2020年陕西省高考数学押题卷理数试题(二)
2020年陕西高考理科数学试题及答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3,2,1,0,1,2{--=U ,},1,0,1{-=A },2,1{=B 则=)(B A C U （ ）A ．}3,2{-B ．}3,2,2{-C ．}3,0,1,2{--D ．}3,2,0,1,2{--2．若α为第四象限角,则A ．02cos >αB ．02cos <αC ．02sin >αD ．02sin <α3．在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压,为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天 积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名4．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板（称为天心石）,环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板（不含天心石）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块5．若过点)1,2(的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线032=--y x 的距离为A ．55B ．552C ．553D ．554 6．数列}{n a 中,21=a ,n m n m a a a =+,若515102122-=++++++k k k a a a ,则=kA ．2B ．3C ．4D ．57．右图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为M ,在俯视图中对应的点为N ,则该端点在侧视图中对应的点为A ．EB ．FC ．GD ．H8．设O 为坐标原点,直线a x =与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两条渐近线分别交于E D 、两点,ODE 的面积为8,则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．329设函数12ln 12ln )(--+=x x x f ,则)(x fA ．是偶函数,且在),21(+∞单调递增B ．是奇函数,且在)21,21(-单调递减C ．是偶函数,且在)21,(--∞单调递增D ．是奇函数,且在)21,(--∞单调递减10. 已知ABC △是面积为439的等边三角形,且其顶点都在球O 的表面上,若球O 的表面积为π16,则球O 到平面ABC 的距离为（ ） A ．3B ．23 C ．1 D ．23 11. 若y x y x ---<-3322,则（ ） A. 0)1ln(>+-x yB ．0)1ln(<+-x yC ．0ln >-y xD ．0ln <-y x12．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用,若序列⋯⋯n a a a 21满足),2,1)(1,0(⋯=∈i a i ,且存在正整数m ,使得),2,1(⋯==+i a a i m i 成立,则称其为0-1周期序列,并称满足),2,1(⋯==+i a a i m i 的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列⋯⋯n a a a 21,∑=+-⋯==mi k i i m kaa mk C 1)1,,2,1(1)(是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序列中,满足)4,3,2,1(51)(=≤k k C 的序列是A ．11010…B ．11011…C ．10001…D ．11001…二、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分．13．已知单位向量b a ,的夹角为45°,k b a -与a 垂直,则=k _______．14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有______种．15．设复数21,z z 满足i z z z z +=+==322121，,则=-21z z ______． 16．设有下列四个命题： 1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3P ：若空间两条直线不相交,则这两条直线平行． 4P ：若直线⊂l 平面α,直线⊥m 平面α,则l m ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是________． ①41p p ∧②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题,考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC △中,222sin sin sin sin sin A B C B C --=．（1）求A ；（2）若3BC =,求ABC △周长的最大值．18．（12分）某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加． 为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据()()20,,2,1,⋯=i y x i i ,其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量,并计算得∑==20160i ix,∑==2011200i iy,()∑==-201280i ix x,()∑==-20129000i iyy,()()080201∑==--i i iy y x x．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()()20,,2,1,⋯=i y x i i 的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大,为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由．附：相关系数()()()()∑∑∑===----=ni ini i ni ii y y x x yyx x r 12121,414.12≈．19．（12分）已知椭圆1C :()012222>>=+b a by a x 的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合,1C 的中心与的2C 的顶点重合． 过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ,B 两点,交2C 于C ,D 两点,且AB CD 34=．（1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点,若5=MF ,求1C 与2C 的标准方程．20．（12分）如图,已知三棱柱111C B A ABC -的底面是正三角形,侧面C C BB 11是矩形,M ,N 分别为BC ,11C B 的中点,P 为AM 上一点,过11C B 和P 的平面交AB 于E ,交AC 于F ．（1）证明：MN AA ∥1,且平面F C EB AMN A 111平面⊥；（2）设O 为△111C B A 的中心,若F C EB AO 11平面∥,且AB AO =,求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．21．（12分）已知函数()2sin sin 2f x x x =．（1）讨论()f x 在区间()0,π的单调性； （2）证明：()33f x ≤； （3）设*n ∈N ,证明：22223sin sin 2sin 4sin 24nnn x x x x ≤．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做,则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线1C ,2C 的参数方程分别为1C ：224cos 4sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,2C ：11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）． （1）将1C ,2C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设1C ,2C 的交点为P ,求圆心在极轴上,且经过极点和P 的圆的极坐标方程．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()221f x x a x a =-+-+． （1）当2a =时,求不等式()4f x ≥的解集； （2）若()4f x ≥,求a 的取值范围．。
2020年陕西省汉中市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年陕西省汉中市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={4,5，7，9}，B ={3,4，7，8，9}，全集U =A ∪B ，则集合∁U (A ∩B)中的元素共有( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 在复平面内，复数1+i(1−i)2对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 若a <b <0下列不等式中不成立的是的是( )A. |a|>|b|B. 1a−b >1aC. 1a >1bD. a 2>b 24. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204923449358200362348696938748108 07 02 015. 已知函数f(x)=cos2x +√3sin2x +1，则下列判断错误的是( )A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)的值域为[−1,3]C. f(x)的图象关于直线x =π6对称D. f(x)的图象关于点(−π4,0)对称6. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l ⊥β”是“α⊥β”的( ) A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件7. 设f(x)={x −2,(x ≥10)f[f(x +6)],(x <10)，则f(5)的值为( )A. 10B. 11C. 12D. 138. 在直角△ABC 中，∠C =π2，AB =4，AC =2，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −18 B. −6√3 C. 18 D. 6√39. 图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是( )A. 12B. 13C. 4π−1D. 2−4π10. 函数f(x)=2|x|⋅sin2x 的图象大致是( )A. B. C. D.11.直线l过抛物线y2=4x的焦点F且与抛物线交于A，B两点，若线段AF，BF的长分别为m，n，则4m+n的最小值是()A. 10B. 9C. 8D. 712.已知函数f(x)=x2−3x+5，g(x)=ax−lnx，若对∀x∈(0,e)，∃x1，x2∈(0,e)且x1≠x2，使得f(x)=g(x i)(i=1,2)，则实数a的取值范围是()A. (1e ,6e) B. [1e,e74) C. [6e,e74) D. (0,1e]∪[6e,e74)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(1+1x)(1+x)6展开式中x2的系数为______．14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2−b2=√3bc，sinC=2√3sinB，则A=______．15.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块．某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有______种．16.已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=PB=PC，AB=2，BC=√5，AC=3，E，F分别为AC，PB的中点，EF=32，则球O的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.设等差数列{a n}满足a3=−9，a10=5．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求{a n}的前n项和S n及使得S n最小的n的值．18.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE//AB．(Ⅰ)求证：CE⊥平面PAD；(Ⅱ)若PA=AB=1，AD=3，CD=√2，∠CDA=45°，求二面角P−CE−B的正弦值．19.眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图．(1)若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．