02 函数的求导法则

四、小结
任何初等函数的导数都可以按常数和基本初 等函数的求导公式和上述求导法则求出. 等函数的求导公式和上述求导法则求出 关键: 正确分解初等函数的复合结构. 关键 正确分解初等函数的复合结构 必须记住: 全部导数公式. 必须记住 P94全部导数公式 全部导数公式
作业
96—— ——7 P 96——7 (7) , (8), (9), (10) ; 8 (6), (7), (8), (9), (10) ; 9; 10; 12 (3), (4), (5), (8), (10) 要求：做完后自己先核对答案（ 页开始）， 要求：做完后自己先核对答案（书359页开始）， 页开始 实在查不出错误的问题划上问号 课外阅读例16— 课外阅读例16—双曲函数导数公式 16
即 (tan x)′ = sec2 x.
同理可得
(cot x)′ = − csc2 x.
例2 求 y = sec x 的导数 . 解
1 y ′ = (sec x )′ = ( )′ cos x − (cos x )′ sin x = sec x tan x . = = 2 2 cos x cos x
解:
y′ = f ′(sin 2x)(sin 2x)′ = 2 f ′(sin 2x) cos 2x
2
2. y = arcsin f ( x ) + g(arctan x )
解:
1 −1 y′ = f ′( x ) x 2 2 1− f 2 ( x ) 1 2x + g′(arctan x ) 1+ x4
例6 求函数 y = ( x 2 + 1)10 的导数 . 解
dy = 10( x 2 + 1) 9 ⋅ ( x 2 + 1)′ dx = 10( x 2 + 1) 9 ⋅ 2 x = 20 x ( x 2 + 1) 9 .
x 2 a2 x 2 a − x + arcsin 的导数 . 例7 求函数 y = 2 2 a ( a > 0) 2 x a x 解 y ′ = ( a 2 − x 2 )′ + ( arcsin )′
同理可得
(csc x)′ = − csc x cot x.
二、反函数的求导法则
内单调、可导， 定理2. 定理 如果函数 x = f ( y ) 在区间 I y 内单调、可导，且
f ′( y ) ≠ 0 ，则它的反函数 y = f −1 ( x) 在区间
内也可导， I x = {x | x = f ( y ), y ∈ I y } 内也可导，且 dy 1 1 −1 ′= 或 dx = dx [ f ( x)] , f ′( y ) dy 证: 在 x 处给增量 ∆x ≠ 0, 由反函数的单调性知 ∆y 1 ∆y = f (x + ∆x) − f (x) ≠ 0, ∴ = ∆x ∆x ∆y 且由反函数的连续性知 ∆x →0 时 有∆y →0, 因此 必
[u( x + h) − u( x )]v ( x ) − u( x )[v ( x + h) − v ( x )] = lim h→ 0 v ( x + h)v ( x )h
u( x + h) − u( x ) v ( x + h) − v ( x ) ⋅ v ( x ) − u( x ) ⋅ h h = lim h→ 0 v ( x + h)v ( x )
2
x g(ln x) 3. y = f ( x)
解:
[ xg(ln x)]′ f ( x) − xg(ln x) f ′( x) y′ = f 2 ( x)
1 1 [ g(ln x) + x g′(ln x) ] f ( x) − x g(ln x) f ′( x) x 2 x = 2 f ( x)
dy ∆y ∴ = lim = lim d x ∆x→0 ∆x ∆x→0
= f ′(u)g′(x)
因变量对自变量求导, 即 因变量对自变量求导,等于因变量对 中间变量求导, 中间变量求导,乘以中间变量对自变量求 .(链式法则 链式法则) 导.(链式法则)
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例如, 例如
u′( x )v ( x ) − u( x )v ′( x ) = 2 [v ( x )]
∴ f ( x )在x处可导.
