福建省泉州市2017年中考数学试题
2017年各地中考试卷2017年福建省中考数学试卷
2017年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）3的相反数是（）A．﹣3 B．﹣ C．D．32．（4分）如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（）A．B． C．D．3．（4分）用科学记数法表示136 000，其结果是（）A．0.136×106B．1.36×105C．136×103D．136×1064．（4分）化简（2x）2的结果是（）A．x4B．2x2C．4x2D．4x5．（4分）下列关于图形对称性的命题，正确的是（）A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形6．（4分）不等式组：的解集是（）A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x＜2 C．x≥2 D．x＜﹣37．（4分）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，158．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（）A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD9．（4分）若直线y=kx+k+1经过点（m，n+3）和（m+1，2n﹣1），且0＜k＜2，则n的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．610．（4分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（）A．1区 B．2区 C．3区 D．4区二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算|﹣2|﹣30=．12．（4分）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．若DE=3，则线段BC的长等于．13．（4分）一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是．14．（4分）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是．15．（4分）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于度．16．（4分）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=的图象上，且点A 的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）•，其中a=﹣1．18．（8分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．19．（8分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）20．（8分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．（Ⅰ）若AB=4，求的长；（Ⅱ）若=，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．22．（10分）小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1．据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin 2α+sin 2（90°﹣α）=1．（Ⅰ）当α=30°时，验证sin 2α+sin 2（90°﹣α）=1是否成立；（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．23．（10分）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A 品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A 品牌共享单车的意愿，得到如下数据：（Ⅰ）写出a ，b 的值；（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A 品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A 品牌共享单车能否获利？说明理由．24．（12分）如图，矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P ，E 分别是线段AC 、BC 上的点，且四边形PEFD 为矩形．（Ⅰ）若△PCD 是等腰三角形时，求AP 的长；（Ⅱ）若AP=，求CF 的长．25．（14分）已知直线y=2x +m 与抛物线y=ax 2+ax +b 有一个公共点M （1，0），且a ＜b ．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．2017年福建省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）（2017•长春）3的相反数是（）A．﹣3 B．﹣ C．D．3【分析】根据相反数的定义即可求出3的相反数．【解答】解：3的相反数是﹣3故选A．【点评】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．2．（4分）（2017•福建）如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（）A．B． C．D．【分析】直接利用三视图的画法，从左边观察，即可得出选项．【解答】解：图形的左视图为：，故选B．【点评】此题主要考查了三视图的画法，正确掌握三视图观察的角度是解题关键．3．（4分）（2017•福建）用科学记数法表示136 000，其结果是（）A．0.136×106B．1.36×105C．136×103D．136×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：用科学记数法表示136 000，其结果是1.36×105，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）（2017•福建）化简（2x）2的结果是（）A．x4B．2x2C．4x2D．4x【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．【解答】解：（2x）2=4x2，故选：C．【点评】此题主要考查了积的乘方，关键是掌握计算法则．5．（4分）（2017•福建）下列关于图形对称性的命题，正确的是（）A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；B、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；C、线段是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；D、菱形是中心对称图形，是轴对称图形，故D符合题意；故选：A．【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．（4分）（2017•福建）不等式组：的解集是（）A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x＜2 C．x≥2 D．x＜﹣3【分析】求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，【解答】解：解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞﹣3，∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，故选A．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．7．（4分）（2017•福建）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，15【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列：10、13、15、15、20，最中间的数是15，则这组数据的中位数是15；15出现了2次，出现的次数最多，则众数是15．故选：D．【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．8．（4分）（2017•福建）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（）A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD【分析】由圆周角定理得出∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD=∠BAD，得出∠ACD+∠BAD=90°，即可得出答案．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∵∠BCD=∠BAD，∴∠ACD+∠BAD=90°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理；熟记圆周角定理是解决问题的关键．9．（4分）（2017•福建）若直线y=kx+k+1经过点（m，n+3）和（m+1，2n﹣1），且0＜k＜2，则n的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据题意列方程组得到k=n﹣4，由于0＜k＜2，于是得到0＜n﹣4＜2，即可得到结论．【解答】解：依题意得：，∴k=n﹣4，∵0＜k＜2，∴0＜n﹣4＜2，∴4＜n＜6，故选C．【点评】考查了一次函数的图象与系数的关系，注重考察学生思维的严谨性，易错题，难度中等．10．（4分）（2017•福建）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB 和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（）A．1区 B．2区 C．3区 D．4区【分析】根据旋转的性质连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，从而得出线段AB和点P是绕着同一个该点逆时针旋转90°，据此可得答案．【解答】解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，由图可知，线段AB和点P绕着同一个该点逆时针旋转90°，∴点P逆时针旋转90°后所得对应点P′落在4区，故选：D．【点评】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质得出图形的旋转中心及旋转方向是解题的关键．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）（2017•福建）计算|﹣2|﹣30=1．【分析】首先利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=2﹣1=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12．（4分）（2017•福建）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．若DE=3，则线段BC的长等于6．