是否做操不做操做操是否近视近视4432不近视618附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K2≥k0.100.050.0250.0100.005 k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87920.如图，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，点A，B，C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点，BC过中心O，且|BC|=2|AB|，S△ABC=3．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设P，Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点(异于A，C)，且满足∠PBC=∠QBA，试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值．21.已知函数f(x)=lnx+(a−12)x2−2ax，a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数x1，x2使得f(x1)+f(x2)=−3，证明：x1+x2>2．22. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 的参数方程为{x =1+√32t y =12t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)已知点M(1,0)，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求||MA|−|MB||．23. 已知函数f(x)=|2x −a|+a ．(1)当a =2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)=|2x −1|，当x ∈R 时，f(x)+g(x)≥3，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A∪B={3,4，5，7，8，9}，A∩B={4,7，9}∴∁U(A∩B)={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B)故选：A．根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．本题考查集合的基本运算，较简单．2.答案：B解析：解：1+i(1−i)2=1+i−2i=(1+i)i−2i⋅i=−12+12i对应的点(−12,12)位于第二象限．故选：B．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3.答案：B解析：解：∵a<b<0，∴a<a−b<0，∴1a−b <1a．因此B不正确．故选：B．由a<b<0，可得a<a−b<0，可得1a−b <1a.即可判断出．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．5.答案：D解析：解：f(x)=cos2x +√3sin2x +1=2sin(2x +π6)+1， 对于选项A ，由于f(x)的最小正周期为2π2=π，故正确；对于选项B ，由于sin (2x +π6)∈[−1,1]，可得f(x)=2sin(2x +π6)+1∈[−1,3]，故正确； 对于选项C ，由于f(π6)=2sin(2×π6+π6)+1=3为f(x)最大值，故正确； 对于选项D ，由于f(−π4)=2sin(−2×π4+π6)+1=1−√3≠0，故错误． 故选：D ．利用两角和的正弦公式对已知函数进行化简可得f(x)=2sin(2x +π6)+1，然后结合正弦函数的性质进行判断即可得解．本题主要考查了两角和的正弦公式在三角函数式化简中的应用及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题． 6.答案：B解析：解：由面面垂直的定义知，当l ⊥β”时，“α⊥β”成立， 当α⊥β时，l ⊥β不一定成立，即“l ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件， 故选：B ．根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面垂直的判定定理和性质是解决本题的关键． 7.答案：B解析：【分析】本题主要考查了分段函数、求函数的值．属于基础题．欲求f(5)的值，根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x ≥10内的函数值即可求出其值． 【解答】解：∵f(x)={x −2(x ≥10)f[f(x +6)](x <10)，∴f(5)=f[f(11)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=11． 故选：B ． 8.答案：C解析：解：在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AB =4，AC =2， cos ∠CAB =ACAB =12，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=32×16−52×4×2×12+4=18． 故选：C ．在直角三角形ABC 中，求得cos ∠CAB 的值，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值． 本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题 9.答案：C解析：【分析】本题考查了几何概型的概率计算问题，属于基础题．设圆的半径为1，利用几何概型的概率公式计算所求的概率即可． 【解答】解：设圆的半径为1，将图形平均分成四个部分，如下图，则每个图形空白处的面积为2×(14×π−12×1×1)=2×(π4−12)=π2−1， 阴影部分的面积为π×12−4×(π2−1)=4−π， 利用几何概型的概率公式，计算所求的概率为．故选：C ． 10.答案：D解析：解：根据题意，f(x)=2|x|⋅sin2x ，其定义域为R ，有f(−x)=−(2|x|⋅sin2x)=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，排除A 、B ，区间(π2,π)上，sin2x <0，有f(x)<0，排除C ； 故选：D ．根据题意，由排除法分析：先分析函数的奇偶性排除A 、B ，进而分析可得区间(π2,π)上，f(x)<0，排除C ，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与特殊值的分析，属于基础题． 11.答案：B解析：解：抛物线y 2=4x 的焦点F(1,0)，准线方程为x =−1， 如图所示，过B 点作BD ⊥AD ，作AM ⊥MN ，BN ⊥MN ， 由抛物线的定义可得AM =AF =m ，BN =BF =n ， AD =m −n ，EF =2−n ， ∴2−n m−n=n m+n，化简得：1n +1m =1， ∴4m +n =(4m +n)⋅1=(4m +n)⋅(1n +1m)=4m n+n m+5≥2√4m n⋅n m+5=9，当且仅当n =2m 时等号成立． 所以4m +n 的最小值为9． 故选：B ．先画出抛物线，作出辅助线，利用三角形相似得出关于m 、n 的式子，化简得到1n +1m =1，则4m +n =(4m +n)⋅1=(4m +n)⋅(1n +1m )，从而利用基本不等式求出最小值．本题考查了抛物线的性质，基本不等式的性质及运算，找出m 与n 的关系是关键，属于中档题．12.答案：C解析：【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，难度较大． 对∀x ∈(0,e)，f(x)的值域为[114,5)，g ′(x)=ax−1x，推导出a >0，g(x)min =g(1a )=1+lna ，作出函数g(x)在(0,e)上的大致图象，数形结合由求出实数a 的取值范围． 【解答】解：∵函数f(x)=x 2−3x +5，g(x)=ax −lnx ，x ∈(0,e)， ∴f(x)min =f(32)=94−92+5=114；x →0,f(x)→5∴对∀x ∈(0,e)，f(x)的值域为[114,5)， g ′(x)=a −1x =ax−1x，当a ≤0时，g ′(x)<0，与题意不符， ∴a >0，令g ′(x)=0，得x =1a ，则1a ∈(0,e)， ∴g(x)min =g(1a )=1+lna ，作出函数g(x)在(0,e)上的大致图象，如图，观察图形得到：{1+lna<114g(e)=ae−1≥5，解得6e≤a<e74．∴实数a的取值范围是[6e,e74).故选：C．13.答案：30解析：【分析】本题考查了二项式定理的运用，属于基础题．关键是明确展开式得到x2的两种情况．分析展开式中x2的项的两种可能的来由，结合二项式定理求系数．【解答】解：当(1+1x2)选择1时，(1+x)6展开式选择x2的项为C62x2；当(1+1x2)选择1x2时，(1+x)6展开式选择为C 64x4，所以(1+1x)(1+x)6展开式系数为C62+C64=30；故答案为30．14.答案：30°解析：【分析】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．已知sinC=2√3sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cos A的值，即可确定出A的度数．【解答】解：将sinC=2√3sinB利用正弦定理化简得：c=2√3b，代入得a2−b2=√3bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc =2224√3b2=√32，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为30°15.答案：432解析：【分析】本题主要考查排列组合的知识，考查了合情推理的能力，本题属中档题．本题要将相邻的情况和“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的情况分别思考，用排列组合的知识分别计算，最后相加即得结果． 【解答】解：由题意，可知“阅读文章”与“视听学习”相邻的方法数为A 22A 55=240种；“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的方法数为C 41A 22A 44=192种； 共有240+192=432种方法． 故答案为：432．16.答案：4√3π解析：解：如图所示：由已知可得∠ABC =90°，因PA =PB =PC ， 所以点P 在△ABC 内的投影为△ABC 的外心E ， 所以PE ⊥平面ABC ，PE ⊥BE ， 所以PB =2EF =3，所以PE =√PB 2−BE 2=√32−(32)2=3√32，又球心O 在PE 上，设PO =r ，则(3√32−r)2+(32)2=r 2，所以r =√3，所以球O 体积，V =43πr 3=4√3π，故答案为：4√3π．由已知可得∠ABC =90°，因PA =PB =PC ，所以点P 在△ABC 内的投影为△ABC 的外心E ，所以PE ⊥平面ABC ，PE ⊥BE ，所以PB =2EF =3，所以PE =√PB 2−BE 2=√32−(32)2=3√32，再利用勾股定理求出r =√3，从而求出球O 体积． 本题主要考查了三棱锥的外接球，是中档题．17.答案：解：(1)d =a 10−a 310−3=2，a 1=−13，a n =−13+(n −1)×2=2n −15； (2)S n =n(−13+2n−15)2=n 2−14n ，由于是二次函数， n =7，S n 最小．解析：(1)求出首项，公差，再求a n ，(2)先求S n ，再根据二次函数性质计算最小值． 本题考查等差数列性质，属于基础题．18.答案：(1)证明：∵AB ⊥AD ，CE//AB ，∴CE ⊥AD ∵PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CE ，又∵PA ∩AD =A ，∴CE ⊥平面PAD(2)解：由(1)可知，∠PEA 为二面角P −CE −B 的平面角， ∵CE =AB =1，CD =√2，且⊥AD ，得ED =1． 又AD =3，∴AE =2， 又PA =1，∴PE =√5， 则sin ∠PEA =PA PE=√5=√55． ∴二面角P −CE −B 的正弦值为√55．解析：(1)由平行线的性质，结合题设AB ⊥AD 且CE//AB ，证出CE ⊥AD ，利用线面垂直的定义证出PA ⊥CE ，再根据线面垂直判定定理可得CE ⊥平面PAD ；(2)由(1)可得，∠PEA 为二面角P −CE −B 的平面角，再由已知求解三角形得答案．本题考查线面垂直的判定，考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 19.答案：解：(1)由直方图可知，第一组有100×0.15×0.2=3(人)， 第二组有100×0.35×0.2=7(人)， 第三组有100×1.35×0.2=27(人)；因为后三组的频数成等差数列，共有100−(3+7+27)=63(人)， 所以后三组频数依次为24，21，18； 所以视力在5.0以上的频率为0.18，估计全年级视力在5.0以上的人数约为800×0.18=144(人)； (2)由列联表中数据，计算K 2=100×(44×18−32×6)250×50×76×24=15019≈7.895>7.879，所以能在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系； (3)在(2)中调查的100名学生中，不近视的学生有24人，从中抽取8人，抽样比例为824=13，这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人， 所以坚持做眼保健操的学生人数X 可能取值为0，1，2； 计算P(X =0)=C 60⋅C 22C 82=128，P(X =1)=C 61⋅C 21C 82=37， P(X =2)=C 62⋅C 20C 82=1528；所以X 的分布列为；数学期望为E(X)=0×128+1×37+2×1528=1.5．