2017春上海教育版数学八下213《无理方程》同步练习
无理方程解法练习题
无理方程解法练习题题目一解下列方程:$$\sqrt{x} - 3 = 5$$解答首先，将方程中的常数项移到等式的右侧，得到:$$\sqrt{x} = 5 + 3$$化简得:$$\sqrt{x} = 8$$为了消除方程左侧的根号，我们将方程两边取平方，得到:$$(\sqrt{x})^2 = 8^2$$进一步化简:$$x = 64$$所以方程的解为$x = 64$. 题目二解下列方程组:$$\begin{align*}\sqrt{x} + \sqrt{y} &= 10 \\ x + y &= 24\end{align*}$$解答我们可以先解第一个方程，得到一个关于$x$和$y$的表达式。
将第一个方程中的常数项移到等式右侧，得到:$$\sqrt{x} = 10 - \sqrt{y}$$为了消除方程左侧的根号，我们将方程两边平方，得到:$$(\sqrt{x})^2 = (10 - \sqrt{y})^2$$展开并化简:$$x = 100 - 20\sqrt{y} + y$$然后，我们将这个表达式代入第二个方程:$$100 - 20\sqrt{y} + y + y = 24$$进一步化简:$$2y - 20\sqrt{y} + 76 = 0$$这是一个关于$\sqrt{y}$的二次方程。
我们可以通过求解这个二次方程，找到$y$的值。
解这个方程，得到:$$\sqrt{y} = \frac{20 \pm \sqrt{20^2 - 4(2)(76)}}{4}$$进一步计算:$$\sqrt{y} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 608}}{4}$$由于$400 - 608 = -208$为负数，并无实数解，我们可以得出结论: 方程组无解。
总结通过以上练习题，我们学习了解无理方程的方法。
对于只涉及一个未知数的无理方程，我们可以通过逐步化简和取平方的方式解方程。
对于涉及多个未知数的无理方程组，我们需要将一个方程转化为关于另一个未知数的表达式，并代入到另一个方程中，从而得到一个关于一个未知数的方程。
2017春上海教育版数学八下214《二元二次方程组》同步练习2
21、5 二元二次方程与方程组一、课本巩固练习1、 如图,有一个大正方形,就是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的，如果大正方形的面积就是13,小正方形的面积就是1，那么直角三角形的两条边长就是多少？2、 某剧场管理人员为了让观众有更舒适的欣赏环境，对座位进行了调整,已知剧场原有座位500个，每排的座位数一样多,现在每排减少2个座位，并减少了5排,剧场座位数相应减少345个，剧场原有座位的排数就是多少？每排有多少个座位?3、、下列方程中，哪些就是二元二次方程?()()()()22221123201320431x y y y y x xyx y +=-+=+-=++= 二、基础过关一、填空题1、关于x,y 的二元一次方程2227ax y -=-的一个解就是12x y =-⎧⎨=⎩，那么 a=__________ 2、方程1112x y xy +=⎧⎨=-⎩的解为__________3、若()222231050x y y --+=，则x=________,y=________4、若方程23y x y k x ⎧=⎨-=⎩有两组相同的解，则k=________ 二、选择题1、下列方程中,二元二次方程就是( ）A 、 211x y +=B 、 221x y -=C 、 2340x x +-=D 、 52x y y x -= 2、利用代入法解方程2217169x y x y +=⎧⎨+=⎩，消去x 可得方程( ） A 、 217600y y ++= B 、 217600y y -+= C 、 22171200y y ++= D 、 22171200y y -+= 3、如果方程组x y axy b +=⎧⎨=⎩;无实数解,则a ，b 应满足的条件就是（ )A 、 24a b <B 、 24a b > C 、 24a b = D 、 24a b ≥4、当2m=n 时，方程组242y x ny x m ⎧-=⎨-=⎩的解的情况就是( ）A 、有一个实数解B 、有两个实数解C 、没有实数解D 、不能确定5、如果14x y =⎧⎨=⎩就是方程组x y axy b +=⎧⎨=⎩的一个解，那么这个方程组的另一个解就是（ ）A ． 41x y =⎧⎨=⎩B 、 14x y =-⎧⎨=-⎩C 、 41x y =-⎧⎨=-⎩ D 、 41x y =⎧⎨=-⎩6、如果方程组23295x y x y ⎧+=⎨+=⎩的两个实数解就是1112x y αβ=⎧⎨=⎩，2222x y αβ=⎧⎨=⎩，那么1212αββα+的值() A 、 103 B 、 533 C 、 13 D 、1三、解方程1、222252112x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩2、222210430x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩四、试写出一个一元二次方程，使该方程有一个解就是21x y =⎧⎨=-⎩。
2017春八年级数学下册 21.4 无理方程(1)教案 沪教版五四制
只含一个或两个关于未知数的二次根式的无理方程的解法；对无理方程产生增根的理解.
难点
只含一个或两个关于未知数的二次根式的无理方程的解法；对无理方程产生增根的理解.
教学
准备
学生活动形式
讨论，交流，总结，练习
教学过程
设计意图
课题引入：
1、解整式方程与分式方程、高次方程的解题思路是什么？
知识呈现：
1、引入：用一根30cm长的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为5cm，应该怎样弯折？
无理方程
课题
21．4（1）无理方程
设计
依据
（注：只在开始新章节教学课必填）
教材章节分析：学生学情来自析：课型新授课
教
学
目
标
（1）理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念.
