二次根式郑
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二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子 a （a≥ 0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：a （a＞ 0 ）（1）（ a ）2= a （ a ≥0）；（2）a2 a 0 （a =0）；a（a＜ 0 ）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab = a · b （a≥0，b≥0）；b b（b≥0，a>0）．a a（4）有理数的加法交换律、结合律，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例 1 下列各式 1）1, 2) 5,3)x2 2, 4) 4,5) (1)2 ,6) 1 a,7) a2 2a 1 ，5 3其中是二次根式的是_________（填序号）．例 2 、求下列二次根式中字母的取值范围x 512 3 x ；（2）(x - 2)（ 1）例 3、在根式 1) a2 b2 ;2) x;3) x2 xy;4) 27abc ，最简二次根式是（）5A． 1) 2) B．3) 4)1 C．1) 3) D．1) 4)y 1 8x8 x 1 , 求代数式x y2x y 2的值。
2 y x y x例 4 、已知：例 5 、（ 2009 龙岩）已知数a，b，若( a b)2=b－a，则()A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例 1 . 将根号外的a移到根号内，得()A. ；B. －1 ；C.－；D.例 2 . 把（ a－ b）－化成最简二次根式a－ b例 3 、计算：例 4 、先化简，再求值：1 1 b ，其中 a= 5 1，b= 5 1．a b b a(a b) 2 2例 5 、如图，实数 a 、 b 在数轴上的位置，化简：a2b2(a b)24、比较数值（ 1 ）、根式变形法当 a 0,b 0 时，①如果 a b ，则a b ；②如果 a b ，则a b 。
二次根式几年级知识点
二次根式几年级知识点
二次根式是七年级下册数学的知识。
一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。
根号是一个数学符号。
根号是用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号。
若aⁿ=b，那么a是b开n次方的n次方根或a是b的1/n次方。
开n次方手写体和印刷体用表示，被开方的数或代数式写在符号左方√￣的右边和符号上方一横部分的下方共同包围的区域中，而且不能出界。
九年级数学二次根式的概念、二次根式的乘除法知识精讲
初三数学二次根式的概念、二次根式的乘除法【本讲主要内容】二次根式的概念、二次根式的乘除法 1. 二次根式的概念 2. 二次根式的性质 3. 二次根式的乘法 4. 二次根式的除法【知识掌握】【知识点精析】一. 二次根式的概念：1. 定义：式子a a ()≥0叫做二次根式．注意：（1）根式定义中的a ≥0是定义的一个重要组成部分，不可省略；因为负数没有平方根，所以当a <0时，a 没有意义．如-2不是二次根式，()-22是二次根式，当a ≤0时，-a 是二次根式．（2）被开方数a 可以是数，也可以是代数式． 2. 最简二次根式（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式． （2）化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简． ②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化成质因数（或质因式）的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数（或因式）用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上． “三化”即化去被开方数的分母．二. 二次根式的性质：1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a a a 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a a a 20=≥的区别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的X 围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的X 围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．三. 二次根式的乘法ab a b a b =⋅≥≥()00，积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．注意：（1）a b ≥≥00，是公式成立的必要重要条件．如()()-⨯-≠-⋅-4949 （2）公式中的a b ,可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．四. 二次根式的除法1.a baba b =≥>(,)00 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根． 2. 分母有理化（1）把分母中的根号化去，叫做分母有理化．