推论
1) (Cu )′ = Cu′ ( C为常数 ) 2) ( uvw)′ = u′vw+ uv′w+ uvw′ ′ ln x = 1 3) ( loga x )′ = ln a cos x)′ = ( arccot x)′ =
( ex )′ = ex
三、复合函数求导法则
定理3. 定理 可导 可导, 在点 x 可导 在点 复合函数 可导, 在点 x 可导 且 dy = f ′(u)g′(x) dx ∆y 证: ∵y = f (u) 在点 u 可导 故 lim 可导, = f ′(u) ∆u→0 ∆ u ∴∆y = f ′(u)∆u +α∆u （当 ) 时 ∆y ∆y ∆u ∆u (∆x ≠ 0) u = f ′(u) +α = f ′(u) +α 故有 ∆ ∆x ∆x ∆x
初等函数求导问题
一、和、差、积、商的求导法则
定理
, 如果函数u( x), v( x)在点x处可导 则它 们的和、 ) 们的和、差、积、商(分母不为零 在点x处也 , 可导 并且
证(1)、(2)略. (1)、(2)略
u( x ) , (v ( x ) ≠ 0), 证(3) 设 f ( x ) = v( x )
∴ 在 I x ∈ (−1,1)内有 −
1 1 1 1 ′′ = = (arcsin x) = (arcsinx ) . = 2 2 (sin y )′ cos y 1 − sin y 1− x
同理可得
(arccos x)′ = −
1 1− x
2
.
1 (arctan x)′ = ; 2 1+ x
1 ( arccot x)′ = − . 2 1+ x
2 2 a
1 2 1 x2 a2 a − x2 − = + 2 2 2 2 a −x 2 a2 − x2
= a2 − x2 .
x2 + 1 例8 求函数 y = ln 3 ( x > 2) 的导数 . x−2
1 1 2 解 ∵ y = ln( x + 1) − ln( x − 2), 2 3 1 1 1 x 1 ∴ y′ = ⋅ 2 ⋅ 2x − = 2 − 2 x +1 3( x − 2) x + 1 3( x − 2)
例1 求 y = tan x 的导数 . 解
y ′ = (tan x )′ = ( sin x )′ cos x
(sin x )′ cos x − sin x (cos x )′ = cos 2 x 1 cos 2 x + sin 2 x = = sec 2 x = cos 2 x cos 2 x
第二节
第二章
函数的求导法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
思路: 思路 ( 构造性定义 ) 本节内容
(C )′ = 0 ( sin x )′ = cos x 1 ( ln x )′ = x
求导法则 证明中利用了 两个重要极限 其它基本初等 函数求导公式
求指数函数的导数. 例4. 求指数函数的导数
y = ax (a > 0 , a ≠ 1) , 则 x = loga y , y ∈( 0 , + ∞) 设 1 1 = yln a = = 1 (loga y)′
yln a
特别当 a = e 时, ( ex )′ = ex 小结: 小结
( arcsin x)′ = ( arctan x)′ =
例9 解
求函数 y = e
sin 1 x
sin
1 x
的导数 .
1 sin 1 1 1 ′ = e (sin )′ = e x ⋅ cos ⋅ ( )′ y x x x 1 1 sin x 1 =− 2e ⋅ cos . x x
抽象复合函数求导举例 例9 求下列函数的导数
1. y = f (sin 2x)
dy dy d u dv = ⋅ ⋅ dx d u dv dx
= f ′(u) ⋅ϕ′(v) ⋅ψ′(x)
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 关键 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导
求导数： 例5 求导数： y = ln x ( x ≠ 0) 1 解 x > 0，y = ln x ⇒ y ' = x 1 1 x < 0，y = ln(− x) ⇒ y ' = ⋅ (−1) = −x x ′=1 ∴ ln x x
1 2 g(ln x) + g′(ln x) f ( x) − xg(ln x) f ′( x) = x f 2 ( x)
例10 求函数 y = f n [ϕ n (sin x n )] 的导数 . 解
y ′ = nf n − 1 [ϕ n (sin x n )] ⋅ f ′[ϕ n (sin x n )]
f ( x + h) − f ( x ) f ′( x ) = lim h→ 0 h
u( x + h) u( x ) − v ( x + h) v ( x ) = lim h→ 0 h u( x + h)v ( x ) − u( x )v ( x + h) = lim h→ 0 v ( x + h)v ( x )h
⋅ nϕ n − 1 (sin x n ) ⋅ ϕ′(sin x n ) ⋅ cos x n ⋅ nx n − 1