（2）经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想.
（3）知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法.
3、本课成功与不足及其改进措施：
②将有理方程的根代入原方程，看方程是否成立，是主要的检验方法.
归纳
解简单的无理方程的一般步骤
5、巩固练习
6、拓展练习
课堂小结：通过本堂课你有什么收获?
课外
作业
练习册21．4（1）
预习
要求
21．4（2）无理方程
教学后记与反思
1、课堂时间消耗：教师活动15分钟；学生活动25分钟）
2、本课时实际教学效果自评（满分10分）：分
2．观察
思考题中的方程有什么特点？它与前面所学的方程有什么区别？
1、归纳概念
1方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.
基础强化沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十一章代数方程同步练习练习题(无超纲)
八年级数学第二学期第二十一章代数方程同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列方程是二项方程的是（）A．0nax b+=B．2280x+=C．40x x+=D．220x=2、八年级学生去距学校15km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了30min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车同学的速度为x千米/时，则所列方程时（）A．1515302x x+=B．1515302x x-=C．1511522x x+=D．1511522x x-=3、在2020年3月底新过师炎疫情在我国得到快速控制，教育部要求低风险区错时、错峰开学，某校在只有初三年级开学时，一段时间用掉120瓶消毒液，在初二、初一年级也错时、错峰开学后，平均每天比原来多用4瓶消毒液，这样120瓶消毒液比原来少用5天，若设原来平均每天用掉x瓶消毒液，则可列方程是（）A ．12012054x x -=+ B ．12012054x x -=- C ．12012054x x +=+ D ．12012054x x +=- 4、已知关于x 的分式方程3x m x +-﹣1＝1x 无解，则m 的值是（ ） A ．﹣2 B ．﹣3 C ．﹣2或﹣3 D ．0或35、已知两直线()0y kx k k =+≠与36y x =-相交于第四象限，则k 的取值范围是（ ）A ．60k -<<B ．30k -<<C ．3k <-D ．6k <- 6、直线2y x =--与直线3y x 的交点为（ ） A ．71,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．(0,2)- D ．(0,3)7、直线1l ：1y x =+与直线2l ：y mx n =+的交点P 的横坐标为1，则下列说法错误的是（ ）A ．点P 的坐标为(1,2)B ．关于x 、y 的方程组1y x y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩C ．直线1l 中，y 随x 的增大而减小D ．直线y nx m =+也经过点P8、要把方程250363y y -=-化为整式方程，方程两边可以同乘以（ ） A ．3y －6 B ．3y C ．3 （3y －6） D ．3y （y －2）9、已知关于x 的分式方程3111m x x +=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．2m > B ．2m ≥ C ．2m ≥且3m ≠ D ．2m >且3m ≠10、胜利乡决定对一段长7000米的公路进行修建改造．根据需要，该工程在实际施工时增加施工人员，每天修建的公路比原计划增加了40%，结果提前5天完成任务，设原计划每天修建x 米，那么下面所列方程中正确的是（ ）A ．700070005(140%)x x+=+ B ．700070005(140%)x x =-- C ．700070005(140%)x x -=+ D ．700070005(140%)x x =+- 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、某校去年租借了三架无人机A ，B ，C 用于体育节航拍，无人机A ，B ，C 飞行平均速度之比为1：8：3，飞行时间之比为2：1：2．今年继续租借，但根据航拍需求，对三架无人机飞行平均速度和时间均作了调整．无人机B 的平均速度比去年低了14，无人机C 的平均速度为去年的43．A ，C 两架无人机的飞行总路程增加，而无人机B 飞行总路程减少．无人机C 增加的路程是无人机A 增加路程的2倍，且占今年三架无人机总路程的20%．无人机A 增加的路程与无人机B 减少的路程之比为7：15，则今年无人机B 与无人机C 的飞行时间之比为________．2、如果关于x 的方程1233a x x x --=--无解，那么a 的值为_________． 3、直线2y kx =-和2y x k =+的交点的横坐标为2，则k =______．4、若关于x 的一元一次不等式组312252x x x x a-⎧<+⎪⎨⎪-≥+⎩有且仅有3个整数解，且关于x 的分式方程23111ax x x -+=--有正数解，则所有满足条件的整数a 的和为___．5、在教学活动中我们知道，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如图，已知直线y ＝ax ﹣6过点P （﹣4，﹣2），则关于x 、y 的方程组612y ax y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩的解是__．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解方程：2111x x x -=-+ 2、（1）化简：()()11y y +--（2 （3）解分式方程：13211x x -=-- 3、城市因文明而美丽，市民因礼仪而优雅．在长沙市创建全国文明典范城市的过程中，太阳山社区为了巩固垃圾分类的成果，营造干净整洁的生活氛围，创建和谐文明的社区环境、准备购买A 、B 两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A 种垃圾桶每组的单价比B 种垃圾桶每组的单价少150元，且用18000元购买A 种垃圾桶的组数是用13500元购买B 种垃圾桶的组数的2倍．