专题三：命题形式变化及真假判定
专题03 命题形式变化及真假判定(解析版)
专题03 命题形式变化及真假判定【热点聚焦与扩展】（一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若，则”的形式，则 （1）否命题：“若，则” （2）逆命题：“若，则” （3）逆否命题：“若，则”2、，（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为 （2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为3、命题的否定：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法（1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多个→至少个 小于→大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时均变为：或→且 且→或（3）全称命题与存在性命题的否定全称命题： 存在性命题： 规律为：两变一不变① 两变：量词对应发生变化（），条件要进行否定 ② 一不变：所属的原集合的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联.1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同.而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联p q p ⌝q ⌝q p q ⌝p ⌝p q ∨p q ∧p q ∨p q ∧p ⌝n 1n +,p q ,p q ⌝⌝p q p ⌝q ⌝p q p ⌝q ⌝():,:,()p x M p x p x M p x ∀∈→⌝∃∈⌝():,:,()p x M p x p x M p x ∃∈→⌝∀∈⌝∀⇔∃()p x ()p x ⇒⌝x M2、，，如下列真值表所示：简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、：与命题真假相反. 4、全称命题：真：要证明每一个中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题：真：只需在举出一个使命题成立的元素即可 假：要证明中所有的元素均不能使命题成立【经典例题】例1、【2020年高考全国Ⅱ卷文理16】设有下列四个命题： 1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①41p p ∧②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假．再利用复合命题的真假可得出结论． 【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，p q ∨p q ∧p ⌝p M M M同理3l 与2l 的交点B 也在平面α内，∴AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题．综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题．故答案为：①③④．【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活应用，本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查复合命题真假的判断，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解空间点线面的位置关系，理解或命题、且命题、非命题的含义及其真值表．例2．【四川省宜宾市2020届高三三模】下列命题是假命题的是（ ）A ．000sin cos x R x x ∃∈-，B ．00cos 1x R x ∃∈≥，C ．()01ln x x x ∀∈+∞-≥，，D ．(0)tan 2x x x π∀∈>，，【答案】A【解析】因为sin cos )4x x x π-=-，其值域为[，所以A 项错误；因为cos [1,1]x ∈-，所以B 项正确；令()1ln =--f x x x ，11'()1x f x x x-=-=， 当01x <<时，'()0f x <，当1x >时，'()0f x >，所以函数()1ln =--f x x x 在(0,1)上单调减，在(1,)+∞上单调增， 所以()1ln =--f x x x 在1x =处取得最小值，且(1)0f =， 所以()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，所以C 项正确；借助于三角函数线，可知(0)tan 2x x x π∀∈>，，，所以D 项正确；故选：A.【专家解读】该题考查的是有关命题真假的判断，涉及到的知识点有三角函数的值域，导数的应用，属于简单题目.例3．【2020届陕西省西安中学高三四模】已知命题p ：x R ∃∈，20x ->；命题q ：0x ∀≥x <，则下列说法中正确的是 A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题 D ．()p q ∨⌝是假命题【答案】C【解析】命题p ，003,20x x ∃=->，即命题p 为真，对命题q ，去111424x x ==>= ，所以命题q 为假，p ⌝为真 所以()p q ∧⌝是真命题，故选：C.【专家解读】(1)对于一些简单命题，判断为真，许推理证明，若判断为假，只需找出一个反例即可； (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表；(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.例4．【湖南省长沙市长郡中学2020届高三三模】已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是（ ）A ．x R ∃∈，2230x x ++>B ．x R ∀∈，2230x x ++≤C ．x R ∀∈，2230x x ++≥D ．x R ∀∈，2230x x ++>【答案】C【解析】命题p 为特称命题，其否定为:p x R ⌝∀∈，2230x x ++≥. 