2015届高考数学第一轮基础巩固训练题62.doc

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广东省实验中学2015届高三数学第一次阶段考试试题理(含解析)新人教A版

广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移. 一．选择题(5*8=40分)1．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【知识点】交集及其运算；子集与真子集．A1【答案解析】A 解析：∵集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，∴x 24＋y 216＝1为椭圆和指数函数y ＝3x 图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A 1、A 2，则A∩B 的子集应为∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，A 2}共四种，故选A ．【思路点拨】由题意集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，画出A ，B 集合所表示的图象，看图象的交点，判断A∩B 的子集的个数．【题文】2． 22log sinlog cos1212ππ+的值为（）A .-2B .–l C.12D .1 【知识点】对数的运算性质．B7 【答案解析】A 解析：====﹣2．故选A ．【思路点拨】利用对数的运算法则进行计算即可．先结合对数运算法则：log a （MN ）=log a M+log a N ，利用二倍角的正弦公式将两个对数式的和化成一个以2为底的对数的形式，再计算即得.【题文】3．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“14xy ≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案解析】A 解析：∵x，y ∈R ，当1x y +=时，y=1﹣x ，∴xy=x（1﹣x ）=x ﹣x 2=2111424x ，∴充分性成立；当xy≤时，如x=y=0，x+y=0≠1，∴必要性不成立；∴“1x y +=”是“14xy ≤”的充分不必要条件．故选：A ．【思路点拨】由1x y +=，推出14xy ≤，判定充分性成立；由14xy ≤，不能得出1x y +=，判定必要性不成立即可．【题文】4．已知函数cos21()sin 2x f x x-=，则有（）A ．函数()f x 的图像关于直线2x π=对称 B ．函数()f x 的图像关关于点(,0)2π对称C ．函数()f x 的最小正周期为2πD ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递减【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】B 解析：∵cos21()sin 2x f x x-==∴函数f （x ）不是轴对称图形，∴A 不正确； ∵函数f （x ）的最小正周期为π，∴C 不正确； ∵函数在区间(0,)π不单调，∴D 不正确； ∵函数f （x ）的对称中心为（）k ∈Z ，∴函数f （x ）的图象关关于点(,0)2π对称正确，故选B ．【思路点拨】分析函数cos21()sin 2x f x x-=性质，要先利用公式化成正弦型、余弦型或正切型函数的标准形式，然后再研究性质．【题文】5．已知0<a<b<l ．则（） A.11b a > B. 11()()22a b < C. 22(lg )(lg )a b < D.11lg lg a b > 【知识点】不等式的基本性质．E1【答案解析】D 解析：∵0＜a ＜b ＜1，∴，可得；；（lga ）2＞（lgb ）2；lga ＜lgb ＜0，可得．综上可知：只有D 正确．故选：D ．【思路点拨】利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出．【题文】6．已知函数 2()2cos f x x x =+，若 '()f x 是 ()f x 的导函数，则函数 '()f x 在原点附近的图象大致是（）A B C D【知识点】函数的图象．B8【答案解析】A 解析：函数f （x ）=x 2+2cosx ，∴f′（x ）=2x ﹣2sinx=2（x ﹣sinx ）， f′（﹣x ）=﹣2x+2sinx=﹣（2x ﹣2sinx ）=﹣f′（x ），导函数是奇函数， ∵x∈（0，），x ＞sinx ＞0，∴B、C 、D 不正确．故选：A ．【思路点拨】由题可得f′（x ）=2x ﹣2sinx ，判断导函数的奇偶性，利用特殊值的函数值推出结果即可．【题文】7.已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m≤-恒成立，则实数m 的取值范围是（） 111.(,].(,][1,).[1,).[,1]444A B C D -∞--∞-+∞+∞-【知识点】分段函数的应用．B1【答案解析】B 解析：对于函数f （x ）=，当x≤1时，f （x ）=﹣（x ﹣）2+；当x ＞1时，f （x ）=＜0．则函数f （x ）的最大值为．则要使不等式f （x ）≤m 2﹣m 恒成立，则m 2﹣m 恒成立，即m 或m≥1．故选B ．【思路点拨】求出分段函数的最大值，把不等式f （x ）≤m 2﹣m 恒成立转化为m 2﹣m 大于等于f （x ）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m 的取值范围．【题文】8．已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个命题正确的是（） A ．2sin 22cosααα= B ．2cos 22sin ααα= C ．2sin 22sin βββ=- D ．2cos 22sin βββ=-【知识点】余弦函数的图象．C3【答案解析】C 解析：∵cos xk x=，∴|cosx|=kx， ∴要使方程cos xk x=（k ＞0）在（0，+∞）上有两个不同的解，则y=|cosx|的图象与直线y=kx （k ＞0）在（0，+∞）上有且仅有两个公共点，所以直线y=kx 与y=|cosx|在（，π）内相切，且切于点（β，﹣cosβ），此时y=|cosx|=﹣cosx ．∴切线的斜率为sinβ=，∴βsinβ=﹣cosβ，∴2βsinβsinβ=2sinβcosβ，∴sin 2β=﹣2βsin 2β，故选：C ．【思路点拨】将方程cos xk x=转化为|cosx|=kx ，作出两个函数的图象，利用数形结合，以及导数的几何意义即可得到结论．二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

2015年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2} 2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．845．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．84【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．12【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．10【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+=t（+2）=，∴，解得实数λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z 最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= 3．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=﹣．【考点】8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．﹣S n=a n+1可知S n+1﹣S n=S n+1S n，两边同时除以S n+1S n可知﹣【分析】通过S n+1=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．=S n+1S n，【解答】解：∵a n+1﹣S n=S n+1S n，∴S n+1∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【专题】58：解三角形．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC ﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2c osθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。

数学高考一轮复习基本不等式专项练习(带解析)