（1）求A 、B 两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；（2）该社区计划用不超过8000元的资金购买A 、B 两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B 种垃圾桶多少组？4、某经销商用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多10元．（1）求一件A ，B 型商品的进价分别为多少元？（2）若该经销商购进A ，B 型商品共250件进行试销，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于80件，已知A 型商品的售价为240元/件，B 型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A 型商品m 件，求该经销商销售这批商品的利润p 与m 之间的函数关系式，并写出m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，该经销商决定在试销活动中每售出一件A 型商品，就从一件A 型商品的利润中捐献慈善资金a 元，求该经销商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．5、计算题（1）因式分解：322m m m +-．（2）因式分解：()29a x y y x -+-．（3）解不等式组：() 2532 12135x xx⎧+≤+⎪⎨-+>⎪⎩（4）解方程：131122x x=---．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据二项方程的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A. 0nax b+=，当a=0时，不是二项方程，不合题意；B. 2280x+=，是二项方程，符合题意；C. 40x x+=，不含常数项，不是二项方程，不合题意；D. 220x=，不含常数项，不是二项方程，不合题意．故选：B【点睛】本题考查了二项方程的定义，二项方程需满足以下条件：（1）整式方程；（2）方程共两项；（3）两项中一项含有未知数，另一项是常数项．2、C【分析】设骑车同学的速度为x千米/时，汽车的速度是2x千米/时，根据同时到达列出方程即可．【详解】解：设骑车同学的速度为x千米/时，汽车的速度是2x千米/时，根据题意列方程得，1511522x x+=，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题关键是找准等量关系，列出方程，注意单位转换．3、A【分析】根据天数比原来少用5天建立等量关系．【详解】设原来平均每天用x瓶消毒液，则原来能用120x天现在每天用x+4瓶消毒液，则现在能用1204x+天，再根据少用5天得到等量关系：12012054 x x-=+故选A．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，找到等量关系是本题的解题关键．4、C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【详解】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，整理，得：（m +2）x ＝﹣3， 解得：32x m =-+， ①当m +2＝0，即m ＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，②∵关于x 的分式方程3x m x +-﹣1＝1x 无解， ∴302m -=+或332m -=+， 即无解或3（m +2）＝﹣3，解得m ＝﹣2或﹣3．∴m 的值是﹣2或﹣3．故选C ．【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件．5、A【分析】先求出交点坐标，然后列不等式组即可求解．【详解】解：由题意得，36y kx k y x =+⎧⎨=-⎩， 解得6393k x k k y k --⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩， ∵两直线()0y kx k k =+≠与36y x =-相交于第四象限， ∴603903k k k k --⎧>⎪⎪-⎨-⎪<⎪-⎩， ∴-6＜k ＜0；故选：A ．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，以及不等式组的解法，能够掌握直线交点坐标的求法，牢记象限内点的坐标特点是解题的关键．6、B【分析】直接联立两个函数解析式组成方程组，再解方程组即可得到两函数图象的交点．【详解】解：联立两个函数解析式得23y x y x =--⎧⎨=+⎩， 解得5212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则两个函数图象的交点为(52-，12)，故选：B ．【点睛】本题主要考查了两函数交点问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．7、C【分析】A 、将1x =代入1y x =+中，得出y 的值，再判断即可；B 、两直线相交坐标是两对应方程组的解的x 、y 值；C 、根据一次函数k 的值判断增减性；D 、将P 点坐标(1,2)代入进行判断即可．【详解】解：A 、将1x =代入1y x =+中，解得将2y =，点P 的坐标为将(1,2)，选项说法正确，不符合题意；B 、关于x 、y 的方程组1y x y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩，选项说法正确，不符合题意； C 、直线1l 中，10k =>，所以y 随x 的增大而增大，选项说法错误，符合题意；D 、因为2l 经过点P ，将(1,2)P 代入y mx n =+，得2m n +=，将(1,2)P 代入直线y nx m =+中，得2m n +=，所以直线y nx m =+也经过点P ，选项说法正确，不符合题意；故选C ．【总结】此题主要考查了两直线相交问题，解决本题的关键是求出直线经过的点的坐标．8、D【详解】略9、D【分析】先求出分式方程的解，由方程的解是正数得m -2>0，由x -1≠0，得m -2-1≠0，计算可得答案．【详解】解：3111m x x+=--， m -3=x -1，得x=m -2， ∵分式方程3111m x x+=--的解是正数， ∴x >0即m -2>0，得m >2，∵x -1≠0，∴m -2-1≠0，得m ≠3，∴2m >且3m ≠，故选：D ．【点睛】此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键．