解析：(1)由直方图求出第一、二、三组的人数，再求后三组频数和频率，由此估计总体数据； (2)由列联表中数据计算K 2，对照临界值得出结论；(3)利用分层抽样法求出抽取的人数，得出随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求得数学期望值．本题考查了频率分布直方图与独立性检验应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)∵|BC|=2|AB|, ∴S △OAB =12S △ABC =32…2 分又△OAB 是等腰三角形，所以B(1, 32)…3 分 把B 点带入椭圆方程x 24+y 2b 2=1，求得b 2=3.…4 分∴椭圆方程为x 24+y 23=1…5 分(Ⅱ)由题易得直线BP 、BQ 斜率均存在， 又∠PBC =∠QBA ，所以k BP =−k BQ …7 分 设直线BP ：y −32=k(x −1)代入椭圆方程x 24+y 23=1，化简得(3+4k 2)x 2−8k(k −32)x +4k 2−12k −3=0…9 分 其一解为1，另一解为x P =4k 2−12k−33+4k 2…10 分可求y p =−12k 2−6k 3+4k 2+32…11 分用−k 代入得x Q =4k 2+12k−33+4k 2,y Q =−12k 2+6k 3+4k 2+32…12 分∴k PQ =y P −yQ x P −x Q=12为定值．…13 分解析：(Ⅰ)先求出B 的坐标，代入椭圆方程，求出b ，即可求椭圆的标准方程； (Ⅱ)设直线BP ：y −32=k(x −1)代入椭圆方程x 24+y 23=1，求出P 的坐标，用−k 代入得x Q =4k 2+12k−33+4k 2,y Q =−12k 2+6k 3+4k 2+32，利用斜率公式，即可求证直线PQ 的斜率为定值．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率的计算，正确求出P ，Q 的坐标是关键．21.答案：解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，因为f(x)=lnx +(a −12)x 2−2ax ，所以f′(x)=1x+(2a −1)x −2a =(2a−1)x 2−2ax+1x=(x−1)[(2a−1)x−1]x，当a ≤12时，令{f′(x)>0x >0，得0<x <1，令{f′(x)<0x >0，得x >1，当12<a <1时，则12a−1>1，令{f′(x)>0x >0，得0<x <1，或x >12a−1，令{f′(x)<0x >0，得1<x <12a−1， 当a =1时，f′(x)≥0，当a >1时，则0<12a−1<1，令{f′(x)>0x >0，得0<x <12a−1，或x >1，令{f′(x)<0x >0，得12a−1<x <1， 综上，当a ≤12时，f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)上递减，当12<a <1时，f(x)在(0,1)，(12a−1,+∞)单调递增，在(1,12a−1)上递减， 当a =1时，f(x)在(0,+∞)单调递增，当a >1时，f(x)在(0,12a−1)，(1,+∞)单调递增，在(12a−1,1)上递减， (2)证明：f(x)在定义域内是增函数，由(1)可知a =1， 此时f(x)=lnx +12x 2−2x ，设x 1<x 2，因为f(x 1)+f(x 2)=−3=2f(1)，则0<x 1<1<x 2， 设g(x)=f(2−x)+f(x)+3，x ∈(0,1)， 则g′(x)=−f′(2−x)+f′(x)=−(1−x)22−x+(x−1)2x=2(1−x)3x(2−x)>0，对任意x ∈(0,1)恒成立，所以g(x)在(0,1)是增函数，所以对任意x ∈(0,1)，有g(x)<g(1)=2f(1)+3=0， 即对任意x ∈(0,1)，有f(2−x)+f(x)+3<0， 因为0<x 1<1，所以f(2−x 1)+f(x 1)+3<0， 即有f(x 2)>f(2−x 1)，又f(x)在(0,+∞)单调递增， 所以x 2>2−x 1，即x 1+x 2>2．解析：(1)定义域为(0,+∞)，求导得f′(x)=(x−1)[(2a−1)x−1]x，分三种情况当a ≤12时，当12<a <1时，当a =1时，当a >1时，讨论函数f(x)的单调性．(2)由(1)可知a =1，此时f(x)=lnx +12x 2−2x ，设x 1<x 2，f(x 1)+f(x 2)=−3=2f(1)，则0<x 1<1<x 2，设g(x)=f(2−x)+f(x)+3，x ∈(0,1)，求导得g′(x)=2(1−x)3x(2−x)>0，对任意x ∈(0,1)恒成立，所以g(x)在(0,1)是增函数，所以对任意x ∈(0,1)，有g(x)<g(1)=2f(1)+3=0，即对任意x ∈(0,1)，有f(2−x)+f(x)+3<0，因为0<x 1<1，所以f(2−x 1)+f(x 1)+3<0，即有f(x 2)>f(2−x 1)，又f(x)在(0,+∞)单调递增，所以x 2>2−x 1，即可得出结论． 本题考查导数的综合应用，属于中档题．22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，转换为直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0． 直线l 的参数方程为{x =1+√32t y =12t(t 为参数).转换为直角坐标方程为yx−1=√33，整理得y =√33(x −1)．(2)把直线l 的参数方程为{x =1+√32ty =12t (t 为参数)代入圆的方程整理为t 2−√3t −3=0．所以t 1+t 2=√3，t 1t 2=−3．||MA|−|MB||=√(t1+t2)2−4t1t2=√15．解析：(1)直接把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)当a=2时，f(x)=|2x−2|+2，∵f(x)≤6，∴|2x−2|+2≤6，|2x−2|≤4，|x−1|≤2，∴−2≤x−1≤2，解得−1≤x≤3，∴不等式f(x)≤6的解集为{x|−1≤x≤3};(2)∵g(x)=|2x−1|，∴f(x)+g(x)=|2x−1|+|2x−a|+a≥3，2|x−12|+2|x−a2|+a≥3，|x−12|+|x−a2|≥3−a2，当a≥3时，成立，当a<3时，|x−12|+|x−a2|≥12|a−1|≥3−a2>0，当且仅当(x−12)(x−a2)≤0时等号成立，∴(a−1)2≥(3−a)2，解得2≤a<3，∴a的取值范围是[2,+∞)．解析：本题考查含绝对值不等式的解法及绝对值不等式的三角不等式，同时考查不等式恒成立问题，是简单题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．(1)当a=2时，由已知得|2x−2|+2≤6，由此能求出不等式f(x)≤6的解集．(2)由f(x)+g(x)=|2x−1|+|2x−a|+a≥3，得|x−12|+|x−a2|≥3−a2，由此能求出a的取值范围．。
2020-2021学年陕西省高考数学二模试卷(理科)及答案解析
陕西省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x＜1}2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（）A．2B．C．D．4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相邻的站法共有n种，则（﹣）n展开式的常数项为（）A．﹣B．C．﹣55 D．556．某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高二年级共有学生600名，若成绩不少于80分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为（）A．80 B．90 C．120 D．1507．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．328．算法程序框图如图所示，若，，，则输出的结果是（）A．B．aC．b D．c9．已知实数a，b，c成等比数列，函数y=（x﹣2）e x的极小值为b，则ac等于（）A．﹣1 B．﹣e C．e2D．210．给出下列五个结论：①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；③将函数y=sinx+cosx的图象向右平移后，所得到的图象关于y轴对称；④∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x是幂函数，且在（0，+∞）上递增；⑤函数f（x）=恰好有三个零点；其中正确的结论为（）A．①②④B．①②⑤C．④⑤D．②③⑤11．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）13．已知函数f（x）=，则f已知两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量，=（1，m），若⊥，那么实数m=______．15．已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为______．16．如图，正方形ABCD中，坐标原点O为AD的中点，正方形DEFG的边长为b，若D为抛物线y2=2ax（0＜a＜b）的焦点，且此抛物线经过C，F两点，则=______．三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．若向量=（sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx）其中ω＞0，记函数f（x）=﹣，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是．（Ⅰ）求f（x）的表达式及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a+b=3，c=，f（C）=1，求△ABC 的面积．18．某市对该市高三年级的教学质量进行了一次检测，某校共有720名学生参加了本次考试，考试结束后，统计了学生在数学考试中，选择选做题A，B，C三题（三道题中必须且只能选一题作答）的答卷份数如表：题号 A B C答卷份数160 240 320该校高三数学备课组为了解参加测试的学生对这三题的答题情况，现用分层抽样的方法从720份答卷中抽出9份进行分析．（Ⅰ）若从选出的9份答卷中抽出3份，求这3份中至少有1份选择A题作答的概率；（Ⅱ）若从选出的9份答卷中抽出3份，记其中选择C题作答的份数为X，求X的分布列及其数学期望E（X）．19．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD∥BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）设M是AB的中点，若DM与平面ABC所成角的正切值为，求平面ACD与平面ADE夹角的余弦值．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=，g（x）=﹣﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜﹣成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时写清题号，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若AD•OC=8，求圆O的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x＜1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合A、B，求出∁R B，再求A∩（∁R B）即可．【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=}={x|1﹣x≥0}={x|x≤1}，∴∁R B={x|x＞1}，∴A∩（∁R B）={x|1＜x＜3}．故选：A．2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】复数的基本概念．【分析】复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，可得sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，可得cosθ，即可得出．【解答】解：∵复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，∴cosθ=﹣．则tanθ==﹣．故选：B．3．一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（）A．2B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为的正方形，高为h．