（2）分母有理化的依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式． （3）有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式．常用的互为有理化因式有如下几种类型： ①a a 与；②a b a b +-与； ③a b a b +-与； ④a b c d a b c d +-与． （4）分母有理化时分母要先化简．【解题方法指导】例1. x 为何值时下列式子有意义？ （1）21x + （2）-+15x （3）x x+-13 分析：要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数． 解：（1）根据二次根式定义，得21012x x +≥∴≥-（2）根据二次根式定义，得-+≥∴+<∴<-1505005x x x ()分母不能为 （3）根据二次根式定义，得x x+-≥130 ∴+≥->⎧⎨⎩x x 1030或x x +≤-<⎧⎨⎩1030∴≥-<⎧⎨⎩x x 13或x x ≤->⎧⎨⎩13（空集）∴-≤<13x例2. 计算： （1）()62；（2）()352；（3）()82-a 解：（1）()662=（2）()()35359545222=⨯=⨯= （3）()882-=-a a点评：此例体现了公式()a a 2=的应用．对于（3）题()82-a ，其运算是先开平方、再乘二次方，所以题目本身已隐含了80-≥a ．例3. 计算： （1）44176⨯；（2）-⨯⨯-4259169() （3）23483415⨯；（4）162436a a ⨯；（1）解法一：原式=⨯⨯=⨯=⋅=⨯=44444442442442882222 解法二：原式=⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=11411161142114288222（2）解：原式=⨯⨯=⨯⨯425916925313222() =⋅⋅=253131303222()点评：运算时，（1）被开方数的积不要计算成一个结果，应是化简成幂的积的形式，以便于开方、化简；（2）被开方数的负因子要计算成正因子，才能用公式．（3）23483415⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=2334481512163351243565 （4）162436163246a a a a ⨯=⨯⋅=⨯⨯=⨯⨯=12646126262a a a ．例4. 化简． （1）19681；（2）27424c a b ；（3）385a ；（4）12a b a b ->()解法一：（1）原式==19681149（2）原式==⨯=27493232324222c a bc ab ab c ()解法二：（1）原式==()1491492 （2）原式=⋅=()323323222ab c ab c（3）原式=⋅⋅=a a a a 42321646注意：化去分母时，被开方数的分子、分母只要同乘2即可，若同乘8就太繁了． （4）原式=⨯--=--43232()()()a b a b a b a b 点评：化去被开方数的分母时，不能忘掉分子中开得尽方的因数的化简．例5. 把x yx y --分母有理化．解法一：原式=---=---=-()()()x y x y x y x y x yx yx y 2解法二：原式=--=-()x y x yx y 2（x y -中隐含条件x y ->0，故x y x y -=-()2） 同样，55555101010101022====()()，例6. 化简：1235133552735773+++++++++()()()()分析：联想分式中逆用分式加、减法，得到分子为1而分母也很简单的式子． 解：原式=+++++++++++()()()()()()()()1335133557735773=+++++++=-+-+-+-=11313515717312315375371() 点评：如果要直接化为同分母或先有理化分母，都太繁琐，但是，注意到数学中的公式总是双向的，如果根据题目的结构特点，灵活地逆用公式，在解题时便能左右逢源，得心应手．建议只能从左到右地运用公式而不习惯逆用（即由右到左）或变用公式的同学，对这几个题目多加分析，以求从熟悉、模仿到主动在解题中运用逆向思维的方法．例7. （2001年某某省中考题）填空题： 化简a a b a a ab-+的结果是________．分析：因为分母是含字母的根式，可能使a ab -=0，所以不可将分子、分母同乘以分母的有理化因子．但是，如果注意到分子、分母可以分解为乘积的形式，也许可以解决问题． 解：由所给算式知a b >≥00， ∴原式=-+=+-+=-a a b a a b a a b a b a a b a b ()()()()()【考点突破】【考点指要】二次根式的概念及其运算在中考说明中是C 级知识点，它们常与整式、分式、综合在一起，以选择题、填空题、计算题等题型出现在中考题中，大约占有4—8分左右．解决这类问题需熟练掌握二次根式的概念和运算法则．【典型例题分析】 例1. 选择题： （1）（2006年某某省中考题）函数y x =-1中，自变量的取值X 围是（） A. x ≥1 B. x >1 C. x >0 D. x ≠1 （2）（2003年某某市中考题）选择题：如果()x x -=-222，那么x 的取值X 围是（）A. x ≤2B. x <0C. x ≥2D. x >2（3）选择题：若a a a a 2211-=-，则a 的取值X 围是（） A. a a >≠01且 B. a ≤0 C. a a ≠≠01且D. a <0（4）（1996年某某省中考题）选择题：若ab ≠0，则等式--=-a b b ab 531成立的条件是（）A. a b >>00，B. a b ><00，C. a b <>00，D. a b <<00，分析：正确运用二次根式性质的前提是被开方数的非负性（在分母上则不能为零）． 