11r A n *=<-. 由性质1知r (()A **)=0,从而()A **=0=2n A A -若()1r A n <-，则r(A *)=0，即A *=0 故()A **=0=2n AA -.性质4 设A ，B 为n 阶方阵，则()AB B A ***=. 证明 （1）当0A ≠，B ≠0时，由A *=1A A -可得()AB *=11111()AB AB A B B A B B A A B A -----**===. （2）当0A =，B =0时，令()A x xE A =+，()B x xE B =+只要x 充分大，()A x ，()B x 都可逆，所以(()())(())(())A x B x B x A x ***=上式两端矩阵中的元素都是关于x 的多项式，由于两端对应元素相等，所以对应元素是相等的多项式，即上式对任意的x 都成立. 特别的取x =0，即得()AB B A ***=. 推论 设12,,,s A A A L 均为n 阶方阵，则 1221()s s A A A A A A ****=L L .性质5 设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则有220(1)A B 0A 0(1)A 0n n B B ***⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 证明 因为-1-10A 0B 0A0B ⎡⎤⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-1-1AA 00B B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=00nn E E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2n E 所以0A 0B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦可逆，且-10A 0B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-1-10B A 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 又有220A 0=(1)=(1)A 0Ann B B B--由-1A =A A *可得0A 0B *⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-10A 0A 00B B ⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=2-1-10B (1)A A 0n B ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=22-1-10(1)A B (1)A A 0n n B B ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=220(1)A B (1)A 0n n B **⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ .推论 设A ，B ，C 均为n 阶可逆矩阵，则有22200(1)A C 0A 000(1)A C B 000(1)C A 00n n n B B C B ****⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 性质6[4] 若A 为n 阶方阵，则()()T T A A **=.证明 (1)当A 为非奇异矩阵时，有A ≠0，T A =A ≠0，10n A A -*=≠即T A ，A *也为非奇异阵.由A *=1A A -可得11()()()T T T A A A A A *--== 又 11(A )=A (A )=A (A )T T T T *--因为11A (A )=A A =T T TT E E --=（）所以1(A )T -=1A T -（） 即(A )T *=A T*（）.(2)当A 为奇异阵时，设A = 111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M O M L，则T A 的第i 行第j 列元素为ija ，()T A *的第i 行第j 列元素为ij A ，A *的第i 行第j 列元素为ji A ，()T A *的第i 行第j 列元素为 ij A (i ,j=1,2,……,n )， 所以()T A *= ()T A *.性质7 (1)设A 是n 阶非奇异阵，则111()()A A A A-**-==; (2)设A 是n 阶非奇异阵，则111()()T T T A A A A*--*⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦. 证明 (1)由A *= 1A A -得 1111111()()()A A A A A A A*-----===又11111()()A A A A A-*---==所以11()()A A -**-= =1A A. (2)由性质6得11()()TT A A *--*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦ 由(1)得11()()TTA A -**-⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦.又因为11()()T T T T A A A A E E --===, 所以11()()T T A A --=11()()TT A A -*-*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦即1-1()()T TA A *-*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦又11111111()()()()T T T T T A A A A A A A*-------⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 所以111()()T T T A A A A*--*⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦. 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质性质8 若A 是可逆矩阵，λ是其特征值，α是A 的属于特征值λ的特征向量，则 A *的特征值为Aλ，α是A *的属于特征值Aλ的特征向量.证明 因为A 是可逆矩阵，所以λ≠0，在A αλα=两边左乘A *得 A A A αλα**= 即 A A A αλα**=.又AA A E *=， 所以 A E A αλα*= 即1AA A E αλααλ*-==.所以Aλ为A *的特征值，α是A *的属于特征值Aλ的特征向量.性质9 设A 是不可逆矩阵，若λ是A 的非零特征值，α是A 的属于λ的特征向量， 则α是A *的属于特征值0的特征向量.证明 由条件可知A αλα=(λ≠0)，两边左乘A *得 A A A αλα**= 即A E A αλα*=.由于A =0，λ≠0，所以0A αα*=⋅ 即α是A *的属于特征值0的特征向量.推论 设A 是不可逆矩阵，若λ是A *的非零特征值，α是A *的属于λ的特征向量， 则α是A 的属于特征值0的特征向量. 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质性质10[7] (1)若A 是n 阶对称矩阵，那么A *也是n 阶对称矩阵；(2)若A 是n 阶反对称矩阵，那么当n 是偶数时，A *也是n 阶反对称矩阵；当n 是奇数时，A *是n 阶对称矩阵.