2017秋上海教育版数学八年级上册193《直角三角形》练习题3
19.8直角三角形的性质-沪教版(上海)八年级数学上册同步练习
19.8 直角三角形的性质 同步练习一、选择题1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ）A 、26B 、18C 、20D 、21 2．图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是( )A ．13B ．26C ．47D ．94 3． “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是( )A ．B ．C ．D ． 4. 一个等腰三角形的腰长为17，底边长为16，则该等腰三角形的面积为（ ）A 、112B 、120C 、128D 、136 5． 如图，矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝16，AB ＝8，则DE 的长为（ ）121415110赵爽弦图A 、12B 、10C 、8D 、6 二、填空题6．如图所示，以Rt △ABC 中的三边向 外作正方形，其面积分别为,则S 3=________；7．直角三角形两条直角边的长分别为6、8，则斜边上的高为_________.8．一个长方形的长为12cm ，对角线长为13cm ，则该长方形的周长为__________. 9．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为_________.10. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =15，BC : AC =3:4，则BC =___________. 三、解答题11．如图所示，有一条小路穿过长方形的草地ABCD ，若AB =60m ，BC =84m ，AE =100m ，则这条小路的面积是多少?C 'EDCB A8,4,,,21321==S S S S S且12. 已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，求它底边上的高13．如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.14. 在长方形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，AB ＝10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE .EFDCBA104020 40出发点 70终止点15．AB是一个12米长的墙，用18米长的网围成一个如图所示的鸡舍，求鸡舍的面积.参考答案1． C 2． C 3． C 4． B 5． B 6． 12 7． 4.8 8． 34cm 9． 480cm 10．911．解：（1）RT △ABE 中，AE 2=AB 2+BE 2 ,所以1002=602+BE 2，BE=80,CE=4路的面积=EC×AB=4×60=240m 2.12．解：等腰△ABC 中.AD 是BC 上的高，所以BD=CD=3.RT △ABD 中，AB 2=AD 2+BD 2 ,所以52=AD 2+32，AD=4.13．解：解：BA ⊥AC 于点A ，Rt △ACB 中，BC 2=AC 2+AB 2 ,所以BC 2=602+802，BC=100.ACBD14．解：设DE=x,则DE=BE=x,AE=10－x.∠DAE=900，Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2,所以x2=42+(10－x)2，x=5.8,所以DE=5.8.15．解：解：设BC=x,则AC=18－x.∠ABC=900，Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2,所以(18－x)2=122+x2，x=5,所以BC=5,S△ABC=1/2 BC×AB=1/2×12×5=3010402040出发点70终止点A BC。
沪教版八年级上册直角三角形的教案与练习题
直角三角形全等判断方法 一、研究直角三角形全等的判定方法 问题重现已知:如图,PC ⊥OA,PD ⊥OB,垂足分别是点C 、D ，且PC=PD 求证：点P 在∠AOB 的平分线上问题探索问题1： 在两个直角三角形中，“边、边、角”对应相等的情况有几种？ 问题2：你能把我们想要解决的问题用命题的形式来表述吗？ 问题3：证明命题“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等.”是真命题.已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △A’B’C’中，∠C=∠C’= 90o，AC=A’C’，AB=A’B’21世纪教育网求证： Rt △ABC ≌Rt △A’B’C’问题解决 直角三角形全等的判定方法：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等.（简记为“H.L ”）二、直角三角形全等的判定方法的应用 练一练如图，具有下列条件的Rt △ABC 和Rt △A’B’C’（其中∠C=∠C’= 90o）是否全等？如果全等在（ ）里打“√”，并在“——”上填写判定三角形全等的理由，如果不全等，在（ ）里打“×”.（1）AC=A’C’，∠A=∠A’ （ ） _____（2）AC=A’C’，BC=B’C’ （ ） _____（3）AB=A’B’，BC=B’C’ （ ） _____ （4）∠A=∠A’，∠B=∠B’ （ ） _____ （5）AC=A’C’，AB=A’B’ （ ） _____ （6）BC=B’C’，∠A=∠A’ （ ） _____ 【说明】能正确的根据所给条件确定判定方法.学一学已知:如图,PC ⊥OA,PD ⊥OB,垂足分别是点C 、D ，且PC=PD 求证：点P 在∠AOB 的平分线上DO BPC AA B C A ’ B ’ C ’A B C A ’ B ’ C ’A CBCA BD做一做已知:如图,在△ABC 中,BD ⊥AC,CE ⊥AB,点D 、E 为垂足，BD 和CE 相交于点F ，BD=CE. 求证:（1）AB=AC （2）联结AF ，AF 平分∠BAC 吗？为什么？直角三角形的性质一、复习引入1、什么叫直角三角形？2、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 引出课题：直角三角形的性质二、探索新知（1）研究直角三角形性质定理一 如图：∠A 与∠B 有何关系？为什么？