2015年四川省成都市新都区中考数学三诊试卷(解析版)

2015年四川省成都市新都区中考数学三诊试卷一、选择题（每小题3分，满分30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将所选答案的字母涂在答题卡上）1．（3分）数轴上到原点距离为2的点表示的数是（）A．±2 B．2 C．4 D．±42．（3分）下列几何体中，侧面展开图可能是正方形的是（）A．正方体B．圆柱C．圆锥D．球体3．（3分）建军路地下商业街是市政府为满足市区人防和商业需要而规划建设的重点城建项目，项目总投资12亿元，其中数据12亿用科学记数法表示为（）A．1.2×108B．12×108 C．1.2×109D．1.2×10104．（3分）下列计算正确的是（）A．=±3 B．a0=1 C．3﹣2=1 D．2÷3×=5．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）个（1）等腰三角形；（2）正方形；（3）矩形；（3）菱形；（5）圆．A．2 B．3 C．4 D．56．（3分）函数y=（x﹣1）0中，自变量x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≠1 C．x＜1 D．x≥17．（3分）在一次环保知识竞赛中，某班46名学生的成绩如下表所示：则这些学生成绩的众数和中位数分别为（）A．90，90 B．90，85 C．90，80 D．14，48．（3分）二次函数y=x2﹣4x+1的顶点坐标为（）A．（2，5） B．（﹣2，5）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）9．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．18°B．24°C．30°D．36°10．（3分）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C=110°，则∠BOD的度数为（）A．140°B．70°C．80°D．60°二、填空题（每小题4分，满分16分）11．（4分）分解因式：2x2y﹣8y=．12．（4分）△ABC中，∠C=90°，cos∠A=0.3，AB=10，则AC=．13．（4分）若双曲线y=﹣经过点P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系为．14．（4分）已知关于x的方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是．三、解答题（本大题共6小题，满分54分）15．（12分）（1）计算：（﹣）﹣2﹣3tan30°﹣|﹣2|﹣（2）解不等式≤，并写出它的正整数解．16．（7分）如图所示，为了测量河对岸楼房AB的高度，某中学实践活动小组的同学先在C点测得楼顶A的仰角为30°，沿CB方向前进20（﹣1）m到达河边的D处，在D处测得楼房顶端A的仰角为45°，你能根据以上数据求出楼房的高度吗？若能，请计算楼房的高度；若不能，请说明理由．17．（7分）先化简÷（2+），x再从0，1，﹣1中选一个合适的数求代数式的值．18．（8分）在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C（不与A、B重合，且A、B、C三点不在同一条直线上），（1）求恰好能使得△ABC的面积为1的概率；（2）求能使△ABC为等腰三角形的概率．19．（10分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．20．（10分）如图所示，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B 运动，连接DP交AC于点Q，（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有DQ=BQ；（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰好为等腰三角形．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）21．（4分）若x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+1=0，则x+y=．22．（4分）已知，且﹣1＜x﹣y＜1，则k的取值范围是．23．（4分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点D，AC⊥l于C，AC交⊙O于点E，DF⊥AB于F．若AE=3，CD=2，则⊙O的直径为．24．（4分）若抛物线y=x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣1与x轴的交点为A、B，顶点为C，则△ABC的面积最小值为．25．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若（m为大于l的常数）．记△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则=．