利用体积计算公式、勾股定理即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为的正方形，高为h．则×h=2，解得h=3．∴此四棱锥最长的侧棱长PC==．故选：C．4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得b=a，由双曲线的渐近线方程即可得到所求方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，可得e==，即有c=a，由c2=a2+b2，可得b=a，即有渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．5．甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相邻的站法共有n种，则（﹣）n展开式的常数项为（）A．﹣B．C．﹣55 D．55【考点】计数原理的应用；二项式定理的应用．【分析】先根据排列组合求出n的值，再根据通项公式求出k的值，问题得以解决．【解答】解：根据题意，先安排除甲乙之外的2人，有A22=2种不同的顺序，排好后，形成3个空位，在3个空位中，选2个安排甲乙，有A32=6种选法，则甲乙不相邻的排法有2×6=12种，即n=12；（﹣）n=（﹣）12的通项公式C12k（﹣）k x﹣k=（﹣）k C12k，当4﹣=0时，即k=3时，（﹣）3C123=﹣，故选：A．6．某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高二年级共有学生600名，若成绩不少于80分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为（）A．80 B．90 C．120 D．150【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图计算成绩不低于80分的频率，然后根据频数=频率×总数可得所求．【解答】解：根据频率分布直方图，得；成绩不少于80分的频率为（0.015+0.010）×10=0.025，所以估计成绩优秀的学生人数为600×0.25=150．故选：D．7．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．32【考点】二次函数的性质．【分析】先根据数列的函数特征以及二次函数的最值，化简整理得到{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，再根据前n项公式求出即可．【解答】解∵点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，∴2a n=2a n﹣1+1，∴a n﹣a n﹣1=，∵二次函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴a1=2，∴{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，∴a n=2+（n﹣1）=n+当n=1时，a1=n+=2成立，∴a n=n+∴S9=9a1+=9×2+=36故选：C8．算法程序框图如图所示，若，，，则输出的结果是（）A．B．aC．b D．c【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，比较a、b、c三数的大小，可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，∵a3=＞3=b3＞0，∴a＞b；又c=（）ln3=e=e=＞=a．∴输出的结果为c．故选：D．9．已知实数a，b，c成等比数列，函数y=（x﹣2）e x的极小值为b，则ac等于（）A．﹣1 B．﹣e C．e2D．2【考点】利用导数研究函数的极值；等比数列的通项公式．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值，从而求出b的值，结合等比数列的性质求出ac的值即可．【解答】解：∵实数a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∵函数y=（x﹣2）e x，∴y′=（x﹣1）e x，令y′＞0，解得：x＞1，令y′＜0，解得：x＜1，∴函数y=（x﹣2）e x在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，∴y极小值=y|x=1=﹣e，∴b=﹣e，b2=e2，则ac=e2，故选：C．10．给出下列五个结论：①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；③将函数y=sinx+cosx的图象向右平移后，所得到的图象关于y轴对称；④∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x是幂函数，且在（0，+∞）上递增；⑤函数f（x）=恰好有三个零点；其中正确的结论为（）A．①②④B．①②⑤C．④⑤D．②③⑤【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据回归直线的性质进行判断．②根据含有量词的命题的否定进行判断．③根据三角函数的图象和性质进行判断．④根据幂函数的性质进行判断．⑤根据函数的零点的定义进行判断．【解答】解：①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；故①正确，②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；故②正确，③函数y=sinx+cosx=2cos（x﹣），将函数的图象向右平移后，得到y=2cos（x﹣﹣）=2cos（x﹣），此时所得到的图象关于y轴不对称；故③错误，④由m﹣1=1得m=2，此时f（x）=x0是幂函数，在（0，+∞）上函数不递增；故④错误，⑤若x≤0则由（x）=0得x+1=0，得x=﹣1，若x＞0，则由（x）=0得2x|log2x|﹣1=0，即|log2x|=（）x，作出y=|log2x|和y=（）x的图象，由图象知此时有两个交点，综上函数f（x）=恰好有三个零点；故⑤正确，故选：B11．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出图中阴影部分的面积，并将其与长方形面积一块代入几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：由已知易得：S长方形=4×2=8，S阴影=∫04（）dx===，故质点落在图中阴影区域的概率P==，故选A．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣2e x=e x[f（x）+f′（x）﹣2]，∵f（x）+f′（x）＞2，∴f（x）+f′（x）﹣2＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞2e x+4，∴g（x）＞4，又∵g（1）=ef（1）﹣2e=4，∴g（x）＞g（1），∴x＞1，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）13．已知函数f（x）=，则f=，∴f=f（1）=f（﹣4）=2﹣4=．故答案为：．14．已知两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量，=（1，m），若⊥，那么实数m= 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，由=0，求得实数m 的值．【解答】解：∵两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量=（3，﹣3），=（1，m），若⊥，则=3+m（﹣3）=0，求得实数m=1，故答案为：1．15．已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为 4 ．【考点】简单线性规划；基本不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得最大值，可得2a+3b=1，然后结合基本不等式求得的最小值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（2，3），化目标函数z=ax+by为，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，等于2a+3b=1，∴=（）（2a+3b）=2+．当且仅当2a=3b，即时上式等号成立．故答案为：4．16．如图，正方形ABCD中，坐标原点O为AD的中点，正方形DEFG的边长为b，若D为抛物线y2=2ax（0＜a＜b）的焦点，且此抛物线经过C，F两点，则= 1+．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出F点坐标，代入抛物线方程即可得出a，b的关系得到关于的方程，从而解出．【解答】解：∵D是抛物线y2=2ax的焦点，∴D（，0）．∵正方形DEFG的边长为b，∴F（，b）．∵F在抛物线上，∴b2=2a（），即b2﹣2ab﹣a2=0，∴（）2﹣﹣1=0，解得=1+或1﹣．∵0＜a＜b，∴=1+．故答案为：三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．若向量=（sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx）其中ω＞0，记函数f（x）=﹣，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是．（Ⅰ）求f（x）的表达式及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a+b=3，c=，f（C）=1，求△ABC 的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式f（x）=sin（2ωx﹣），由题意可知其周期为π，利用周期公式可求ω，即可得解函数解析式，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由f（C）=1，得，结合范围0＜C＜π，可得﹣＜2C﹣＜，解得C=，结合已知由余弦定理得ab的值，由面积公式即可计算得解．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵=（sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx），∴，…由题意可知其周期为π，故ω=1，则f（x）=sin（2x﹣），…由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，…（Ⅱ）由f（C）=1，得，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，解得C=．…又∵a+b=3，，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcos，∴（a+b）2﹣3ab=3，即ab=2，由面积公式得三角形面积为．…18．某市对该市高三年级的教学质量进行了一次检测，某校共有720名学生参加了本次考试，考试结束后，统计了学生在数学考试中，选择选做题A，B，C三题（三道题中必须且只能选一题作答）的答卷份数如表：题号 A B C答卷份数160 240 320该校高三数学备课组为了解参加测试的学生对这三题的答题情况，现用分层抽样的方法从720份答卷中抽出9份进行分析．（Ⅰ）若从选出的9份答卷中抽出3份，求这3份中至少有1份选择A题作答的概率；（Ⅱ）若从选出的9份答卷中抽出3份，记其中选择C题作答的份数为X，求X的分布列及其数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意求出分别从A，B，C题的答卷中抽出2份、3份、4份．利用对立事件概率计算公式能求出从选出的9份答卷中选出3份，这3份中至少有1份选择A题作答的概率．（Ⅱ）由题意可知，选出的9份答卷中C题共有4份，则随机变量X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和E（X）．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可得：题号 A B C答卷数160 240 320抽出的答卷数 2 3 4应分别从A，B，C题的答卷中抽出2份、3份、4份．…设事件D表示“从选出的9份答卷中选出3份，至少有1份选择A题作答”，则：P（D）=1﹣p（）=1﹣=1﹣=，∴从选出的9份答卷中选出3份，这3份中至少有1份选择A题作答的概率．…（Ⅱ）由题意可知，选出的9份答卷中C题共有4份，则随机变量X可能的取值为0，1，2，3…P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，…∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P∴E（X）==．…19．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD∥BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）设M是AB的中点，若DM与平面ABC所成角的正切值为，求平面ACD与平面ADE夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，推导出四边形BEFG是平行四边形，从而EF∥BG，由此能证明EF∥面ABC．