归纳：定理1：直角三角形的两个锐角互余.3、巩固练习：（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为 ；（2）在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= ；（3）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 上的高，那么，与∠B 互余的角有 ，与∠A 互余的角有 ，与∠B 相等的角有 ，∠A 相等的角有 .（二）研究直角三角形性质定理二 想一想如果在练习（3）中添加∠A=45o的条件，那么各个锐角是多少度？各个线段之间有什么等量关系？ 猜一猜 量一量直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？证一证命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.DO BPCAB A CE DFAD CAB E F 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 的中线.求证：CD=21AB归纳总结定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【说明】想一想让学生通过等腰直角三角形这个特殊的直角三角形的斜边上中线与斜边的等量关系的研究，转入到对任意直角三角形斜边上的中线与斜边的等量关系的思考，即引导学生体会从“特殊到一般”的解决问题的策略，又帮助学生对任意直角三角形斜边上中线与斜边等量关系形成猜想，与老教材的“操作”归纳相比更注重解决问题的策略渗透.对于添加辅助线这一难点，由于在“证明举例”的学习中已有接触，教师稍加点拨后难点较易突破.三、巩固新知，深化提高[1、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________．2、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．3、例题：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，且DE=DF. 求证：AB=AC推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
沪教版(上海)八年级第一学期 直角三角形例题精讲与练习
直角三角形例题精讲与练习【例题精讲】例1 若a 、b 、c 是直角三角形的三条边长，斜边c 上的高的长是h ，给出下列结论：①以a 2，b 2，c 2的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a +b ，c +h，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以，，，的长为边的三条线段能组成直角三角形．其中所有正确结论的序号为______________．例2 如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC ⊥BC ，AC =BC ，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ）．A ．x =yB ．x >yC ．x <y D．不确定例3 如图，在求证：（1）； （2）；（3）为边的三角形是直角三角形．例4 已知∠AOB =90°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角板的直角顶点与C 重合，它的两条直角边分别与OA 、OB （或它们的反向延长线）相交于点D 、E ． 当三角板绕C 旋转到CD 与OA 垂直时，如图①，易证OD +OE OC ．当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，如图②、图③这两种情况下、上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD 、OE 、OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．例5 如图，已知P 为△ABC 边BC 上的一点．且PC =2PB ，∠ABC =45°，∠APC =60°，求∠ACB 的度数．1a 1b 1c⋅⊥=∠∆AB CD ACB ABC Rt .90, 中.,,,h CD c AB a BC b AC ====222111h b =+αh c b a +<+h c h b a ++、、【实战演练】1． 用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形．所得的四边形的周长是__________．2．如图，P 是正△ABC 内的一点，且PA =6，PB =8，PC =10，若将△PAC 绕点A 旋转后，得到△P’AB ，则点P 与点P ’ 之间的距离为____________，∠APB =____________．3．如图，已知AB =13，BC =14，AC =15，AD ⊥BC 于D ，则AD =____________．4．如图，在四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 、DA 的长分别为2，2，，2，并且AB ⊥BC ，则∠BAD 的度数为____________．5．如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，点M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N，则MN 等于（ ）．A ．B ．C ．D ． 6．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC 边上的高为（ ）． A B C D 7．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，将△ABC 折叠．使B 点与A 点重合，折痕为DE ，则CD 等于（ ）cm ．A ．B ．C ．D ．23659512516525422374538．如图,在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，BE 平分∠ABC ，交AD 于E ，EF ∥AC ，下列结论一定成立的是（ ）．A ．AB=BFB ．AE=EDC ．AD=DCD ．∠ABE=∠DFE9．如图，已知△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，D 为AB 边上一点．求证：10．△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ，若∠C =90°，如图（1），根据勾股定理，则a 2+b 2=c 2，若△ABC 不是直角三角形，如图（2）、（3），请你类比勾股定理，试猜想 a 2+b 2与c 2的关系，并证明你的结论．