（用含m的代数式表示）五、解答题（本大题共3小题，满分30分）26．（8分）工艺品厂计划生产某种工艺品，每日最高产量是40个，且每日生产的产品全部售出，已知生产x个工艺品成本为P（元），售价为每个R（元），且P与x，R与x的关系式分别为P=500+30x，R=170﹣2x．（1）当日产量为多少时，每日获得利润为1150元？（2）要想获得最大利润，每天必须生产多少个工艺品？27．（10分）已知四边形ABCD是边长为2的正方形，在以AB为直径的正方形内作半圆O，P为半圆上的动点（不与A、B重合）连接PA、PB、PC、PD，（1）若DP与半圆O相切时，求PA的长．（2）如图，以BC边为x轴，以AB边为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3，试求2S1S3﹣S22的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）在（2）的条件下，E为边AD上一点，且AE=3DE，连接BE交半圆O于F．连接FP并延长至点Q，使得PQ=PB，求OQ的长．28．（12分）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AB 解析式为y=kx+4，且与二次函数交于点B，C．（1）求二次函数的解析式；（2）若=，求k；（3）是否存在实数k，使∠BOC=90°？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．2015年四川省成都市新都区中考数学三诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，满分30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将所选答案的字母涂在答题卡上）1．（3分）数轴上到原点距离为2的点表示的数是（）A．±2 B．2 C．4 D．±4【分析】先设出这个数为x，再根据数轴上各点到原点的距离进行解答即可．【解答】解：设这个数是x，则|x|=2，解得x=±2．故选：A．2．（3分）下列几何体中，侧面展开图可能是正方形的是（）A．正方体B．圆柱C．圆锥D．球体【分析】根据特殊几何体的展开图，可得答案．【解答】解：A、正方体的侧面展开图是矩形，故A错误；B、圆柱的侧面展开图可能是正方形，故B正确；C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C错误；D、球没有侧面，故D错误．故选：B．3．（3分）建军路地下商业街是市政府为满足市区人防和商业需要而规划建设的重点城建项目，项目总投资12亿元，其中数据12亿用科学记数法表示为（）A．1.2×108B．12×108 C．1.2×109D．1.2×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将12亿用科学记数法表示为：1.2×109．故选：C．4．（3分）下列计算正确的是（）A．=±3 B．a0=1 C．3﹣2=1 D．2÷3×=【分析】本题涉及算术平方根、零指数幂、二次根式化简、有理数的乘除混合运算四个考点．针对每个考点分别进行计算即可求解．【解答】解：A、=3，故选项错误；B、a0=1（a≠0），故选项错误；C、3﹣2=，故选项错误；D、2÷3×=，故选项正确．故选：D．5．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）个（1）等腰三角形；（2）正方形；（3）矩形；（3）菱形；（5）圆．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：（1）等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；（2）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形；（3）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形；（3）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；（5）圆既是轴对称图形又是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形的共有4个，故选：C．6．（3分）函数y=（x﹣1）0中，自变量x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≠1 C．x＜1 D．x≥1【分析】根据零指数幂的底数不能为零，可得答案．【解答】解：由y=（x﹣1）0中，得x﹣1≠0．解得x≠1，自变量x的取值范围是x≠1，故选：B．7．（3分）在一次环保知识竞赛中，某班46名学生的成绩如下表所示：则这些学生成绩的众数和中位数分别为（）A．90，90 B．90，85 C．90，80 D．14，4【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．【解答】解：90分的有14人，人数最多，故众数为90分；处于中间位置的数为第23、24两个数，为80分，90分，中位数为=85分．