数学高考一轮复习基本不等式专项练习（带解析）学习数学能够让我们的思维更清晰，我们在摸索和解决问题的时候，条理更清晰。

小编预备了差不多不等式专项练习，期望你喜爱。

1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

【步步高】2015届高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)6.4 数列求和文档专练文

§6.4 数列求和1.求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式 (Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解.例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2.常见的裂项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1).( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( × )(4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .( × )(5)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( √ )(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )2.(2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100 答案 A解析利用裂项相消法求和.设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎨⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.3.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A.2n ＋n 2－1B.2n ＋1＋n 2－1 C.2n ＋1＋n 2－2D.2n ＋n 2－2 答案 C解析 S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋(1＋3＋5＋…＋(2n －1)) ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.4.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A.200B.－200C.400D.－400 答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.5.3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n ＝________. 答案 4－n ＋42n解析设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ，则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1. 两式相减得12S ＝3×12＋(122＋123＋…＋12n )－n ＋22n ＋1.∴S ＝3＋(12＋122＋…＋12n －1)－n ＋22n＝3＋12[1－(12)n －1]1－12－n ＋22n ＝4－n ＋42n .题型一分组转化求和例1 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n .思维启迪先写出通项，然后对通项变形，分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解.解由已知得，数列{a n }的通项公式为 a n ＝3n ＋2n －1＝3n －1＋2n ， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2＋5＋…＋3n －1)＋(2＋22＋…＋2n ) ＝n (2＋3n －1)2＋2(1－2n )1－2＝12n (3n ＋1)＋2n ＋1－2. 思维升华某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1. 解和式中第k 项为 a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝⎛⎭⎫12k1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12k . ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2[(1＋1＋…＋1)－(12＋122＋…＋12n )]n 个＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12⎝⎛⎭⎫1－12n1－12＝12n －1＋2n －2.题型二错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 思维启迪 (1)列方程组求{a n }的首项、公差，然后写出通项a n . (2)q ＝1时，b n 为等差数列，直接求和；q ≠1时，用错位相减法求和. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝68a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝－1.故a n ＝3＋(n －1)·(－1)＝4－n . (2)由(1)得，b n ＝n ·q n －1，于是 S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1. 若q ≠1，将上式两边同乘以q 有 qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减得到(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1 ＝nq n－q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，q ＝1nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1.思维升华 (1)错位相减法是求解由等差数列{b n }和等比数列{}对应项之积组成的数列{a n }，即a n ＝b n ×的前n 项和的方法.这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练. (2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用X 围.已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立.综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.题型三裂项相消法求和例3在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .思维启迪第(1)问利用a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)后，再同除S n －1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消法求和. 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12， a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，①由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列.∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 思维升华利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .(1)证明 ∵S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1(a 1＋1)2(a n >0)，∴a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1.即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2).所以数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列. (2)解由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2， b n ＝12S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.四审结构定方案典例：(12分)(2012·某某)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .S n ＝－12n 2＋kn 及S n 最大值为8S n 是n 的二次函数 n ＝k 时(S n )max ＝S k ＝8(根据S n 的结构特征确定k 值) k ＝4，S n ＝－12n 2＋4n利用a n 、S n 的关系 a n ＝92－n9－2a n 2n ＝n2n －1根据数列的结构特征，确定求和方法：错位相减法 T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1①①式两边同乘以22T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2②错位相减T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.规X 解答解 (1)当n ＝k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，[3分]当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .[6分]当n ＝1时，上式也成立，综上，a n ＝92－n .(2)因为9－2a n 2n ＝n2n －1，所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，①[7分]所以2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2②②－①：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1[11分]故T n ＝4－n ＋22n －1.[12分]温馨提醒 (1)根据数列前n 项和的结构特征和最值确定k 和S n ，求出a n 后再根据{9－2a n2n }的结构特征确定利用错位相减法求T n .在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案； (2)利用S n 求a n 时不要忽视n ＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数.方法与技巧非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和. 失误与防X1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用X 围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号.3.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.A 组专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1.已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.n n ＋1B.4n n ＋1C.3n n ＋1D.5nn ＋1 答案 B解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4(1n －1n ＋1)， ∴S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)] ＝4(1－1n ＋1)＝4n n ＋1. 2.已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于( )A.20B.17C.19D.21答案 C解析由a 9＋3a 11<0，得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号，因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是一个递减数列，则a 10>0，a 11<0，所以S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0. 故使S n 取值最小正值的n 为19.3.已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于 ( )A.0B.100C.－100D.10 200答案 B解析由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100.故选B.4.数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为( )A.31B.120C.130D.185答案 C解析 a 1＋...＋a k ＋...＋a 10＝240－(2＋...＋2k ＋ (20)＝240－(2＋20)×102＝240－110＝130.5.数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A.－10B.－9C.10D.9答案 B解析数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910， ∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9.二、填空题6.数列32，94，258，6516，…的前n 项和S n 为________. 答案 n (n ＋1)2＋1－12n 解析 ∵32＝1＋12，94＝2＋14，258＝3＋18， 6516＝4＋116，… ∴S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋(n ＋12n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋122＋123＋…＋12n ) ＝n (n ＋1)2＋12[1－(12)n ]1－12＝n (n ＋1)2＋1－12n . 7.设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________. 答案 1 007解析 ∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x， ∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x＝1. S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，① S ＝f (2 0142 015)＋f (2 0132 015)＋…＋f (12 015)，② ①＋②得，2S ＝[f (12 015)＋f (2 0142 015)]＋[f (22 015)＋f (2 0132 015)]＋…＋[f (2 0142 015)＋f (12 015)]＝2 014， ∴S ＝2 0142＝1 007. 8.(2012·课标全国)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________. 答案 1 830解析利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解.∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15×(10＋234)2＝1 830. 三、解答题9.已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比为q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 14a n (n ∈N *)，数列{}满足＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{}的前n 项和S n .解 (1)由题意，知a n ＝(14)n (n ∈N *)，又b n ＝3log 14a n －2，故b n ＝3n －2(n ∈N *).(2)由(1)，知a n ＝(14)n ，b n ＝3n －2(n ∈N *)，所以＝(3n －2)×(14)n (n ∈N *). 所以S n ＝1×14＋4×(14)2＋7×(14)3＋…＋(3n －5)×(14)n －1＋(3n －2)×(14)n ，于是14S n ＝1×(14)2＋4×(14)3＋7×(14)4＋…＋(3n －5)×(14)n ＋(3n －2)×(14)n ＋1. 两式相减，得34S n ＝14＋3[(14)2＋(14)3＋…＋(14)n ]－(3n －2)×(14)n ＋1＝12－(3n ＋2)×(14)n ＋1. 所以S n ＝23－3n ＋23×(14)n (n ∈N *). 10.若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列.(1)求等比数列S 1，S 2，S 4的公比；(2)若S 2＝4，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .解 (1)因为{a n }为等差数列，设{a n }的公差为d (d ≠0)，所以S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d .因为S 1，S 2，S 4成等比数列且设其公比为q ，所以S 1·S 4＝S 22.所以a 1(4a 1＋6d )＝(2a 1＋d )2.所以2a 1d ＝d 2.因为公差d ≠0.所以d ＝2a 1.所以q ＝S 2S 1＝4a 1a 1＝4. (2)因为S 2＝4，所以2a 1＋d ＝4.又d ＝2a 1，所以a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝2n －1.(3)因为b n ＝3(2n －1)(2n ＋1)＝32(12n －1－12n ＋1)，所以T n ＝32[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝32(1－12n ＋1)<32.要使T n <m 20对所有n ∈N *都成立，则有m 20≥32，即m ≥30. 因为m ∈N *，所以m 的最小值为30.B 组专项能力提升(时间：30分钟)1.已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( )A.2 008B.2 010C.1D.0答案 B解析由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.2.(2013·课标全国Ⅰ)设△A n B n 的三边长分别为a n 、b n 、，△A n B n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，…，若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝＋a n 2，＋1＝b n ＋a n 2，则( ) A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列答案 B解析因为b 1>c 1，不妨设b 1＝4a 13，c 1＝2a 13；故S 1＝ 3a 12·a 12·a 16·5a 16＝1512a 21； a 2＝a 1，b 2＝23a 1＋a 12＝56a 1，c 2＝43a 1＋a 12＝76a 1，S 2＝ 3a 12·a 12·2a 13·a 13＝66a 21. 显然S 2>S 1；a 3＝a 1，b 3＝76a 1＋a 12＝1312a 1， c 3＝56a 1＋a 12＝1112a 1， S 3＝ 3a 12·a 12·5a 112·7a 112＝10524a 21，显然S 3>S 2. 3.(2013·某某)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则： (1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.答案 (1)－116(2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 解析 ∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1， ∴a n ＝(－1)n a n －(－1)n －1a n －1＋12n . 当n 为偶数时，a n －1＝－12n ，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ， ∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116. 根据以上{a n }的关系式及递推式可求. a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128， a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128. ∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…， ∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12100 ＝⎝⎛⎭⎫12＋123＋…＋1299－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12100 ＝13⎝⎛⎭⎫12100－1. 4.已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足：S n ＝2a n －2n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列{b n a n ＋2}的前n 项和，求证：T n ≥12. (1)解当n ∈N *时，S n ＝2a n －2n ，则当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，即a n ＝2a n －1＋2，∴a n ＋2＝2(a n －1＋2)，∴a n ＋2a n －1＋2＝2，当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2，∴{a n ＋2}是以a 1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋2＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－2；(2)证明 b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1，∴b n a n ＋2＝n ＋12n ＋1，则T n ＝222＋323＋…＋n ＋12n ＋1， 12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2，两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2 ＝14＋14(1－12n )1－12－n ＋12n ＋2 ＝14＋12－12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－n ＋32n ＋2， ∴T n ＝32－n ＋32n ＋1，当n ≥2时，T n －T n －1＝－n ＋32n ＋1＋n ＋22n ＝n ＋12n ＋1>0， ∴{T n }为递增数列，∴T n ≥T 1＝12. 5.直线l n ：y ＝x －2n 与圆：x 2＋y 2＝2a n ＋n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N *.数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝14|A n B n |2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1(n 为奇数)，a n (n 为偶数)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由题意，知圆的圆心到直线l n 的距离d n ＝n ，半径r n ＝2a n ＋n ，所以a n ＋1＝(12|A n B n |)2＝r 2n －d 2n ＝(2a n ＋n )－n ＝2a n . 又a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝[1＋5＋…＋(2n －3)]＋(2＋23＋…＋2n －1) ＝n (n －1)2＋2(1－2n )1－4＝n 2－n 2＋23(2n －1). 当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＋1＝(n ＋1)2－(n ＋1)2＋23(2n ＋1－1) ＝n 2＋n 2＋23(2n ＋1－1). 而T n ＋1＝T n ＋b n ＋1＝T n ＋2n，所以T n ＝n 2＋n 2＋13(2n －2). 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－n 2＋23(2n －1)(n 为偶数)，n 2＋n 2＋13(2n －2)(n 为奇数).。