10、C【分析】设原计划每天修建x 米，求出现在每天修健x （1+40%）米，先求出原来修建需要天数7000x ，提高效率后需要天数为7000(140%)x +，两者作差等于提前的天数，列方程即可． 【详解】解：设原计划每天修建x 米，每天修健的公路比原计划增加了40%所以现在每天修健x （1+40%）米， 根据题意得：700070005(140%)x x -=+， 即：700070005(140%)x x -=+．故选C．【点睛】本题考查工程问题分式应用题，掌握列分式方程解工程问题的方法与步骤，抓住原计划天数-实际天数=5是解题关关键．二、填空题1、17：57【分析】设去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为x，8x，3x，飞行时间之比为2t，t，2t，表示出去年无人机A，B，C飞行的路程分别为2xt，8xt，6xt，设今年无人机A增加路程为m，无人机B减少路程为n，则无人机C增加路程为2m，进而用代数式表示有关的路程和时间，表示出今年无人机B与无人机C的飞行时间，即可求出无人机B与无人机C的飞行时间之比．【详解】解：∵去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为1：8：3，飞行时间之比为2：1：2，∴设去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为x，8x，3x，飞行时间之比为2t，t，2t，∴去年无人机A，B，C飞行的路程分别为2xt，8xt，6xt，∵今年无人机B的平均速度比去年低了14，无人机C的平均速度为去年的43∴今年无人机B的平均速度为：（1﹣14）×8x＝6x，无人机C的平均速度为：43×3x＝4x，设今年无人机A增加路程为m，无人机B减少路程为n，则无人机C增加路程为2m，∴今年无人机A、B、C飞行的路程分别为2xt+m，8xt﹣n，6xt+2m，∴今年无人机A、B、C飞行的时间分别为2xt mx+，86xt nx-，62342xt m xt mx x++=，∵无人机C增加的路程占今年三架无人机总路程的20%，∴2m＝20%（2xt+m+8xt﹣n+6xt+2m），整理得：16xt﹣7m﹣n＝0①，∵无人机A 增加的路程与无人机B 减少的路程之比为7：15，∴m ：n ＝7：15，∴m ＝715n ②， 把②代入①得：16xt ﹣7×715n ﹣n ＝0， ∴xt ＝415n ， ∴今年无人机B 与无人机C 的飞行时间之比为：84881761534793579+321515xt n n n xt n x xt m xt m n n x -⨯--===++⨯⨯， 故答案为：17：57．【点睛】本题考查了分式方程的应用，利用比例设未知数是解决本题的关键．2、2【分析】 由方程1233a x x x --=--无解，可知30x -=，求出x 的值，去分母后把求得的x 的值代入即可求出a 的值.【详解】 ∵方程1233a x x x --=--无解， ∴30x -=，∴3x =， ∵1233a x x x --=--，∴()231a x x --=-，∴37a x =-，∴2a =，故答案为：2【点睛】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，分式方程的无解包括两种情况，①当分母为0时，分式方程无解，求出x 的值，代入到去分母后的整式方程求出参数的值；②去分母整理成ax =b 的形式，如果a =0，b ≠0，此时分式方程也无解.3、6【分析】把x =2代入y =kx -2，y =2x +k 得出k 的方程求解即可．【详解】解：把x =2代入y =kx -2，y =2x +k ，可得：224k k -=+解得：k =6，故答案为：6【点睛】此题主要考查了两直线相交问题．解决本题的关键是求出直线经过的点的坐标．4、13【分析】解不等式组，根据不等式组有且仅有3个整数解，得到a 的范围；解分式方程，根据分式方程有意义和方程有正数解求得a 的范围，从而得到2＜a ≤6，且a ≠5，所以a 的整数解为3，4，6，则和为13．【详解】312252x x x x a -⎧<+⎪⎨⎪-≥+⎩①②解不等式①得：x ＜5，解不等式②得：x ≥24a +， ∴不等式组的解集为24a +≤x ＜5， ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴1＜24a +≤2， ∴2＜a ≤6；分式方程两边都乘以（x -1）得：ax -2-3=x -1，解得：x =41a - ， ∵x -1≠0，∴x ≠1，∵方程有正数解， ∴41a -＞0，41a -≠1， ∴a ＞1，a ≠5，∴2＜a ≤6，且a ≠5，∴a 的整数解为3，4，6，和为13．故答案为：13．【点睛】考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，解题关键是掌握不等式解集的确定，转化思想和解分式方程不要忘记检验．5、42x y =-⎧⎨=-⎩ 【分析】先判断点(4,2)P --在直线12y x =上，则点(4,2)--为直线6y ax =-与12y x =的交点，根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到关于x 、y 的方程组612y ax y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩的解． 【详解】解：4x =-时，122y x ==-，∴点(4,2)P --在直线12y x =上， ∴方程组612y ax y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩的解为42x y =-⎧⎨=-⎩． 故答案为：42x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．三、解答题1、3x =【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：两边同时乘以()()+11x x -得：()()()()11121x x x x x +-+-=-22122x x x x +-+=-122x x +=-212x x -=+解得：3x =经检验，3x =是原方程的解∴原方程的解为3x =，【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．2、（1）-y 2-2y -1；（2）（3）x =3 【分析】（1）变形后根据完全平方公式计算；（2）先逐项化简，再合并同类二次根式；（3）两边都乘以x -1，化为整式方程求解，再检验．