第五部分_数学能力

设复数z=3cosθ+isinθ，求函数 例1 设复数 ，求函数y=θ-arcz（0＜ θ （ ＜ 年高考题） ＜π/2）的最大值以及对应的 值（1999年高考题） ）的最大值以及对应的θ值 年高考题
分析：从待求结论看， 分析：从待求结论看，这是一个求函数在区间上的最大值 的问题，从函数表达式看， 的问题，从函数表达式看，是一个并不多见的关于角度的 函数，从条件看，复数z是关于 是关于cosθ、sinθ的关系式，θ并 的关系式， 并 函数，从条件看，复数 是关于 、 的关系式 不是其辐角。 不是其辐角。 通过分析，得到初步的解题思路：求得 通过分析，得到初步的解题思路：求得argz=2tan θ /3，代 ， 入y =θ-arcz ，得y =θ-2tan θ /3，代入后不能直接求最大值， ，代入后不能直接求最大值， 必须对之进行技术处理， 施行正切运算， 必须对之进行技术处理，对y施行正切运算，然后求变形后 施行正切运算 的函数的最大值。 的函数的最大值。
技能与能力的区别
概括的内容与结果的区别 迁移特点的区别 形成与发展的区别
三、数学思维
1、思维：思维是与语言有关的，对客观事物 本质属性与相互关系的概括的、间接的反映。
（1）思维的概括性 （2）思维的间接性 （3）思维的问题性 （4）语言与思维的关系
2、数学思维：人脑按照一般思维规律，对客 观事物的数量关系与空间形式进行的概括的、 间接的反映
运用类比探索解题途径的实例
（1）通过类比，将问题A转化为问题B 来解决， 例 任给7个数x，x，x，求证至少存在 两个数x，x，使
3 0≤ ≤ 1 + xi xj 3
xi − x j
（2）要解决问题A，由某种相似性，联想到已经 解决的问题B，问题B的解决方法对问题A的解决 有启发。
例 已知棱台上、下面面积分别为S1、S2，平 行于底面的截面面积为S0，且截面到上、下 底面的距离之比为µ：λ，求证
通过观察等差数列的前几项， 例1 通过观察等差数列的前几项，得出数 列的通项公式为an=a1+（n-1）d的猜想。 列的通项公式为 （ ） 的猜想。 的猜想 已知a、 、 、 是非零实数 且满足（ 是非零实数， 例2 已知 、b、c、d是非零实数，且满足（a2+b2） d2-2bd（a+c）+b2+c2=0，求证：a、b、c成等比 （ ） ，求证： 、 、 成等比 数列。 数列 分析：仔细观察条件与结论，等式中有四个变量， 分析：仔细观察条件与结论，等式中有四个变量， 而待证结论中只有三个变量，说明在等式中， 与 、 而待证结论中只有三个变量，说明在等式中，d与a、 b、c处于不同的地位，观察到这个现象为运用判别 处于不同的地位， 、 处于不同的地位 式求解提供了有用的信息。 式求解提供了有用的信息。 让学生动手做实验， 例3 让学生动手做实验，认识三角形外角和等于不 相邻的两个内角和的事实。在新课程中， 相邻的两个内角和的事实。在新课程中，这种动手 做实验发现数学事实的范例比比皆是。 做实验发现数学事实的范例比比皆是。
分析与综合
分析 把研究对象进行分解、剖析， 把研究对象进行分解、剖析，并分别加以考 察的思维方法 在数学中特指从结论（或结果）出发， 在数学中特指从结论（或结果）出发，追溯 其成立的原因的思维方法， 执果索因法 其成立的原因的思维方法，即执果索因法。 在数学中的作用： 在数学中的作用： 侧重于探索、发现， 侧重于探索、发现， 在探求解题思路时，常用分析法。 在探求解题思路时，常用分析法。
归纳
归纳是通过对某类事物中的若干特殊情况的分 析得到一般结论的思维方法. 析得到一般结论的思维方法 归纳得到的结论不一定可靠，常称之为不完 归纳得到的结论不一定可靠， 全归纳。常见的归纳有以下两类： 全归纳。常见的归纳有以下两类： 由特例得到一般的结论,比如 哥得巴赫猜想; 比如,哥得巴赫猜想 由特例得到一般的结论,比如,哥得巴赫猜想; 对解题思想、方法的归纳， 对解题思想、方法的归纳， 数学归纳法： 数学归纳法：用于证明与自然数有关的命题的 一种方法，是严密的推理证明的方法。 一种方法，是严密的推理证明的方法。 完全归纳法：将问题进行分类， 完全归纳法：将问题进行分类，逐一讨论每一 类的情况， 类的情况，从而得到结论的严格推理论证的方 法。
已知椭圆x 例2 已知椭圆 2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),A、B是椭圆上 ＞ ＞ 、 是椭圆上 两点，线段AB的中垂线 的中垂线l交 轴于 轴于P(x ，求证： 两点，线段 的中垂线 交x轴于 0,0)，求证：-(a2b2)/a＜x0＜(a2-b2)/a。 ＜ 。 分析：欲证不等式成立，须写出关于 的表达式， 分析：欲证不等式成立，须写出关于x0的表达式， 故要写出直线l的方程 的方程。 故要写出直线 的方程。 综合：从已知条件出发，设A（x1，y1）、 （x2， ）、B（ 综合：从已知条件出发， （ y2），直线 的方程为 ），直线 的方程为y=k（x-m）+n，可求出 0=m直线l的方程为 （ ） ，可求出x n/k，并且可用坐标表示参数 、m、n。 ，并且可用坐标表示参数k、 、 。 分析：欲证不等式成立，须找到 、 、 与 、 的 分析：欲证不等式成立，须找到k、m、n与a、b的 关系，而点的坐标是其中介。 关系，而点的坐标是其中介。 综合：由点 、 在椭圆上 可求得x 在椭圆上， 综合：由点A、B在椭圆上，可求得 0=m-mb2/a2， 再由|m|＜ ，得证。 再由 ＜a，得证。