故选：B．8．（3分）二次函数y=x2﹣4x+1的顶点坐标为（）A．（2，5） B．（﹣2，5）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）【分析】将二次函数解析式变为顶点式，即可找到顶点坐标．【解答】解：二次函数y=x2﹣4x+1=（x﹣2）2﹣3，∴二次函数y=x2﹣4x+1的顶点坐标为（2，﹣3）．故选：C．9．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．18°B．24°C．30°D．36°【分析】根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣72°=18°．故选：A．10．（3分）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C=110°，则∠BOD的度数为（）A．140°B．70°C．80°D．60°【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠A的度数，根据圆周角定理得到答案．【解答】解：由圆内接四边形的性质可知，∠A+∠C=180°，∴∠A=180°﹣∠C=70°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=140°，故选：A．二、填空题（每小题4分，满分16分）11．（4分）分解因式：2x2y﹣8y=2y（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式2y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2x2y﹣8y，=2y（x2﹣4），=2y（x+2）（x﹣2）．故答案为：2y（x+2）（x﹣2）．12．（4分）△ABC中，∠C=90°，cos∠A=0.3，AB=10，则AC=3．【分析】作出图形，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，列式计算即可得解．【解答】解：如图，∵∠C=90°，AB=10，∴cosA==，∴AC=3．故答案为：3．13．（4分）若双曲线y=﹣经过点P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系为y1＜y2．【分析】根据反比例函数的性质，当k＜0，在每一象限内y随x的增大而增大，再根据条件x1＜x2＜0，可得y1＜y2．【解答】解：∵k﹣6＜0，∴该函数图象经过第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0，∴y1＜y2．故答案为：y1＜y2．14．（4分）已知关于x的方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是﹣1．【分析】根据方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根得到△＞0且k≠0，即△=4﹣4k＞0且k≠0，求出k的取值范围即可求出k的最大整数值．【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，∴△＞0且k≠0，即△=4﹣4k＞0且k≠0，∴k＜1且k≠0，∴k的最大整数值为：﹣1，故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共6小题，满分54分）15．（12分）（1）计算：（﹣）﹣2﹣3tan30°﹣|﹣2|﹣（2）解不等式≤，并写出它的正整数解．【分析】（1）本题涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．【解答】解：（1）（﹣）﹣2﹣3tan30°﹣|﹣2|﹣=4﹣3×﹣2+﹣3=4﹣﹣2+﹣3=﹣1；（2）≤，3（x﹣2）≤2（7﹣x），3x﹣6≤14﹣2x，3x+2x≤14+6，5x≤20，x≤4，它的正整数解为1，2，3，4．16．（7分）如图所示，为了测量河对岸楼房AB的高度，某中学实践活动小组的同学先在C点测得楼顶A的仰角为30°，沿CB方向前进20（﹣1）m到达河边的D处，在D处测得楼房顶端A的仰角为45°，你能根据以上数据求出楼房的高度吗？若能，请计算楼房的高度；若不能，请说明理由．【分析】设楼房的高度AB为xm，根据等腰直角三角形的性质和正切的概念分别表示出BD、BC，列式计算即可．【解答】解：设楼房的高度AB为xm，∵∠ADB=45°，∴BD=AB=xm，∵∠C=30°，∴tan∠C=，即BC=x，由题意得，x﹣x=20（﹣1），解得，x=20，答：楼房的高度是20m．17．（7分）先化简÷（2+），x再从0，1，﹣1中选一个合适的数求代数式的值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷=•=，当x=1时，原式==1．18．（8分）在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C（不与A、B重合，且A、B、C三点不在同一条直线上），（1）求恰好能使得△ABC的面积为1的概率；（2）求能使△ABC为等腰三角形的概率．