故选：C.【专家解读】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题. 例5．【河北省鸡泽县第一中学2020年高三三模】下列命题是真命题的为( ) A ．若＝，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则＝D ．若x <y ，则x 2<y 2【答案】A 【解析】由得x=y ，而由x 2=1得x=±1，由x=y ，不一定有意义，而x ＜y 得不到x 2＜y 2，故选A ．例6．【河南省名校联盟2020年高三三模】下列命题为真命题的个数是（ ） ①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数； ②若0a b ⋅=，则0a =或0b =；③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题；④函数()x xe ef x x--=是偶函数.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①中，当x =22x =为有理数，故①错误；对于②中，若0a b ⋅=，可以有a b ⊥，不一定要0a =或0b =，故②错误；对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中，()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-，且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，定义域关于原点对称，所以函数()x xe ef x x--=是偶函数，故④正确.综上，真命题的个数是2.故选：B.【专家解读】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力.例7．【安徽省六安市第一中学2020届高三三模】下列命题错误的是( )A ．命题“若0xy =，则x ，y 中至少有一个为零”的否定是：“若0xy ≠，则x ，y 都不为零”B ．对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥C ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为“若方程20x x m +-=无实根，则0m ≤”D ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 【答案】A【解析】A 选项中命题的否定是：若0xy =，则x ，y 都不为零，故A 不正确；B 选项是一个特称命题的否定，变化正确；C 选项是写一个命题的逆否命题，需要原来的命题条件和结论都否定再交换位置，C 正确；D 选项由前者可以推出后者，而反过来不是只推出1x =，故D 正确， 故选：A.【专家解读】本题考查了命题的否定，逆否命题，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.【精选精练】1．【2020届湖南长沙市第一中学高三三模】已知命题p ：x R ∀∈，23x x <；命题q ：x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】0x =可知: 命题p ：x R ∀∈，23x x <为假命题，由函数图象可知命题32:,1q x R x x ∃∈=-为真命题，所以p q ⌝∧为真命题．2．【河南省开封市2020届高三二模】已知:0p x ∀>，10x x-≥，则p ⌝为（ ） A ．00x ∃>，0010x x -< B ．00x ∃≤，0010x x -< C ．0x ∀>，10x x -< D ．00x ∀≤，10x x-≥ 【答案】A【解析】因为1:0,0p x x x∀>-，是全称命题， 故p ⌝为：00x ∃>，0010x x -<；故选：A ． 【专家解读】本题考查含量词命题的否定，属于基础题．3．【黑龙江省大庆实验中学2020届高三三模】下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．“1x >”是“||1x >”的充分而不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”【答案】C【解析】对于选项A ，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”，即原命题为真命题；对于选项B ，当1x >时，||1x >，当||1x >，1x >或1x <，即原命题为真命题； 对于选项C ，若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，即原命题为假命题；对于选项D ，命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”， 即原命题为真命题；故选C.【专家解读】本题考查了命题的逆否命题的真假、充分必要条件、复合命题的真假及特称命题的否定，重点考查了逻辑推理能力，属中档题.4．【吉林省长春市2020届高考数学二模】命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【答案】A【解析】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题.故选：A【专家解读】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.5．【四川省绵阳南山中学2020届高三高考仿真模拟】已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不重合的直线，命题p ：“若m α⊥，m n ⊥，则//n α”；命题q ：“若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥”，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨C ．()p q ∨⌝D ．