解：（1）要使x -1有意义，x -≥10，∴≥x 1 答案：选A ．（2）等式()x x -=-222成立的条件是x -≥20，即x ≥2 故选C ．（3）由a a aa 2211-=-，得 ||()a a a a 111-=- 即-⋅-=-||a a a a 1111于是，-=||a a1∴<a 0．故选D ．（4）等式--=-a b bab 531变形为--=-1133||b ab b ab ， 这个等式成立的条件是 ->=-⎧⎨⎩ab b b 0||即ab b <<⎧⎨⎩0 ∴><a b 00且故选B ．点评：正确运用二次根式性质的前提是掌握公式中被开方式中字母的取值X 围，而且这个X 围必须使每个二次根式都有意义，因本例的问题是找使公式能成立的条件，所以是逆向求字母的取值X 围，这种方法常归结为求不等式组的解的问题．★最简根式 例2. 选择题： （1）（2004年某某市中考题）下列二次根式中，最简二次根式是（）A.12B. 8C. y 3D. a 21+ （2）（2002年某某市中考题）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. 4aB. a 4C. a4D. a 4（3）下列根式中，最简二次根式是（）A. 23aB. aa3 C. a b b a D. a a b 423+（4）（2001年某某省中考题）下列二次根式：2xy ，8，ab2，35xy ，x y +，12，其中最简二次根式共有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个分析：紧扣最简二次根式的条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．解：（1）因为12中含有分母，822232=⋅=⋅和y y y 的被开方数中含开得尽方的因数或因式，它们都不是最简二次根式，只有a 21+满足最简二次根式的条件，故选D ． （2）选C ． （3）选B ．（4）只有2xy x y 和+是最简二次根式，故选A ．点评：判断一个二次根式是不是最简二次根式，必须抓住由“两条”刻画的“最简”含义，先看被开方数的因数是不是整数，因式是不是整式，再看被开方数是不是含有能开得尽方的因数或因式，如果“两条”都满足的就是最简二次根式，否则就不是最简二次根式．★对错难辨例3. （2001年某某市中考题）阅读下面的文字后，回答问题．小明和小芳解答题目“先化简下式，再求值：a a a +-+122，其中a =9”时，得到了不同的答案．小明的解答是：原式=+-=+-=a a a a ()()1112；小芳的解答是：原式=+-=+-=-=⨯-=a a a a a ()()1121291172； （1）__________的解答是错误的．（2）错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________． 答案：（1）小明（2）a a 2=||点评：本例中，小明的错误是同学最容易出现的错误，如a a a a 22=-=-，()，42=±，等等．纠正办法是：①明确“a ”表示算术平方根；②明确算术平方根的非负性，即a a ≥≥00()，也就是说a 只能是正数或0，而不可能是负数；③在化简a 2时，应利用公式a a 2=||过渡，稍作停留，冷静下来，看清算术根的实质，再去掉绝对值符号（需分类讨论时再分类写出答案），即可确保万无一失．★隐含条件例4. （1）（2002年市顺义区中考题）把二次根式a a-1化简，正确的结果是（） A. -aB. --aC. -aD. a（2）（2001年某某省中考题）化简二次根式a a a -+12的结果是（） A. --a 1B. ---a 1C. a -1D. --a 1分析：紧紧抓住：对于a ，只有当a ≥0时，a 才表示a 的算术平方根． 解：（1）显然a ≠0，由->10a，得a <0 ∴-=-=⋅-=⋅-=--=--a a a a a a a aa a a a a a a 122||故选B ．点评：①因为二次根式a 隐含条件“a ≥0”，所以本题隐含了一个条件->10a②a a a a ||()()=>-<⎧⎨⎩1010（2）显然a ≠0．由a a aa 2201010>-+≥-+≥，，得() ∴≤-∴=-+=⋅-+=⋅-+a aa a a a a a a a 111122原式()()()|| =---=---aa a a 11 故选B ． 点评：在化简二次根式a 2的问题中，要把根式的性质a a 2=||与绝对值||a 的概念结合起来，形成一条“等式链”：a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||(),()在具体解题时，强调在这个“等式链”的中间一环——||a 处“暂停”，以便由||a 再考虑a 的符号，以保证最后结果为非负数． ★对错难辨例5. （1）（2002年某某省中考题）选择题：化简132+．甲、乙两位同学的解法如下：甲：13232323232+=-+-=-()()乙：132323232323232+=-+=+-+=-()()对于甲、乙两位同学的解法，正确的判断是（）A. 甲、乙的解法都正确B. 甲正确、乙不正确C. 甲、乙的解法都不正确D. 