11．如图，在△ABC 中，已知AB=BC=CA ，AE=CD ，AD 、BE 相交于P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP =2PQ ．12．美丽的人造平面珊瑚礁图案．图中的三角形都是直角三角形，图中的四边形都是正方形，如果图中所有的正方形的面积之和是980平方厘米．问：最大的正方形的边长是___________．13．如图，在△ABC 中，AB =5，AC =13，边BC 上的中线AD =6，则BC 的长为____________．14．△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 、E 是AB 上两点，AD =3，BE =4，∠DCE =45°，则△ABC 的面积是____________．15．如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠BCD =90°，BC =CD ，E 是AD 延长线上一点，若DE=AB =3，CE =4在，则AD 的长为____________．16．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G ，则CF 与GB 的大小关系是（ ）．A ．CF >GB B ．CF =GBC ．CF <GBD ．无法确定222DE AE AD =+17．对如下的3个命题：命题1：边长为连续整数的直角三角形是存在的．命题2：边长为连续整数的锐角三角形是存在的．命题3：边长为连续整数的钝角三角形是存在的．正确命题的个数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．318．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么（a +b ）2的值为（ ）．A ．13B ．19C ．25D ．16919．在锐角三角形中，已知某两边a =1，b =3，那么第三边的变化范围是（ ）． A ． B ． C ． D ．20．如图，已知∠ACB=90°，是∠CAB 的平分线，BC =4，CD =，求AC 的长． 21．如图，已知∠ABC =30°，∠ADC =60°，AD =DC ．求证：BD 2=AB 2+BC 2．22．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，分别以AB 、AC 为边在△ABC 的外侧作等边△ABE 和等边△ACD ，DE 与AB 交于F ，求证：EF =FD ．应用探究乐园23．如图，直线OB 是一次函数y =2x 的图象，点A 的坐标为（0，2），在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．42<<c 32≤<c 102<<c 108<<c 3224．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0）、（3，4），动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中，点M从O点出发沿OA向终点A运动，点N从B出发沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于P．连MP，若M、N两动点运动了x秒．（1）设△MPA面积为y，试求y与x的函数关系式；（2）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？。
初中数学直角三角形练习题
初中数学直角三角形练习题1. 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≅Rt△CDB的理由是（）A.HLB.ASAC.SASD.SSS2. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“”来判定全等，那么一定也可以依据“”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形全等，那么这两个三角形也一定全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对角对应相等．正确的是()A.①和②B.②和③C.①和③D.①②③3. “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，则小正方形与大正方形的面积比是()A.1:2B.1:3C.1:4D.1:54. 如图，若AB=AD，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≅△ADC的是( )A.CB=CDB.∠BCA=∠DCAC.∠BAC=∠DACD.∠B=∠D=90∘5. 下列条件中能判定△ABC≅△DEF的一组是( )A.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠FB.AB=DE，BC=EF，∠A=∠DC.△ABC的周长等于△DEF的周长D.∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF6. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB，垂足于E，DE=1，则BC等于（）A.1B.2C.3D.47. 如图所示，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=15∘，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6cm，则AC等于( )A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm8. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED 的面积分别为40和28，则△EDF的面积为( )A.5B.6C.7D.89. 如图，矩形ABCD的边长AD=3,AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE，DB相交于点M，N，则MN的长为________．10. 边长为6cm的等边三角形的高是________cm.11. 如图，在⊙O中，两条弦BA和CD的延长线交于E点，已知AB=CD,∠E=20∘，则∠B的大小为________.12. 