【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之62二倍角公式

【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之62二倍角公式一、选择题（共40小题；共200分）1. cos2165∘−sin215∘=( )A. 12B. √22C. √32D. √332. 若sin(π−α)=13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A. −4√29B. −2√29C. 2√29D. 4√293. 已知cosx=34，则cos2x=( )A. −14B. 14C. −18D. 184. 已知sin(α−π2)=−35，−π2<a<π2，则cos2α的值等于( )A. 1225B. −1225C. 725D. −7255. 已知α∈(0,π2)∪(π2,π)，且sinα，sin2α，sin4α成等比数列，则α的值为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 3π46. 已知α为第三象限角，且sinα+cosα=2m，sin2α=m2，则m的值为( )A. √33B. −√33C. −13D. −√237. 已知tanθ=2，且θ∈(0,π2)，则cos2θ=( )A. 45B. 35C. −35D. −458. 角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2θ=( )A. 2B. −4C. −34D. −439. 已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边过点P(−1,2)，则tan2θ= ( )A. 43B. 45C. −45D. −4310. 在平面直角坐标系中，直线y=√2x与圆O:x2+y2=1交于A，B两点．α，β的始边是x轴的非负半轴，终边分别在射线OA和OB上，则tan(α+β)的值为( )A. −2√2B. −√2C. 0D. 2√211. 下列四个命题中的真命题为( )A. ∃x0∈R，使得sinx0−cosx0=−1.5B. ∀x∈R，总有x2−2x−3≥0C. ∀x∈R，∃y∈R，y2<xD. ∃x0∈R，∀y∈R，y⋅x0=y12. 下列四种说法正确的是( )①函数f(x)的定义域是R，则“∀x∈R，f(x+1)>f(x)”是“函数f(x)为增函数”的充要条件；②命题“∀x ∈R ，(13)x >0”的否定是“∀x ∈R ，(13)x≤0”；③命题“若 x =2，则 x 2−3x +2=0”的逆否命题是“若 x 2−3x +2≠0，则 x ≠2”；④ p ：在 △ABC 中，若 cos2A =cos2B ，则 A =B ；q ：y =sinx 在第一象限是增函数．则 p ∧q 为真命题． A. ①②③④B. ①③C. ①③④D. ③13. “sinα=cosα”是“cos2α=0”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14. 若 tanθ+1tanθ=4，则 sin2θ= ( )A. 15B. 14C. 13D. 1215. 已知 cos (α+π2)=35，−π2<α<π2，则 sin2α 等于 ( )A. 1225B. −1225C. 2425D. −242516. 化简：∘cos25∘√1−sin40∘= ( )A. 1B. √3C. √2D. 217. 中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图 1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图 2 所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为 100，小正方形的面积为 4，则图 2 中菱形的一个锐角的正弦值为 ( )A. 2425B. 35C. 45D. 72518. 若 cos (π8−α)=16，则 cos (3π4+2α) 的值为 ( )A. 1718 B. −1718C. 1819D. −181919. 已知 cos (2π3−α)=34，则 sin (α−π6)cos (π3−2α)= ( )A. 332B. −332C. 316D. −31620. 已知 sin (π3−α)=13，则 sin (π6−2α)= ( )A. −79B. 79C. ±79D. −2921. 已知 tanθ=3，则 cos (3π2+2θ)= ( )A. −45B. −35C. 35D. 4522. 已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y =−√3x 上，则 sin2θ=( ) A. 12B. √32C. −12D. −√3223. 已知角 θ 的终边过点 (2sin 2π8−1,a)，若 sinθ=2√3sin 13π12cos π12，则实数 a 等于 ( )A. −√6B. −√62C. ±√6D. ±√6224. 若 cos (π8−α)=15，则 cos (3π4+2α) 的值为 ( )A. −78B. 78C. −2325D. 232525. 已知 α 是第一象限角，满足 sinα−cosα=√105，则 cos2α= ( )A. −35B. ±35C. −45D. ±4526. 已知 cos (π4−θ2)=23，则 sinθ= ( )A. 79B. 19C. −19D. −7927. 巳知 sinα=23，则 cos (π−2α)= ( )A. −19B. 19C. −89D. 8928. “cos2α=0”是“sinα=cosα”的 ( )A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件29. 若 tanθ=−13，则 cos2θ= ( )A. −45B. −15C. 15D. 4530. 已知 sinα−cosα=43，则 sin2α= ( )A. −79B. −29 C. 29D. 7931. 若 tanθ=√3，则sin2θ1+cos2θ= ( ) A. √3B. −√3C. √33D. −√3332. 若 sin2θ=23，则 tanθ+1tanθ= ( )A. √2B. √3C. 2D. 333.2cos 2α+cos(π2+2α)−1√2sin(2α+π4)=4，则 tan (2α+π4)= ( )A. 12B. 13C. 14D. 1534. 已知 sinα−cosα=13，则 cos (π2−2α)= ( )A. −89B. 23C. 89D.√179π2πA. 13B. −13C. 3D. −336. 已知 m =tan (α+β+γ)tan (α−β+γ)，若 sin2(α+γ)=3sin2β，则 m = ( )A. −1B. 34C. 32D. 237. 已知 α，β 为锐角，且 tanα=17，cos (α+β)=2√55，则 cos2β= ( )A. 35 B. 23 C. 45D. 7√21038. 函数 y =1+sinx+cosx 1+sinx−cosx+1+sinx−cosx 1+sinx+cosx的最小正周期是 ( )A. π2B. πC. 3π2D. 2π39. 已知 α∈R ，sinα+2cosα=√102，则 tan2α= ( )A. 43B. 34C. −34D. −4340. 已知函数 f (x )=sin 2ωx 2+12sinωx −12(ω>0)，x ∈R ．若 f (x ) 在区间 (π,2π) 内没有零点，则ω 的取值范围是 ( ) A. (0,18] B. (0,14]∪[58,1)C. (0,58]D. (0,18]∪[14,58]二、填空题（共40小题；共200分） 41. 若 cosx =23，则 cos2x = ．42. 如果 sinα=−35，cosα=45，那么 2α 是第象限角．43. 已知 sin (α+π3)=13，则 cos (π6−α)= ；cos (π3−2α) ． 44. 函数 f (x )=sinωx ⋅cosωx 的最小正周期为 2，则 ω= ． 45. 若 sin (π2+α)=35，则 cos2α= ． 46. cos 215∘−12= ．47. 点 A 从 (1,0) 出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点 B ，若点 B 的坐标是 (−35,45)，记 ∠AOB =α，则 sin2α= ． 48. 已知2sinα+cosαsinα−cosα=3，则 tan2α= ．49. 已知 tanα=2，则 cos2α+sin (π2+α)cos (3π2−α)= ．50. 已知 cosθ=−35，π<θ<3π2，则 sin θ2+cos θ2= ．51. 已知 θ 是第三象限角，且 sin 4θ+cos 4θ=59，那么 sin2θ= ． 52. 设 sin2α=−sinα，α∈(π2,π)，则 tan2α 的值是．53. 已知角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为 (3,4)，则cos2α=．54. 若 cos (α+π5)=45，则 sin (2α+9π10)= ．55. 已知点 P (3cosθ,sinθ) 在直线 l:x +3y =1 上，则 sin2θ= ．56. 若点 (θ,0) 是函数 f (x )=sinx +3cosx 的一个对称中心，则 cos2θ+sinθcosθ= ． 57. 若平面向量 a ⃗=(cosθ,sinθ)，b ⃗⃗=(1,−1)，且 a ⃗⊥b ⃗⃗，则 sin2θ 的值是． 58. 已知 tanα=2，则 cos2α−sinαcosα= . 59. 已知 tan (π+α)=2，则 cos2α+sin2α= ． 60. 已知 π2<α<π，3sin2α=2cosα，则 sin (α−9π2)= ．61. 设当 x =α 时，函数 f (x )=3sinx +cosx 取得最大值，则 tan2α= ．62. 化简：2sin (π−α)+sin2αcos 2α2= ．63. 若 sin (π3−α)=14，则 cos (π3+2α)= ． 64. 已知 sin2α=2−2cos2α，则 tanα= ．65. 已知 2sin2x =sinθ+cosθ，sin 2x =sinθcosθ，则 cos2x = ． 66. 若 5π2<α<7π2，则 √1+sinα+√1−sinα= ．67. 已知 θ 是第三象限角，若 sin 4θ+cos 4θ=59，则 sin2θ= ． 68. 已知 sin (π4−α)=513(0<α<π4)，则cos2αcos(π4+α)= ．69. 若 sin (π6−α)=13，则 cos (2π3+2α)= ． 70. 若 tanθ+1tanθ=4，则 sin2θ= ．71. 计算：cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11= ． 72. 化简：√1+sin20∘+√1−sin20∘= ． 73. 已知 sinα=35，α∈(π2,π)，则√2sin(α+π4)= ．74. sin50∘(1+√3tan10∘) 的值是．75. 下面有 5 个命题： ① 函数 y =sin 4x −cos 4x 的最小正周期是 π； ②终边在 y 轴上的角的集合是 {α∣ α=kπ2,k ∈Z}；③ 在同一坐标系中，函数 y =sinx 的图象和函数 y =x 的图象有三个公共点； ④函数 y =tanx 在其定义域上是单调递增函数；⑤ 函数 y =sin (x −π2) 是偶函数；则正确命题的序号是．76. 若 tan (α+π4)=2，则 sin2α 的值为．77. 若 sin (α−β)cosα−cos (β−α)sinα=45，则 cos2β= ． 78. 已知 cos (π4+x)=35，17π12<x <7π4，求 sin2x+2sin 2x1−tanx的值是．79. 求 (1cos 280∘−3cos 210∘)⋅1cos20∘ 的值为．80. 已知 α∈(−π2,0)，且 cos2α=sin (α−π2)，则 tan α2 等于．三、解答题（共20小题；共260分）81. 已知 f (x )=√2sin (2x −π4)，且 f (12a +π4)=−4√25，17π12<α<7π4．