【详解】解：（1）()()11y y +-- =-()()1+1y y +=-()21y +=-y 2-2y -1；（2== （3）13211x x-=-- 两边都乘以x -1，得1-2(x -1)=-3，1-2x +2=-3，解得x =3，检验：当x =3时，x -1≠0，∴x =3是分式方程的解．【点睛】本题考查了全平方公式，二次根式的加减混合运算，以及解分式方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．3、（1）A 、B 两种垃圾桶每组的单价分别是300元，450元；（2）最多可以购买B 种垃圾桶13组【分析】（1）设A 种垃圾桶每组的单价是x 元，则B 种垃圾桶每组的单价是()150x + 元，然后根据用18000元购买A 种垃圾桶的组数是用13500元购买B 种垃圾桶的组数的2倍，列出方程求解即可；（2）设购买B 种垃圾桶y 组，则购买A 种垃圾桶()20y -组，然后根据计划用不超过8000元的资金购买A 、B 两种垃圾桶共20组，列出不等式求解即可．解：设A 种垃圾桶每组的单价是x 元，则B 种垃圾桶每组的单价是()150x + 元， 由题意得：18000135002150x x =⋅+， 解得300x =，经检验，300x =是原方程的解，∴150450x +=，∴A 、B 两种垃圾桶每组的单价分别是300元，450元；答：A 、B 两种垃圾桶每组的单价分别是300元，450元；（2）解：设购买B 种垃圾桶y 组，则购买A 种垃圾桶()20y -组，由题意得：()300204508000y y -+≤，∴60003004508000y y -+≤，∴1502000y ≤， ∴1133y ≤， ∵y 是整数，∴y 的最大值为13，∴最多可以购买B 种垃圾桶13组，答：最多可以购买B 种垃圾桶13组．【点睛】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键在于能够准确理解题意，列出方程和不等式求解．（1）一件B 型商品的进价为150元，则一件A 型商品的进价为160元；（2）()101750080125p m m =+≤≤；（3）当010a <<时，该经销商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为(18750125)a ﹣元；当10a =时，该经销商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为17500元；当1080a <≤时，该经销商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为(1830080)a -元【分析】（1）设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为(10)x +元．根据16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；（2）根据总利润＝两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；（3）设利润为w 元．则(80)70(250)(10)17500w a m m a m =-+-=-+，分三种情形讨论利用一次函数的性质即可解决问题．（1）解：设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为(10)x +元， 由题意：160007500210x x=⨯+， 解得150x =，经检验150x =是分式方程的解，∴10160x +=，答：一件B 型商品的进价为150元，则一件A 型商品的进价为160元；（2）解：∵客商购进A 型商品m 件，∴客商购进B 型商品(250)m -件，由题意：()()240160220150(250)1017500p m m m =-+--=+，∵A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于80件，∵80250m m ≤≤-，∴80125m ≤≤；（3）解：设收益为w 元，则()(240160)220150(250)(10)17500w a m m a m =--+--=-+，①当100a ->时，即010a <<时，w 随m 的增大而增大，∴当125m =时，最大收益为(18750125)a ﹣元； ②当100a =-，即10a =时，最大收益为17500元；③当100a <-时，即1080a <≤时，w 随m 的增大而减小，∴80m =时，最大收益为(1830080)a -元，∴当010a <<时，该经销商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为(18750125)a ﹣元；当10a =时，该经销商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为17500元；当1080a <≤时，该经销商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为(1830080)a -元．【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，，熟练掌握相关知识及寻找题目的等量关系列式求解是解决本题的关键．5、（1）()21m m -；（2）()()()3131x y a a -+-；（3）不等式组的解集为：415x -≤<；（4）方程的解为：72x =． 【分析】（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可；（2）先将式子变形，然后提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可；（3）分别求出不等式组中两个不等式的解集，然后整理即可得；（4）去分母化为一元一次方程，求解，然后检验即可得出．【详解】解：（1）322m m m +-()212m m m =+-， ()21m m =-； （2）()29a x y y x -+-()()29a x y x y =---，()()291x y a =--， ()()()3131x y a a =-+-；（3）()2532121035x x x ⎧+≤+⎪⎨-+>⎪⎩①②， 解不等式①可得：1x ≥-， 解不等式②可得：45x <， ∴不等式组的解集为：415x -≤<；（4）131122x x =---， ()131121x x =---， 去分母得：()2213x =--， 解得：72x =，检验，当72x=时，10x-≠，∴方程的解为：72x=．【点睛】题目主要考查因式分解的方法：提公因式法和公式法，解不等式组，解分式方程等，熟练掌握各求解方法是解题关键．。