如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B=∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．13. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和点N分别从点B、C同时出发，以相同的速度分别沿BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为________．14. （1分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上．15.(5分) 如图，在▱ABCD中，∠ABC=60∘，BC=2AB，点E，F分别是BC，DA的中点．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若AB=2，求BD的长．16.(5分)(1)如图，在△ABC中，∠BAC=120∘，AB=3，AC=2，CD是AB边上的高，求sin B 的值；(2)如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠B=45∘，BC=2，求AB的长.参考答案与试题解析初中数学直角三角形练习题一、选择题（本题共计 8 小题，每题 2 分，共计16分）1.【答案】A【考点】全等三角形的判定直角三角形全等的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】全等三角形的判定全等三角形的性质直角三角形全等的判定【解析】熟练综合运用判定定理判断，做题时要结合已知与全等的判定方法逐个验证．【解答】解：因为两个三角形的两个角对应相等，根据内角和定理，可知另一对对应角也相等，那么总能利用AAS来判定两个三角形全等，故选项①正确；如果两个三角形都和第三个三角形全等，那么这两个三角形也一定全等，故选项②正确；判定两个三角形全等时，依据SSS来判定时没有用到角相等，故选项③错误；故选A．3.【答案】D【考点】勾股定理的应用【解析】根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形的面积公式即可得出结果．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，∴小正方形的边长为2，根据勾股定理得：大正方形的边长=√22+42=2√5，∴小正方形面积大正方形面积=2(2√5)2=420=15．故选D．4.【答案】B【考点】全等三角形的判定【解析】本题要判定△ABC≅△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90∘后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≅△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．【解答】解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≅△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≅△ADC，故B选项符合题意；C、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≅△ADC，故C选项不符合题意；D、添加∠B=∠D=90∘，根据HL，能判定△ABC≅△ADC，故D选项不符合题意.故选B.5.【答案】D【考点】全等三角形的判定【解析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，结合选项逐一检验．【解答】解：A，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，三个角相等不能判定两三角形全等，故A不符合题意；B，AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，因为角不是两边的夹角，所以不能判定两三角形全等，故B不符合题意；C，△ABC的周长等于△DEF的周长，三边不一定相等，故C不符合题意；D，∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF，符合ASA，能判定两三角形全等，故D符合题意. 故选D．6.【答案】C【考点】角平分线的性质含30度角的直角三角形等腰三角形的判定与性质【解析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30∘的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90∘，∴CD=DE=1，又∵直角△BDE中，∠B=30∘，∴BD=2DE=2，∴BC=CD+BD=1+2=3.故选C.7.【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质含30度角的直角三角形【解析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分性质求出BE＝AE＝6cm，求出∠EAB＝∠B＝15∘，求出∠EAC，求出∠AEC，根据含30∘角的直角三角形性质求出即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=15∘，∴∠BAC=90∘−15∘=75∘.∵DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6cm，∴BE=AE=6cm，∴∠EAB=∠B=15∘，∴∠EAC=75∘−15∘=60∘.∵∠C=90∘，∴∠AEC=30∘，∴AC=12AE=12×6=3cm.故选D.8.【答案】B【考点】角平分线的性质全等三角形的性质与判定【解析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，设面积为S，然后根据S△ADF=S△ADH列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DH.在Rt△DEF和Rt△DGH中，{DE=DGDF=DH，∴Rt△DEF≅Rt△DGH(HL)，∴S△EDF=S△GDH，设面积为S，同理Rt△ADF≅Rt△ADH，∴S△ADF=S△ADH，即28+S=40−S，解得S=6．故选B.二、填空题（本题共计 5 小题，每题 1 分，共计5分）9.【答案】920√2【考点】勾股定理全等三角形的性质【解析】首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AF的长，根据相似三角形的性质，求得AN的长，即可得到结论．