【分析】（1）由任意放置点C（不与A、B重合，且A、B、C三点不在同一条直线上），共有13种等可能的结果，其中恰好能使得△ABC的面积为1的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）由能使△ABC为等腰三角形的有5个，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵任意放置点C（不与A、B重合，且A、B、C三点不在同一条直线上），共有13种等可能的结果，如图1，其中恰好能使得△ABC的面积为1的有4种情况，∴恰好能使得△ABC的面积为1的概率为：；（2）∵如图2，能使△ABC为等腰三角形的有6个，∴能使△ABC为等腰三角形的概率为：．19．（10分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．【分析】（1）首先根据点B的坐标和点D为BC的中点表示出点D的坐标，代入反比例函数的解析式求得k值，然后将点E的横坐标代入求得E点的纵坐标即可；（2）根据△FBC∽△DEB，利用相似三角形对应边的比相等确定点F的坐标后即可求得直线FB的解析式．【解答】解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），∴BC=2，∵点D为BC的中点，∴CD=1，∴点D的坐标为（1，3），代入双曲线y=（x＞0）得k=1×3=3；∵BA∥y轴，∴点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，∵点E在双曲线上，∴y=∴点E的坐标为（2，）；（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），∴BD=1，BE=，BC=2∵△FBC∽△DEB，∴即：∴FC=∴点F的坐标为（0，）设直线FB的解析式y=kx+b（k≠0）则解得：k=，b=∴直线FB的解析式y=20．（10分）如图所示，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B 运动，连接DP交AC于点Q，（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有DQ=BQ；（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰好为等腰三角形．【分析】1）根据正方形性质得出AB=AD，∠BAD=90°，∠DAC=∠BAC=45°，利用“边角边”证明△ADQ≌△ABQ即可得出结论；（2）过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE=QF=AE=AF，若△ADQ的面积是正方形ABCD面积的，则有S=AD•QE=S正方形ABCD，求得OE的值，再利△ADQ用△DEQ∽△DAP有=解得AP值；（3）点P运动时，△ADQ恰为等腰三角形的情况有三种：QD=QA或DA=DQ或AQ=AD．①当点P运动到与点B重合时，QD=QA，此时△ADQ是等腰三角形；②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA=DQ，△ADQ是等腰三角形；③当AD=AQ=4时，有CP=CQ，CP=AC﹣AD而由正方形的对角线的性质得到CP 的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∠DAC=∠BAC=45°，在△ADQ和△ABQ中，，∴△ADQ≌△ABQ（SAS），∴DQ=BQ；（2）解：△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的时，过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，如图1所示：则四边形AFQE为正方形，∴QE=QF=AE=AF，∵在边长为4的正方形ABCD中，=16，∴S正方形ABCD∴AD×QE=S=×16=，正方形ABCD∴QE=，∵EQ∥AP，∴△DEQ∽△DAP，∴=，即，解得AP=2，∴AP=2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；（3）解：如图2所示：若△ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，①当AD=DQ时，则∠DQA=∠DAQ=45°∴∠ADQ=90°，P为C点，②当AQ=DQ时，则∠DAQ=∠ADQ=45°，∴∠AQD=90°，P为B，③AD=AQ（P在BC上），∴CQ=AC﹣AQ=BC﹣BC=（﹣1）BC∵AD∥BC，∴△ADQ∽△CQP，∴=，即可得==1，∴CP=CQ=（﹣1）BC=4（﹣1）综上所述：P在B点，C点，或在CP=4（﹣1）处，△ADQ是等腰三角形．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）21．