【分析】直接根据三角形的中位线定理即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∵DE=3，∴BC=2DE=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．13．（4分）（2017•福建）一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是红球．【分析】根据已知条件即可得到结论．【解答】解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是，∴这三种颜色的球的个数相等，∴添加的球是红球，故答案为：红球．【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的概念是解题的关键．14．（4分）（2017•福建）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是7．【分析】先利用点A、B表示的数计算出AB，再计算出BC，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数．【解答】解：∵点A，B表示的数分别是1，3，∴AB=3﹣1=2，∵BC=2AB=4，∴OC=OA+AB+BC=1+2+4=7，∴点C表示的数是7．故答案为7．【点评】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）15．（4分）（2017•福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于108度．【分析】根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，∠4，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．【解答】解：如图，由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，∠5=∠6=180°﹣108°=72°，∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，故答案为：108．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角是解题关键．16．（4分）（2017•福建）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为．【分析】先根据点A在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐标是2，可得A （2，），再根据B（，2），D（﹣，﹣2），运用两点间距离公式求得AB和AD的长，即可得到矩形ABCD的面积．【解答】解：如图所示，根据点A在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐标是2，可得A（2，），根据矩形和双曲线的对称性可得，B（，2），D（﹣，﹣2），由两点间距离公式可得，AB==，AD==，∴矩形ABCD的面积=AB×AD=×=，故答案为：．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是画出图形，依据两点间距离公式求得矩形的边长．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）（2017•福建）先化简，再求值：（1﹣）•，其中a=﹣1．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：当a=﹣1时原式=•==【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．18．（8分）（2017•福建）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．【分析】证明BC=EF，然后根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，然后根据全等三角形的对应角相等即可证得．【解答】证明：如图，∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．∴∠A=∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等常用的方法是证明所在的三角形全等．19．（8分）（2017•福建）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】根据角平分线的性质作出BQ即可．先根据垂直的定义得出∠ADB=90°，故∠BPD+∠PBD=90°．再根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ=90°，根据角平分线的性质得出∠ABQ=∠PBD，再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP，据此可得出结论．【解答】解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BPD+∠PBD=90°．∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°．∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP．∵∠BPD=∠APQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键．20．（8分）（2017•福建）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，可分别得出方程，联立求解即可得出答案．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，鸡有一个头，两只脚，兔有1个头，四只脚，结合上有三十五头，下有九十四足可得：，解得：．答：鸡有23只，兔有12只．【点评】此题考查了二元一次方程的知识，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程组，难度一般．21．（8分）（2017•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．（Ⅰ）若AB=4，求的长；（Ⅱ）若=，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．【分析】（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根据弧长公式即可得到结论；（Ⅱ）由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP=CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到结论．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=AB=2，∴的长=×π×2=π；（Ⅱ）∵=，∴∠BOC=∠AOD，∵∠COD=90°，∴∠AOD=45°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，∴∠ODA=67.5°，∵AD=AP，∴∠ADP=∠APD，∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，∴∠ADP=CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，∴PD是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（10分）（2017•福建）小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1．据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．【分析】（1）将α=30°代入，根据三角函数值计算可得；（2）设∠A=α，则∠B=90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．【解答】解1：（1）当α=30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）=sin230°+sin260°=（）2+（）2=+=1；（2）小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）=（）2+（）2===1．【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．23．（10分）（2017•福建）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A 品牌共享单车的意愿，得到如下数据：（Ⅰ）写出a ，b 的值；（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A 品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A 品牌共享单车能否获利？说明理由．【分析】（Ⅰ）根据收费调整情况列出算式计算即可求解；（Ⅱ）先根据平均数的计算公式求出抽取的100名师生每人每天使用A 品牌共享单车的平均车费，再根据用样本估计总体求出5000名师生一天使用共享单车的费用，再与5800比较大小即可求解．【解答】解：（Ⅰ）a=0.9+0.3=1.2，b=1.2+0.2=1.4；（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A 品牌共享单车的平均车费为：×（0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.5×15）=1.1（元）， 所以估计5000名师生一天使用共享单车的费用为：5000×1.1=5500（元）， 因为5500＜5800，故收费调整后，此运营商在该校投放A 品牌共享单车不能获利．【点评】考查了样本平均数，用样本估计总体，（Ⅱ）中求得抽取的100名师生每人每天使用A 品牌共享单车的平均车费是解题的关键．24．（12分）（2017•福建）如图，矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P ，E 分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；（Ⅱ）若AP=，求CF的长．【分析】（Ⅰ）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；（Ⅱ）方法1、先判断出OC=ED，OC=PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．