专题21.3 无理方程(重点练)-2020-2021学年八年级数学下册课堂专练(沪教版)
第二十一章代数方程专题21.3 无理方程（重点练）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列方程中，有实数根的是（）A．x2+1＝0 B．x2﹣1＝0 C ．＝﹣1 D ．＝0【答案】B【分析】A、变形得x2＝﹣1＜0，由此得到原方程无实数根；B、变形得x2＝1，由此得到原方程有实数根；C、根据非负数的性质可得原方程无实数根；D、先把方程两边乘x﹣1得1＝0，由此得到原方程无实数根．【解答】解：A、方程变形得x2＝﹣1＜0，故没有实数根，此选项错误；B、方程变形得x2＝1，故有实数根，此选项正确；C、二次根式非负，故没有实数根，此选项错误；D、方程两边乘x﹣1得1＝0，没有实数根，此选项错误．故选：B．【知识点】解一元二次方程-直接开平方法、分式方程的解、无理方程2.下列方程中，没有实数根的方程是（）A．（x﹣3）2+2＝x2B．x2﹣x+2＝0C ．＝0D ．＝﹣x【答案】B【分析】分解解四个方程即可判断．【解答】解：A．此方程整理得﹣6x+11＝0，解得x ＝，不符合题意；B．x2﹣x+2＝0中△＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，方程无解，符合题意；C ．＝0中x＝﹣1，不符合题意；D ．＝﹣x的解为x＝﹣1，不符合题意；故选：B．【知识点】根的判别式、无理方程、分式方程的解3.下列说法中正确的是（）A．x4+1＝0是二项方程B．x2y﹣y＝2是二元二次方程C．﹣＝1是分式方程D．x2﹣1＝0是无理方程【答案】A【分析】根据整式方程、分式方程和无理方程的概念逐一判断即可得．【解答】解：A．方程是一般式，且方程的左边只有2项，此方程是二项方程，此选项正确；B．x2y﹣y＝2是二元三次方程，此选项错误；C．﹣＝1是一元一次方程，属于整式方程，此选项错误；D．x2﹣1＝0是一元二次方程，属于整式方程；故选：A．【知识点】高次方程、无理方程、分式方程的定义4.下列方程x2﹣x﹣4＝0，+x＝0，﹣＝1，x2﹣2﹣4＝0中无理方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据无理方程的定义可以解答本题．【解答】解：方程x2﹣x﹣4＝0，+x＝0，﹣＝1，x2﹣2﹣4＝0中无理方程是+x ＝0，﹣＝1，x2﹣2﹣4＝0，故选：C．【知识点】无理方程5.下列说法正确的是（）A．是分式方程B．是二元二次方程组C．是无理方程D．x5﹣2x＝0是二项方程【答案】B【分析】根据分式方程，无理方程，二元二次方程组，高次方程的定义即可得到结论．【解答】解：A、＝1是一元一次方程，故错误；B、是二元二次方程组，故正确；C、+＝1是分式方程，故错误；D、x5﹣2x＝0是高次方程，故错误；故选：B．【知识点】无理方程、分式方程的定义、高次方程二、填空题（共5小题）6.方程x+＝1的解是．【答案】x=1【分析】先移项得到＝1﹣x，再两边平方得x﹣1＝（1﹣x）2，解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．【解答】解：＝1﹣x，两边平方得x﹣1＝（1﹣x）2，整理得x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，经检验x＝2为原方程的增根，x＝1为原方程的解，所以原方程的解为x＝1．故答案为x＝1．【知识点】无理方程7.若关于x的方程+k＝7没有实根，则k的取值范围是．【答案】k＞7【分析】关于x的方程+k＝7，即＝7﹣k没有实根知7﹣k＜0，据此可得答案．【解答】解：∵+k＝7，∴＝7﹣k，由关于x的方程+k＝7没有实根知7﹣k＜0，则k＞7，故答案为：k＞7．【知识点】无理方程8.方程＝x+2的增根是﹣．【答案】x=-4【分析】两边平方，把无理方程化为2x2+7x＝（x+2）2，解得x1＝﹣4，x2＝1，然后进行检验确定原方程的解，从而得到原方程的增根．【解答】解：∵＝x+2，∴2x2+7x＝（x+2）2，整理得x2+3x﹣4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1，检验：当x＝﹣4时，左边＝＝2，右边＝﹣4+2＝﹣2，左边≠右边，则x＝﹣4为原方程的增根；当x＝1时，左边＝＝3，右边＝1+2＝3，左边＝右边，则x＝1为原方程的根，所以原方程的解为x＝1．故答案为x＝﹣4．【知识点】无理方程9.方程：（x2﹣9）＝0的解是﹣．【分析】根据已知得出方程x2﹣9＝0，1﹣2x＝0，求出方程的解，最后进行检验即可．【解答】解：（x2﹣9）＝0，x2﹣9＝0，1﹣2x＝0，x＝±3或x＝，经检验x＝3不是原方程的解，即原方程的解为x1＝﹣3或，故答案为：﹣3或．【知识点】无理方程10.阅读小明用下面的方法求出方程2﹣3＝0的解的过程解方程：2﹣3＝0解：令＝t，则原方程化为2t﹣3＝0；解方程2t﹣3＝0，得t＝；由于t＝＞0，所以＝，将方程＝两边平方，得，即原方程的解为x＝；请你仿照他的方法，求出方程2﹣＝﹣1的解是．【答案】x=2【分析】仿照例题解法令＝t，求出t的值，再进一步两边开方可得x的值．【解答】解：令＝t，则原方程化为2﹣t＝﹣1，解得t＝3，由于t＝3＞0，所以＝3，将方程两边平方，得：2x+5＝9，解得x＝2，故答案为：x＝2．【知识点】解一元一次方程、无理方程三、解答题（共5小题）11.﹣4＝0【分析】先变形为＝4﹣，两边平方、整理得4＝5﹣x，再两边平方、整理成一元二次方程，解之可得．【解答】解：∵﹣4＝0，∴＝4﹣，则x+8＝16﹣8+2﹣x，整理，得：4＝5﹣x，两边平方，整理，得：x2+6x﹣7＝0，解得x1＝1，x2＝﹣7，经检验x＝1和x＝﹣7均符合题意，则原无理方程的解为x1＝1，x2＝﹣7．【知识点】无理方程12.解方程：【分析】先移项，再先后两次两边平方，将原方程转化为整式方程，解之求出x的值，检验即可得．【解答】解：移项，得＝1+，两边平方，得2x+1＝1+2+x+4，化简，得x﹣4＝2，两边平方，海，x2﹣8x+16＝4（x+4），化简整理，得，x2﹣12x＝0，解这个方程，得x1＝0，x2＝12，经检验：x＝0不是原方程的根舍去，x＝12是原方程的根，所以原方程的根是x＝12【知识点】无理方程13.解方程：2x2﹣3x+2x＝1．【分析】由原方程变形为x2+2x+x2﹣3x+3＝4，则（x+）2＝4，所以x+＝2或x+＝﹣2，然后分别解两个无理方程，再进检验确定原方程的解．【解答】解：x2+2x+x2﹣3x+3＝4，（x+）2＝4，x+＝2或x+＝﹣2，当x+＝2时，则＝2﹣x，化为整式方程得x＝1，当x+＝﹣2，则＝﹣x﹣2，化为整式方程得x＝﹣，经检验，原方程的解为x＝1．