()p q ⌝∧【答案】C【解析】命题p 中，若m α⊥，m n ⊥，则n 与α可能平行，也可能n ⊂α，故命题p 为假命题； 命题q 中，若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，m 与β的位置关系可能是m β⊂，//m β，也可能m 与β相交，故命题q 为假命题.因此p q ∧，p q ∨，()p q ⌝∧都是假命题，()p q ∨⌝为真命题.故选：C.【专家解读】本题主要考查判断复合命题的真假，涉及线面位置关系，属于基础题型. 6．【辽宁省沈阳二中2020届高三五模试题】已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞ D ．(3,1)-【答案】B【解析】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ． 【专家解读】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R 上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.7．【2020届重庆市南开中学高三三模】已知,x y R ∈，命题“若220x y +=，则0x =或0y =”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由于220x y +=，则0x y ==，所以原命题为真命题，其逆否命题也是真命题.否命题为“若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠”，如220,1,0x y x y ==+≠，所以否命题为假命题，故逆命题也是假命题.所以真命题的个数为2.故选：B【专家解读】本小题主要考查四种命题的真假性的判断，属于基础题. 8．【黑龙江省哈尔滨三中2020届四模试题】下列命题错误的是（ ） A ．若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题 B ．命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的必要不充分条件C ．若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤D ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件 【答案】B【解析】若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题，故A 正确；若“p q ∧为真，则p 真，q 真，此时“p q ∨为真成立，若“p q ∨为真，则有可能,p q 一真一假，此时“p q ∧为假，所以命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件，故B 错误；由特称命题的否定为全称命题可得若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤，故C 正确；若“1x =”，则“1x ≥”成立，反之不成立，所以“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件，故D 正确； 故选：B.【专家解读】本小题主要考查复合命题的真假、全称命题与特称命题的相互转化以及充分条件，必要条件等基础知识，属于基础题.9．【黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三三模】下列关于命题的说法错误的是（ ） A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠” B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件 C ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真 D ．命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是02x ∃>，0230x -≤ 【答案】C【解析】对于A ，由逆否命题的概念可得命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”，故A 正确；对于B ，若2a =，则函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数；若函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数，则只需满足1a >；所以“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=” 的逆命题为“若()00f x '=，则0x 为()y f x =的极值点”，对函数()3f x x =，()00f '=，但0x =不是函数()f x 的极值点，所以原命题的逆命题为假命题，故C 错误；对于D ，由全称命题的否定可知命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是02x ∃>，0230x -≤，故D 正确. 故选：C.【专家解读】本题考查了逆否命题、逆命题的改写、全称命题的否定，考查了充分条件、必要条件的判断及对数函数性质、极值点的概念，属于基础题.10．【黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月模拟】已知命题p ：棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；命题q ：棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】D【解析】对于命题p ，因为棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，故棱锥的侧面为等边三角形， 如果该棱锥是六棱锥，则六个侧面顶角的和为360︒，但六棱锥的侧面的顶角和小于360︒，矛盾，故p 为假命题.对于命题q ，斜棱柱有侧面不是长方形，故命题q 为假命题. 故p q ⌝∧⌝为真命题.故选：D.【专家解读】复合命题p q ∨的真假判断为“一真必真，全假才假”，p q ∧的真假判断为“全真才真，一假必假”，p ⌝的真假判断是“真假相反”．11．