方法2、先判断出∠CEF=∠FDC，得出点E，C，F，D四点共圆，再判断出点P也在此圆上，即可得出∠DAP=∠DCF，此后同方法1即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6，∴AC==10，要使△PCD是等腰三角形，①当CP=CD时，AP=AC﹣CP=10﹣6=4，②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP=AC=5，③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，∵S△ADC=AD•DC=AC•DQ，∴DQ==，∴CQ==，∴PC=2CQ=，∴AP=AC﹣PC=10﹣=；所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或；（Ⅱ）方法1、如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，∵四边形ABCD和PEFD是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，∴∠ADP=∠CDF，∵∠BCD=90°，OE=OD，∴OC=ED，在矩形PEFD中，PF=DE，∴OC=PF，∵OP=OF=PF，∴OC=OP=OF，∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，∴2∠OCP+2∠OCF=180°，∴∠PCF=90°，∴∠PCD+∠FCD=90°，在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，∴∠PAD=∠FCD，∴△ADP∽△CDF，∴，∵AP=，∴CF=．方法2、如图，∵四边形ABCD和DPEF是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，∴∠ADP=∠CDF，∵∠DGF+∠CDF=90°，∴∠EGC+∠CDF=90°，∵∠CEF+∠CGE=90°，∴∠CDF=∠FEC，∴点E，C，F，D四点共圆，∵四边形DPEF是矩形，∴点P也在此圆上，∵PE=DF，∴，∴∠ACB=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAP，∴∠DAP=∠DCF，∵∠ADP=∠CDF，∴△ADP∽△CDF，∴，∵AP=，∴CF=．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解（Ⅰ）的关键是分三种情况讨论计算，解（Ⅱ）的关键是判断出△ADP∽△CDF，是一道中考常考题．25．（14分）（2017•福建）已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．【分析】（Ⅰ）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；（Ⅱ）由直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）的方程，可求得N点坐标，利用勾股定理可求得MN2，利用二次函数性质可求得MN长度的取值范围；（ii）设抛物线对称轴交直线与点E，则可求得E点坐标，利用S=S△QEN+S△QEM可用a表示出△QMN的面积，再整△QMN理成关于a的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值范围，可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y=ax2+ax+b过点M（1，0），∴a+a+b=0，即b=﹣2a，∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a（x+）2﹣，∴抛物线顶点Q的坐标为（﹣，﹣）；（Ⅱ）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），∴0=2×1+m，解得m=﹣2，联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0（*）∴△=（a﹣2）2﹣4a（﹣2a+2）=9a2﹣12a+4，由（Ⅰ）知b=﹣2a，且a＜b，∴a＜0，b＞0，∴△＞0，∴方程（*）有两个不相等的实数根，∴直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0，即x2+（1﹣）x﹣2+=0，∴（x﹣1）[x﹣（﹣2）]=0，解得x=1或x=﹣2，∴N点坐标为（﹣2，﹣6），（i）由勾股定理可得MN2=[（﹣2）﹣1]2+（﹣6）2=﹣+45=20（﹣）2，∵﹣1≤a≤﹣，∴﹣2≤≤﹣1，∴MN2随的增大而减小，∴当=﹣2时，MN2有最大值245，则MN有最大值7，当=﹣1时，MN 2有最小值125，则MN 有最小值5，∴线段MN 长度的取值范围为5≤MN ≤7；（ii ）如图，设抛物线对称轴交直线与点E ，∵抛物线对称轴为x=﹣， ∴E （﹣，﹣3），∵M （1，0），N （﹣2，﹣6），且a ＜0，设△QMN 的面积为S ， ∴S=S △QEN +S △QEM =|（﹣2）﹣1|•|﹣﹣（﹣3）|=﹣﹣，∴27a 2+（8S ﹣54）a +24=0（*）， ∵关于a 的方程（*）有实数根，∴△=（8S ﹣54）2﹣4×27×24≥0，即（8S ﹣54）2≥（36）2，∵a ＜0， ∴S=﹣﹣＞，∴8S ﹣54＞0， ∴8S ﹣54≥36，即S ≥+，当S=+时，由方程（*）可得a=﹣满足题意，∴当a=﹣，b=时，△QMN 面积的最小值为+．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得N点的坐标是解题的关键，在最后一小题中用a表示出△QMN的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。
20170515-1(定稿)泉州市2017届初中毕业班中考模拟数学试卷(一)参考答案及评分标准
泉州市2017届初中毕业班中考模拟数学试卷（一）参考答案及评分标准说明：（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分． （三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．一、选择题（每小题4分，共40分）1．B 2．A 3．B 4．B 5．B 6.D 7．C 8．B 9．B10．D 二、填空题（每小题4分，共24分）11．12 12.3(1)(1)a ab ab +- 13．42x y =⎧⎨=⎩14．<15.16三、解答题（共86分）17．（本小题8分）解：原式222444x x x x =++-++……………………………………………………………6分=248x x ++……………………………………………………………………………7分当2410x x +-=时，即241x x +=原式=189+=……………………………………………………………………………8分18．（本小题8分）解：2(2)(13)6x x --+=………………………………………………………………………4分24136x x ---=23641x x -=++ 11x -==11x - 所以，方程的解为=-11x …………………………………………………………………8分19．（本小题8分）解法一：添加：BD CD =或点D 为线段BC 的中点…………………………………………3分 理由：∵AB AC =∴B C ∠=∠ ……………………………………………………………………………… 4分 又∵,DE AB DF AC ⊥⊥∴90DEB DFC ∠=∠=︒，………………………………………………………………5分 在DCF和DBE中，∵DFC DEB C B CD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩………………………………………………………………………6分 ∴()DCF DBE AAS ≌………………………………………………………………7分∴DF DE =………………………………………………………………………………8分 解法二：添加：BE CF =…………………………………………………………………………3分理由：∵AB AC =∴B C ∠=∠ …………………………………………………………………………… 4分又∵,DE AB DF AC ⊥⊥∴90DEB DFC ∠=∠=︒，……………………………………………………………… 5分 在DCF 和DBE 中，∵DFC DEB CF BE C B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩……………………………………………………………………6分 ∴()DCF DBE ASA ≌………………………………………………………………7分∴DF DE =………………………………………………………………………………8分20．（本小题8分）解：(1)过点C 作CD ⊥x 轴于D …………………………………………………………………1分∵A (2，0)，B (0，4)，C (﹣3，2)∴2,3,2,4CD OD OA OB ==== ∴2425S 4,S 5,22AOB ACD ⨯⨯==== 3(24)S 92BODC ⨯+==四边形 ∴S S S S 8ABC OAB ACD BODC =+-= 四边形………………4分 (2)当点P 在点A 的左边时，2AP m =-………………5分 ∵S △P AB =S △ABC =8∴4(2)S 2(2)822PAB AP OB m m ⋅-===-= ………6分 解得2m =-……………………………………………7分当点P 在点A 的右边时，同理可得6m =综上所述，m 的值为2-或6 ……………………………………………………………8分21．（本小题8分）(1)200；…………………………………2分 (2)条形统计图如图所示；………………4分 （3）解法一：列表如下:……………………………………………………7分所有等可能的结果为12种，其中抽到甲乙的为2种， 所以P （抽到甲乙）21126==．…………………………………………………………………8分图(1)60解法二：画树状图如下：…7分所有等可能的结果为12种，其中抽到甲乙的为2种， 所以P （抽到甲乙）21126==．…………………………………………………………………8分 22．（本小题10分）（1）证明：在矩形ABCD 中有：90,B C ∠=∠=︒6,AB DC ==8,AD BC ==∴90BAF AFB ∠+∠=︒……………………………………………………………1分∵∠AFE =90°∴90CFE AFB ∠+∠=︒……………………………………………………………2分∴CFE BAF ∠=∠……………………………………………………………………3分 ∴△ABF ∽△FCE …………………………………………………………………4分(2)解：在矩形ABCD 中有：90,D ∠=︒8,AD BC ==6,AB DC ==∴8tan AD AED DE DE∠== ∴当DE 取最小值时，tan ∠AED 的值最大，此时∠AED 最大 ∵6CE DE +=∴当CE 取最大值时，DE 取最小值……………………………………………………6分 设BF x =由（1）得△ABF ∽△FCE∴,AB BF FC CE =即6,8xx CE =-∴22(8)118(8)(4)6663x x CE x x x -==--=--+…………………………………8分 当x =4时，CE 取得最大值为83，DE 取得最小值为810633-=，此时∠AED 最大…………………………………10分23．（本小题10分）解：（1）y 1与x 的函数关系式：1(6)20,(0200)y a x x =--<≤…………………………………2分y 2与x 的函数关系式：220.051040,(080)y x x x =-+-<≤……………………………4分 （2）对于甲，∵60a ->∴y 1随x 的增大而增大∴当x =200时，y 1取得最大值为(1180200)a -万元；……………………………………6分 对于乙，2220.0510400.05(100)460y x x x =-+-=--+∴当x =80时，y 2取得最大值为440万元；…………………………………………………8分 ∵该公司选择甲产品产销可获得最大年利润 ∴1180200440a ->解得 3.7a <…………………………………………………………………………………9分 ∵3≤a ≤5∴3 3.7a ≤<…………………………………………………………………………………10分24．