【知识点】无理方程14.方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”﹣﹣化未知为已知，利用“转化”，我们还可以解一些新的方程．认识新方程：像＝x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以将方程两边平方转化为整式方程2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，经检验，x2＝﹣1是原方程的增根，应舍去，所以原方程的解是x＝3．解下列方程：（1）x+＝5；（2）﹣＝2．【分析】（1）移项后两边平方，即可把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可；（2）先把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：（1）移项得：＝5﹣x，两边平方得：x﹣3＝25﹣10x+x2，解得：x1＝4，x2＝7，经检验x＝7是原方程的增根，舍去；x＝4是原方程的解，所以原方程的解为x＝4；（2）﹣＝2，﹣2＝，两边平方得：x﹣5+4﹣4＝2x﹣7，16﹣x＝4，两边平方得：256﹣32x+x2＝16x+80，x2﹣48x+176＝0，x1＝4，x2＝44，经检验x＝44是原方程的增根，舍去；x＝4是原方程的根，所以原方程的解为x＝4．【知识点】一元二次方程的解、无理方程、分式方程的增根15.苏科版九上数学p31阅读《各类方程的解法》中提到：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝﹣，x3＝；（2）用“转化”思想求方程＝x的解；（3）拓展：若实数x满足x2+＝2，求x+的值【答案】【第1空】-2【第2空】1【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）把无理方程化为整式方程x2﹣2x﹣3＝0，然后利用因式分解法解方程后进行检验确定原方程的解；（3）先表示得到（x+）2﹣3（x+）﹣4＝0，利用因式分解法得到x+＝4或x+＝﹣1，由于x+＝﹣1化为x2+x+1＝0，此方程没有实数解，从而得到x+的值为4．【解答】解：（1）x3+x2﹣2x＝0，x（x2+x﹣2）＝0，x（x+2）（x﹣1）＝0，x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；故答案为0，﹣2，1；（2）两边平方得2x+3＝x2，整理得x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，经检验，x＝3为原方程的解；（3）x2+＝2，（x+）2﹣3（x+）﹣4＝0，（x+﹣4）（x++1）＝0，x+＝4或x+＝﹣1，x+＝﹣1化为x2+x+1＝0，此方程没有实数解，所以x+的值为4．【知识点】高次方程、无理方程、分式方程的解、换元法解分式方程。
上海教育版数学八下21.5《二元二次方程组》同步练习(1)
21.5 二元二次方程和方程组一、课本巩固练习1、 如图，有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1,那么直角三角形的两条边长是多少?2、 某剧场管理人员为了让观众有更舒适的欣赏环境，对座位进行了调整，已知剧场原有座位500个，每排的座位数一样多，现在每排减少2个座位，并减少了5排，剧场座位数相应减少345个，剧场原有座位的排数是多少?每排有多少个座位？3、.下列方程中，哪些是二元二次方程？()()()()22221123201320431x y y y y x xyx y +=-+=+-=++=二、基础过关一、填空题1、关于x ，y 的二元一次方程2227ax y -=-的一个解是12x y =-⎧⎨=⎩，那么 a=__________ 2、方程1112x y xy +=⎧⎨=-⎩的解为__________3、若()222231050x y y --+=，则x=________，y=________ 4、若方程23y x y k x ⎧=⎨-=⎩有两组相同的解，则k=________ 二、选择题1、下列方程中，二元二次方程是( ) A. 211x y+= B. 221x y -= C. 2340x x +-= D. 52x y y x -= 2、利用代入法解方程2217169x y x y +=⎧⎨+=⎩，消去x 可得方程( ) A. 217600y y ++= B. 217600y y -+= C. 22171200y y ++= D. 22171200y y -+=3、如果方程组x y a xy b+=⎧⎨=⎩；无实数解，则a ，b 应满足的条件是( ) A. 24a b < B. 24a b > C. 24a b = D. 24a b ≥ 4、当2m=n 时，方程组242y x n y x m ⎧-=⎨-=⎩的解的情况是( ) A.有一个实数解 B.有两个实数解C.没有实数解 D.不能确定5、如果14x y =⎧⎨=⎩是方程组x y a xy b +=⎧⎨=⎩的一个解，那么这个方程组的另一个解是( ) A ． 41x y =⎧⎨=⎩ B. 14x y =-⎧⎨=-⎩ C. 41x y =-⎧⎨=-⎩ D. 41x y =⎧⎨=-⎩6、如果方程组23295x y x y ⎧+=⎨+=⎩的两个实数解是1112x y αβ=⎧⎨=⎩，2222x y αβ=⎧⎨=⎩，那么1212αββα+的值( ) A. 103 B. 533 C. 13 D.1 三、解方程1、222252112x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩2、222210430x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩四、试写出一个一元二次方程，使该方程有一个解是21x y =⎧⎨=-⎩。
2017春八年级数学下册21.4无理方程2教案沪教版五四制20170930115