（Ⅱ））由CD⊥平面ABC，是∠CMD为DM与平面ABC所成角，以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能示出平面ACD与平面ADE夹角的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，∵F、G分别是AD、AC的中点，∴FG∥CD，且．又∵CD∥BE，且CD=2BE，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，EF⊄面ABC且BG⊆面ABC，∴EF∥面ABC．…（Ⅱ））∵CD⊥平面ABC∴∠CMD为DM与平面ABC所成角，∵M为AB的中点，且AC=BC=2，AC⊥BC，得∵DM与平面ABC所成角的正切值为，∵CD=2，BE=1，…以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），A（0，2，0），D（0，0，2），E（2，0，1），∴=（0，﹣2，2），=（2，﹣1，0），设平面ADE的法向量为=（x，y，z），由，取x=1，得=（1，2，2），而平面ACD的法向量为=（2，0，0），由cos＜＞==，得平面ACD与平面ADE夹角的余弦值为．…20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）求出圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x﹣y﹣=0的距离d，利用2=2，解得a2，又=，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得•为定值．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得•=，令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m即可得出．【解答】解：（I）圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x﹣y﹣=0的距离d==1，∴2=2，解得a2=2，又=，a2=b2+c2，联立解得：a2=2，c=1=b．∴椭圆C的标准方程为：+y2=1．（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得•为定值．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=，x1•x2=．﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣1）•=（x1（x2﹣1）=（1+k2）x1•x2﹣（m+k2）（x1+x2）+m2+k2=（1+k2）•﹣（m+k2）+m2+k2=，令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m=．因此在x轴上存在定点M（，0），使得•为定值．21．已知函数f（x）=，g（x）=﹣﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜﹣成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题可化为对一切x∈（0，+∞）恒成立，令，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可；（Ⅲ）问题等价于，即证，令，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ），得由f'（x）＞0，得0＜x＜e∴f（x）的递增区间是（0，e），递减区间是（e，+∞）…（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，可化为对一切x∈（0，+∞）恒成立令，当x∈（0，1）时h'（x）＜0，即h（x）在（0，1）递减当x∈（1，+∞）时h'（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）递增∴h（x）min=h（1）=4，∴m≤4，即实数m的取值范围是（﹣∞，4]…（Ⅲ）证明：等价于，即证由（Ⅰ）知，（当x=e时取等号）令，则，易知φ（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增∴（当x=1时取等号）∴f（x）＜φ（x）对一切x∈（0，+∞）都成立则对一切x∈（0，+∞），都有成立．…请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时写清题号，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若AD•OC=8，求圆O的面积．【考点】与圆有关的比例线段；圆周角定理．【分析】（Ⅰ）利用圆的切线的性质，及直径所对的角为直角，即可证明AD∥OC；（Ⅱ）由（Ⅰ）得Rt△BAD∽Rt△COB，利用AD•OC=8，求出半径，即可求圆O的面积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，OD∵CB，CD是圆O的两条切线，∴BD⊥OC又∵AB为圆O的直径，则AD⊥DB，∴AD∥OC，∴∠BAD=∠BOC…（Ⅱ）解：设圆O的半径为r，则AB=2OA=2OB=2r由（Ⅰ）得Rt△BAD∽Rt△COB则，∴AB•OB=AD•OC=8，2r2=8，r=2，∴圆O的面积为S=πr2=4π…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据参数方程和极坐标方程与普通方程的关系进行转化求解即可．（Ⅱ）求出圆心坐标以及圆心到直线的距离，结合四边形的面积公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（θ为参数），所以圆C的普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．…由得ρcosθ+ρsinθ=2，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴直线l的直角坐标方程x+y﹣2=0…（Ⅱ）圆心C（3，﹣4）到直线l：x+y﹣2=0的距离为d==…由于M是直线l上任意一点，则|MC|≥d=，∴四边形AMBC面积S=2×AC•MA=AC=2≥2∴四边形AMBC面积的最小值为…[选修4-5：不等式选讲]24．设函数．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式，结合基本不等式证明：f（x）≥2；（Ⅱ）求出f（x）min=3，若∀x∈R，恒成立，则只需．【解答】（Ⅰ）证明：∵m＞0，，当即时取“=”号…（Ⅱ）解：当m=2时，f（x）=|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|=3则f（x）min=3，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述实数t的取值范围是．…。
【2020届咸阳二模】理科数学试题及答案解析
2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学注意事项：1.试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡和答案卷；2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、填写在本试题相应位置；3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效；4．本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 集合{}1M x y x ==-，{}1,0,1,2N =-，则M N =I A ．{0,1} B ．{1,0,1}- C ．{1,1}- D.{0,1,2}2. 已知 i 为虚数单位，复数(1i)(2i)z =++的共轭复数z =A ．13i +B ．13i -+C ．13i -D ．13i -- 3. “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是20152019-年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是 A ．这五年，出口总额．．之．和．比进口总额．．之．和．大 B ．这五年，2015年出口额最少 C ．这五年，2019年进口增速最快 D . 这五年，出口增速前四年逐年下降 4.已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -⋅⋅⋅是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于A.64B.32C.2D.45. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测 算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包 含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分， 据此可估计阴影部分的面积是A ．165 B ． 325C ．10 D.1856.已知,a b 为两条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，下列命题： ①若//,//αβαγ，则//βγ ②若//,//a a αβ，则//αβ ③若,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ④若,a b αα⊥⊥，则//a b 其中正确命题序号为A . ②③ B. ②③④C. ①④D. ①②③7. 双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为(,0)(0)F c c >，且双曲线1C 的两条渐近线与圆2222:()4c C x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为A. 30x y ±=B. 30x y ±=C. 50x y ±=D.50x y ±=8.函数2()1x x f x e =-的大致图像是A B C D9.已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦,O 是原点,则OA OB ⋅=u u u r u u u rA.2-B. 4-C. 3D. 3-10.正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上,6,侧棱长为3则它的外接球的表面积为A. 4πB.8πC. 16πD. 20π11.关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++,下列说法正确的是 A.函数()f x 的定义域为RB. 函数()f x 一个递增区间为3[,]88ππ-C.函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D. 将函数22y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 12.已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为A. 12e -B. 14e -C. 1e -D. 2e -12()t h 3(/)y mg m 01第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题:第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题:第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13.若向量(1,2)a x =-r 与向量(2,1)b =r垂直，则x =_____ .14.4(1)(1)x x -+展开式中,含2x 项的系数为__ __. 15.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂， 据实验表明，该药物释放量3(/)y mg m 与时间()t h 的函数关系为1,0211,2kt t y t kt⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（如图所示）实验表明，当药物释放量30.75(/)y mg m <时对人体无害. (1)k =____;(2) 为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过_____分钟人方可进入房间.（第一问2分，第二问3分）16. 在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,a b c 3cos 1,2A A a -==,则ABC ∆的面积的最大值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知37618,36a a S +==. (I )求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ; （Ⅱ）设n T 为数列1{}n S n+的前n 项的和,求证: 1n T <. 18.（本小题满分12分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“ 合格”.(I )由以上数据绘制成22⨯联表,是否有0095以上的 男 女 总计 合格 不合格 总计60分)的男女学生问卷中任意选2个,记来自男生的个数为X ，求X 的分布列及数学期望. 附：19．