(本小题13分)解：(1)由已知得1,100m n mn +==-…………………………………………………………………1分∴2222()212(100)201m n m n mn +=+-=-⨯-=………………………………………3分 (2)①由题意得2123(2)()()()x x t x x x x x x --=---2213223(44)()()x x x t x x x x x x x x x -+-=---+……………………………4分 323212312233112344()()x x x t x x x x x x x x x x x x x x x -+-=-+++++-……6分∴1234,x x x ++=1223314,x x x x x x ++=123x x x t=故122331x x x x x x ++的值为4………………………………………………………8分②由①得1324,x x x +=-21331()4,x x x x x ++=∴2231(4)4,x x x x -+=31224(4)x x x x =--……………………………………………9分 ∴22313131()()4x x x x x x -=+-2222(4)4[4(4)]x x x =----22238x x =-+22416163()333x =--+≤……………………………………………………12分又当243x =时，得1383x x +=，1349x x =于是13,x x 是关于z 的方程284039z z -+=的两根，解得z =所以13x x ==因此当123444,333x x x -+===时31x x -的取得最大值3……………13分 (注：能说明243x =是存在的，都可以得该步骤的相应分数)25．(本小题13分)解：(1)∵,AB AC AB CD ==∴,B ACB D CAD ∠=∠∠=∠又∵B D ∠=∠ ∴DAC BCA ∠=∠∴AD BC ∥……………………………………………………………………………2分1802BAC ACD B ∠=∠=︒-∠∴AB CD ∥……………………………………………………………………………3分∴四边形ABCD 是平行四边形…………………………………………………………4分 (2)作△ACD 的外接圆⊙O ,以C 点为圆心,以CD 为半径画弧交⊙O 于点F ，连结CF 、AF 则,AFC D B CF CD AB ∠=∠=∠==………………………………………………6分 假设四边形ABCF 是平行四边形，则AF BC ∥，而AD BC ∥与“过一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，那么假设不成立． 则四边形ABCF 不是平行四边形.……………………………8分 (3)解法一：如图，①先任意作一等腰三角形ABC ，使AB =AC ；……………10分 ②在底边BC 上取一点D (BC 中点除外)；………………11分 ③以AD 的中垂线为对称轴，作△ADC 的轴对称图形△ADC ’； 所以，在ABDC ’中，AB =DC ，∠B =∠C ，但四边形ABDC ’不是平行四边形．即为所求作的反例图形．……13分 解法二：如图，①作平行四边形ABDC ，并连结AC ；………………10分 ②将△ACD 绕着点A 顺时针(或逆时针)旋转，使C 点再次落在BC (或BC 的延长线)上，记为点C ’，此时点D 旋转到D ’．………………………………………11分 所以，在ABC ’D ’中，AB =C ’D ’，∠B =∠D ’，但四边形ABDC ’不是平行四边形．即为所求作的反例图形． ………………………………………………………13分 解法三：如图，①作一个锐角A BC ；………………………………10分 ②以点A 为圆心，线段AB 长为半径画弧，与BC 相交于点F ；…………………………………………………11分 ③作△BAE ≌△AFC ，使BE =AC ，AE =CF；所以，在四边形ACBE 中，AC =BE ，∠C =∠E ，但四边形ACBE 不是平行四边形，即为所求作的反例图形．……13分BCD 解法一图D'C'D BCA解法二图EF解法四：如图，①作一个锐角A BC；………………………………………………………………………10分②以点A为圆心，线段AB长为半径画弧，与BC相交于点F；………………………………………………11分③作△F AE≌△ABC，使EF=AC，AE=BC所以，在四边形ACFE中，AC=EF，∠C=∠E，但四边形ACFE不是平行四边形，即为所求作的反例图形．…………………………………………………13分解法五：如图，①作平行四边形ABCD，使∠ACB为钝角，并连结AC；………………………………………10分②作△ADC的外接圆⊙O；以C为圆心，CD长为半径画弧，与⊙O相交于点E；……………………………………………11分③连结AE，所以，在ABCE中，AB=CE，∠B=∠E，但四边形ABCE不是平行四边形，即为所求作的反例图形．…………………………………13分F解法四图E解法五图。
福建省泉州市泉港区2017届中考数学专题复习动态问题测试题20170713168
动态问题一.选择题1．（2016·四川宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4.8 B．5 C．6 D．7.2【考点】矩形的性质．【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由S△A O D=S△A O P+S△D O P=O A•PE+OD•PF求得答案．【解答】解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形A B C D=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，∴OA=OD=5，∴S△A C D=S矩形A B C D=24，∴S△A O D=S△A C D=12，∵S△A O D=S△A O P+S△D O P=OA•PE+OD•PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8．故选：A．2.（2016·湖北荆门·3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．【解答】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y=×2x=x，当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y=×2×2=2，符合题意的函数关系的图象是A；故选：A．3.（2016·青海西宁·3分）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，∴y=x+1（x＞0）．故选：A．二.填空题1. （2016·四川眉山·3分）如图，已知点A是双曲线在第三象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是﹣3．【分析】根据反比例函数的性质得出OA=OB，连接OC，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC=OA，求出△OFC∽△AEO，相似比，求出面积比，求出△OFC的面积，即可得出答案．【解答】解：∵双曲线的图象关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，连接OC，如图所示，∵△ABC是等边三角形，OA=OB，∴OC⊥AB．∠BAC=60°，∴tan∠OAC==，∴OC=OA，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF，∴△OFC∽△AEO，相似比，∴面积比，∵点A在第一象限，设点A坐标为（a，b），∵点A在双曲线上，∴S△AEO=ab=，∴S△OFC=FC•OF=，∴设点C坐标为（x，y），∵点C在双曲线上，∴k=xy，∵点C在第四象限，∴FC=x，OF=﹣y．∴FC•OF=x•（﹣y）=﹣xy=﹣，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．2．（2016·四川内江）如图12所示，已知点C (1，0)，直线y ＝－x ＋7与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是______．[答案]10[考点]勾股定理，对称问题。
2017福建省中考数学卷及答案
A B C D（第7题） 2017年福建省中考数学卷一、选择题（共40分）1、 3的相反数是( ）； A ．3- B ．31-C ．31D ．3 2、 三视图。
下面三个并排正方体,压一个正方体，问左视图；3、 用科学计数法表示136000的结果是（ ）;A ．0。
136×106B ．1。
36×105C ．136×103D ．1。
36×106 4、 化简2)2(x 的结果是（ ）A ．4x B ．22x C ．24x D ．x 45、 下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ）A ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；B ．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ;C ．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 ；D ．菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形。
6、 不等式组：⎩⎨⎧>+≤-0302x x 的解集是（ )A ．23≤<-xB ．23<≤-xC ．2≥xD ． 3-<x 7、 某校举行“汉字听写比赛”，5个班代表队的正确答题数如图。
这5个正确答题数所组成的一组数据中的中位数和 众数是( ）；A ．10，15B ．13，15C ．13，20D ．15，158、 如图，AB 是直径，C 、D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点， 下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是（ ） A ．∠ADC B ．∠ABD C ．∠BAC D ．∠BAD 9、若直线过1++=k kx y 经过点（m ，n +3）和(m +1，12-n )， 且20<<k ，则n 的值可以是( )A ．3B ．4C ．5D ．610、如图，网格纸上正方形小格的边长为1。
图中线段AB 和 点P 绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段B A ''和 点P '，则点P '所在的单位正方形区域是( ） A ．1区 B ．2区 C ．3区 D ．4区正面（第8题）CA DBO（第14题）二、填空题：(共24分） 11、032--12、△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，连线DE ，若DE=3，则BC=________；13、一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球。
2017福建中考数学试卷
一、选择题（各4分）
1． 的相反数是______________；
2．三视图。下面三个并排正方体，压一个正方体，问左视图；
3． 用科学计数法表示________________；
4．计算 的结果是____________；
5．圆、线段、等边三角形、菱形四个图，关于轴对称、中心对称的判断；
12．三角形ABC，AB、AC中点连线EF的长为3，求线段BC的长；
13．几个白球、黑球求概率的问题；
14．数轴上有几点，给出线段的一些倍数，求另一线段的长；
15．图中是两个全等的正五边形，则∠α=.