无理方程课题21．4（2）无理方程设计教材章节分析：学生学情分析：依据（注：只在开始新章节教学课必填）课型新授课教（1）会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）.学（2）能根据二次根式的性质，直接判断含二次根式的特殊无理方程的根的情况.目（3）通过解无理方程，进一步体会事物之间相互转化的关系，培养辩证观点.标重点解简单的无理方程；判断含二次根式的无理方程的根的情况难点解简单的无理方程；判断含二次根式的无理方程的根的情况教学准备学生活讨论，交流，总结，练习动形式教学过程设计意图课题引入：1、解无理方程的一般步骤是什么？2、无理方程如何进行“验根”？3、解方程：X 6 =--X知识呈现：1、讲解解下列方程:（1）2 x 3 x 6 ; （2）x 2 2 2x 1 ;（3）3 2x 3 x; （4）x 2 x 1.思考在解无理方程的时候要注意些什么？2、小结解只含一个“根号”的无理方程时，一般将“根号项”放在方程的一边，把其他“项”放在方程的另一边，然后进行平方，这样求解比较简单；解含两个“根号”的无理方程时，一般将两个“根号项”分别放在等号两边，两边平方后再整理，这样可以简化解题过程；如果含两个“根号”的无理方程中还有其他“项”，通常要经过两次平方，才能把原方程转化为有理方程.13、提问不解方程，你能判断出下列方程有没有实数根吗?①x 1 1 0 ；②x x 1 1；③x 5 2 x 3 .4、归纳对于某些特殊的无理方程，可以不解方程直接判断它的解的情况，主要依据是“对于二次根式a，有a0, a0 .”5、巩固练习x 2 x 1 33x 6 2 x 3 12x 4 5x 6 3x 2已知函数f x x 4 f a2） a 4，求a的值。
（），（6、拓展2x 2 x 2 7解方程：·x 2 2x 2 12课堂小结：通过本堂课你有什么收获?课外练习册21．4（2）无理方程作业预习21．5二元二次方程和方程组要求教学后记与反思1、课堂时间消耗：教师活动15 分钟；学生活动25 分钟）2、本课时实际教学效果自评（满分10分）：分3、本课成功与不足及其改进措施：2。
上海教育版数学八年级下册21.2《特殊的高次方程的解法》同步练习.doc
3 21.2特殊的高次方程的解法 一、 判断下列方程是不是二项方程： 3
1
1802x 420xx
339x 341xx
2、利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数） 512430x
3122054x 4
2
31003x
3、判断下列方程是不是双二次方程。 421230xx 4210250xx
4232740xx 2440x
3、双二次函数的根的个数，与这个双二次方程通过换元所得一元二次方程的根的情况有什么联系？是举例说明。
二、基础过关 1：请同学们观察下列方程 （1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？ 3
（2）后5个方程与前3个方程有何异同？ （3）方程（5）、（6）、（7）有什么共同特点？
(1) 2x+1=0； (2) 0652xx； (3) 03422xx； (4) 23x=3； (5) 083x； (6) 016215x； (7) 01853x； (8) 0323234tttt；(9) 010324yy. 2、解下列简单的高次方程： （1）83x （2）164x （3）016215x
（4）011853x
3：利用计算器解方程53680x（近似根保留三位小数）
4：利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数） （1）0643x （2）01824x （3）023215x （4）016x 3
5、解方程043y （1）在上述方程中，若y=x+1时，求x 的值. （2）解二项方程：010)31(24x
6．判断下列方程是不是二项方程： （1）08213x； （2）04xx； （3）95x； （4）13xx
7．利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）： （1）02435x；
（2）054123x；
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2017春上海教育版数学八下21.3《无理方程》word同步练习
21、4 无理方程
一、课本巩固练习
1、已知下列关于x的方程。
(1)2510xx
（2）250xx
(3）17x
(4）127ax
其中，无理方程就是_______________________________________（只要填写方程的序号)
2、填空。
在横线上填写适当的式，数或符号，完整表达解方程的过程.
解方程：2xx,
解:两边平方,得_____________________________________________
整理,得_____________________________________________________
解这个方程得, 1x___________________,2x_____________________
检验:把x________分别带入原方程两边，左边=_______________,右边
=_________________，由右边__________左边,可知x________就是________。
把x=_________________分别带入原方程两边,左边=_______________,左边
=_________________右边，可知x________就是________。
所以，原方程的根就是_
__________________________
3、将方程2120xx化为有理方程。
4、解下列方程。
123xx
2
2431xxx
二、基础过关
一、选择题。
1、下列方程中,不就是无理方程的就是（ )
2017春上海教育版数学八下21.3《无理方程》word同步练习
(A)1xx; （B)231x;
(C）2211xx； （D）231xx、
2、下列方程中，有实数根的方程就是( )
(A)210x; （B)1202x; （C)12x； (D)112xx、
3、下列正确的就是( )
（A）方程23xx的根就是1与3; (B)方程22140xx的根就是
x=5;
（C）方程17xx的根就是10x; （D)方程23yy的根就是1y、
4、方程2442xxx的根的情况就是（ ）
(A)无实数根; (B）只有x=2一个根；
(C)有无数多个实数根; （D）只有两个实数根、
二、填空题
5、若|5|60xyxy,则___________xy、
6、若2(3)3xx，则x的取值范围为: 。
7、如果方程252xk无实数根,那么k的取值范围就是 、
8、已知方程533xxmm有一个根就是x=3，那么m= 、
9、解方程22886xxxx时,设28yxx 换元后,整理得关于y的整式方程就
是 、
10、解方程91449xxx时，设91yx 换元后，整理得关于y的整式方程就
是 、
三、解方程.
1、 解方程 71xx
2、 解方程 3233xx
2017春上海教育版数学八下21.3《无理方程》word同步练习
3、 解方程 223152512xxxx
4、
例5、
四、已知a就是非零整数，且满足3213811322aaaa,解关于x的方程：
22
33310xxxxa
、