（4分）若x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+1=0，则x+y=﹣2．【分析】根据完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出x+y的值．【解答】解：∵5x2+4y2﹣8xy+2x+1=0，∴4x2+4y2﹣8xy+x2+2x+1=0，∴（2x﹣2y）2+（x+1）2=0，∴x=y=﹣1，∴x+y=﹣2，故答案为：﹣2．22．（4分）已知，且﹣1＜x﹣y＜1，则k的取值范围是0＜k＜1．【分析】方程组中两方程相减表示出x﹣y，代入已知不等式求出k的范围即可．【解答】解：，②﹣①得：x﹣y=1﹣2k，代入已知不等式得：﹣1＜1﹣2k＜1，解得：0＜k＜1，故答案为：0＜k＜123．（4分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点D，AC⊥l于C，AC交⊙O于点E，DF⊥AB于F．若AE=3，CD=2，则⊙O的直径为5．【分析】利用切线的性质，易得OD∥AC，继而证明AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质定理可证得：CD=DF，AF=AC，进而证得△BDF≌△EDC，则BF=CE；根据AC=AF，BF=CE即可求解．【解答】解：连接DE，BD．∵DC是圆的切线．∴∠EDC=∠DAC，OD⊥直线l，∵AC⊥直线l．∴OD∥AC，∴∠ADO=∠DAC，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠DAC，∴DF=CD=2，∠ADF=∠ADC，∴AF=AC，∵∠DCE=∠ACD，∴△CDE∽△CAD，∴CD：CA=CE：CD，∴CD2=CE•CA，即4=CE（CE+3），解得：CE=1，∵DF⊥AB，AC⊥l于C，∴∠BFD=∠DCE=90°，在△BDF和△EDC中，，∴△BDF≌△EDC（AAS），∴FB=CE=1，∴AB=BF+AF=BF+AC=1+AE+CE=1+3+1=5．故答案为：5．24．（4分）若抛物线y=x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣1与x轴的交点为A、B，顶点为C，则△ABC的面积最小值为1．【分析】求出A、B间距离的表达式和抛物线顶点纵坐标公式，根据三角形面积公式表示出三角形面积，将表达式转化为完全平方的形式，即可求出△ABC的面积最小值．【解答】解：∵|x1﹣x2|===，抛物线顶点纵坐标为：，整理得，﹣，由于抛物线开口向上，故三角形的高为，S△ABC=•==，取得最小值，为1．当k=﹣1时，S△ABC故答案为1．25．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若（m为大于l的常数）．记△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则=．（用含m的代数式表示）【分析】根据E，F都在反比例函数的图象上得出假设出E，F的坐标，进而得出△CEF的面积S1以及△OEF的面积S2，进而比较即可得出答案．【解答】解：过点F作FD⊥BO于点D，EW⊥AO于点W，∵，∴=，∵ME•EW=FN•DF，∴=，∴=，设E点坐标为：（x，my），则F点坐标为：（mx，y），∴△CEF的面积为：S1=（mx﹣x）（my﹣y）=（m﹣1）2xy，∵△OEF的面积为：S2=S矩形CNOM﹣S1﹣S△MEO﹣S△FON，=MC•CN﹣（m﹣1）2xy﹣ME•MO﹣FN•NO，=mx•my﹣（m﹣1）2xy﹣x•my﹣y•mx，=m2xy﹣（m﹣1）2xy﹣mxy，=（m2﹣1）xy，=（m+1）（m﹣1）xy，∴==．故答案为：．五、解答题（本大题共3小题，满分30分）26．（8分）工艺品厂计划生产某种工艺品，每日最高产量是40个，且每日生产的产品全部售出，已知生产x个工艺品成本为P（元），售价为每个R（元），且P与x，R与x的关系式分别为P=500+30x，R=170﹣2x．（1）当日产量为多少时，每日获得利润为1150元？（2）要想获得最大利润，每天必须生产多少个工艺品？【分析】（1）通过理解题意，找出题目中所给的等量关系，再根据这一等量关系列出表示利润的函数解析式，并把1150代入求解；（2）根据二次函数最值的求法，求得最值．【解答】解：（1）根据题意可得（170﹣2x）x﹣（500+30x）=1150．解得x1=55（舍），x2=15．答：每日产量为15时，获得利润为1150元．（2）设每天所获利润为W．W=（170﹣2x）x﹣（500+30x）=﹣2x2+140x﹣500=﹣2（x2﹣70x）﹣500=﹣2（x2﹣70x+352﹣352）﹣500=﹣2（x﹣35）2+1950．当x=35时，W有最大值1950元．答：要想获得最大利润，每天必须生产35个工艺品．27．（10分）已知四边形ABCD是边长为2的正方形，在以AB为直径的正方形内作半圆O，P为半圆上的动点（不与A、B重合）连接PA、PB、PC、PD，（1）若DP与半圆O相切时，求PA的长．