甲不正确、乙正确（2）选择题：有理化分母：x yx y-+小聪和小明的解法如下：小聪的解法：原式=--+-()()()()x y x y x y x y=---=-()()x y x y x yx y小明的解法：原式=-+()()x y x y22=+-+=-()()x y x y x yx y对于小聪、小明的解法，正确的判断是（）A. 小聪、小明的解法都正确B. 小聪正确、小明不正确C. 小聪、小明的解法都不正确D. 小聪不正确、小明正确分析：在作二次根式的除法时，通常把除法写成分数的形式，所得的商应是分母中不含根号的式子．如果分母中含有根号，就要把分母中的根号化去．至于怎么“化去”分母中的根号，既可以采用根式的除法运算，也可以在分子、分母上同乘以分母的有理化因式，只要能使分母变成有理式（但分母的值不能为零！） 解：（1）甲的解法是在分子、分母上同乘以分母()32+的有理化因式()32-，使分母变成了有理式1，所得的商是分母中不含根式的式子．所以，甲的解法正确．乙的解法是把分子1变成()32-后分解变形，变成()()3232+-，利用二次根式的除法运算（实际上是“约分”），也把分母变成了有理式1，所得的商也是分母中不含根式的式子，所以，乙的解法也正确． 故选A ．（2）首先注意题目的隐含条件：由已知的算式可知，应该有x >0且y >0．但是，x y 、之间的大小关系，在已知算式中没有特别地表明，所以，x y 、之间的关系应该有：x y x y ≠=或．由此可见，小聪的解法不正确．错误的原因是：如果x y =，那么x y -=0，分子、分母就不能同乘以分母()x y +的有理化因式()x y -．小明的解法是正确的．因为他把分子x y -分解变形：由x y x y x y x y x y >>-=-=+-0022，，得()()()()，然后应用根式的除法运算使分母中的根号化去，符合分母有理化的标准，而且在这个过程中，保持分母不为零．所以，小明的解法正确． 故选D ． 点评：本题表现的是分母有理化的两种基本方法以及应该注意的地方．在作二次根式的除法时，特别是除式的两个根式的和的情形，如本例两个小题那样，为了化简或计算上避免作除数是近似小数的除法运算，要使所得的商是分母中不含根式的式子，就要化去分母中的根号（这个过程就是分母有理化），基本方法一是分子、分母同乘以分母的有理化因式，使分母变为有理式；二是通过分子的分解变形约去分母中的根号．这是代数中的基本功，一定要熟练掌握．当然，由于所给式子结构形式的其他特点，也可以采用其他的办法进行分母有理化．★化简求值例6. （1）（2002年某某省某某市中考题）当x =-21时，求x x x x x x x +-++⋅-++13114322的值． 分析：先化简，再代入求值．解：x x x x x x x +-++⋅-++13114322 =+-++⋅+-++=+--+=+x x x x x x x x x x x x x 131111311111()()()()∴当x =-21时原式=-+==12111222（2）（2002年某某市中考题）填空题：已知x =+21，则代数式：x x x x x x x x -+--÷--++121221222的值等于______． 解：原式=-+--⋅++--x x x x x x x x 121212222 =-+-+-⋅++-=-+-=+-x x x x x x x x x x x x x 1211112111112()()()()()∴当x =+21时原式=+++-=+=+211211212212()（3）（2001年某某省某某市中考题）已知a =+123，求a a a a a a a2226221--+--+-的值． 分析：“目标”中有a a 221-+，化简时应由已知推知a -1的正负．解：由a =+=-<123231，得a -<10∴原式=+-+---()()()()a a a a a a 232112=----=-+--=+-a a a a a a a a a a31131113||()()a =-∴=-++-=23232331,原式点评：本题因化简()a -12需要将123+进行分母有理化，得到a =-<231，一方面解决了a -<10，从而()()a a -=--112，使原式顺利化简，另一方面又在最后求值计算a a +1时正好用上了，再注意到由已知即得123a=+，使计算合理、正确、迅速．这个题目设计巧妙，考查了有理式变形（因式分解、约分）和根式变形（化简()a -12、分母有理化），以及计算的灵活性、合理性，是一个多功能的好题．【综合测试】一. 选择题：1. （某某市）下列二次根式中，最简二次根式是（） A. 22xB. b 21+C. 4aD.1x2. （某某省）在下列式子中，正确的是（） A. -=-5533 B. -=-3606.. C. ()-=-13132D. 366=± 3. （市某某区）化简1231-的结果为（）A. 231+B. 231-C.23111- D. 23111+ 4. （某某市）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. 4aB. a 4C. a4 D. a 45. （某某市）化简132-的结果是（）A. 32-B. 32+C. --32D. -+326. （某某市）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. x2B. 8C. x 2D. x 21+7. （某某回族自治区）已知a =+132，b =-32，那么a 与b 的关系为（）A. a b =B. a b +=0C. ab =1D. ab =-18. （某某市）-a 3化简的结果为（）A. -a aB. a a -C. --a aD. a a 9. 