（1）求 cosα；（2）求sin2α+2sin 2α1−tanα．82. 已知 cosθ=45，θ∈(0,π2)．（1）求 sin2θ 的值；（2）求 cos (θ+π4) 的值；（3）求 tan (θ+π4) 的值．83. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 所对应的边分别为 a ，b ，c ．已知 asin2B =√3bsinA ．（1）求 B ；（2）若 cosA =13，求 sinC 的值．84. 已知函数 f (x )=sin 2x +√3sinxcosx +32，x ∈R ．（1）求函数 f (x ) 的最小正周期 T 及在 [−π,π] 上的单调递减区间；（2）若关于 x 的方程 f (x )+k =0，在区间 [0,π2] 上有且只有一个实数解，求实数 k 的取值范围．85. △ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，m ⃗⃗⃗=(1,2)，n ⃗⃗=(cos2A,cos 2A2)，且 m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=1．（1）求 A 的大小；（2）若 b +c =2a =2√3，求 △ABC 的面积并判断 △ABC 的形状．86. 已知函数 f (x )=√3sinωx ⋅cosωx +cos 2ωx −12(ω>0)，其最小正周期为 π2．（1）求 f (x ) 的表达式；（2）将函数 f (x ) 的图象向右平移 π8 个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 y =g (x ) 的图象，若关于 x 的方程 g (x )+k =0 在区间 [0,π2] 上有且只有一个实数解，求实数 k 的取值范围．87. 已知 sin (x −3π4)cos (x −π4)=−14，求 cos4x 的值．88. 已知 A ，B ，C 的坐标分别为 A (4,0)，B (0,4)，C (3cosα,3sinα)．（1）若 α∈(−π,0)，且 ∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣，求角 α 的大小；（2）若 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求 2sin 2α+sin2α1+tanα的值．89. 已知 cosα=45，且 3π2<α<2π，求 tan α2 的值． 90. 已知 cos (π4+x)=35，求sin2x−2sin 2x1−tanx的值．91. 已知1+tanα1−tanα=2011，求1cos2α+tan2α 的值．92. 已知函数 f (x )=1+√2cos(2x−π4)sin(x+π2)．（1）求 f (x ) 的定义域；（2）若角 α 是第四象限角，且 cosα=35，求 f (α)． 93. 已知函数 f (x )=cos 2x2−sin x2cos x2−12，若 f (a )=3√210，求 sin2α 的值．94. 已知向量 a ⃗=(2cosα,sin 2α)，b⃗⃗=(2sinα,t )，α∈(0,π2)，t 为实数．（1）若 a ⃗−b ⃗⃗=(25,0)，求 t 的值；（2）若 t =1，且 a ⃗⋅b ⃗⃗=1，求 tan (2α+π4) 的值．95. 已知 sin (α+π4)=√210，α∈(π2,π)．（1）求 cosα 的值；（2）求 sin (2α−π4) 的值．96. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 a =3，b =4，B =π2+A ．（1）求 cosB 的值；（2）求 sin2A +sinC 的值．97. 已知函数 f (x )=2cos (π6x +π3)(0≤x ≤5)，点 A ，B 分别是函数 y =f (x ) 图象上的最高点和最低点．（1）求点 A ，B 的坐标以及 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值；（2）设点 A ，B 分别在角 α，β(α,β∈[0,2π]) 的终边上，求 sin (α2−2β) 的值．98. 已知 α∈(π2,π)，且 sinα=45．（1）求 cos (α−π4) 的值；（2）求 sin 2α2+sin4αcos2α1+cos4α 的值．99. 在 △ABC 中，已知 cosC +(cosA −√3sinA)cosB =0．（1）求角 B 的大小；（2）若 sin (A −π3)=35，求 sin2C ．100. 己知向量 m ⃗⃗⃗=(√3sin x4,1)，n ⃗⃗=(cos x4,cos 2x4)．记 f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗．（1）若 cos (2π3−x)=−12，求 f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ 的值；（2）在锐角 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，且满足 (2a −c )cosB =bcosC ，求函数 f (A ) 的取值范围．答案第一部分 1. C2. A【解析】因为 sin (π−α)=13，所以 sinα=13，又因为 π2≤α≤π，所以 cosα=−√1−sin 2α=−2√23，所以sin2α=2sinαcosα=2×13×(−2√23)=−4√29.3. D4. D【解析】sin (α−π2)=−35，所以 cosα=35，又 −π2<α<π2，所以 cos2α=2cos 2α−1=2×925−1=−725． 5. C6. B【解析】因为 α 为第三象限角，所以 sinα<0，cosα<0，sinα+cosα=2m <0，所以 m <0．因为 (sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+sin2α=4m 2=1+m 2,所以 m 2=13，m =−√33． 7. C8. D9. A【解析】因为 tanθ=2−1=−2，所以 tan2θ=2tanθ1−tan 2θ=2×(−2)1−(−2)2=43．10. A【解析】由题意，直线 y =√2x 与圆 O:x 2+y 2=1 交于 A ，B 两点，直线 y =√2x 过原点，斜率 k =√2，即 tanα=√2，α，β 的始边是 x 轴的非负半轴，终边分别在射线 OA 和 OB ，则 β=α+π．那么：tan (α+β)=tan (2α+π)=tan2α=2tanα1−tan 2α=2√21−2=−2√2． 11. D 12. D 13. A 【解析】因为 cos2α=cos 2α−sin 2α，所以当 sinα=cosα 时，cos2α=0，充分性成立；当 cos2α=0 时，因为 cos 2α−sin 2α=0，所以 cosα=sinα 或 cosα=−sinα，必要性不成立． 14. D 【解析】因为tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin 2θ+cos 2θsinθcosθ=112sin2θ=4,所以 sin2θ=12．15. D【解析】由 cos (α+π2)=−sinα=35，则 sinα=−35，又 −π2<α<π2，所以 cosα=√1−sin 2α=45，又 sin2α=2sinαcosα=2×(−35)×45=−2425． 16. C 【解析】原式 =cos 220∘−sin 220∘cos25∘(cos20∘−sin20∘)=cos20∘+sin20∘cos25∘=√2cos25∘cos25∘=√2 .17. A 18. A 19. B 【解析】由 cos (2π3−α)=34，可得，cos (π2+π6−α)=34，即 sin (π6−α)=−34，那么 sin (α−π6)=34．cos (π3−2α)=cos2(π6−α)=cos2(α−π6)=1−2sin 2(α−π6)=1−2×916=−18.所以 sin (α−π6)cos (π3−2α)=−18×34=−332．20. A 【解析】因为sin (π3−α)=cos [π2−(π3−α)]=cos (π6+α)=13.所以sin (π6−2α)=cos [π2−(π6−2α)]=cos [2(π6+α)]=2cos 2(π6+α)−1=2×19−1=−79.21. C 【解析】因为 tanθ=3，则cos (3π2+2θ)=sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=69+1=35.22. D 23. B 【解析】2sin 2π8−1=−cos π4=−√22，2√3sin 13π12cos π12=−√32，因为角 θ 的终边过点 (2sin 2π8−1,a)，sinθ=2√3sin 13π12cos π12，√12+a 2=−√32，所以 a =−√62． 24. D 25. C【解析】因为 α 是第一象限角，满足 sinα−cosα=√105，所以 1−2sinαcosα=1025，所以 2sinαcosα=35，所以 sinα+cosα=√(sinα+cosα)2=√1+2sinαcosα=2√105，则 cos2α=cos 2α−sin 2α=(cosα+sinα)⋅(cosα−sinα)=2√105⋅(−√105)=−45.26. C 27. A 【解析】由 sinα=23，得 cos2α=1−2sin 2α=1−89=19，所以 cos (π−2α)=−cos2α=−19．28. C 【解析】由 sinα=cosα⇒cos2α=cos 2α−sin 2α=0；由 cos2α=cos 2α−sin 2α=0，⇒cosα=±sinα．所以：“cos2α=0”是“sinα=cosα”的必要不充分条件． 29. D 【解析】因为 tanθ=−13，所以cos2θ=cos 2θ−sin 2θ=cos 2θ−sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ=1−191+19=45.30. A31. A 【解析】因为 tanθ=√3，所以 sin2θ1+cos2θ=2sinθcosθ2cos 2θ=tanθ=√3．32. D 33. C 2cos 2α+cos(π2+2α)−1√2sin(2α+π)=4=√2√2=1−tan2αtan2α+1，所以 tan2α=−35，则 tan (2α+π4)=tan2α+tanπ41−tan2α⋅tanπ4=−35+11−(−35)×1=14．34. C 【解析】因为 sinα−cosα=13，所以两边平方，可得：1−2sinαcosα=19，可得：1−sin2α=19，所以 cos (π2−2α)=sin2α=89．35. A【解析】由 cos (2x −π2)=sin 2x 得 sin2x =sin 2x ，因为 x ∈(0,π)，所以 tanx =2，所以 tan (x −π4)=tanx−11+tanx =13．36. D 37. C 【解析】由已知 α 为锐角，且 tanα=17，得到 sinα=√210，cosα=7√210，由 cos (α+β)=2√55，得到 sin (α+β)=√55，所以cosβ=cos [(α+β)−α]=cos (α+β)cosα+sin (α+β)sinα=2√55×7√210+√55×√210=15√1050=3√1010,所以 cos2β=2cos 2β−1=2×910−1=45．38. D 39. C 【解析】方法一（直接法）：sinα+2cosα=√102两边平方，再同时除以 cos 2α，整理得 3tan 2α−8tanα−3=0，故 tanα=3 或 tanα=−13，代入 tan2α=2tanα1−tan 2α，得 tan2α=−34．方法二（猜想法）：由给出的数据及选项的唯一性，记 sinα=√10，cosα=√10，这时 sinα+2cosα=√102符合要求，此时 tanα=3，代入二倍角公式求解即可．40. D 【解析】f (x )=1−cosωx2+sinωx 2−12=√22sin (ωx −π4)．由 f (x )=0，得 sin (ωx −π4)=0，解得 x =kπ+π4ω(k ∈Z )．