【广东省肇庆市2020届高中毕业班第三次统一检测】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，有下列四个命题：①若1D M CP ⊥，则BCM ∆ ②平面1A BD 内存在与11D C 平行的直线；③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，则这样的平面α有4个；④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β． 则上述四个命题中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】对于①，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；过M 作MG ⊥平面ABCD ，G 是垂足，过G 作GH BC ⊥，交BC 于H ，连结MH ，则(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,0,0)A ，1(1,0,)2P ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)D ，(1,1,0)B ，设(1,,)M a b ，则1(1,,1)D M a b =-，1(1,1,)2CP =-，∵1D M CP ⊥， ∴1111022D M CP a b ⋅=-+-=，解得21a b -=， ∴1CH a =-，21MG b a ==-，MH ==，∴11122BCM S BC MH ∆=⨯⨯=⋅112210=≥=，当35a =时，min ()BCM S ∆=，①正确； 对于11//D C DC ，DC平面1A BD D =，所以11D C 也与平面1A BD 相交．故②错； ③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，因为11//D C AB ，且11D C AB =，故11D C 在平面α的正投影的长度等于AB 在平面α的正投影的长度，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，即使得使得棱AD ，1AA ，AB 面α的正投影的长度相等，若棱AD ，1AA ，AB 面α的同侧，则α为过A 且与平面1A BD 平行的平面，若棱AD ，1AA ，AB 中有一条棱和另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面α有3个，故满足使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等的平面α有4个；③正确．④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β的正投影为一个正六边形，其中1AC ⊥平面β，而1AC 分别垂直于正三角形1A BD 和11CB D ，所以根据对称性，正方体的8个顶点中，1AC 在平面β内的投影点重合与正六边形的中心，其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，且正六边形的边长等于正三角形1A BD 的外接圆半径（投影线与正三角形1A BD 、11CB D 垂直），所以正六边形的边长为sin 6023a =÷︒=，所以投影的面积为2266a ==⎝⎭．④对．故选C ． 【专家解读】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力．12．【黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三三模】已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______.【答案】()12,0-【解析】命题：“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题即230x ax a -->恒成立，则∆<0，即：2120a a ∆=+<，解得120a -<<，故实数a 的取值范围为()12,0-故答案为：()12,0-【专家解读】本题考查由命题的真假求参数的范围，考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.13．【2020届湖南省永州市祁阳县高三二模】已知：()2:,21p x R x m x ∀∈>+，0:,q x R ∃∈200210x x m +--=， （1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若()p q ∧⌝为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2m ≥-；（2）2m <-.【解析】（1）因为0:R,q x ∃∈200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥，所以实数m 的取值范围为2m ≥-.（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若:R,p x ∀∈()221x m x >+为真命题， 则220mx x m -+<对任意的x ∈R 恒成立，当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有20440m m <⎧⎨-<⎩，1m ∴<-， 由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-，又()p q ∧⌝为真，故p 、q ⌝均为真命题，所以实数m 需满足12m m <-⎧⎨<-⎩，解得2m <-， 所以实数m 的取值范围为2m <-.【专家解读】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题.。
命题的真假判断及逻辑表达式(与或非)
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2021/10/10