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,22,AB DC ABC AB DC BC E ∠===o为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点,B C 不重合）.(I )证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --N 点位置；若不 存在，说明理由. 20.（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，它的四个顶点构成的四边形面积为.(I )求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为,M N . 求证：直线MN 恒过一个定点.21．（本小题满分12分）已知函数()(,0),()ln 1xf x axe a ag x x x =∈≠=++R . （I ）讨论()f x 的单调性;（Ⅱ） 若对任意的0x >,()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修44-:坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=,直线1l 和直线2l 的极坐标方程分别是()R θαρ=∈和()2R πθαρ=+∈,其中k απ≠()k z ∈.(I )写出曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线1l 和直线2l 分别与曲线C 交于除极点O 的另外点,A B ,求OAB ∆的面积最小值. 23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x +-≤解集为[1,)(0)m +∞>. (I )求正数m 的值；（Ⅱ）设,,a b c ∈+R ，且a b c m ++=，求证:2221a b c b c a++≥. BBCDEMNP22()()()()()n ad bc K n a b c da b c d a c b d -==+++++++2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学参考答案一、选择题： BCDAD CABDC BA二、填空题： 13. 0 14. 2 15. 2， 40 16. 3 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）解: (I ) 等差数列{}n a 的公差为d ,由37618,36a a S +==得5169,12a a a =+=,即1149,2512a d a d +=+=,解得11,2a d ==∴21n a n =-,2135(21)n S n n =+++⋅⋅⋅+-= ……………………6分(Ⅱ)证明:由(I )得2n S n =,∴211111(1)1n S n n n n n n n ===-++++∴11111111122311n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<++ 即 1n T < ……………………12分 18.（本小题满分12分） 解：(I )根据茎叶图可得2240(1041016)3603.956 3.8412614202091K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯知有0095以上的把握认为“性别” 与“问卷结果”有关.……………………6分(Ⅱ)从茎叶图可知, 成绩在60分以下(不含60分)的男女学生人数分别是4人和2人,从中任意选2人,基本事件总数为2615C =,0,1,2X =211224241862(0),(1),(2),1515151515155C C C C P X P X P X ==========……………………12分 19．（本小题满分12分）解:(I )证明: ∵PE EB ⊥,,PE ED EB ED E ⊥=I∴PE ⊥平面EBCD又PE 平面PEB , ∴平面PEB ⊥平面EBCD而BC 平面EBCD , BC EB ⊥, ∴平面PBC ⊥平面PEB 由,PE EB PM MB ==知EM PB ⊥,可知EM ⊥平面PBC又EM 平面EMN , ∴平面EMN ⊥平面PBC ……………………6分0118264()153E X ⨯+⨯+⨯==(Ⅱ)法1：假设存在点N 满足题意，过M 作MQ EB ⊥于Q ，由PE EB ⊥知//PE MQ 易证PE ⊥平面EBCD ，所以MQ ⊥平面EBCD过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥（三垂线定理）即MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角不妨设2PE EB BC ===，则1MQ =，在Rt EBN ∆中，设(02)BN x x =<<，由Rt EBN Rt ERQ ∆∆:得，BN ENRQ EQ=即1x RQ =，得RQ =∴tan MQ MRQ RQx∠==，依题意知cos 6MRQ ∠=，即tan MRQ x∠==1(0,2)x =∈，此时N 为 BC 的中点综上知，存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值6，此时N 为BC 的中点. ……………………12分法2：假设存在点N 满足题意，取E 为原点，直线,,EB ED EP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，不妨设2PE EB ==，显然平面BEN 的一个法向量为1(0,0,1)n =u r，设(02)BN m m =<<，则(1,0,1),(2,,0)EM EN m ==u u u u r u u u r设平面EMN 的法向量为2(,,)n x y z =u u r ，则由220EM n EN n ⋅=⋅=u u u u r u u r u u u r u u r得(1,0,1)(,,)00(2,,0)(,,)020x y z x z m x y z x my ⋅=+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，取2(,2,)n m m =-u u r∴121212cos ,n n n n n n ⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r 依题意,=,解得1(0,2)m =∈,此时N 为BC 的中点CRBC DE MNPQ综上知，存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值66，此时N 为BC 的中点. ……………………12分 20.（本小题满分12分）解: （I ）依题意得2221222222a b c a b c a ⎧⎪=+⎪⎪⋅⋅=⎨⎪⎪=⎪⎩解得22221a b c ⎧=⎨==⎩ ∴椭圆22:12x C y += ……………………5分 （Ⅱ）法1：设点0(2,)P y ，1122(,),(,),M x y N x y其中222211222,2x y x y +=+=，由PM OM ⊥，PN ON ⊥得10201211221,122y y y y y y x x x x --⋅=-⋅=--- 即2222111102222020,20x y x y y x y x y y +--=+--= 注意到222211222,2x y x y +=+=，于是110220220,220x y y x y y --=--= 因此1122(,),(,)M x y N x y 满足0220x yy --=由0y 的任意性知,1,0x y ==,即直线MN 恒过一个定点(1,0).……………………12分法2：设点0(2,)P y ,过点P 且与圆222x y +=相切的直线为,PM PN ,切点分别为,,M N 由圆的知识知, ,M N 是圆以OP 为直径的圆222200(1)()1()22y yx y -+-=+和圆222x y +=的两个交点,由222222002(1)()1()22x y y y x y ⎧+=⎪⎨-+-=+⎪⎩消去二次项得直线MN 方程为 0220x y y --=,由0y 的任意性知,1,0x y ==,即直线MN 恒过一个定点(1,0).……………………12分 21．（本小题满分12分）解: （I ）()(1)(0)xf x a x e a '=+≠当0a >时, ()f x 在(,1)(1,)-∞--+∞]Z ;当0a <时, ()f x 在(,1)(1,)-∞--+∞Z ]. ……………………5分 (Ⅱ)法1： ()()(0)f x g x x ≥>，即ln 1ln 1(0)(0)xxx x axe x x x a x xe++≥++>⇔≥> 令ln 1()(0)xx x F x x xe ++=>，则221()(1)(ln 1)(1)(ln )()()x x x xx xe x e x x x x x x F x xe x e +-+++-++'==令()ln x x x ϕ=+，显然()x ϕ在(0,)+∞Z ，注意到11()10,(1)10e eϕϕ=-<=>，于是存在 01(,1)x e∈使得000()ln 0x x x ϕ=+=，可知()F x 在00(0,)(,)x x +∞Z ]∴00max 00ln 1()()1x x x F x F x x e ++=== 综上知,1a ≥ ……………………12分法2:先证1xe x ≥+,令()1xh x e x =--,则0()1xxh x e e e '=-=-,知()h x 在(,0),-∞](0,)+∞Z ,于是()(0)0h x h ≥=,即1x e x ≥+∴ln ln 1x x xxe ex x +=≥++,当且仅当ln 0x x +=时取等号 ∴当1a ≥时, 对任意的0x >,()()f x g x ≥恒成立综上知,1a ≥ ……………………12分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程解：（I ）曲线C ：2cos 4sin ρθθ-0=，即22cos 4sin ρθρθ-0= 化为直角坐标方程为：24x y =（Ⅱ）法1：212cos 4sin 04sin cos ρθθαραθα⎧-=⇒=⎨=⎩，即124sin cos OA αρα== 同理2224sin()4cos 2sin cos ()2OB πααρπαα+===+ ∴22114sin 4cos 8161622cos sin sin cos sin 2OAB S OA OB ααααααα∆==⋅==≥当且仅当sin 21α=，即()4k k z παπ=+∈时取等号即OAB ∆的面积最小值为16 ……………………5分 法2：显然12l l ⊥，设直线1:l y kx =，直线21:l y x k=-(0)k ≠ 2212440,0,4x yx kx x x k y kx ⎧=⇒-===⎨=⎩，得124OA x =-=同理24OB k ===∴221111488()1622OABk S OA OB k k k k∆+==⋅==+≥当且仅当1k k=，即1k =±时取等号 即OAB ∆的面积最小值为16 ……………………10分 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）解：不等式20x m x +-≤，即不等式222x m x x x m x +≤⇔-≤+≤∴3x m m x ≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩，而0m >，于是x m ≥依题意得1m = ……………………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知1a b c ++=，原不等式可化为222a b c a b c b c a++≥++ 法1：∵,,a b c ∈+R ，222a b ab +≥∴22a a b b ≥-，同理22b b c c ≥-，22c c a a ≥- 三式相加得222a b c a b c b c a ++≥++，当且仅当a b c ==时取等号 综上 2221a b c b c a++≥ ……………………10分 法2：由柯西不等式得1a b c =++=≤ （,,a b c ∈+R ，且1a b c ++=）整理得2221a b c b c a ++≥（当且仅当13a b c ===时取等号）……………………10分 法3:不妨设0a b c ≥≥>,则2221110,0a b c c b a ≥≥>≥≥>,由排序不等式知反序和最小,所以222222111111a b c a b c b c a b b c⋅+⋅+⋅≥⋅+⋅+⋅,即222a b c a b c b c a ++≥++ 综上 2221a b c b c a++≥ ……………………10分。
陕西省西安市西工大附中2020届高考数学猜题试卷2(二) (含答案解析)