在根式2823512xy ab xy x y ,,,,,+中，最简二次根式的个数是（） A. 2B. 3C. 4D. 510. （2001某某）能使等式xx xx -=-22成立的x 取值X 围是（）A. x ≠2B. x ≥0C. x >2D. x ≥2二. 填空题：1. （某某省）若x <5，则()x -=52_______．2. （某某市）若14<<x ，则化简()()x x -+-4122的结果是________．3. （某某市）计算⋅---+)3223(1313()3223+=_________．4. （某某市）已知x =-152，则x x -1的值等于_______． 5. （某某省）已知，实数a b ,在数轴上对应点的位置如图所示，化简：b b a --=()2_______．a 0 b6. （某某市）已知x ≤1，化简124422-+--+=x x x x _______．三. 当x 是何实数时，下列各式分别为二次根式？ （1）21x +；（2）-52x ； （3）1-||x ；（4）x x 244-+四. 化简：1. ()()()x x x ---<<810810222. ()()x y x yx y ---<13. a ab ab b ab a b 2240+⋅+⋅<<()4. ()()m n mnm mn n n m 222220--+>>5. |()|||()x x x x --+-<22112五. 求代数式的值：1. （某某市）先化简，再求值：()1112+÷-x x x，其中x =22. （市东城区）已知a b =-=+152152,，求b a ab ++2的值． 3. （某某省）先化简，再求值：()()()2121212a a a +-+-，其中a =-512六. （某某市）化简352+，甲、乙两同学的解法如下：甲：3523525252+=-+-()()()=-52；乙：352525252+=+-+()()=-52对于他们的解法，正确的判断是（） A. 甲、乙的解法都正确B. 甲的解法正确，乙的解法不正确C. 乙的解法正确，甲的解法不正确D. 甲、乙的解法都不正确七. 把代数式()x y x y---1根号外的因式移到根号内，并化简．某同学这样解：原式=---=--=-()()x y x yx y y x 2问：他做得对吗？如果不对，就指出错误的原因，并写出正确的解法．八. 已知a b =51,是a 的小数部分，求a b21-的值．【综合测式答案】一. 1. B 2. A 3. D 4. C5. B6. D7. B8. C9. A10. C二. 1. 5-x 2. 33. 34-4. 45. a6. -1三.解：（1）要使21x +为二次根式，必须210x +≥，即x ≥-12∴当x ≥-12时，21x +为二次根式． （2）要使-52x 为二次根式，必须-≥502x ，即x 20≤，而x 2是非负的，得x =0．∴当x =0时，-52x 为二次根式．（3）要使1-||x 为二次根式，必须10-≥||x ，得||x ≤1，即-≤≤11x ．∴当-≤≤11x 时，1-||x 为二次根式．（4）要使x x 244-+为二次根式，必须04x 4x 2≥+-，而x x x 22442-+=-()，不论x 取何实数，()x -22是非负的，即()x -≥202．∴x 取任意实数时，x x 244-+都为二次根式．说明：通过本例我们应进一步明确a a ()≥0的意义．不是对任意的实数a a ,都有意义，只有当a 有意义时，它才叫做二次根式．四. 1. 原式=---=---=--+=-||||()x x x x x x x 810810810218 2. 原式=-----=--()()()x y x y x y y x3. 原式=++⋅=+=+()()()|()|a ab ab b ab a b a b ab a b 22222442=-+=--22222ab a b a b ab ()4. 原式=+--=-+()()(()m n m n n m)mn m n mn5. 原式=--+-=-++-=|()()|||x x x x x x 2212220五. 1. 原式=+⋅+-=-x x x x x x 11111()() 当x =2时，原式=-=+121212. a =-=+15252，b =+=-15252原式=+=++-+-==()()()()()a b ab 2225252525225120 3. 原式=++--4414122a a a ())1a 2(22a 41a 41a 4a 422+=+=+-++= 当a =-512时，原式52)115(2=+-=六. A七. 解：他做得不对．错误的原因是他没有考虑到原式成立的隐含条件是-->10x y，即x y -<0．因为把根号外的代数式移到根号内时，实际上是在逆用“等式链”a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()也就是说，应先考虑移到根号内的代数式的正、负，注意只能把正因式平方后移到根号内．正确的解法：由所给代数式知-->10x y，故x y -<0．∴原式=---()y x y x1=---=--()y x y x y x 2说明：如果你不能看出某同学解法的问题，就可以把具体的数代入算算看，例如取x y ==37,（思考：为什么不取x y ==73,呢？）那么，一方面，由题目的原式=---=-=-()371374142；另一方面，由这位同学解得的结果得原式=-=734=2．由此可见，这位同学做错了．八. 解：由495164<<，得7518<< ∴a 的小数部分b =-517 ∴-=--=-+-a b 2151215175125175149 272751251-=+-=。