16．已知一个矩形ABCD四个顶点都在反比例函数 上，且其中点A横坐标为2，则这个矩形面积是________________．
（1）若 为等腰三角形，求AP；
（2）若AP= ，求线段RC的长。
是否存在点P，使得三角形PRC为等腰三角形？若有，求出AP的长；
25．（14分）直线 与抛物线 都过点 ，且 ，
（1）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的式子表示）；
（2）试说明抛物线与直线有两个交点；
（3）设抛物线与直线的另一个交点为N，
21．（8分）在圆O中，AB为直
（2） ，AD=AP，求证：PD是圆O的切线.
22．（10分）
小明猜想：
（
23
（
（
若该共享单车租赁公司每天要付成本5800元，问该公司是否盈利，并说明理由。
24．（12分）如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=6，P为线段AC上一点，以PD为一边向下作矩形PDRQ，
①若 时，求MN的取值范围;
②求△QMN的面积最小值.
三、解答题：
17．（8分）先化简，再求值： ，其中
福建省泉州市泉港区2017届中考数学专题复习开放性问题测试题20170713174
开放性问题一、填空题1. （2016·山东省济宁市·3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：AH=CB等（只要符合要求即可），使△AEH≌△CEB．【考点】全等三角形的判定．【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．三.解答题1．（2016·山东省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．2．（2016·四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）连接BC，则△ABC的面积是不变的，过P作PM∥y轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时△PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积；（3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB=90°，则可证得△AOC≌△NOB，可求得ON的长，可求出N 点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式．【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，∴A点坐标为（﹣1，0），∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，∴S△ABC=AB•OC=×4×3=6，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y=x﹣3，设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3），∵P点在第四限，∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，∴S△PBC=PM•OH+PM•HB=PM•（OH+HB）=PM•OB=PM，∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，PM max=，则S△PBC=×=，此时P点坐标为（，﹣），S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=，即当P点坐标为（，﹣）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为；（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则∠AGP=∠GNC+∠GCN，当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠C GB，又∠AGB+∠CGB=180°，∴∠AGB=∠CGB=90°，∴∠ACO=∠OBN，在Rt△AON和Rt△NOB中∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），∴ON=OA=1，∴N点坐标为（0，﹣1），设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，∴直线m解析式为y=x﹣1，即存在满足条件的直线m，其解析式为y=x﹣1．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等．在（2）中确定出PM的值最时四边形ABPC的面积最大是解题的关键，在（3）中确定出满足条件的直线m的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问和第（3）问难度较大．3．（2016·四川内江）(12分)如图15，已知抛物线C：y＝x2－3x＋m，直线l：y＝kx(k＞0)，当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．(1)求m的值；(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y＝－3x＋b交于点P，且1 OA＋1OB＝2OP，求b的值；(3)在 (2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．[考点]二次函数与一元二次方程的关系，三角形的相似，推理论证的能力。
福建省泉州市泉港区2017届中考数学专题复习函数探究题测试题
函数探究【例1】 1.抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2.已知x=2m+n+2和x=m+2n 时，多项式x 2+4x+6的值相等，且m ﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x 2+4x+6的值等于 ．3.已知二次函数y=ax 2﹣2ax+1（a ＜0）图象上三点A （﹣1，y 1），B （2，y 2）C （4，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 1＜y 3＜y 2D ．y 3＜y 1＜y 2方法总结 1．将抛物线解析式写成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，则顶点坐标为(h ，k)，对称轴为直线x ＝h ，也可应用对称轴公式x ＝－，顶点坐标（-，)来求对称轴及顶点坐标．2．比较两个二次函数值大小的方法： (1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断； (3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．举一反三 1.已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y=x 2+4x+10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ） A ．（﹣3，7）B ．（﹣1，7）C ．（﹣4，10）D ．（0，10）2.已知关于x 的函数y=（2m ﹣1）x 2+3x+m 图象与坐标轴只有2个公共点，则m= ．3.设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．312y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．213y y y >>考点二、二次函数系数的符号及其之间的关系【例2】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论是（写出你认为正确的所有结论序号）．方法总结根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．举一反三 1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+c＞2b；③（a+c）2＞b2；④x（ax+b）≤a﹣b．其中正确结论的是．（请把正确结论的序号都填在横线上）2.一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（）A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0 D．a＞k＞0考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象( )A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位方法总结二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．举一反三将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( )A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，3)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c恰好经过x轴上A，B两点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．方法总结用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．举一反三已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．考点五、二次函数的实际应用【例5】九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．