由 f (x ) 在 (π,2π) 内没有零点，得kπ+π4ω∉(π,2π)(k ∈Z )，解得 ω∉(18,14)∪(58,54)∪(98,94)∪⋯=(18,14)∪(58,+∞)，因此，ω∈(0,18]∪[14,58]．第二部分 41. −19 42. 四【解析】由 sin2α=2sinαcosα<0， cos2α=cos 2α−sin 2α>0，知 2α 是第四象限角． 43. 13，−79 44. π2【解析】因为 f (x )=sinωx ⋅cosωx =12sin2ωx ，最小正周期为 2，所以 2=2π2ω，解得 ω=π2． 45. −725【解析】sin (π2+α)=35⇒cosα=35，则 cos2α=2cos 2α−1=−725．46. √34 47. −2425 48. −815【解析】由 2sinα+cosαsinα−cosα=2tanα+1tanα−1=3，可得：tanα=4，那么：tan2α=2tanα1−tan 2α=2×41−42=−815． 49. −1 【解析】由cos2α+sin (π2+α)cos (3π2−α)=cos 2α−sin 2α−cosαsinαsin 2α+cos 2α=1−tan 2α−tanαtan 2α+1,因为 tanα=2，所以 cos2α+sin (π2+α)cos (3π2−α)=1−4−24+1=−1．50. √55【解析】因为 π<θ<3π2，所以 π2<θ2<3π4，所以 cos θ2<0，sin θ2>0．又cosθ=−35，所以2cos2θ2−1=−35，1−2sin2θ2=−35，所以cosθ2=−√55，sinθ2=2√55，所以sinθ2+cosθ2=2√55+(−√55)=√55．51. 2√23【解析】因为sin2θ+cos2θ=1，所以sin4θ+cos4θ+2sin2θcos2θ=1，因为sin4θ+cos4θ=59，所以2sin2θcos2θ=49，因为角是第三象限角，所以sin2θ=2√23．52. √3【解析】由sin2α=2sinαcosα及sin2α=−sinα，α∈(π2,π)解出α，进而求得tan2α的值．因为sin2α=−sinα，所以2sinαcosα=−sinα．因为α∈(π2,π)，所以sinα≠0，所以cosα=−12．又因为α∈(π2,π)，所以α=23π，所以tan2α=tan43π=tan(π+π3)=tanπ3=√3．53. −72554. 72555. −8956. −1110【解析】因为点(θ,0)是函数f(x)=sinx+3cosx的一个对称中心，所以sinθ+3cosθ=0，所以tanθ=−3，则cos2θ+sinθcosθ=cos2θ−sin2θ+sinθcosθsin2θ+cos2θ=1−tan2θ+tanθtan2θ+1=1−9−39+1=−1110.57. 158. −1【解析】因为tanα=2，则cos2α−sinαcosα=cos 2α−sin 2α−sinαcosαsin 2α+cos 2α=1−tan 2α−tanαtan 2α+1=1−4−24+1=−1.59. 15【解析】因为 tan (π+α)=tanα=2，所以sin2α+cos2α=2sinαcosα+cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=2tanα+1−tan 2αtan 2α+1=2×2+1−2222+1=15.60.2√23【解析】因为 π2<α<π，所以 cosα<0．因为 3sin2α=2cosα，即 6sinαcosα=2cosα，所以 sinα=13，则 sin (α−9π2)=−cosα=√1−sin 2α=2√23． 61. −34【解析】函数 f (x )=3sinx +cosx =√10sin (x +φ)，tanφ=13，所以 cotφ=3，当 x =α 时，函数 f (x ) 取得最大值，即 α+φ=π2+2kπ，可得：α=2kπ+(π2−φ)，那么：tanα=tan (2kπ+π2−φ)=tan (π2−φ)=cotφ=3，则 tan2α=2tanα1−tan 2α=2×31−9=−34．62. 4sinα【解析】2sin (π−α)+sin2αcos 2α2=2sinα+2sinαcosα12(1+cosα)=4sinα(1+cosα)1+cosα=4sinα.63. −78【解析】依题意得cos (π3+2α)=−cos [π−(π3+2α)]=−cos2(π3−α)=2sin 2(π3−α)−1=2×(14)2−1=−78.64. 0 或 12【解析】由 sin2α=2−2cos2α=2(1−cos2α)，得 2sinα⋅cosα=4sin 2α，即 sinα=0 或 tanα=12．当 sinα=0 时，tanα=0，综上，tanα=0 或 12． 65.1+√338【解析】因为 1=(sinθ+cosθ)2−2sinθcosθ=(2sin2x )2−2sin 2x ，所以 4(1−cos 22x )=2−cos2x ，所以 4cos 22x −cos2x −2=0，所以 cos2x =1±√338．又1≥cos2x=1−2sin 2x=1−2sinθcosθ=(sinθ−cosθ)2≥0, 所以 cos2x =1+√338．66. −2sin α2【解析】√1+sinα+√1−sinα=√1+2sin α2cos α2+√1−2sin α2cos α2=∣∣sin α2+cos α2∣∣+∣∣sin α2−cos α2∣∣,由于5π2<α<7π2，所以 5π4<α2<7π4，所以原式=−2sin α2． 67.2√23【解析】因为 sin 4θ+cos 4θ=(sin 2θ+cos 2θ)2−2sin 2θcos 2θ=1−12sin 22θ=59，所以 sin 22θ=89．因为 θ 是第三象限角，所以 sinθ<0，cosθ<0，所以 sin2θ>0，所以 sin2θ=2√23． 68. 2413【解析】cos (π4+α)=sin (π4−α)=513，cos (π2−2α)=1−2sin 2(π4−α)=sin2α=119169．因为 α∈(0,π4)，2α∈(0,π2)，所以 cos2α=120169．所以原式=2413． 69. −79【解析】cos (π3+α)=sin [π2−(π3+α)]=sin (π6−α)=13, 所以cos (2π3+2α)=cos2(π3+α)=2cos 2(π3+α)−1=−79.70. 12【解析】tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin 2θ+cos 2θsinθcosθ=112sin2θ=4，所以 sin2θ=12． 71. 132【解析】原式=cosπ11⋅cos2π11⋅cos4π11⋅cos8π11⋅cos16π11=sin π11sin π11⋅cos π11⋅cos 2π11⋅cos 4π11⋅cos 8π11⋅cos16π11=132×sin32π11sin π11=132.72. 2cos10∘【解析】原式=√(sin10∘+cos10∘)2+√(sin10∘−cos10∘)2=∣sin10∘+cos10∘∣+∣sin10∘−cos10∘∣=sin10∘+cos10∘+cos10∘−sin10∘=2cos10∘. 73. −75√2sin(α+π4)=22√2(√22sinα+√22cosα)=cosα−sinα,因为 sinα=35，α∈(π2,π)，所以 cosα=−45，所以原式=−75．74. 1【解析】sin50∘(1+√3tan10∘)=sin50∘(cos10∘+√3sin10∘cos10∘)=sin50∘2(cos60∘cos10∘+sin60∘sin10∘)cos10∘=sin50∘⋅2cos50∘cos10∘=sin100∘cos10∘=cos10∘cos10∘=1.75. ①⑤【解析】① 函数 y =sin 4x −cos 4x =−cos2x ，故最小正周期是 π，故正确； ② 终边在 y 轴上的角的集合是 {α∣ α=kπ+π2,k ∈Z}，故错误；③ 由正弦线可知，sinx <x ，故在同一坐标系中，函数 y =sinx 的图象和函数 y =x 的图象有一个公共点，故错误；④ 函数 y =tanx 为周期函数，在周期内递增，但在其定义域上并不是单调递增函数，故错误； ⑤ 函数 y =sin (x −π2)=−cosx ，故是偶函数，故正确． 76. 35 77. −725【解析】由已知得 sin [(α−β)−α]=45，所以 sinβ=−45，所以 cos2β=1−2sin 2β=1−2×(−45)2=−725． 78. −2875【解析】sin2x+2sin 2x 1−tanx=2sinxcosx+2sin 2x1−sinx cosx=2sinxcosx (cosx+sinx )cosx−sinx,cosx +sinx =√2sin (π4+x)，cosx −sinx =√2cos (π4+x)．因为 17π12<x <7π4，所以 5π3<π4+x <2π．所以 sin (π4+x)<0．又 cos (π4+x)=35，所以 sin (π4+x)=−45．因为 sin2x =−cos (π2+2x)=−cos2(π4+x)，所以原式=−43sin2x=43cos2(x +π4)=43[2cos 2(x +π4)−1]=−2875.79. 32 【解析】因为1cos 280∘−3cos 210∘=1sin 210∘−3cos 210∘=cos 210∘−3sin 210∘sin 210∘cos 210∘=(cos10∘+√3sin10∘)(cos10∘−√3sin10∘)14sin 220∘=16sin40∘sin20∘sin 220∘=32cos20∘,所以原式=32． 80. −√33第三部分81. （1） f (12α+π4)=√2sin (2(12α+π4)−π4)=√2sin (α+π4)=−4√25．所以 sin (α+π4)=−45．因为 17π12<α<7π4，所以 5π3<α+π4<2π，所以 cos (α+π4)=35．所以cosα=cos [(α+π4)−π4]=cos (α+π4)cos π4+sin (α+π4)sin π4=35⋅√22+(−45)⋅√22=−√210.（2）同理 (1)，可以求出 sinα=−7√210．所以 sin2α=2sinαcosα=725，tanα=sinαcosα=7，所以sin2α+2sin 2α1−tanα=725+2⋅(−7√210)21−7=−2875．82. （1）因为 cosθ=45，θ∈(0,π2)，所以 sinθ=√1−cos 2θ=√1−(45)2=35．所以 sin2θ=2sinθcosθ=2425．（2） cos (θ+π4)=cosθcos π4−sinθsin π4=45×√22−35×√22=√210．（3） tanθ=sinθcosθ=34， tan (θ+π4)=tanθ+11−tanθ=7414=7．83. （1）在 △ABC 中，由 asinA =bsinB ，可得 asinB =bsinA ，又由 asin2B =√3bsinA ，得 2asinBcosB =√3bsinA =√3asinB ．又 sinB ≠0，得 cosB =√32，从而 B =π6．（2）由 cosA =13，得 sinA =2√23，则 sinC=sin [π−(A +B )]=sin (A +B )=sin (A +π6)=√32sinA +12cosA =2√6+16.84. （1）由已知f (x )=sin 2x +√3sinxcosx +32=1−cos2x2+√32sin2x +32=√32sin2x −12cos2x +2=sin (2x −π6)+2,所以 T =2π2=π．又因为 2kπ+π2≤2x −π6≤2kπ+3π2(k ∈Z )，所以 kπ+π3≤x ≤kπ+5π6(k ∈Z )．当 k =0 时 x ∈[π3,5π6]⊆[−π,π]；当 k =−1 时 x ∈[−2π3,−π6]⊆[−π,π]．所以函数 f (x ) 在 [−π,π] 的单调递减区间为 [−2π3,−π6] 和 [π3,5π6]．（2）由 x ∈[0,π2]，所以 2x −π6∈[−π6,5π6]，所以 −12≤sin (2x −π6)≤1， f (x )+k =0 在区间 [0,π2] 上有且只有一个实数解，即函数 y =sin (2x −π6) 与 y =−k −2 在区间 [0,π2] 上有且只有一个交点，由函数的图象可知 −12≤−k −2<12 或 −k −2=1．所以 −52<k ≤−32或 k =−3．