陕西省西安市西工大附中2020届高考数学猜题试卷2（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={0,1，2，3，4，5}，集合A={0,2，4}，B={1,3，4}，则(∁U A)∩B=()A. {4}B. {1,3}C. {1,3，4，5}D. {0,1，2，3，4}2.在复平面内，复数21+i对应的点与原点的距离是()A. 1B. √2C. 2D. 2√23.命题p：“∃x∈M，p(x)”的否定是()A. ∀x∈M，p(x)B. ∀x∈M，¬p(x)C. ∀x∉M，p(x)D. ∀x∉M，¬p(x)4.计算cos20°cos80°+sin160°cos10°=()A. 12B. √32C. −12D. −√325.椭圆x26+y22=1的离心率为()A. 23B. 13C. √63D. 2√236.从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，则下列说法中正确的是()A. 500名学生是总体B. 该年级的每个学生是个体C. 抽取的60名学生的体重是一个样本D. 抽取的60名学生是样本容量7.设，则()A. a<c<bB. c<a<bC. b<c<aD. c<b<a8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 16+2πB. 16+4πC. 24+2πD. 24+4π9.直线l:y=√3x−1与圆C:x2+y2−2y−3=0相交于M,N两点，点P是圆C上异于M,N的一个点，则的面积的最大值为()A. √32B. 3√32C. 3√3D. 4√310. 如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =12AA 1，E 为BC 的中点，则异面直线A 1E 与D 1C 1所成角的正切值为( )A. 2B. 4√55C. √172D. 2√212111. 已知函数，x 1,x 2,x 3∈[0,π]，且都有f(x 1)⩽f(x)⩽f(x 2)，满足f(x 3)=0的实数x 3有且只有3个，给出下列四个结论： ①满足题目条件的实数x 1有且只有1个； ②满足题目条件的实数x 2有且只有1个； ③f(x)在(0,π10)上单调递增 ; ④ω的取值范围是[136,196). 其中所有正确结论的编号是( )A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④ 12. 函数f(x)=2x 2+3x +1的零点是( )A. −12，−1B. 12，1C. 12，−1D. −12，1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|a⃗ |=2，e ⃗ 为单位向量，当a ⃗ ，e ⃗ 的夹角为2π3时，a ⃗ +e ⃗ 在a ⃗ −e ⃗ 上的投影为______ ． 14. 若(x +ax )6的展开式中常数项为160，则a =______． 15. 在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2−y 23=1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l 与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是________．16. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD =10，AB =14，∠BDA =60°，∠BCD =135°，则BC 的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1，且E ，F 分别是BC ，B 1C 1中点． (1)求证：A 1B//平面AEC 1；(2)求直线AF 与平面AEC 1所成角的正弦值．18. 已知在等差数列{a n }中，a 1=31，S n 是它的前n 项和，S 10=S 22，求数列{a n }的通项a n 和S n ．19. 某工厂每月生产某种产品四件，经检测发现，工厂生产该产品的合格率为910，已知生产一件合格品能盈利100万元，生产一件次品将会亏损50万元，假设该产品任何两件之间合格与否相互没有影响．(1)若该工厂制定了每月盈利额不低于250万元的目标，求该工厂达到盈利目标的概率； (2)求工厂每月盈利额ξ的分布列和数学期望．20. 过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线的准线交于点A ，且|AF|=6，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求|BC|．21.求函数f(x)=lnx+x+2x−1在点(2,f(2))处的切线方程．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．(1)求C的普通方程和l的倾斜角；(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23.已知函数f(x)=|x−52|+|x−12|，x∈R．(1)求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)解不等式f(x)≤x+4．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：根据题意，全集U={0,1，2，3，4，5}，集合A={0,2，4}，则∁U A={1,3，5}，又由B={1,3，4}，则(∁U A)∩B={1,3}；故选：B．根据题意，由补集的定义可得∁U A，又由集合的交集定义计算可得答案．本题考查集合的交并补混合运算，掌握集合补集、交集的定义．2.答案：B=1−i解析：解：21+i则1+i对应的点为(1,1)，到原点的距离为√2．故选B．即得．化简21+i本题考查复数的运算，属于基础题．3.答案：B解析：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．命题p：“∃x∈M，p(x)”的否定是.∀x∈M，¬p(x)x∈M，￢P(x)”；解：命题p：“∃x∈M，p(x)”的否定是.∀x∈M，¬p(x)x∈M，￢P(x)”．故选B．4.答案：A解析：本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．利用诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．解：cos20°cos80°+sin160°cos10°=cos20°cos80°+sin20°sin80°=cos(80°−20°)=cos60°=12．故选：A．5.答案：C解析：本题主要考查椭圆的离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．求出椭圆的a，b，c，由e=ca，计算即可得到结论．解：椭圆x26+y22=1的a=√6，b=√2，c=√a2−b2=2，则e=ca =√6=√63．故选C．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查关于统计的基本知识点，掌握即可解题．【解答】解：本题要注意区分总体、个体、样本、样本容量的概念，要特别搞清楚研究对象是什么，本题研究的是学生的体重，而不是学生.所以答案选C．7.答案：D解析：本题主要考查对数函数的性质，属于基础题．解：因为a=log23，b=log2√3，，所以，∴c<b<a.故选D．8.答案：C解析：解：由题意可知几何体是一个正方体挖去两个半球的剩余部分，剩余几何体的表面积为6×2×2+4π×12−2×π×12=24+2π．故选：C．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．9.答案：C解析：本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题，=1，解：如图圆心C(0,1)到直线l：y=√3x−1的距离d=|−1−1|2∴点P到MN的最大距离为d+2=3，MN=2√4−1=2√3，×2√3×3=3√3．∴△PMN的面积的最大值为S=12故选：C．10.答案：C解析：本题考查两条异面直线所成的角.属于基础题．取AD中点F，连接EF，A1F，因为EF//C1D1，所以求异面直线A1E与D1C1所成角，即求∠A1EF，在Rt△A1EF中求解即可．解：取AD中点F，连接EF，A1F，因为EF//C1D1，∴求异面直线A1E与D1C1所成角，即求∠A1EF，在长方体中AB⊥平面ADD1A1，A1F⊂平面ADD1A1，∴AB⊥A1F，又EF//AB，∴EF⊥A1F，。
2020陕西省高三理科数学教学质量检测(二)答案
又∵a2－a1＝1，∴数列{an}是公差为 1 的等差数列，
∴an＝n.
（6 分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 bn a2n 2n , an n,
∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n×2n＋1，
（8 分）
两式相减得－Tn＝2＋22＋23－(n－1)2n＋1－2， 1－2
由(Ⅰ)可知 x1＝－a－1，x2＝－1，
∴g(a)在(3，4)上单调递减，
∴g(4)<g(a)<g(3)，即e34<g(a)<e53.
∵g(a)＝－ff（（xx12）），∴－e53<ff（ （xx12））<－e34.
（12 分）
21．解：(Ⅰ)解法一：由题意可得离心率 e＝c＝ 3， a2
又 a2＝b2＋c2，∴a＝2b，c＝ 3b， 令点 Q(x，y)为椭圆 C 上任意一点，
13
14
15
16
0.5
3 或1 2
5 7
3
评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多写答案、少写答
案均不给分，13 题评分标准：写成 1 也可给分，14 题评分标准：写成 1.5或1也可给分. 2
三、解答题：共 70 分.
评分标准
1.导函数：
求单调区间过程要清楚，最好列表，分类讨论各区间情况需做到无遗漏.遗漏不给分.
（2 分） （3 分） （4 分）
（5 分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知直线 l 的普通方程为 x＋y－4＝0(x≠0)，（6 分）
θ≠π 化为极坐标方程得ρcosθ＋ρsinθ－4＝0 2 ，
（7 分）
当θ＝π(ρ>0)时，设 4
陕西省2020版高考数学模拟试卷(理科)(II)卷
陕西省2020版高考数学模拟试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2018高二上·南阳月考) 已知各项均不为零的数列，定义向量，.下列命题中真命题是（）A . 若∀n∈N* 总有⊥成立，则数列 {an} 是等比数列B . 若总有成立，则数列是等比数列C . 若∀n∈N* 总有⊥成立，则数列 {an} 是等差数列D . 若总有成立，则数列是等差数列3. （2分）设函数f(x)=ln(x-1)(2-x)的定义域是A，函数的定义域是B，若，则正数a的取值范围是（）A . a>3B .C .D .4. （2分）(2018·齐齐哈尔模拟) 执行如下图的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（）A .B .C .D .5. （2分）由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（）A . 36个B . 42个C . 48个D . 120个6. （2分）已知函数，则实数的值可能是（）A . 2B . 3C . 4D . 57. （2分） (2020高三上·台州期末) 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，且则异面直线，所成角的大小为（）A .B .C .D .8. （2分）某商场在五一促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，某频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为（）A . 6万元B . 8万元C . 10万元D . 12万元9. （2分）椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二上·武邑月考) 若，那么下列命题中正确的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）对任意实数 x ，有，则 a3 的值为________.12. （1分）(2019·青浦模拟) 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________13. （1分）已知，求sin2β﹣3sinβcosβ+4cos2β的值是________．14. （1分） (2016高一上·景德镇期中) 在等差数列{an}中，a2=5，a6=21，记数列的前n项和为Sn ，若对n∈N+恒成立，则正整数m的最小值为________．15. （1分） (2016高二上·上海期中) 设实数a，b满足a+ab+2b=30，且a＞0，b＞0，那么的最小值为________．三、解答题 (共6题；共40分)16. （10分）已知cosθ= ，θ∈（0，）．（1）求cos（θ+ ）的值；（2）求tan2θ的值．17. （10分） (2016高一下·重庆期中) 已知递增的等差数列{an}，首项a1=2，Sn为其前n项和，且2S1 ，2S2 ， 3S3成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．18. （5分） (2019高二下·顺德期末) 某高中高二年级1班和2班的学生组队参加数学竞赛，1班推荐了2名男生1名女生，2班推荐了3名男生2名女生.由于他们的水平相当，最终从中随机抽取4名学生组成代表队.（Ⅰ）求1班至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）设表示代表队中男生的人数，求的分布列和期望.19. （5分）(2017·嘉兴模拟) 如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC= ，BC=BB1=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．20. （5分）(2018·南阳模拟) 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交曲线于两点，交圆于两点（两点相邻）.(Ⅰ)若，当时，求的取值范围；(Ⅱ)过两点分别作曲线的切线，两切线交于点，求与面积之积的最小值.21. （5分） (2017高三上·甘肃开学考) 设函数f（x）= x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x1 ，x2∈[1，2]，恒有 m+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共40分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、第11 页共13 页第12 页共13 页21-1、第13 页共13 页。