观察与实验
以感知为基础，收集事实材料， 观察：以感知为基础，收集事实材料，获取感性 认识的一种方法。 认识的一种方法。 作用： 作用： 形成概念、推导原理时发现共性与规律； 形成概念、推导原理时发现共性与规律； 在解题过程中捕捉有用的信息。 在解题过程中捕捉有用的信息。 实验：借助一定手段（或工具），在人为条件下， ），在人为条件下 实验：借助一定手段（或工具），在人为条件下， 通过感官认识事物的一种方法。 通过感官认识事物的一种方法。 作用： 作用： 发现规律或启发思维； 发现规律或启发思维； 验证某些定理公式
聚合思维的目的性
目标——手段分析法
聚合思维的规范性 聚合思维的求同性
发散思维
从同一对象中产生分化因素的能力，其特 点是； 多向性 变通性 独特性
四、数学思维能力的训练与培养
1、教学的基本要求
创设问题情境，激发思维动机，提高思维的志向水 平
问题情境的创设必须使学生产生情感上的共鸣 问题的难易程度应适当 必须给予学生充分思考问题的机会与时间
重视数学活动过程的教学，提高思维的探究水平
概念的获得过程 原理的探索、发现、推导过程 解题途径的思考与解题规律的总结、归纳过程
渗透数学思想，提高思维的策略水平 数学思想：从具体的认识过程中提升出来的一些 观点，带有普遍的指导意义，对认知策略水平有 较大的影响 比如，方程思想 数学思想指导的作用： 数学内容的选择与呈现 双基教学中数学思想的渗透 解决问题中以数学思想为指导，寻求解决问题 的途径
类比
类比： 类比：根据两类事物之间的某些相似 性，猜测其他的一些属性也可能相似 的思维方法。类比的作用： 的思维方法。类比的作用： 由已知命题A,通过类比 得到与A类似 通过类比,得到与 由已知命题 通过类比 得到与 类似 的命题B——发现新命题， 发现新命题， 的命题 发现新命题 通过类比寻找解题途径。 通过类比寻找解题途径。
直觉思维能力培养的途径
鼓励学生猜想，以形成朦胧的直觉 重视基本图形、基本模式的教学 培养对数学美的鉴赏力

发散思维能力的培养
给予学习独立思考、提出问题的机会 适当进行“一题多解”“一题多变”“一法多 用”的教学活动 运用开放题进行发散思维的训练
数学运算能力及其培养
对运算概念的理解 数学角度 数学活动的角度 运算的特性 运算有目标与方向——目标意识 运算有依据——演绎性 运算有算法——程序性
(λ + µ ) S0 = λ S1 + µ S2
数学思维的基本形式
抽象思维与形象思维 逻辑思维与直觉思维 聚合思维（集中思维）与发散思维
直觉思维
直觉思维：突如其来的领悟和理解，一般具有 下列特点：
思维过程的非逻辑性 思维结论产生的突发性 目的的指向性与探索的迷恋性 对思维对象把握的整体性
聚合思维
（3）两者是交叉关系——中国学者的观点
智力；偏向于认识，着重解决知不知的问题； 能力：偏向于活动，着重解决会不会的问题
3、智力与非智力因素
作用不同：智力因素——直接参与认知活动； 属于认识活动范畴；非智力因素——不直接参 与认知活动，但对认知过程起直接的制约作用， 属于意向活动范畴。 组成不同：智力因素——观察力、记忆力、推 理力、思维力等；非智力因素——情绪、意志、 动机、兴趣、焦虑等 结构的完整性不同：智力因素整体的发挥作用； 非智力因素各自发挥作用 程度不同：智力因素不厌其高，非智力因素要 适当。
二、数学能力概述
1、数学能力结构
（1）大纲中的数学能力结构 运算能力、逻辑推理能力、空间想像能力，以及分 析问题、解决问题的能力 （2）林崇德先生提出的能力结构 三种能力+五种思维品质 （3）克鲁捷茨基提出的数学能力结构——从信息 加工的过程提出。
2、知识、技能、能力三者之间的关系
数学知识：一种言语信息； 数学技能：一种心智操作方式 数学能力：知识与技能类化的个体经验，
综合 （1）将研究对象的各个部分（包括性质、 ）将研究对象的各个部分（包括性质、 因素、特征等距有机地结合起来， 因素、特征等距有机地结合起来，从而认 识对象整体性质的思维方法 （2）在数学中特指从已知出发追寻或证实 ） 结论的思考方法，即由因导果法。 结论的思考方法， 由因导果法 在数学中的作用：用于表达、 在数学中的作用：用于表达、整理思路过 程
第六部分 数学能力的培养
一、能力培养的理论基础
1、能力的含义 能力是个体完成某种活动所必备的稳固的 个性心理特征 是稳固的心理特征 知识、技能类化后的个体经验， 能力与活动有关；