85. （1）因为 m ⃗⃗⃗=(1,2)，n ⃗⃗=(cos2A,cos 2A2)，且 m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=1，所以 m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=cos2A +2cos 2A2=2cos 2A −1+1+cosA =2cos 2A +cosA =1，所以 cosA =12 或 cosA =−1，因为 A ∈(0,π)，所以 A =π3．（2）由题意知 a =√3．因为 a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c )2−2bc (1+cosA )，所以 3=12−2bc (1+cos π3)，所以 bc =3．所以 S △ABC =12bcsinA =12×3×√32=3√34．由 {b +c =2√3,bc =3,解得 b =c =√3．又因为 a =√3，所以 △ABC 为等边三角形．86. （1） f (x )=√3sinωx ⋅cosωx +cos 2ωx −12=√32sin2ωx +cos2ωx+12−12=sin (2ωx +π6).又 f (x ) 的最小正周期 T =π2，所以 T =2π2ω=πω=π2，所以 ω=2，所以 f (x )=sin (4x +π6)．（2）将 f (x ) 的图象向右平移 π8 个单位长度后，得到 y =sin (4x −π3) 的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到 y =sin (2x −π3) 的图象，所以 g (x )=sin (2x −π3)，当 0≤x ≤π2 时，−π3≤2x −π3≤2π3，易知当 −π3≤2x −π3≤π2，即 0≤x ≤512π 时，g (x ) 递增，且 g (x )∈[−√32,1]，当 π2<2x −π3≤2π3，即 512π<x ≤π2 时，g (x ) 递减，且 g (x )∈[√32,1)．又 g (x )+k =0 在区间 [0,π2] 上有且只有一个实数解，即函数 y =g (x ) 与 y =−k 的图象在区间 [0,π2] 上有且只有一个交点，所以 −√32≤−k <√32或 −k =1，解得 −√32<k ≤√32或 k =−1，所以实数 k 的取值范围是 (−√32,√32]∪{−1}．87. 由 sin (x −3π4)cos (x −π4)=−14 得 sin (x +π4)cos (x −π4)=14，所以 sin 2(x +π4)=14．所以1−cos(2x+π2)2=14．所以 cos (2x +π2)=12．所以 sin2x =−12．所以 cos4x =1−2sin 22x =12．88. （1） AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3cosα−4,3sinα)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3cosα,3sinα−4)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=25−24cosα，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=25−24sinα，因为 ∣AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣，所以 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 ，所以 25−24cosα=25−24sinα，所以 sinα=cosα，又 α∈(−π,0)，所以 α=−34π．（2）因为 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即 (3cosα−4)×3cosα+3sinα×(3sinα−4)=0，解得 sinα+cosα=34，所以 1+2sinαcosα=916，所以 2sinαcosα=−716，故2sin 2α+sin2α1+tanα=2sinα(sinα+cosα)sinα+cosαcosα=2sinαcosα=−716.89. 由于所求的是关于 α2的函数，可考虑用倍角公式将 cosα 展开，或将 tan α2中的 α2转化为 α 的函数．由 cosα=1−2sin 2α2=2cos2α2−1，得 sin α2=±√1−cosα2，cos α2=±√1+cosα2．所以 tan α2=±√1−cosα1+cosα．又 3π2<α<2π，所以 3π4<α2<π．所以 tan α2=−√1−cosα1+cosα=−√1−451+45=−13．90. sin2x−2sin 2x1−tanx=cosx⋅2sinx (cosx−sinx )cosx−sinx=sin2x=−cos (2x +π2)=−2cos 2(x +π4)+1=−2×925+1=725.91.1cos2α+tan2α=1+sin2αcos2α=(cosα+sinα)2cos 2α−sin 2α=cosα+sinαcosα−sinα=1+tanα1−tanα=2011.92. （1）对于函数 f (x )=1+√2cos(2x−π4)sin(x+π2)，显然，sin (x +π2)≠0，所以 x +π2≠kπ，k ∈Z ，求得 x ≠kπ−π2，k ∈Z ，故函数的定义域为 {x∣ x ≠kπ−π2 ,k ∈Z}．（2）因为角 α 是第四象限角，且 cosα=35所以 sinα=−45，所以 sin2α=2sinαcosα=−2425，cos2α=2cos 2α−1=−725，则f (α)=1+√2cos(2α−π4)sin(α+π2)=1+√2(√22cos2α+√22sin2α)cosα=1+cos2α+sin2αcosα=1−725−242535=−25.93. 因为f (x )=cos 2x2−sin x2cos x 2−12=1+cosx 2−12sinx −12=12(cosx −sinx ),所以f (α)=12(cosα−sinα)=3√210，可得 cosα−sinα=3√25，所以两边平方可得 1−sin2α=1825，所以解得 sin2α=725．94. （1）向量 a ⃗=(2cosα,sin 2α)，b ⃗⃗=(2sinα,t )，α∈(0,π2)，t 为实数．若 a ⃗−b⃗⃗=(25,0)，则 (2cosα−2sinα,sin 2α−t )=(25,0)，可得 cosα−sinα=15，平方可得 sin 2α+cos 2α−2cosαsinα=125，即为 2cosαsinα=1−125=2425(cosα>0,sinα>0)，由 sin 2α+cos 2α=1，解得cosα+sinα=√(cosα−sinα)2+4sinαcosα=√125+4825=75,即有 cosα=45，sinα=35．则 t =sin 2α=925；（2）若 t =1，且 a ⃗⋅b ⃗⃗=1，即有 4cosαsinα+sin 2α=1，即有 4cosαsinα=1−sin 2α=cos 2α，由 α 为锐角，可得 cosα∈(0,1)，即有 tanα=sinαcosα=14，则 tan2α=2tanα1−tan 2α=121−116=815，tan (2α+π4)=tan2α+11−tan2α=1+8151−815=237．95. （1） sin (α+π4)=√210，即 sinαcos π4+cosαsin π4=√210，化简得 sinα+cosα=15, ⋯⋯① sin 2α+cos 2α=1. ⋯⋯② 由 ①② 解得 cosα=−35或 cosα=45．因为 α∈(π2,π)，所以 cosα=−35．（2）因为 α∈(π2,π)，cosα=−35，所以 sinα=45，那么 cos2α=1−2sin 2α=−725，sin2α=2sinαcosα=−2425，所以 sin (2α−π4)=sin2αcos π4−cos2αsin π4=−17√250．96. （1）因为 B =π2+A ，所以 cosB =cos (π2+A)=−sinA ，又 a =3，b =4，所以由正弦定理得 3sinA =4sinB ，所以 3−cosB =4sinB ，所以 −3sinB =4cosB ，两边平方得 9sin 2B =16cos 2B ，又 sin 2B +cos 2B =1，所以 cosB =±35，而 B >π2，所以 cosB =−35．（2）因为 cosB =−35，所以 sinB =45，因为 B =π2+A ，所以 2A =2B −π，所以sin2A =sin (2B −π)=−sin2B=−2sinBcosB=−2×45×(−35)=2425,又 A +B +C =π，所以 C =3π2−2B ，所以 sinC =−cos2B =1−2cos 2B =725，所以 sin2A +sinC =2425+725=3125．97. （1）因为 0≤x ≤5，所以 π3≤π6x +π3≤7π6，所以 −1≤cos (π6x +π3)≤12，当 π6x +π3=π3，即 x =0 时，f (x ) 取得最大值 1；当 π6x +π3=π，即 x =4 时，f (x ) 取得最小值 −2．因此，所求的坐标为 A (0,1)，B (4,−2)，则 OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,−2)，所以 OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0−2=−2．（2）因为点 A (0,1)，B (4,−2) 分别在角 α，β(α,β∈[0,2π]) 的终边上，所以 α=π2，sinβ=−√55，cosβ=2√55，则 sin2β=2sinβcosβ=2×(−√55)×2√55=−45，cos2β=2cos 2β−1=2×(2√55)2−1=35．所以sin (α2−2β)=sin (π4−2β)=sin π4cos2β−cos π4sin2β=√22(cos2β−sin2β)=√22×(35+45)=7√210.98. （1）因为 α∈(π2,π)，且 sinα=45．所以 cosα=−√1−sin 2α=−35，所以 cos (α−π4)=√22(sinα+cosα)=√210．（2）sin 2α2+sin4αcos2α1+cos4α=1−cosα2+2sin2αcos 22α2cos 22α=1−cosα2+2sinαcosα=1+352+2×45×(−35)=−425.99. （1）由 cosC +(cosA −√3sinA)cosB =0，根据三角形内角和定理消去 C ，则cosC +(cosA −√3sinA)cosB =−cos (A +B )+(cosA −√3sinA)cosB=−cosAcosB +sinAsinB +cosAcosB −√3sinAcosB =sinAsinB −√3sinAcosB =0;由 sinA >0，则有 tanB =√3．因为 B ∈(0,π)，故得 B =π3．（2） sin (A −π3)=35，令 A −π3=t ，即 sint =35，因为 0<A <2π3，所以 −π3<t <π3，则 A =t +π3，那么：sin2C =sin2(π−A −B )=sin2(π−π3−t −π3)=sin (2t +π3)=12sin2t +√32cos2t,由 −π3<t <π3，因为 sint =35，所以 cost =45，sin2t =2sintcost =2425，cos2t =cos 2t −sin 2t =725，故得 sin2C =12×2425+725×√32=24+7√350． 100. （1）由 cos (2π3−x)=−12，得 2π3−x =2kπ+2π3,k ∈Z ，即 x =−2kπ,k ∈Z ．f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=√3sin x 4cos x 4+cos 2x4=√32sin x 2+12cos x 2+12=sin (x2+π6)+12.所以当 x =−2kπ,k ∈Z 时，f (x )=1 或 f (x )=0．（2）因为 (2a −c )cosB =bcosC ，由正弦定理，得 (2sinA −sinC )cosB =sinBcosC ，。