证明 (1)因为A 是n 阶对称矩阵，所以T A =A . 又()()T T A A A ***==，所以A *是n 阶对称矩阵. (2)因为A 是n 阶反对称矩阵，所以T A =A -. 又1()()()(1)T T n A A A A ***-*==-=-当n 是偶数时，有1(1)n A A -**-=-，所以A *也是n 阶反对称矩阵； 当n 是奇数时，有1(1)n A A -**-=，即()T A A **=，所以A *是n 阶对称矩阵. 性质11[8] 若A 是n 阶正定矩阵，则A *也是n 阶正定矩阵 . 证明 若A 正定，则A 为对称矩阵，由性质10知A *也为对称矩阵. 其次可得A 的所有特征值λ均大于0，由性质8知A *的所有特征值也大于0，即A *为正定矩阵. 性质12[9] 若A 是正交矩阵，则A *也是正交矩阵 . 证明 设A 是正交矩阵，则有T T A A AA E == 又A *()T A *= 1()()T T A A A A E E E E ****-==== 所以A *也是正交矩阵.性质13 若A 是上(下)三角矩阵，则A *也是上(下)三角矩阵.证明 设A =()ij a 是上三角矩阵，则当i>j 时，有ij a =0.当i<j 时，ij a 的余子式ij M 为n-1阶的三角行列式，且主对角线上的元素至少有一个为零，所以ij M =0(i<j)，即有ij A =0(i<j).故A *也为上三角矩阵.同理可证，若A 是下三角矩阵，则A *也为下三角矩阵.推论 当A 是对角矩阵时，A *也是对角矩阵.1.4两伴随矩阵间的关系性质性质14 若方阵A 等价于B ，则A *等价于B * .证明 因为A 等价于B ，则存在可逆矩阵P ，Q 使得PAQ B =两边取伴随矩阵得()PAQ B **=即有Q A P B ****=.因为P ,Q 可逆，所以P *，Q *也可逆，因此A *等价于B *.性质15[10] 若A 与B 相似，则A *与B *也相似.证明 当A 可逆时，因为A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP -=B . 两边取行列式得A B =，所以B 也可逆，即111P A P B ---=. 上式两边分别乘以,A B 得111P A A P B B ---=.即1P A P B -**=，所以A *与B *相似.性质16 若A 与B 合同，且A 与B 可逆，则A *与B *也合同.证明 因为A 与B 合同，所以存在可逆矩阵P ，使得T P AP B =. 又A 与B 可逆，上式两边取逆，得 1111()T P A P B ----=即1111()T P A P B ----=.令1()T P -=C ，则1T P C -=，所以11T C A C B --=.又由1111()T P A P B ----=得 2P A B ⋅= 所以211T P A C A C B B --⋅= 即()()T P C A P C B **⋅=.令Q=P C ，则T Q A Q B **=所以A *与B *合同. 2应用举例例1 设A 、B 、C 均为3阶可逆矩阵，且A =3，B =2，C =5A *=110012009-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B *=400110211⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，C *=500050001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求000000A B C *⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解 由性质5的推论可得00000A B C*⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=99900(1)3(2)0(1)350(1)(2)500C B A ***⎡⎤-⋅⋅-⎢⎥-⋅⋅⎢⎥⎢⎥-⋅-⋅⎣⎦=00601501000C B A ***⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0000003000000000030000000000600060000000001515000000030151500010100000000010200000000090000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 例2 设A =100130225012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，A *是A 的伴随矩阵，求1()T A -*⎡⎤⎣⎦.解 因A =10013022512=14-≠0，所以A 可逆由性质7可得 11()T T A A A -*⎡⎤==⎣⎦10040014010242061035022⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ .结束语这篇论文在伴随矩阵的基本性质的基础上，较为详细地归纳并讨论了伴随矩阵的性质，尤其是将矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系做成了充要条件，并给出了相应的证明，而关于伴随矩阵秩的其它性质还很多，限于篇幅，在此就不一一赘述.但我的学识有限，所做工作仍有许多不足之处.参考文献[1]李明.伴随矩阵秩的研究[J].陕西理工学院学报，2008.6.7-8.[2]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.6. 第五版.[3]张禾瑞.高等代数同步辅导及习题全解[M].徐州：中国矿业大学出版社，2008.4.[4]陈艳凌，许杰.矩阵A 的伴随矩阵A *的性质[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报，2007年第2期， 2007.2.151-153.[5]肖翔，许伯生.伴随矩阵的性质[J].上海工程技术大学教育研究，2007.3.52-53.[6]郑群珍，封平华.伴随矩阵的性质及应用研究[J].河南教育学院学报（自然科学版），第20卷第3期，2011.9.13-14.[7]王航平.伴随矩阵的若干性质[J].中国计量学院学报，2004.3.246-247.[8]朱焕，关丽杰，范慧玲.有关伴随矩阵的性质[J].高师理科学刊，第28卷第3期，2008.5.22-23.[9]任化民.伴随矩阵的性质[J].工科数学，第14 卷第1期，1998.2.155-157.[10]孙红伟.伴随矩阵性质的探讨[J].高等函授学报（自然科学版），第20卷第3期，2006.6.37-38.The properties of adjoint matrixWEI Ruiji（School of Mathematics and Statistics,Longdong University Gansu Qingyang 745000）Abstract: Adjoint matrix is an important basic concepts in matrix theory, we studied the several classes of adjoint matrix of the matrix,obtain some valuable conclusions and give some applied examples.Key words:Adjoint matrix; Partitioned matrix; Orthogonal matrix; Similar matrix致谢我的论文是在我的指导老师俱鹏岳副教授悉心指导下完成的，在论文的选题、资料查询及定稿过程中，给予我无私的帮助和悉心的指导，他的教诲将使我终身受益.。