方法总结运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．举一反三大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？考点六、二次函数的面积问题【例6】如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．方法总结对于此类二次函数题型考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．其次就是应用到二次函数常见的水平宽铅垂高．举一反三如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m （m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．考点七、二次函数的综合应用【例7】如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD．（1）求该二次函数的解析式；（2）求△ACD的面积；（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．方法总结此类题型主要考查二次函数与其他知识点的综合应用，利用待定系数法求函数解析式，利用勾股定理、勾股定理的逆定理求三角形的形状；利用平行四边形的性质：对角线互相平分，对边相等是求出题中P 点的关键．所以对于考查二次函数与三角形、四边形、圆、相似等相关知识的结合性题目时一定要把握好它们的性质及其常考定理与推理的综合应用．举一反三 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ． 求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=﹣x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．一、选择题1．已知抛物线()3y k x 1x k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 2．已知下列命题：①对于不为零的实数c ，关于x 的方程1+=+c xcx 的根是c ； ②在反比例函数xy 2=中，如果函数值y ＜1时，那么自变量x ＞2； ③二次函数 2222-+-=m mx x y 的顶点在x 轴下方；④函数y= kx 2+(3k+2)x+1，对于任意负实数k ，当x<m 时，y 随x 的增大而增大，则m 的最大整数值为2-.其中真命题为（ ）A ．①③B ．③C ．②④D ．③④3．(2013杭州，10)给出下列命题及函数x y =，2x y =和xy 1=的图象 ①如果21a a a>>，那么10<<a ； ②如果aa a 12>>，那么1>a ；③如果a a a>>21，那么01<<-a ；④如果a aa >>12时，那么1-<a 。
2017年全国中考数学真题福建年中考数学试题(解析版-精品文档)
2017年福建省中考试卷满分：150分版本：第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，合计40分）1．（2017福建，1，4分）3的相反数是（）A．－3 B．13C．13D．3答案：A，解析：只有符号不同的两个数互为相反数，故3的相反数是－3．2．（2017福建，2，4分）如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（）A． B． C． D．答案：B，解析：左视图即为从左边看几何体得到的平面图形，从左边看该几何体，显然是上下两个小正方形组成的平面图形，即选项B中的图形．3．（2017福建，3，4分）用科学记数法表示136 000，其结果是（）A．0.136×106 B．1.36×105 C．136×103 D．1.36×106答案：B，解析：科学记数法的记数形式为a×10n(1≤|a|＜10)；136 000=1.36×105．4．（2017福建，4，4分）化简(2x)2的结果是（）A．x4 B．2x2 C．4x2 D．4x答案：C，解析：(2x)2=22·x2=4x2．5．（2017福建，5，4分）下列关于图形对称性的命题，正确的是（）A．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形答案：A，解析：圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形，A正确；正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，B错误；线段既是轴对称性图形，又是中心对称图形，对称中心是它的中点，C错误；菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，两条对角线所在的直线就是它的对称轴，D错误．6．（2017福建，6，4分）不等式组：⎩⎨⎧>+≤-03,02x x 的解集是（ ）A ．－3＜x ≤2B ．－3≤x ＜2C ．x ≥2D ．x ＜－3答案：A ，解析：解不等式x －2≤0，得x ≤2；解不等式x +3＞0，得x ＞－3，所以原不等式组的解为－3＜x ≤2．7．（2017福建，7，4分）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．10，15B ．13，15C ．13，20D ．15，15答案：D ，解析：数据总数为15+10+13+20+15=73，按大小顺序排列后处于第37个数据即为该组数据的中位数，小于15的数有10+13=23个，等于15的数有15+15=30个，所以处于中间的数据为15，即该组数据的中位数是15；这些数据出现次数最多的是15，出现了30次，故该组数据的众数是15．8．（2017福建，8，4分）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是（ ）A ．∠ADCB ．∠ABDC ．∠BACD ．∠BAD答案：D ，解析：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠B +∠BAD =90°．又∵∠B =∠ACD ，∴∠ACD +∠BAD =90°．即∠ACD 与∠BAD 互余．9．（2017福建，9，4分）若直线y =kx +k +1经过点(m ，n +3)和(m +1，2n －1)，且0＜k ＜2，则n 的值可以是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C ，解析：把点(m ，n +3)和(m +1，2n －1)分别代入y =kx +k +1，得n +3= km +k +1①，2n －1=km +2k +1②，②－①，得n =k +4，即k =n －4．∵0＜k ＜2，∴0＜n －4＜2，解得4＜n＜6．所给的四个数中5在符合条件的范围内，应选C．10．（2017福建，10，4分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则点P′所在的单位正方形区域是（）A．1区 B．2区 C．3区 D．4区答案：D，解析：方法1：如图1，连接AA′，BB′，分别作它们的垂直平分线交于点O，则点O即为旋转中心．连接AO，A′O，由网格特征可知旋转角∠AOA′=90°．再在网格中作∠POP′=90°，且OP= OP′，即确定点P′的位置．图1 图2方法2：如图2，连接PA，根据旋转的性质，可知旋转后∠PAB大小不变，根据图中逆时针的旋转方向，作∠P′A′B′=∠PAB，且P′A′=∠PA，即可确定点P′的位置．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（共6小题，每小题4分，合计24分）11．（2017福建，11，4分）计算|－2|－30= ．答案：1，解析：|－2|－30=2－1=1．12．（2017福建，12，4分）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连结DE，若DE=3，则线段BC的长等于．OP′答案：6，解析：∵D，E分别是AB，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=6．13．（2017福建，13，4分）一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是13，那么添加的球是．答案：红色（或红色的），解析：三种颜色的球被抽到的概率相同，则三种颜色的球个数相同，故需再添加一个同种型号的红色的球．14．（2017福建，14，4分）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是．答案：7，解析：由数轴可知AB=3－1=2，则BC=2AB=4，又C在B的右侧，故点C表示的数是7．15．（2017福建，15，4分）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于度．答案：108，解析：正五边形的内角大小为(5－2)×180°÷5=108°．如图，∠OCD=180°－108°=72°，∠COD=180°－72°×2=36°．∴∠AOB=360°－108°×2－36°=108°．16．（2017福建，16，4分）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=x1的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为．-01234A BDC答案：215，解析：如图所示，根据矩形与双曲线的轴对称性与中心对称性，可知A (2，21)，B(21，2)．构建正方形OMFE ，则BF =AF =23．于是S △AOB =S 正方形OMFE －S △EOB －S △AOM －S △ABF =4－21－21－21×23×23=×815，所以矩形ABCD 的面积为4S △AOB =4×815=215．三、解答题（本大题共9个小题，满分86分）17．