解（1） 原命题：若x+3=8，则x =5 逆命题：若x=5 ，则x+3=8 否命 题：若x+3≠8，则x ≠ 5 逆否命题：若x ≠ 5 ，则x+3≠8 解 (2) 原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等 逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则它是正三角形 否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等 逆否命题：若一个三角形的三个内角不去相等，则它不是正三角形
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2021/10/10
命题之间的关系 原命题：若p 则q 逆命题：若q 则 p 否命题：若 p 则 q 逆否命题：若 q 则 p
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2021/10/10
例3把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题， 否命题与逆否命题
（1）由x+3=8,得x=5 (2)正三角形的三个内角相等 (3)正偶数不是质数 (4)全等三角形相似
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2021/10/10
2、互逆命题
对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的 结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么 这两个命题叫做互逆命题。
若把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题 的逆命题。
原命题：若p 则q
逆命题：若q 则 p
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平 行，同位角相等”。
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2021/10/10
3、互否命题
如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的 否定和结论的否定，这样两个命题叫做互否命题。
若把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否 命题
原命题：若p 则q 否命题：若 p 则 q
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同 位角不相等，两直线不平行”。
真假命题判断的口诀
真假命题判断的口诀
真假命题判断的口诀如下：
1、对于p且q形式的复合命题，同真则真。
2、对于p或q形式的复合命题，同假则假。
3、对于非p形式的复合命题，真假相反。
4、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
5、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
6、原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。
真假命题的概念如下：
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题，叫做真命题。
假命题：如果题设成立，结论不成立，这样的命题都是错误的命题，叫做假命题。
命题真假的判断
命题真假的判断我们知道可以判断真假的语句叫做命题。
命题有真有假，判断命题真假的方法有下面两种。
一. 正面判断命题的真假。
对于简单命题而言，可依据所学过的知识进行判断；对于复合命题而言，先判断简单命题的真假，再利用下面的真值表进行判断。
简言之，对于p且q形式的复合命题，同真则真；对于p或q形式的复合命题，同假则假；对于非p形式的复合命题，真假相反。
二. 利用四种命题之间的关系进行判断。
如下表：要牢记原命题与逆否命题，逆命题与否命题符合同真同假的关系。
如果判断某一命题真假困难时，只要判断其逆否命题的真假就可以了。
例1. 判断命题“若m>0，则x x m 20+-=有实根”的逆否命题的真假。
解法1：该命题的逆否命题是：“若x x m 20+-=无实根，则m ≤0。
” 由x x m 20+-=无实根，得∆=+<140m 解得m m <-⇒≤14故原命题的逆否命题是真命题。
解法2：因m>0时，∆=+>140m 所以x x m 20+-=有实根这说明原命题是真命题，它的逆否命题也是真命题。
例2. 若p 、q 是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则有（ ）A. p 真q 真B. p 假q 真C. p 真q 假D. p 假q 假解：因“p 或q ”的否定是真命题 所以“p 或q ”是假命题，可得p 假q 假。
故选D 。
如何正确地表达一个“命题的否定”及“否命题”是“简易逻辑”中的难点之一。
有些同学在写原命题的否命题时，仅写了对结论的否定；还有一些同学用反证法证明问题时，却假设条件和结论都不成立。
说明他们混淆了“否命题”与“命题的否定”这两个概念。
事实上“否命题”与“命题的否定”是两个根本不同的概念，如果原命题是“若p则q”，那么这个命题的否命题是“若非p，则非q”，而这个命题的否定是“若p则非q”。
可见，否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。
一般地，“都”表示全部，“不都”表示不是全部，它包含一部分或没有，而“都不”表示全不，即一个也没有。
数学真假命题知识点总结
数学真假命题知识点总结在数学中，命题是指可以判断真假的陈述句。
命题可以是真的，也可以是假的，但不能既是真的又是假的。
在数学中，判断命题的真假是非常重要的，因为基于命题的真假进行推理和论证是数学推导的基础。
本文将总结数学中关于真假命题的一些重要知识点和相关概念。
一、命题的定义命题是一个可以判断真假的陈述句。
例如，“2是一个偶数”就是一个命题，因为它可以判断为真；而“今天天气不错”并不是一个命题，因为它的真假无法确定。
命题通常用字母P、Q、R等代表，可以用命题符号（如∧、∨、→、¬等）进行逻辑连接，构成复合命题。
复合命题的真假取决于其组成命题的真假和逻辑连接符号的作用规则。
二、真假值对于一个给定的命题，它可以是真的，也可以是假的。
在数学中，通常用T表示真，F表示假。