【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2∵BF=2FC，BC=AD=3，∴BF=AH=2，FC=HD=1.∴AF=√FH2+AH2=√22+22=2√2.∵OH // AE，∴HOAE =DHAD=13.∴OH=13AE=13.∴OF=FH−OH=2−13=53.∵AE // FO，∴△AME∽FMO.∴AMFM =AEFO=35，∴AM=38AF=3√24.∵AD // BF，∴△AND∽△FNB.∴ANFN =ADBF=32，∴AN=35AF=6√25.∴MN=AN−AM=6√25−3√24=9√220．故答案为：920√2．10.【答案】3√3【考点】勾股定理含30度角的直角三角形等边三角形的性质【解析】如图：由等边三角形的边长为6cm，可得AB=AC=BC=6cm，∠B=60∘，又由AD⊥BC，利用三角函数的知识即可求得AD的值．【解答】解：如图所示，AD为△ABC的高，∵等边三角形的边长为6cm，∴AB=AC=BC=6cm，∠B=60∘，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90∘，在Rt△ABD中，∠BAD=30∘，∴BD=12AB=3(cm)，由勾股定理得AD=3√3(cm)．∴其高为3√3cm．故答案为：3√3．11.【答案】80∘【考点】全等三角形的性质与判定三角形内角和定理圆的有关概念【解析】连接OA，OB，OC，OD，可证△AOB≅△DOC(SSS)，可得∠ABO=∠OCD，由OB=OC得∠OBC=∠OCB，则∠EBC+∠BCE=160∘，即∠EBO+∠OBC+∠BCO=160∘，2(∠EBO+∠OBC)=160∘，∠B=∠EBO+∠OBC得解．【解答】解：连接OA，OB，OC，OD，∵ AB=CD，AO=OB=OC=OD，∴ △AOB≅△DOC(SSS)，∴ ∠ABO=∠OCD∵ OB=OC，∴ ∠OBC=∠OCB，∵ ∠E=20∘，∴ ∠EBC+∠BCE=160∘，即2(∠EBO+∠OBC)=160∘，则∠B=∠EBO+∠OBC=80∘．故答案为：80∘．12.【答案】AB=ED【考点】直角三角形全等的判定【解析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：添加的条件是：AB=ED，理由是：∵在Rt△ABC和Rt△EDF中{∠B=∠D, AB=ED,∠A=∠DEF,∴Rt△ABC≅Rt△EDF(ASA).故答案为：AB=ED.13.【答案】2√5−2【考点】正方形的性质【解析】此题暂无解析【解答】略三、解答题（本题共计 3 小题，共计11分）14.【答案】证明：连接BE，∵ED⊥BC，∴∠BDE=∠A=90∘．在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵{BE=BE ，BA=BD，∴ Rt△ABE≅Rt△DBE(HL)，∴∠ABE=∠DBE，∴点E在∠ABC的角平分线上．【考点】直角三角形全等的判定角平分线的定义【解析】可通过证明Rt△ABE≅Rt△DBE从而得到结论．【解答】证明：连接BE，∵ED⊥BC，∴∠BDE=∠A=90∘．在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵{BE=BE ，BA=BD，∴ Rt△ABE≅Rt△DBE(HL)，∴∠ABE=∠DBE，∴点E在∠ABC的角平分线上．15.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD，BC=AD．∵E，F分别是BC，AD的中点，∴BE=CE=12BC，AF=12AD，∴CE=AF．又∵CE//AF，∴四边形AECF是平行四边形．∵BC=2AB，∴AB=BE．∵∠ABC=60∘，∴△ABE是等边三角形，∴AE=BE=CE，∴平行四边形AECF是菱形．(2)解：作BG⊥DA的延长线于点G，如图所示：则∠ABG=90∘−∠ABC=30∘，∴AG=12AB=1，BG=√22−12=√3．∵AD=BC=2AB=4，∴DG=AG+AD=5，∴BD=√BG2+DG2=√(√3)2+52=2√7．【考点】菱形的判定勾股定理含30度角的直角三角形【解析】无无【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD，BC=AD．∵E，F分别是BC，AD的中点，∴BE=CE=12BC，AF=12AD，∴CE=AF．又∵CE//AF，∴四边形AECF是平行四边形．∵BC=2AB，∴AB=BE．∵∠ABC=60∘，∴△ABE是等边三角形，∴AE=BE=CE，∴平行四边形AECF是菱形．(2)解：作BG⊥DA的延长线于点G，如图所示：则∠ABG=90∘−∠ABC=30∘，∴AG=12AB=1，BG=√22−12=√3．∵AD=BC=2AB=4，∴DG=AG+AD=5，∴BD=√BG2+DG2=√(√3)2+52=2√7．16.【答案】解：(1)∵∠BAC=120∘，∴∠ACD=120∘−90∘=30∘，∴AD=12AC=1，CD=√3AD=√3，由勾股定理得：BC=2+CD2=√42+(√3)2=√19，∴sin B=CDBC =√3√19=√5719；(2)过C作CD⊥AB于D，在Rt△BCD中，CD=DB=BC⋅sin45∘=√2，在Rt△ACD中，AD=CDtan30=√6，∴AB=AD+DB=√6+√2.【考点】锐角三角函数的定义勾股定理含30度角的直角三角形【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵∠BAC=120∘，∴∠ACD=120∘−90∘=30∘，∴AD=12AC=1，CD=√3AD=√3，由勾股定理得：BC=2+CD2=√42+√32=√19，∴sin B=CDBC =√3√19=√5719.(2)过C作CD⊥AB于D，在Rt△BCD中，CD=DB=BC⋅sin45∘=√2，在Rt△ACD中，AD=CDtan30∘=√6，∴AB=AD+DB=√6+√2.。
八年级上直角三角形练习
八年级上直角三角形练习一、填空题（2′×15＝30′）1.在Rt△ABC中，∠C＝90°AB＝2cm,AC=BC,CD⊥AB于D，则CD＝_____。
2.有______________________对应相等的两个直角三角形全等。
3.角平分线定理的逆定理是______________________________________.4. △ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，已知BC＝5 cm，则AB＝___ cm。
5．如图已知AB＝AC，BE＝EC，AE的延长线交BC于D，则图中全等的三角形有____对 .6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝13，a=12,则b=_____.7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=6, b=8,则c=_____。