高考数学一轮复习专题7.2 一元二次不等式及其解法(练)

专题7.2 一元二次不等式及其解法【基础巩固】一、填空题1．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．【答案】92．对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．【答案】{x |x <1或x >3}【解析】x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.3．(2015·江苏卷)不等式2x 2－x ＜4的解集为________．【答案】{x |－1<x <2}【解析】∵2x 2－x <4＝22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．【答案】[0,4]【解析】由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________．【答案】{x |x ＞1}【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}． 6．(2017·盐城期中)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[－1,4]7．(2017·扬州期末)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 【解析】由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，45. 8．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＝m 2＋m 2－1＜0，f m ＋1＝m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0. 二、解答题9．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.【能力提升】11．(2016·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x <－3212．(2017·南通调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________．【答案】{x |－ln 2<x <l n 3}【解析】法一依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－l n 2<x <ln 3. 法二由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12<x <3，令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3. 13．(2017·无锡模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)【解析】由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.14．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R)．解原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.。

高考数学一轮复习必备(第62课时)：第八章圆锥曲线方程-双曲线

高考数学一轮复习必备（第62课时）：第八章圆锥曲线方程-双曲线一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）平面内有两个定点F1，F2和一动点M，设命题甲，||MF1|﹣|MF2||是定值，命题乙：点M的轨迹是双曲=1 =1．D4．（5分）双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，则双曲线方程为（）．或5．（5分）双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）6．（4分）双曲线上一点P的两条焦半径夹角为60°，F1，F2为焦点，则△PF1F2的面积为_________．7．（4分）与圆（x+3）2+y2=1及圆（x﹣3）2+y2=9都外切的圆的圆心轨迹方程为_________．8．（4分）过点（0，3）作直线l，如果它与双曲线有且只有一个公共点，则直线l的条数是_________．9．（4分）6件产品中，有2件次品，任取两件都是次品的概率是_________．10．（4分）过双曲线的一个焦点F1且垂直于实轴的弦PQ，若F2为另一个焦点，且有∠PF2Q=90°，则此双曲线的离心率为_________．11．（4分）已知，P是曲线x2﹣y2=1（x＞0）上一点，当取最小值时，P的坐标是_________，最小值是_________．12．（4分）如果F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=6，则△ABF2的周长是_________．三、解答题（共6小题，满分0分）13．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上求一点P，使|PF1|是P 到l的距离d与|PF2|的等比中项？若能，求出P的坐标，若不能，说明理由．14．过双曲线的右焦点F作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线的左、右支的交点分别为A，B．（1）求证：P在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围．15．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）渐近线方程为x+2y=0，x﹣2y=0；（2）点A（5，0）到双曲线上动点P的距离最小值为．16．一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为，一双曲线和这椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的方程．17．设双曲线两焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），点P为双曲线右支上除顶点外的任一点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求证：．18．已知双曲线C的两个焦点为F1，F2，实半轴长与虚半轴长的乘积为，直线l过点F2，且与线段F1F2的夹角为α，，直线l与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且，求双曲线方程．高考数学一轮复习必备（第62课时）：第八章圆锥曲线方程-双曲线参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）平面内有两个定点F1，F2和一动点M，设命题甲，||MF1|﹣|MF2||是定值，命题乙：点M的轨迹是双曲=1 =1解：∵∴．D．4．（5分）双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，则双曲线方程为（）．或轴上时，渐近线方程为所以此时有a=2所以双曲线方程为所以此时有a=b=2所以双曲线方程为5．（5分）双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）双曲线的离心率双曲线标准方程为：﹣＜二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）6．（4分）双曲线上一点P的两条焦半径夹角为60°，F1，F2为焦点，则△PF1F2的面积为16．双曲线上一点=16167．（4分）与圆（x+3）2+y2=1及圆（x﹣3）2+y2=9都外切的圆的圆心轨迹方程为（x＜0）．b=2点的轨迹方程为（（8．（4分）过点（0，3）作直线l，如果它与双曲线有且只有一个公共点，则直线l的条数是4．或±±9．（4分）6件产品中，有2件次品，任取两件都是次品的概率是．所以概率是．10．（4分）过双曲线的一个焦点F1且垂直于实轴的弦PQ，若F2为另一个焦点，且有∠PF2Q=90°，则此双曲线的离心率为1+．|PQ|=，∴∴或（舍去）∴11．（4分）已知，P是曲线x2﹣y2=1（x＞0）上一点，当取最小值时，P的坐标是，最小值是2﹣．，根据双曲线的第二定义可知，，∴∴．由此可以求出当的坐标和c=，∴，准线方程为∴，∴双曲线的准线时，）得当由题设条件可知，﹣；12．（4分）如果F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=6，则△ABF2的周长是28．三、解答题（共6小题，满分0分）13．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上求一点P，使|PF1|是P 到l的距离d与|PF2|的等比中项？若能，求出P的坐标，若不能，说明理由．，故点﹣，又=•，＞14．过双曲线的右焦点F作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线的左、右支的交点分别为A，B．（1）求证：P在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围．＞（，即在右准线上．＞，即e=＞15．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）渐近线方程为x+2y=0，x﹣2y=0；（2）点A（5，0）到双曲线上动点P的距离最小值为．，转化为双曲线与半径为的圆，说明双曲线与半径为=1，，双曲线方程为：﹣即可，反之，如此题设双曲线方程为16．一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为，一双曲线和这椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的方程．、由题意得和；轴上的椭圆、双曲线的标准方程分别为和．17．设双曲线两焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），点P为双曲线右支上除顶点外的任一点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求证：．，所以，由此能够．中，∴∴∴∴18．已知双曲线C的两个焦点为F1，F2，实半轴长与虚半轴长的乘积为，直线l过点F2，且与线段F1F2的夹角为α，，直线l与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且，求双曲线方程．c=x，进而根据的方程，求得的值，进而根据解：双曲线方程为c=x，=y=（代入方程，﹣﹣（负舍）=3ab=，﹣。