人教版初二下册数学第16章《二次根式》讲义第1讲二次根式认识性质(有答案)
人教版初二下册数学第16章《二次根式》讲义第1讲二次根式认识性质（有答案)第一局部 知识梳理知识点一： 二次根式的概念形如〔〕的式子叫做二次根式。
必需留意：由于正数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件知识点二：二次根式〔〕的非负性〔〕表示a 的算术平方根， 即0〔〕。
非负性：算术平方根，和相对值、偶次方。
非负性质的解题运用： 〔1〕、如假定，那么a=0,b=0； 〔2〕、假定，那么a=0,b=0； 〔3〕、假定，那么a=0,b=0。
知识点三：二次根式的性质第二局部 考点精讲精练考点1、二次根式概念 例1、以下各式：122211,2)5,3)2,4,5)(),1,7)2153x a a a --+---+其中是二次根式的是_________〔填序号〕． 例2、以下各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？〔121 〔219-〔321x +〔439 〔56a - 〔6221x x ---例3)()()230,2,12,20,3,1,2xx y y x xx x y +=--++中，二次根式有〔 〕A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个例4、以下各式中，属于二次根式的有〔 〕例5、假定21x +的平方根是5±_____=．1、以下各式中，一定是二次根式的是〔 〕A B C D2中是二次根式的个数有______个 3、以下各式一定是二次根式的是〔 〕A B C D4、以下式子，哪些是二次根式， 1x、 x>0〕1x y +、〔x≥0，y ≥0〕 ．51+x 、2+1x 、______个。
考点2、根式取值范围及运用 例1有意义，那么x 的取值范围是例2有意义的x 的取值范围例3、事先_____x ，式子有意义． 例4、在以下各式中，m 的取值范围不是全体实数的是〔 〕 A ．1)2(2+-m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12(-m例5、假定y=5-x +x -5+2021，那么x+y=例6、实数a ，b ，c │a －=______．1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是〔 〕 A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠42x 的取值范围是 3、假设代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P 〔m ，n 〕的位置在〔 〕A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 4、式子x x x 222+-+-有意义，x 为________ 5、yx是二次根式，那么x 、y 应满足的条件是〔 〕 A ．0≥x 且0≥y B ．0>y xC ．0≥x 且0>yD ．0≥yx 62()x y =+，那么x －y 的值为〔 〕A ．－1B ．1C ．2D ．37、假定x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值8、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
七年级数学二次根式知识点
七年级数学二次根式知识点数学是一种基础学科，它是我们日常生活中必不可少的一部分。
在七年级数学中，我们会涉及到很多知识点，而二次根式则是其中的一个重要内容。
下面，我们将详细介绍七年级数学二次根式的知识点。
一、概念和符号在学习二次根式前，我们首先需要了解“根式”的概念。
根式是指由根号“ ”及其中的一组数的有理数次幂（指数为正整数）所组成的式子。
例如，“3的平方根”可表示为“ ”。
而二次根式则是指由根号及一个含有平方项的式子所组成的根式。
例如，“2的平方根”可表示为“ ”。
在二次根式中，我们还需要了解几个符号。
其中，“ ”表示“非负”。
例如，“ ”代表的数是非负数。
而“ ”则表示“开方”。
例如，“ ”表示开根号，即求某个数的平方根。
二、化简二次根式在处理二次根式的计算中，我们经常需要将其化简。
化简二次根式的方法有很多种，下面我们就以几个例子来说明其中一些方法：1.约分法将根号中的数分解成两个因数，然后尝试约分。
例如，“ ”可化简为“ ”。
2.提取公因数法如果二次根式中含有相同的项，我们可以将其提取出来作为公因数。
例如，“ ”可化简为“ ”。
3.配方法如果二次根式的分子（或分母）中含有二次项，而且二次项系数为整数，我们可以采用配方法来化简。
例如，“ ”可化简为“ ”。
三、加减二次根式在对二次根式进行加减运算时，我们需要先将其化简，然后将同类项相加（或相减）。
如果二次根式的根号内部分别为“a”和“b”，则只有当“a”等于“b”时，它们才是同类项，可以相加（或相减）。
例如，“ + ”可化简为“ ”，而“ + ”无法化简。
四、乘除二次根式在对二次根式进行乘除运算时，我们需要首先将它们化简，然后按照普通的乘除法则进行计算。
例如，计算“ × ”，我们可以将其化简为“ ”，再将相应的项相乘，得到“2”。
五、应用题二次根式在日常生活中应用广泛。
例如，在计算房间面积、画框大小、制作图形等方面均需要用到二次根式。
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
二次根式的概念和性质PPT课件
.