8．等边三角形的边长为8cm，则它的面积为______。
9．已知直角三角形两条边长分别为3cm,4cm，则第三边长为____。
10．等腰三角形的腰长为4，腰上的高为2，则等腰三角形的顶角为_______.11．已知三角形三边为a2+b2,2ab,a2-b2,(a、b为正整数)这个三角形是_______三角形。
12．已知1和2，请你写出一个数恰好是一个直角三角形的三边长，这个数是_____.13．已知三条线段作三角形，这三条线段必须满足二、选择题（3′×10＝16．如图，DA＝DB，AC⊥DA，BC ⊥DB，则△ADC≌△BDC所根据的判定定理是（）A．SAS B. ASA C. SSS D. HL17．在△ABC和△A′B′C′中，∠C ＝∠C′＝90°AB＝A′B′∠A＝38°，′∠B′＝52是（）A HLB ASA或AASC SASD AAA18．用7cm、24cm、25cm的三根小木棒构成的三角形是（）′′A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形19．将直角三角形三边分别扩大a倍，得到的三角形是（）A直角三角形B可能是锐角三角形C可能是钝角三角形D不可能是直角三角形20．已知△ABC中D是BCE是AC上一点，BE、CD相交于F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE ＝28°，则∠CFE＝（）A62°B68°C78°D90°八21．已知三条线段的长度比为∶∶，那么这三条线段（）A能组成锐角三角形B不能组成三角形C能组成直角三角形D能组成钝角三角形22．下列说法正确的是（）A周长相等的两个三角形全等B边长相等的两个三角形全等C面积相等的两个三角形全等D各角相等的两个三角形23、△ABC中，∠A－∠B＝90°，那么这个三角形为（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D锐角或钝角三角形24．如图，已知∠AOBOC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序是①作射线OC②在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE③分别以D、E为圆心，大于DE 的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C（）A①②③B②①③C ②③①D③②①25．已知线段a、b和m，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b,BC边上的中线AD＝m，作法的合理顺序为（）①延长CD到B，使BD＝CD②连结AB③作△ADC，使DC＝a,AC=b,AD=mA ③①②B ①②③C ②③①D ③②①三、证明（5′×3＝15′）26．如图，CD⊥AB于⊥AC于E，CD、BE DB ＝EC，求证：AC＝AB27．如图，已知CE⊥AB，垂足分别为E、F，AC AC＝BD，求证CE＝DF28．已知：如图△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE、DF 分别垂直AB、AC垂足E、F求证：EB＝FC四、证明（6′×2＝1229．如图，已知AC＝BC，AE⊥OB 于E，BD⊥OA于D，AE、BD相交于点C，求证：∠1＝∠230．如图，A、D、B、E在同一直线上，AD＝BE，AC∥DF，BC∥EF，求证：AC＝DF五（5′）31.已知斜边，一锐角，作直角三角形。
八年级数学上册角的直角三角形的性质精选练习题
八年级数学上册角的直角三角形的性质精选练习题八年级的数学学习是一个循序渐进的过程，也是一个不断积累不断创新的过程，同学们要准备哪些练习题呢?下面是店铺为大家带来的关于八年级数学上册角的直角三角形的性质精选练习题，希望会给大家带来帮助。
八年级数学上册角的直角三角形的性质精选练习题：一.选择题(共8小题)1.△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )A. 3.5B. 4.2C. 5.8D. 72.在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D.若ED=5，则CE的长为( )A. 10B. 8C. 5D. 2.53.Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC的两边相交于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM，交AC于点D.若△BDC的面积为10，∠ABC=2∠A，则△ABC的面积为( )A. 25B. 30C. 35D. 404.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为( )A.4cmB. 2cmC. 1cmD. m5.△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系是( )A. BD=ABB. BD=ABC. BD=ABD. BD=AB6.是屋架设计的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB=10m，∠A=30°，则立柱BC的长度是( )A. 5mB. 8mC. 10mD. 20m7.一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )A. 6米B. 9米C. 12米D. 15米8.已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE.则下列结论：①BE=AE;②BD=AE;③AE=2DE;④S△ABE=S△CBE，其中正确的结论是( )A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④二.填空题(共10小题)9.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________ .10.∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= _________ .11.在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=10，则BC的长为_________ .12.在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，∠ABC=30°，底边上的高AD= _______cm.13.