（2017福建，17，8分）（本小题满分8分）先化简，再求值：1)11(2-⋅-a a a ，其中a =2－1．思路分析：分式化简时，可先算括号里的减法，再进行分式乘法运算，也可利用乘法分配律进行计算．最后把a 的取值代入化简后的式子即得其值．解：原式=aa 1-·)1)(1(-+a a a =11+a ． 当a =2－1时，原式=1121+-=22． 18．（2017福建，18，8分）（本小题满分8分）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE ，AC =DF ，BE =CF ．求证：∠A =∠D ．思路分析：由BE =CF ，可得BC =EF ，进而利用全等三角形的判定条件“SSS ”可证△ABC ≌△DEF ，即得∠A =∠D ．证明：∵BE =CF ，∴BE +EC =CF +EC ，即BC =EF ．在△ABC 和△DEF 中，x yAOM EF B C D⎪⎩⎪⎨⎧===,,,EFBCDFACDEAB∴△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D．19．（2017福建，19，8分）（本小题满分8分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)思路分析：先按尺规作角平分线的方法步骤作出∠ABC的平分线，然后通过证∠APQ=∠AQP，得AP=AQ．这可由角的等量代换与直角三角形的两锐角互余的性质得到．解：BQ就是所求作的∠ABC的平分线，P，Q就是所求作的点．证明如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BPD+∠PBD=90°．∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°．∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP．∵∠BPD=∠APQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ．20．（2017福建，20，8分）（本小题满分8分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．思路分析：本题蕴含的等量关系是：鸡的只数+兔的只数=35；鸡的腿数+兔的腿数=94．由此构建列方程（组）求解即可．AB D C解：设鸡有x 只，兔有y 只．依题意，得⎩⎨⎧=+=+,9442,35y x y x 解得⎩⎨⎧==.12,23y x 答：鸡有23只，兔有12只．21．（2017福建，21，8分）（本小题满分8分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点P 在CA 的延长线上，∠CAD =45°．（Ⅰ）若AB =4，求CD ︵的长；（Ⅱ）若BC ︵=AD ︵，AD =AP ，求证：PD 是⊙O 的切线．思路分析：（Ⅰ）连结OC ，OD ，易知∠COD =90°．又圆的半径为2，利用弧长公式可计算CD ︵的长；（Ⅱ）由于点D 在圆上，故要证PD 是⊙O 的切线，只需证∠ODP =90°．易求∠ADP =22.5°，因此可再求∠ODA =67.5°．再由已知条件计算等腰△OAD 的顶角大小，易求∠ODA ． 解：（Ⅰ）连结OC ，OD ．∵∠COD =2∠CAD ，∠CAD =45°，∴∠COD =90°．∵AB =4，∴OC =21AB =2． ∴CD ︵的长=18090×π×2=π． （Ⅱ）∵BC ︵=AD ︵，∴∠BOC =∠AOD ．∵∠COD =90°，∴∠AOD =21(180°－∠COD )=45°． ∵OA =OD ，∴∠ODA =∠OAD ．∵∠AOD +∠ODA +∠OAD =180°，∴∠ODA =21(180°－∠AOD )=67.5°． ∵AD =AP ，∴∠ADP =∠APD ．∵∠CAD =∠ADP +∠APD ，∠CAD =45°，∴∠ADP =21∠CAD =22.5°． ∴∠ODP =∠ODA +∠ADP =90°．又∵OD 是半径，∴PD 是⊙O 的切线．22．（2017福建，22，10分）（本小题满分10分）小明在某次作业中得到如下结果： sin 27°+sin 283°≈0.122+0.992=0.9945，sin 222°+sin 268°≈0.372+0.932=1.0018，sin 229+sin 261°≈0.482+0.872=0.9873，sin 237°+sin 253°≈0.602+0.802=1.0000，sin 245°+sin 245°≈(22)2+(22)2=1． 据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin 2α+sin 2(90°－α)=1．（Ⅰ）当α=30°时，验证sin 2α+sin 2(90°－α)=1是否成立；（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．思路分析：（Ⅰ）利用30°与60°的正弦值通过计算可验证该等式成立与否；（Ⅱ）把锐角α放置于一个直角三角形中，利用锐角三角函数的定义与勾股定理计算得sin 2α+sin 2(90°－α)=1．解：（Ⅰ）当α=30°时，sin 2α+sin 2(90°－α)= sin 230°+sin 260° (21)2+(23)2=4341 =1． 所以sin 2α+sin 2(90°－α)=1成立．（Ⅱ）小明的猜想成立．证明如下：如图，在△ABC 中，∠C =90°，设∠A =α，则∠B =90°－α．sin 2α+sin 2(90°－α)=(AB BC )2+(ABAC )2 =222AB AC BC =22ABAB =1．23．（2017福建，23，10分）（本小题满分10分）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随取随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A 品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：A 品牌共享单车的意愿，得到如下数据：（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A 品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A 品牌共享单车能否获利? 说明理由． 思路分析：（Ⅰ）a 即为0.5+0.4+0.3的和，a 即为0.5+0.4+0.3+0.2的和；（Ⅱ）先计算出抽取的100名师生每人每天使用A 品牌共享单车的平均车费，然后再据此估计该校5000名师生一天使用A 品牌共享单车的总车费，与运营成本5800元作比较，即可判断能否获利．ABC解：（Ⅰ）a =1.2，b =1.4．（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A 品牌共享单车的平均车费为：1001(0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.5×15)=1.1（元）． 所以估计该校5000名师生一天使用A 品牌共享单车的总车费为：5000×1.1=5500（元）．因为5500＜5800，故收费调整后，此运营商在该校投放A 品牌共享单车不能获利．24．（2017福建，24，12分）（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，P ，E 分别是线段AC 、BC 上的点，且四边形PEFD 为矩形．（Ⅰ）若△PCD 是等腰三角形，求AP 的长；（Ⅱ）若AP =2，求CF 的长．思路分析：（Ⅰ）△PCD 是等腰三角形，有三种情况：①CP =CD ，此时AP 的长为AC 与CD 的差；②PD =PC ，此时易求PD =PA ，进而可知AP 的长为AC 的一半；③DP =DC ，此时可作DQ ⊥AC 于Q ，先在△ADC 中利用面积法求得高DQ 的值，再利用勾股定理计算CQ 的长，从而易求AP 的长；（Ⅱ）连结PF ，DE 交于点O ，连结OC ，利用矩形性质得OC =OP =OF ，故有∠PCF =90°，进而可证∠PAD =∠FCD ，则易知△ADP ∽△CDF ，利用对应边成比例构建方程计算CF 的长． 解：（Ⅰ）在矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，∠ADC =90°，∴DC =AB =6，∴AC =22DC AD =10．要使△PCD 是等腰三角形，有如下三种情况：（1）当CP =CD 时，CP =6，∴AP =AC －CP =4．（2）当PD =PC 时，∠PDC =∠PCD ，AB C E D PF∵∠PCD +∠PAD =∠PDC +∠PDA =90°，∴∠PAD =∠PDA ，∴PD =PA ，∴PA =PC ，∴AP =2AC ，即AP =5．（3）当DP =DC 时，过D 作DQ ⊥AC 于Q ，则PQ =CQ ．∵S △ADC =21AD ·DC =21AC ·DQ ， ∴DQ =AC DC AD ⋅=524，∴CQ =22DQ DC -=518， ∴PC =2CQ =536，∴AP =AC －PC =514．综上所述，若△PCD 是等腰三角形，AP =4，或AP =5，或AP =514． （Ⅱ）连结PF ，DE ，记PF 与DE 的交点为O ，连结OC ．AB C E D PF AB C E D P FOA BC E DPF Q∵四边形ABCD 和PEFD 都是矩形，∴∠ADC =∠PDF =90°，即∠ADP +∠PDC =∠PDC +∠CDF ，∴∠ADP =∠CDF ．∵∠BCD =90°，OE =OD ，∴OC =21ED ． 在矩形PEFD 中，PF =DE ，∴OC =21PF ． ∵OP =OF =21PF ，∴OC =OP =OF ， ∴∠OCF =∠OFC ，∠OCP =∠OPC ，又∵∠OPC +∠OFC +∠PCF =180°，∴2∠OCP +2∠OCF =180°，∴∠PCF =90°，即∠PCD +∠FCD =90°．