2020年陕西省高考数学模拟试卷(理科)(二)(含答案解析)
2020年陕西省高考数学模拟试卷(理科)(二)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知复数z =52i−1(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A. −1−2iB. −1+2iC. 2−iD. 2+i2. 设集合A ={x|−5≤x <1}，B ={x|x ≤2}，则A ∪B =( )A. {x|x ≤2}B. {x|−5≤x <1}C. {x|−5≤x ≤2}D. {x|x <1}3. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −64. 已知向量a ⃗ =(−1,1)，b ⃗ =(2,x)，若a ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，则实数x 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 45. 设函数f(x)={(12)x −7(x <0)√x(x ≥0),若f(a)<1，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−3)B. (1,+∞)C. (−3,1)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)6. 已知Z ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z <μ+2σ)=0.9544.若X ～N(5,1)，则P(6<X <7)等于( )A. 0.3413B. 0.4772C. 0.1359D. 0.81857. 等差数列{a n }中，a 3=−5，a 7=1，则a 11等于( )A. 6B. 7C. 8D. 98. 设0<α<β<π2,sinα=35,cos(β−α)=1213，则sinβ的值为( )A. 1665B. 3365C. 5665D. 63659. 将函数f(x)=2cos(2x +π6)的图象向左平移t(t >0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为( )A. 2π3B. π6C. π2D. π310.直三棱柱ABC−A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°则此球的表面积等于()A. 52π9B. 20π C. 8π D. 52π311.过抛物线x2=4y的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，2|AF|=|BF|+|BA|，则|AB|=()A. 3B. 72C. 4 D. 9212.函数f(x)=−e x1+x2，若存在x0∈(0,2]使得m−f(x0)>0成立，则实数m的范围是()A. (−15e2,+∞) B. (−1,+∞) C. (1,+∞) D. (−12e,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某超市统计了一个月内每天光顾的顾客人数，得到如图所示的频率分布直方图，根据该图估计该组数据的中位数为______．14.已知(2+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为________．15.在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=3，D为BC的中点，则AD=________．16.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，左顶点为A，O为坐标原点，以OF为直径作圆交双曲线的一条渐近线于点P，且|PA|=|PF|，则双曲线的离心率e=．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图所示，菱形ABCD的边长为2，，点H为DC中点，现以线段AH为折痕将菱形折起使得点D到达点P的位置且平面平面ABCH，点E，F分别为AB，AP的中点．(1)求证：平面PBC//平面EFH；(2)求平面PAH与平面PBC所成锐二面角的余弦值．18.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a17=33，S7=49．(1)求证：a1，a5，a41成等比数列;(2)求数列{a n·3n}的前n项和T n．19.2017年1月1日，作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公元之一的泉湖公园正式开园，元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放，现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：(1)根据条件完成下列2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？愿意不愿意总计男生女生总计(2)现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取7名挑战者，再从中抽取2人参加挑战，求抽取的2人中至少有一名男生的概率．参考公式与数据：P(K2≥k0)0.10.050.0250.01k0 2.706 3.841 5.024 6.635K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知函数f(x)=2x2+x+2，求函数f(x)的极值．e x21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=π3．(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)当0<r<2时，若曲线C与射线l交于A，B两点，求1|OA|+1|OB|的取值范围．23.已知函数f(x)=x2+2|x−1|．(1)求不等式f(x)>|2x|x的解集；(2)若f(x)的最小值为N，且a+b+c=N，(a,b，c∈R).求证：√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2．【答案与解析】1.答案：B解析：解：复数z =52i−1=5(−2i−1)(2i−1)(−2i−1)=−1−2i ， ∴z .=−1+2i 故选：B ．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：∵A ={x|−5≤x <1}，B ={x|x ≤2}； ∴A ∪B ={x|x ≤2}． 故选：A ．进行并集的运算即可．考查描述法的定义，以及并集的运算．3.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义．4.答案：A解析：解：∵向量a⃗=(−1,1)，b⃗ =(2,x)，∴a⃗+b⃗ =(1,1+x)；∵a⃗⊥(a⃗+b⃗ )，∴a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=−1+1+x=0，解得x=0．故选：A．利用向量垂直与数量积的关系即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的坐标运算，属于基础题．5.答案：C)a−7<1，解得a>−3，所以−3<a<0；解析：解：a<0时，f(a)<1即(12a≥0时，√a<1，解得0≤a<1综上可得：−3<a<1故选：C．)a−7<1，a≥0时，√a<1，分别求解即可．a<0时，f(a)<1即(12本题考查分段函数、解不等式等问题，属基本题，难度不大．6.答案：C解析：解：P(4<X<6)=0.6826，P(3<X<7)=0.9544，(0.9544−0.6826)=0.1359．∴P(6<X<7)=12故选C．(P(3<X<7)−P(4<X<6))．计算P(4<X<6)，P(3<X<7)，于是P(6<X<7)=12本题考查了正态分布的对称性特点，属于基础题．7.答案：B解析：解：∵等差数列{a n }中，a 3=−5，a 7=1， ∴{a 1+2d =−5a 1+6d =1， 解得a 1=−8，d =32，∴a 11=a 1+10d =−8+10×32=7．故选：B ．利用等差数列通项公式列出方程组，求出a 1=−8，d =32，由此能求出a 11．本题考查等差数列的第11项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：C解析：解：0<α<β<π2,sinα=35,cos(β−α)=1213， ∴cosα=45，sin(β−α)=513，∴sinβ=sin(α+β−α)=sinαcos(β−α)+cosαsin(β−α)=35×1213+45×513=5665，故选：C根据同角的三角函数的关系和诱导公式以及两角和的正弦公式计算即可． 本题考查了同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式，属于基础题．9.答案：B解析：解：将函数f(x)=2cos(2x +π6)的图象向左平移t(t >0)个单位长度，可得y =2cos(2x +2t +π6)的图象；∵所得图象对应的函数为奇函数，∴2t +π6=kπ+π2，求得t =kπ2+π6，k ∈Z ，则t 的最小值为π6， 故选：B ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得t 的最小值． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．10.答案：B解析：解：如图，在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得BC=2√3，由正弦定理，可得△ABC外接圆半径，设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OBO′中，易得球半径R=√5，故此球的表面积为4πR2=20π．故选：B．通过已知条件求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OBO′中，求出球的半径，然后求出球的表面积．本题考查三棱柱的外接球，考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查球的表面积公式，属于中档题．11.答案：D解析：解：由抛物线x2=4y，得F(0,1)，若直线l⊥x轴，不合题意；设直线l的方程为y=kx+1，代入x2=4y，得y2−(4k2+2)y+1=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4k2+2，y1y2=1，①∵|BF|+|BA|=2|FA|，∴|BF|+|BF|+|AF|=2|FA|，∴|FA|=2|BF|，即y1+1=2(y2+1)，即代入①得y2=12，∴y1=2，则|AB|=y1+y2+2=12+2+2=92．故选：D．由题意可设直线方程y=kx+1，与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B的纵坐标的乘积，结合2|AF|=|BF|+|BA|，求得A，B的纵坐标，则|AB|可求．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年陕西省高考数学押题卷（理）（二）
)(.x f C 在65,3(ππ上是减函数)(.x f D 在)6
5,3(ππ上是增函数
11.已知两点)45,4(),45
,1(--N M ，给出下列曲线方程：①124=+y x ，②32
2=+y x ，③1222=+y x ，④13
422=-y x ，⑤y x 42=，则在曲线上存在点P 满足NP MP =的所有曲线方程是（）
.A ①②.B ②③④.C ②③⑤.D ②③
已知定点)0,1(A 和定直线1:-=x l ，B 是直线l 上的动点，AOB ∠的平分线交AB 于C .（1）求点C 的轨迹S 的方程；
（2）将（1）中点C 的轨迹S 的方程中x 的取值范围扩充为),0[+∞.已知直线m 过曲线S 的焦点，且与曲线S 交于N M ,两点，若MNA ∆的面积为3，求直线m 的方程.
答案：DABC ACDA CBCA
23.13；21.14-；π52.15；61.16+.
12,2)1.(17-==n n n n b a .1111)2(<+-
=n T n .54212.18或）（.x d c y ⋅=)1.(19；x y 25.01047.3)2(⨯=，预测第8天试用微信扫码支付人数为347；7)3(=n .
)10()1.(202<≤=x x y ；16344)2(-+y x 或16344--y x .)1.(21当0>a 时，
)(x f 在),0(+∞上单调递增；当0<a 时，)(x f 在)2
,0(a -上单调递减，在)2
(∞+-，a 上单调递增.]1,0(.341.22）（；332)2(.)1.(23不等式的解集为{3-<x x 或}0>x .。