例如，命题“2是一个偶数”可以表示为P=T，而命题“1是一个偶数”可以表示为Q=F。
三、命题的逻辑连接在数学中，命题可以通过逻辑连接符号进行逻辑连接，构成复合命题。
常见的逻辑连接符号包括合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）、双条件（↔）和否定（¬）等。
1. 合取（∧）：表示“并且”，只有当所有组成命题均为真时，合取命题才为真。
2. 析取（∨）：表示“或者”，只要有一个组成命题为真，析取命题就为真。
3. 蕴含（→）：表示“如果…，那么…”，当前件为假或者后件为真时，蕴含命题为真。
4. 双条件（↔）：表示“当且仅当”，即当且仅当两个组成命题同时为真或者同时为假时，双条件命题才为真。
5. 否定（¬）：表示“非”，即对原命题的真假进行取反。
这些逻辑连接符号在数学推理和证明中发挥着重要的作用，通过逻辑连接可以建立复杂的推理和论证，也可以对复合命题的真假进行推断。
四、命题的等价在数学中，两个命题如果具有相同的真假值，我们称它们是等价的。
例如，如果P→Q和¬P∨Q有相同的真假值，那么它们就是等价的。
命题的等价关系可以通过真值表进行判别，也可以通过逻辑等价式进行推理。
高中数学真假命题知识点
高中数学真假命题知识点在高中数学中，真假命题是一个重要的概念。
一个命题是一个陈述句，可以用真或假来判断其真实性。
在这里，我将介绍一些与高中数学真假命题相关的知识点。
1. 命题与非命题：一个陈述句如果可以判断其真假性，则称为命题。
例如，"1+1=2"是一个命题，因为它是真的。
但是，"现在是早晨"不是一个命题，因为无法确定其真假性。
2. 非真即假：一个命题要么是真的，要么是假的。
不存在即真且即假的情况。
例如，"负数乘以正数等于正数"是一个假命题，因为实际上负数乘以正数等于负数。
3. 命题的否定：命题的否定是指将其真值取反。
如果一个命题为真，则其否定为假；如果一个命题为假，则其否定为真。
例如，对于命题"P表示一个平面上的点，P在直线L上"，它的否定是"P表示一个平面上的点，P不在直线L上"。
4. 命题的合取与析取：合取是指将两个命题按照"且"的关系进行连接，析取是指将两个命题按照"或"的关系进行连接。
例如，"A表示A是偶数，B表示B是正数"，则合取命题为"A是偶数且B是正数"，析取命题为"A是偶数或B是正数"。
5. 命题的等价与否定：两个命题如果具有相同的真值，则它们是等价命题。
否定一个命题并不改变其真值。
例如，命题"P implies Q"和"¬P或Q"是等价的，因为它们具有相同的真值。
在高中数学中，理解真假命题的概念对于推理和解题非常重要。
通过学习这些知识点，我们能够更好地理解数学命题的性质，并正确地应用它们来解决问题。
四种命题的真假
总结：
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否 命题不一定为真。 （2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、 逆否命题不一定为真。 想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？
即：原命题与逆否命题的真假是等价的。 逆命题与否命题的真假是等价的。
练一练
1.判断下列说法是否正确。否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、 逆否命题，并分别指出其真假。 分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。
四种命题的关系 及真假
1.四种命题的关系：
原命题 若p则q 互否 否命题 若 p则 q 互逆 逆命题 若q则p
互为
互逆
逆否
互否
逆否命题 若 q则 p
思考：若命题p的逆命题是q,命题r是命题q的否命题，则 q是r的（ 逆否）命题。
(真 ) 1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 (真 ) 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 (真 ) 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (真 ) 2）原命题：若a=0, 则ab=0。 (真 ) (假 ) 逆命题：若ab=0, 则a=0。 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假 ) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 (真 ) 3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。 （假） （真） 逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 （真） 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 （假） 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。 （假） 逆命题：若a2>b2, 则a>b。 （假） 否命题：若a≤b,则a2≤b2。 （假） 逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。 （假）
命题形式变化及真假判定