在Rt △ADC 中，∠PCD +∠PAD =90°，∴∠PAD =∠FCD ．∴△ADP ∽△CDF ，∴43==AD CD AP CF ． ∵AP =2，∴CF =423．25．（2017福建，25，14分）（本小题满分14分）已知直线y =2x +m 与抛物线y =ax 2+ax +b 有一个公共点M (1，0)，且a ＜b ．（Ⅰ）求抛物线顶点Q 的坐标（用含a 的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N ．（ⅰ）若－1≤a ≤－21，求线段MN 长度的取值范围； （ⅱ）求△QMN 面积的最小值．思路分析：（Ⅰ）把点M (1，0)，代入y =ax 2+ax +b ，用含a 的代数式表示b ，然后通过配方或公式法求抛物线顶点Q 的坐标；（Ⅱ）利用点M 的坐标求得m 的值，然后由联立两解析式得含字母系数a 的关于x 的一元二次方程，最后利用判别式判断该方程有两个不相等的实数根，即可证明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）（ⅰ）根据两解析式先求点N 的坐标(用含a 的代数式表示)，然后利用M 、N 的坐标通过勾股定理计算MN 2的值，根据a 的取值范围与反比例函数的性质确定a 1的取值范围，进而通过开方求线段MN 长度的取值范围；（ⅱ）作出抛物线的对称轴，求得它与直线MN 的交点E 的坐标，利用△QMN 的面积S =S △QEN + S △QEM 构建含S 的关于a 的一元二次方程，再通过判别式构建关于S 的不等式，最终获取△QMN 面积的最小值．解：（Ⅰ）因为抛物线过点M (1，0)，所以a +a +b =0，即b =－2a ．所以y =ax 2+ax +b =ax 2+ax －2a =a (x +21)2－49a ， 所以抛物线顶点Q 的坐标为(－21，－49a )． （Ⅱ）因为直线y =2x +m 经过点M (1，0)，所以0=2×1+m ，解得m =－2．把y =2x －2代入y =ax 2+ax －2a ，得ax 2+(a －2)x －2a +2=0，（*）所以△=(a －2) 2－4a (－2a +2)=9a 2－12a +4，由（Ⅰ）知b =－2a ，又a ＜b ，所以a ＜0，b ＞0．所以△＞0，所以方程（*）有两个不相等的实数根，故直线与抛物线有两个交点．（Ⅲ）把y =2x －2代入y =ax 2+ax －2a ，得ax 2+(a －2)x －2a +2=0，即x 2+(1－a 2)x －2+a2=0，所以[x +(21－a 1)]2=(a 1－23)2，解得x 1=1，x 2=a 2－2， 所以N (a 2－2，a4－6)． （ⅰ）根据勾股定理得，MN 2=[x +(a 2－2)－1]2+(a 4－6)2 =220a －a 60+45=20(a 1－23)2， 因为－1≤a ≤－21，由反比例函数性质知－2≤a 1≤－1，所以a 1－23＜0， 所以MN =25(23－a1)=35－a 52， 所以55≤MN ≤75．（ⅱ）作直线x =21-交直线y =2x －2于点E ． 把x =21-代入y =2x －2得，y =－3，即E (21-，－3)． 又因为M (1，0)，N (a 2－2，a4－6)，且由（Ⅱ）知a ＜0， 所以△QMN 的面积S =S △QEN + S △QEM =21|(a 2－2)－1|·|－49a －(－3)|=427－a 3－827a ． 即27a 2+(8S －54)a +24=0，（*） 因为关于a 的方程（*）有实数根，所以△=(8S －54)2－4×27×24≥0，即(8S －54)2≥(362)2， 又因为a ＜0，所以S =427－a 3－827a ＞427，所以8S －54＞0， 所以8S －54≥362，即S ≥427+229， 当S =427+229时，由方程（*）可得a =322-满足题意． 故当a =322-，b =324时，△QMN 面积的最小值为427+229．。
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福建省泉州市2017年中考数学试题
一、选择题（每小题3分，共21分）
1、-3的绝对值是（ ）。
A.3 B.-3 C.31 D.31
2、32）（yx的结果是（ ）
A.35yx B.yx6 C.31 D.36yx
3、不等式组2,01xx的解集是（ ）
A.x2 B.x>1 C.1
A.150 B.300 C.450 D.600
5、一组数据：2，5，4，3，2的中位数是（ ）
A.4 B.3.2 C.3 D.2
6、如图，圆锥地面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为2160的扇形，则r的值为（ ）
A.3 B.3 C.3 D.6
443xy
上，则使△ABC是7、如图，已知点A(-8,0)、B(2,0)，点C在直线
直角三角形的点C的个数为（ ）。
A.1 B.2 C.3 D.4
2
二、填空题（每小题4分，共40分）
8、27的立方根是___________.
9、我国的陆地面积约为9 600 000平方千米，把9 600 000用科学计数法表示为________________.
10、因式分解：2-1x=______________.
11、如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若BC=8，则DE的长为________.
12、十边形的外交和是________0.
13、计算：1m31mm3=_________.
14、如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE=________.
15、如图，⊙0的弦AB/CD相交于点E，若CE：BE=2：3，则AE:DE=_______________.
16、找出下列图
形中数的规律，
依次，a的值为____________.
17、如图，在四边形ABCD中，AB//DC，E是AD中点，EFBC于点F，BC=5 ，EF=3。
（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S=_____________；
（2）若AB>DC，则此时四边形ABCD的面积S_______S（用“>”或“=”或“<”填空）。
3
A.
解答题（共89分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答。
18、（9分）计算：1-01-520-2-3-）（）（
19、（9分）先化简，再求值：)1(422xxx）（，其中x=2。
20、（9分）如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，090DCEACB，点E在AB上。求证：
△CDA≌△CEB
4
12.
（9分）A、B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5.它们除了数
字外没有任何区别。
（1）随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；
（2）随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，现制定这
样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜。请问这样的游戏规则对甲乙双
方公平吗？为什么？
22、（9分）近期，我市中小学广泛开展了“传承中华文化，共筑精神家园”爱国主义读书交于活动，某中
学为了解学生最喜爱的活动形式，以“我最喜爱的一种活动”为主题，进行随机抽样调查，收集数据整理
后，绘制出以下两幅不完整的统计图表，请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角是多少度？
（2）如果这所中学共有学生3800名，那么请你估计最喜爱征文活动的学生人数。
23、（9分）已知反比例函数的图像经过点P(2,-3).
（1）求该函数的解析式；
5
（2）若将点P沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴方向平移n（n>0）个单位得到点P，使得点P恰
好在该函数的图像上，求n的值和点P沿y轴平移的方向。
24、（9分）某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销售量y
（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示。
（1）试求出y与x的之间的一个函数关系式；
（2）利用（1）的结论：
①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润。
②进口产品检验，运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低
于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？
25、我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条
弧所对的弦。你可以利用这一结论解决问题。
如图，点P在MN（南北方向）为直径的⊙O上，MN=8，PQMN交⊙O于点Q，垂足为H，
PQMN，弦PC、PD分别交MN于点E,F，且PE=PF。
6
（1）比较弧CQ与弧DQ的大小
（2）若OH=22，求证：OP//CD
（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为，试确定cos=23时，点P的位置。
26、如图，在四边形ABCD中，AB//BC，CA,点P在边AB上。
(1)判断四边形ABCD的形状并加以证明；
(2)若AB=CD，以过点P的直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B、C分别落在点CB、上，且CB经过
点D,折痕与四边形的另一交点为Q.
①在图2中作出四边形QCBP（保留作图痕迹，不必说明做法和理由）；
②如果060C，那么PBAP为何值时，ABPB