（2）如图，以BC边为x轴，以AB边为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3，试求2S1S3﹣S22的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）在（2）的条件下，E为边AD上一点，且AE=3DE，连接BE交半圆O于F．连接FP并延长至点Q，使得PQ=PB，求OQ的长．【分析】（1）根据已知可得OD垂直平分AP，得到△AMO∽△DAO，根据勾股定理从而得到AM，即可得到AP的值；（2）过点P分别作PE⊥AB，设P点坐标为（x，y），通过勾股定理得到x2=2y﹣y2，从而得到2S1S3﹣S22关于x的解析式，求得其最值即可得到P的坐标；（3）连接AF，作FK⊥AB交于点K，易得△BAE∽△BFA∽△AFE，根据相似三角形的性质得到BF，从而根据勾股定理以及△BFK∽△BEA，得到BE、FK及BK，即可得出F点坐标，接着得到直线PF解析式，设Q（a，﹣7a+8），利用PQ=PB=得到Q点坐标，即可得到OQ的长度．【解答】解：（1）如图1，连接OP、OD，AP与OD相交于点M，∵DP与半圆O相切，∴OA=OP，OP⊥DP，得OD垂直平分AP，∴△AMO∽△DAO，∴，∵AD=2，AO=1，DO===，∴AM===，∴AP=2AM=2×=；（2）作PE⊥AB于点E，设P（x，y），在Rt△EPO中，可得PE2+EO2=OP2，即x2+（y﹣1）2=12，∴x2=2y﹣y2，根据题意可得：S1=•AD•（2﹣y）=2﹣y，S3=•BC•y=y，S2=•AB•x=x，∴2S1S3﹣S22=2•（2﹣y）•y﹣x2=4y﹣2y2﹣x2=x2∵0＜x≤1∴当x=1时，2S1S3﹣S22有最大值，最大值为1，将x=1代入x2=2y﹣y2中，可得y=1，此时点P（1，1）（3）连接AF，得AF⊥BE，作FK⊥AB交于点K，∵AE=3DE，AD=2，∴AE=，AF=，根据题意，易得△BAE∽△BFA∽△AFE，即：，得BF===，在△ABE中，BE==，易得△BFK∽△BEA，即：=，得FK=•BF==，根据勾股定理可得，BK==∴F（，），∵P（1，1），可求得直线PF解析式：y=﹣7x+8，设Q（a，﹣7a+8），∵PQ=PB=，∴=，∴a1=，a2=，∵Q在FP的延长上，∴a＞1，∴a=，∴Q点坐标为（，﹣），∵O点坐标为（0，1），∴QO==．28．（12分）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AB 解析式为y=kx+4，且与二次函数交于点B，C．（1）求二次函数的解析式；（2）若=，求k；（3）是否存在实数k，使∠BOC=90°？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）先利用对称轴方程可求出b=4，然后利用抛物线经过原点得到c=0，从而可得抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；（2）设B（m，﹣m2+4m），C（n，﹣n2+4n），作BD⊥y轴于D，CE⊥y轴于E，根据三角形面积公式得到AB：BC=1：3，再证明△ABD∽△ACE，利用相似比得==，即=，则n=4m，根据抛物线与直线的交点问题，可把m、n看作方程﹣x2+4x=kx+4的两根，则m+n=﹣k+4，mn=4，于是可求出m、n，得到B（1，3），然后把B点坐标代入y=kx+4中可求出k的值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，设B（m，km+4），C（n，kn+4），由（1）得m+n=﹣k+4，mn=4，再根据两点间的距离公式得到OB2=m2+（km+4）2，OC2=n2+（kn+4）2，BC2=（m﹣n）2+（km﹣kn）2，根据利用勾股定理的逆定理，当OB2+OC2=BC2时，∠BOC=90°，即m2+（km+4）2+n2+（kn+4）2=（m﹣n）2+（km﹣kn）2，然后整理后把m+n=﹣k+4，mn=4代入可求出k的值．【解答】解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，∴﹣=2，解得b=4，∵抛物线经过原点，∴c=0，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；（2）设B（m，﹣m2+4m），C（n，﹣n2+4n），作BD⊥y轴于D，CE⊥y轴于E，∵=，∴AB：BC=1：3，∵BD∥CE，∴△ABD∽△ACE，∴==，即=，∴n=4m，∵m、n为方程﹣x2+4x=kx+4的两根，∴m+n=﹣k+4，mn=4，∴m•4m=4，解得m1=1，m2=﹣1（舍去），∴n=4，∴B（1，3），把B（1，3）代入y=kx+4得k+4=3，∴k=﹣1；（2）存在．设B（m，km+4），C（n，kn+4），∵m、n为方程﹣x2+4x=kx+4的两根，∴m+n=﹣k+4，mn=4，OB2=m2+（km+4）2，OC2=n2+（kn+4）2，BC2=（m﹣n）2+（km﹣kn）2，当OB2+OC2=BC2时，∠BOC=90°，即m2+（km+4）2+n2+（kn+4）2=（m﹣n）2+（km ﹣kn）2，整理得（1+k2）mn+4k（m+n）+16=0，∴4（1+k2）+4k（﹣k+4）+16=0，解得k=﹣．。