在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D.若AC=6cm，则AD= _________ cm.14.在△ABC中.∠B=90°，∠BAC=30°.AB=9cm，D是BC延长线上一点.且AC=DC.则AD= _________ cm.15.是某超市一层到二层滚梯示意.其中AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为_________ 米.16.在△ABC中，已知AB=4，BC=10，∠B=30°，那么S△ABC= _________ .17.△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB=12cm，则CE= ______ cm.18.有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P.继续航行20海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°.如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是_________ 海里.三.解答题(共5小题)19.在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证：△ACD≌△AED;(2)若∠B=30°，CD=1，求BD的长.20.在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD= DC.21.△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，求AC的长.22.△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，∠A=30°，AB=4，求BD长.23.已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN.B、D分别在射线AN、AM上.(1)在(1)中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC.(2)若把(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，(2)所示.则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由.八年级数学上册角的直角三角形的性质精选练习题答案：一、DABCCABC二、9、2;10、2;11、5;12、6;13、2;14、18;15、6;16、10;17、3;18、10三、19、(1)证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL);(2)解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2.20、解：连接DB.∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∴∠A=∠ABD，∵BA=BC，∠B=120°，∴∠A=∠C= (180°﹣120°)=30°，∴∠ABD=30°，又∵∠ABC=120°，∴∠DBC=120°﹣30°=90°，∴BD= DC，∴AD= DC.21、解：∵△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∴∠2=∠3=30°;在Rt△BCD中，CD= BD，∠4=90°﹣30°=60°(直角三角形的两个锐角互余); ∴∠1+∠2=60°(外角定理)，∴∠1=∠2=30°，∴AD=BD(等角对等边);∴AC=AD+CD= AD;又∵AD=6，∴AC=9.22、解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，∴BC= AB= ×4=2，∵CD是△ABC的高，∴∠CDA=∠ACB=90°，∠B=∠B，故∠BCD=∠A=30°，∴在Rt△BCD中，BD= BC= ×2=1，∴BD=1.23、(1)证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠DAC=∠BAC=60°∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠DCA=∠BCA=30°，在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠ BCA=30°∴AC=2AD，AC=2AB，∴AD+AB=AC;(2)解：结论AD+AB=AC成立.理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE，∵∠BAC=60°，∴△CAE为等边三角形，∴AC=CE，∠AEC=60°，∵∠DAC=60°，∴∠DAC=∠AEC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠ADC=∠EBC，∴△ADC≌△EBC，∴DC=BC，DA=BE，∴AD+AB=AB+BE=AE，∴AD+AB=AC.。
初二数学上册三角形练习题
初二数学上册三角形练习题在初中数学学习中，三角形是一个十分重要的概念。
通过学习三角形的性质和计算相关的练习题，我们可以加深对三角形的理解，并提高解题能力。
本文将为大家提供一些初二数学上册的三角形练习题，希望能帮助大家更好地掌握这一知识点。
1. 判断下列命题的真假，并用“√”或“×”表示：(1) 所有等腰三角形都是等边三角形。
(2) 直角三角形的斜边一定比直角边长。
答案：(1) ×(2) √解析：(1) 虽然等腰三角形两边相等，但并不一定都是等边三角形，因为它的底边可以不相等。
(2) 直角三角形的斜边是直角边的最长边，所以一定比直角边长。
2. 已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长。
答案：斜边长为5cm。
解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
假设斜边长为x，则有3^2 + 4^2 = x^2，解得x=5。
3. 在直角三角形ABC中，AB=3cm，BC=4cm，且∠B=90°，点D 是AB的中点，连接CD并延长至直角三角形ABC的外部，使得∠CDE=90°。
求BE的长。
答案：BE的长为4cm。
解析：根据题目信息，可知AC是直角三角形ABC的斜边，即AC=5cm （根据勾股定理可得）。
由于点D是AB的中点，所以AD=BD=AB的一半=1.5cm。