第1讲 命题形式变化及真假判定二、典型例题例1：命题“若方程20ax bx c -+=的两根均大于0，则0ac >”的逆否命题是（ ）A. “若0ac >，则方程20ax bx c -+=的两根均大于0”B. “若方程20ax bx c -+=的两根均不大于0，则0ac ≤”C. “若0ac ≤，则方程20ax bx c -+=的两根均不大于0”D. “若0ac ≤，则方程20ax bx c -+=的两根不全大于0”例2：命题“存在2,20x Z x x m ∈++≤”的否定是（ ）A ． 存在2,20x Z x x m ∈++>B ．不存在2,20x Z x x m ∈++>C ． 对任意2,20x Z x x m ∈++≤D ．对任意2,20x Z x x m ∈++>例3：给出下列三个结论（1）若命题p 为假命题，命题q ⌝为假命题，则命题“p q ∨”为假命题（2）命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠或0y ≠”（3）命题“,20x x R ∀∈>”的否定是“,20x x R ∃∈≤”，则以上结论正确的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0例4 ：有下列四个命题① “若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题② “全等三角形的面积相等”的否命题③ “若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题④ “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题其中真命题为（ ）A. ①②B.②③C. ①③D. ③④例5：下列命题中正确的是（ ）A. 命题“x R ∃∈，使得210x -<”的否定是“x R ∀∈，均有210x -<”B. 命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是“若3x ≠，则2230x x --≠”C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题D. 命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是真命题例6：如果命题“p 且q ”是假命题，“q ⌝”也是假命题，则（ ）A. 命题“p ⌝或q ”是假命题B. 命题“p 或q ”是假命题C. 命题“p ⌝且q ”是真命题D. 命题“p 且q ⌝”是真命题例7：已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >，在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④ ()p q ⌝∨中，真命题是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④例8：下列4个命题中，其中的真命题是（ ）()111:0,,23x xp x ⎛⎫⎛⎫∃∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()21123:0,1,log log p x x x ∃∈> ()3121:0,,log 2x p x x ⎛⎫∀∈+∞> ⎪⎝⎭ 41311:0,,log 32xp x x ⎛⎫⎛⎫∀∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ A. 13,p p B. 14,p p C. 23,p p D. 24,p p例9：已知命题200:,10p x R mx ∃∈+≤，命题2:,10q x R x mx ∀∈++>，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A. 22m -≤≤B. 2m ≤-或2m ≥C. 2m ≤-D. 2m ≥三、模拟题精选训练：1、（2014河南高三模拟，9）已知命题:,ln 20p x R x x ∃∈+-=，命题2:,2x q x R x ∀∈≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A. p q ∧B. p q ⌝∧C. p q ∧⌝D. p q ⌝∧⌝2、（2014，岳阳一中，3）下列有关命题的叙述:① 若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题② “5x >”是“2450x x -->”的充分不必要条件③ 命题:p x R ∃∈，使得210x x +-<，则:p x R ⌝∀∈，使得210x x +-≥④ 命题：“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为：“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”其中错误命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43、（2014成都七中三月模拟，4）已知命题:,2xp x R x e ∃∈->，命题2:,log (1)0a q a R a +∀∈+>，则（ ）A. 命题p q ∨⌝是假命题B. 命题p q ∧⌝是真命题C. 命题p q ∨是假命题D. 命题p q ∧是真命题5、（2014 新课标全国卷I ）不等式组：24x y ⎧⎨-≤⎩的解集记为D ，有下面四个命题： ()1:,,22p x y D x y ∀∈+≥- ()2:,,22p x y D x y ∃∈+≥()3:,,23p x y D x y ∀∈+≤ ()4:,,21p x y D x y ∃∈+≤-其中真命题是（ ）A. 23,p pB. 12,p pC. 14,p pD. 13,p p6、设命题:p 函数()()22lg 4f x x x a =-+的定义域为R ；命题[]:1,1q m ∀∈-，不等式253a a --≥p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围习题答案：1、答案：C解析：分别判断,p q 真假，令()ln 2f x x x =+-，可得()()120f f < 由零点存在性定理可知()1,2x ∃∈，使得()ln 20f x x x =+-=，p 为真；通过作图可判断出当()2,4x ∈时，22x x <，故q 为假；结合选项可得：p q ∧⌝为真2、答案：B解析：判断每个命题：①若p 真q 假，则p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，故①错误；② 不等式2450x x -->的解为5x >或1x <-，由命题所对应的集合关系可判断出②正确；③ 存在性命题的否定，形式上更改符合“两变一不变”，故③正确；④ “1x =或2x =”的否定应为“1x ≠且2x ≠”，故④错误，所以选择B3、答案：B解析：对于p ：当0x <时，2x x e ->，故p 正确；对于q ：因为210a +>，所以当()0,1a ∈时，()2log 10a a +<，故q 错误，结合选项可知p q ∧⌝是真命题6、本题考查逻辑连接词、真假命题。