2015届高考数学第一轮基础巩固训练题62

第11讲导数在研究函数中的应用.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()．A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析f′(x)＝e x(x－2)，令f′(x)＞0得x＞2.∴f(x)的单调增区间是(2，＋∞)．答案 D2．(2013·浙江卷)已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是()．解析由y＝f′(x)的图像知，y＝f(x)的图像为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．答案 B3．(2014·宝鸡模拟)函数y＝x e x的最小值是()．A．－1B．－eC．－1e D．不存在解析y′＝e x＋x e x＝(1＋x)e x，令y′＝0，则x＝－1，因为x＜－1时，y′＜0，x＞－1时，y′＞0，所以x＝－1时，y min＝－1e.答案 C4．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则()．A．a＜－1B．a＞－1C．a＞－1e D．a＜－1e解析∵y＝e x＋ax，∴y′＝e x＋a.∵函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝e x＋a＝0有大于零的解，∵x＞0时，－e x＜－1，∴a＝－e x＜－1.答案 A5．(2013·福建卷)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()．A．任意x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析A错，因为极大值未必是最大值；B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图像关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点；C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图像关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点；D正确，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图像关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．答案 D二、填空题6．(2013·威海期末考试)函数y ＝ln x －x 2的极值点为________．解析函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为y ′＝1x －2x ＝1－2x 2x ，令y ′＝1－2x 2x ＝0，解得x ＝22，当x ＞22时，y ′＜0，当0＜x ＜22时，y ′＞0，所以当x ＝22时，函数取得极大值，故函数的极值点为22.答案 227．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.答案 (0,1)∪(2,3)8．(2014·南昌模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.答案－7 三、解答题9．(2014·绍兴模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0.① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为x ＝1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，所以c ＝5. (2)由(1)，可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2＋4x －4. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.10．(2013·宜川模拟)已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ＜0，求f (x )的单调区间．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2＋x －1)e x ，所以f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x －1)e x ＝(x 2＋3x )e x ，所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝4e ，又因为f (1)＝e ，所以所求切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0.(2)f ′(x )＝(2ax ＋1)e x ＋(ax 2＋x －1)e x＝[ax 2＋(2a ＋1)x ]e x ，①若－12＜a ＜0，当x ＜0或x ＞－2a ＋1a 时，f ′(x )＜0；当0＜x ＜－2a ＋1a 时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为(－∞，0]，⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2a ＋1a ，＋∞；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－2a ＋1a .②若a ＝－12，f ′(x )＝－12x 2e x ≤0，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)．③若a ＜－12，当x ＜－2a ＋1a 或x ＞0时，f ′(x )＜0；当－2a ＋1a ＜x ＜0时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2a ＋1a ，[0，＋∞)；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a ＋1a ，0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析由函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，可得a <1，又g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x －2a ，则g ′(x )＝1－ax 2，易知在x ∈(1，＋∞)上g ′(x )>0，所以g (x )在(1，＋∞)上为增函数．答案 D2．(2013·临沂模拟)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()．A．2B．3C．6D．9解析∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，Δ＝4a2＋96b＞0，又x＝1是极值点，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，∴ab≤(a＋b)24＝9，当且仅当a＝b时“＝”成立，所以ab的最大值为9.答案 D 二、填空题3．(2014·宁波调研)设函数f(x)＝ln x－12ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________．解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.∴f′(x)＝1x －ax＋a－1＝－(ax＋1)(x－1)x.①若a≥0，当0<x<1时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；所以x＝1是f(x)的极大值点．②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或－1a.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②得a的取值范围是a>－1.答案(－1，＋∞)三、解答题4．(2014·黄冈模拟)已知函数f(x)＝13x3－ax＋1.(1)当x＝1时，f(x)取得极值，求a的值；(2)求f(x)在[0,1]上的最小值．解因为f′(x)＝x2－a，(1)当x＝1时，f(x)取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1，又当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1时符合题意．(2)①当a≤0时，f′(x)＞0对x∈(0,1)恒成立，所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1.②当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，解得x＝－a或a.ⅰ.当0＜a＜1时，a＜1，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(a，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a 3.ⅱ.当a≥1时，a≥1.x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.综上所述，当a≤0时，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1，当0＜a＜1时，f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a3，当a≥1时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

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第11讲导数在研究函数中的应用.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()．A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析f′(x)＝e x(x－2)，令f′(x)＞0得x＞2.∴f(x)的单调增区间是(2，＋∞)．答案 D2．(2013·浙江卷)已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是()．解析由y＝f′(x)的图像知，y＝f(x)的图像为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．答案 B3．(2014·宝鸡模拟)函数y＝x e x的最小值是()．A．－1B．－eC ．－1eD ．不存在解析 y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，令y ′＝0，则x ＝－1，因为x ＜－1时，y ′＜0，x ＞－1时，y ′＞0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e .答案 C4．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )． A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1. 答案 A5．(2013·福建卷)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )．A ．任意x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点解析 A 错，因为极大值未必是最大值；B 错，因为函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图像关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点；C 错，函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图像关于x 轴对称，x 0应为－f (x )的极小值点；D 正确，函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点对称，－x 0应为y ＝－f (－x )的极小值点．答案 D 二、填空题6．(2013·威海期末考试)函数y ＝ln x －x 2的极值点为________．解析函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为y ′＝1x －2x ＝1－2x 2x ，令y ′＝1－2x 2x ＝0，解得x ＝22，当x ＞22时，y ′＜0，当0＜x ＜22时，y ′＞0，所以当x ＝22时，函数取得极大值，故函数的极值点为22.答案 227．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.答案 (0,1)∪(2,3)8．(2014·南昌模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎨⎧ a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.答案－7 三、解答题9．(2014·绍兴模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0.① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为x ＝1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，所以c ＝5. (2)由(1)，可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2＋4x －4. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.10．(2013·宜川模拟)已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ＜0，求f (x )的单调区间．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2＋x －1)e x ，所以f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x －1)e x ＝(x 2＋3x )e x ，所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝4e ，又因为f (1)＝e ，所以所求切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0.(2)f ′(x )＝(2ax ＋1)e x ＋(ax 2＋x －1)e x ＝[ax 2＋(2a ＋1)x ]e x ，①若－12＜a ＜0，当x ＜0或x ＞－2a ＋1a 时，f ′(x )＜0；当0＜x ＜－2a ＋1a 时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为(－∞，0]，⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2a ＋1a ，＋∞；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－2a ＋1a .②若a ＝－12，f ′(x )＝－12x 2e x≤0，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)． ③若a ＜－12，当x ＜－2a ＋1a 或x ＞0时，f ′(x )＜0；当－2a ＋1a ＜x ＜0时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2a ＋1a ，[0，＋∞)；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a ＋1a ，0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析由函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，可得a <1，又g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x －2a ，则g ′(x )＝1－ax 2，易知在x ∈(1，＋∞)上g ′(x )>0，所以g (x )在(1，＋∞)上为增函数．答案 D2．(2013·临沂模拟)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )．A ．2B ．3C ．6D ．9解析 ∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， Δ＝4a 2＋96b ＞0，又x ＝1是极值点， ∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b )24＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，所以ab 的最大值为9.答案 D 二、填空题3．(2014·宁波调研)设函数f(x)＝ln x－12ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________．解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.∴f′(x)＝1x－ax＋a－1＝－(ax＋1)(x－1)x.①若a≥0，当0<x<1时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；所以x＝1是f(x)的极大值点．②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或－1 a.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②得a的取值范围是a>－1. 答案(－1，＋∞)三、解答题4．(2014·黄冈模拟)已知函数f(x)＝13x3－ax＋1.(1)当x＝1时，f(x)取得极值，求a的值；(2)求f(x)在[0,1]上的最小值．解因为f′(x)＝x2－a，(1)当x＝1时，f(x)取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1，又当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1时符合题意．(2)①当a≤0时，f′(x)＞0对x∈(0,1)恒成立，所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1.②当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，解得x＝－a或a.ⅰ.当0＜a＜1时，a＜1，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(a，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a 3.ⅱ.当a≥1时，a≥1.x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.综上所述，当a≤0时，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1，当0＜a＜1时，f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a3，当a≥1时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.。