在直角三角形CDE中，由于∠CDE=90°，所以矩形BCDE的对角线CE也是直角三角形CDE的斜边。
根据勾股定理可得CE的平方等于CD^2 + DE^2，即5^2 = 1.5^2 + DE^2，解得DE=4cm。
因此，BE=BD+DE=1.5cm+4cm=4cm。
通过以上几个练习题，我们对初二数学上册的三角形部分进行了简单的练习和讲解。
掌握了三角形的基本概念和性质，以及运用勾股定理解题的方法。
希望同学们能够通过不断的练习和巩固，提高解题的能力，为之后更深入的学习打下坚实的基础。
沪教版八年级 直角三角形的判定与性质,带答案
主 题直角三角形的判定与性质教学内容1．掌握直角三角形判定定理，熟练运用直角三角形的判定定理进行几何证明； 2．掌握直角三角形的性质定理，并能运用解决相关的计算证明问题；（以提问的形式回顾）1．直角三角形全等的判定定理： （简称： ）2.直角三角形的性质定理①： ②： 推论①：②：答案：1.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，HL 2.① 直角三角形的两个锐角互余。
② 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
推论：① 在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么这个角所对的边等于斜边的一半。
② 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30º。
练习：1.如图，已知BD ⊥AE 于B ，C 是BD 上一点，且BC=BE ，要使Rt △ABC ≌Rt △DBE ，应补充的条件是 ．（填一个条件） 2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =12，BC =6，则∠A = 度．3．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，∠CBD =26°，则∠A = 度． 4．如图，Rt △ABC 中,∠C =90°，BD=2CD ，AD 是BAC ∠的角平分线，=∠B 度． 5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90º，∠B ＝28º， D 为AB 的中点，∠ACD= 度．答案：∠D =∠A 或∠E =∠ACB 或DE =AC 或BD =AB ；350；300；320；30；62（采用教师引导，学生轮流回答的形式）一、直角三角形全等的判定例1：如图，已知BC > AB ，AD=DC ，BD 平分∠BAC ，求证：∠A+∠C=180°．DBCA证法一：如图1，在边BC 上取点E ，使得BE =BA ，联结DE ∵BD 平分∠ABC ∴∠1=∠2在△ABD 和△EBD 中，AB =EB ，∠1=∠2，BD =BD ∴△ABD ≌△EBD （SAS ） ∴∠A =∠BED ∴DA =DE 又∵AD =DC ∴DE =DC ∴∠C =∠CED∵∠BED +∠DEC =180° ∴∠C +∠A =180°AB CD E第1题图第4题DCBA第5题DCBAAC B E D第3题图21图1EDB CA21图2FEDB CA证法二：如图2，过点D作BA的垂线，与BA延长线交于点E，过点D作BC的垂线，垂足为F∴DE、DF为点D到∠ABC的两边的距离∵BD平分∠ABC∴DE=DF在Rt△DEA和Rt△DFC中，AD=CD，DE=DF∴Rt△DEA≌Rt△DFC∴∠DAE=∠C∵∠DAE+∠DAB=180°∴∠C+∠DAB=180°二、直角三角形性质案例1：如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，联结PQ、DE．问题1：求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；问题2：如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明。
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19、10平面上两点间的距离公式
一、课本巩固练习
1：（1）求A （-1,3)、B(2,5）两点之间的距离；
(2）已知A(0,10），B(a,—5)两点之间的距离为17,求实数a 的值.
2:已知三角形ABC 的三个顶点13(1,0),(1,0),(,)2A B C -,试判断ABC ∆的形状. 3:已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),A -(2,1),(4,7)B C --,求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程.
4.已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ,建立适当的
直角坐标系，
证明：12
AM BC =。
二、基础过关
1、式子22(1)(2)a b ++-可以理解为( ）
()A 两点（a,b )与(1,-2）间的距离
()B 两点(a ，b ）与(—1,2）间的距离
()C 两点(a ，b )与(1，2）间的距离
()D 两点（a,b )与(-1，-2)间的距离
2、以A (3，-1)， B （1，3)为端点的线段的垂直平分线的方程为 ( )
()A 2x +y -5=0 ()B 2x +y +6=0
()C x —2y =0 ()D x —2y —8=0
3、 线段AB 的中点坐标是（-2，3)，又点A 的坐标是(2，-1),则点B 的坐标是____________________。
4.已知点(2,3),A -,若点P 在直线70x y --=上，求取最小值.
5： 已知直线1:12
l y x =
-,(1）求点(3,4)P 关于l 对称的点Q ;（2）求l 关于点(2,3)对称的直线方程。
6:一条光线经过点(2,3)P ,射在直线10x y ++=上,反射后，经过点(1,1)A ,求光线的入射
线和反射线所在的直线方程.
7。
点（-1，2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐 标为( ）
()A （1，4） ()B （—1,4） ()C (1,-4） ()D (—1，-4）
2。
直线3x —y-2=0关于x 轴对称的直线方程为____________________.
3。
已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求D 点的坐标，使四边形ABCD 为等腰梯形.
4。
已知定点(2,2)A ，(8,4)B ,x R ∈, 、。