2
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1, 0.04; 49
观察： 上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数 即:a0
.
3
1.二次根式的概念
a (a ≥ 0 )表 示 非 负 数 a 的 算 术 平 方 根 ，
形 如 a (a ≥ 0 )的 式 子 叫 做 二 次 根 式 。
解：(1) (3- p)2 =|3- p|
∵ 3- p< 0
∴ (3- p)2 = p- 3 (2) x2-2x+1=(x-1)2=|x-1|
当x＝- 3 时，x－１<０
∴ x2-2x+1=1-x=1+3
∴当x＝- 3 时. ， x2- 2x+1=1+ 3 20
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
它必须具备如下特点： 1、 根 指 数 为 2； 2、 被 开 方 数 必 须 是 非 负 数 。
想 一 想 ： 10 、 -5 、 3 8 5 3 、 (-2)2 a (a＜ 0﹚ 、 a 2+ 0 . 1 、 - a ( a ＜ 0 ﹚ 是 不 是 二 次 根 式 ？
.
4
s
定义： 像 a2 2500 , , b 3 这样表示的算术 平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二 次根式。
|a |
≥０
a2
a + b = 0 ? a 0,b = 0
a + | b |= 0 ? a 0, b = 0
a 2 + | b |= 0 ? a 0, b = 0
......
.
21
九年级上册数学《二次根式》知识点整理
二次根式一、本节学习指导学习二次根式时，我们把平方根的知识顺带巩固一下。
这就是系统性学习，这样学习的好处是把零碎的知识可以系统起来。
本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。
二、知识要点1、二次根式的概念（a≥0）的式子叫做二次根式。
注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0，2、取值范围（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤03a≥0）的非负性a≥0）表示a（a≥00（a ≥0）。
注意：（a≥0）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即2（a≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用b=，则a=0,b=020b=，则=，则a=0,b=020a=0,b=0。
=（a≥0）4、二次根式2的性质：2a描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注意：二次根式的性质公式2a =（a ≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若a ≥0，则2a =，如：22=，212=。
5、二次根式的性质(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注意：（1）、一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即(0)a a a ==≥；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即1.414 1.7322.236 ≈≈≈；；；2a 的取值范围可以是任意实数，即不论a3a ，再根据绝对值的意义来进行化简。
6、21、不同点：22表示一个正数a 的算术平方根的平a 的平方的算术平方根；在2中a 可以是正实数，0，负实数。
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_B_A_C襄垣县五阳矿中学九年级数学（教）学案编写人：郑威斌参与人：高丽飞弓丽琴审核人：郑威斌2014年9月课题二次根式（一）课时 2 班级姓名组别学习目标理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．学习重难点关键1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．学习过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．二、设疑自探——解疑合探自探1.你能通过上面的数据归纳出二次根式的概念吗？（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0，a有意义吗？自探2.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、1 x y +、x y+（x≥0，y•≥0）．自探3.当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展1．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？2.(1)已知y=2x -+2x -+5，求xy的值．(2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、作业设计教后反思：襄垣县五阳矿中学九年级数学（教）学案编写人：郑威斌 参与人：高丽飞 弓丽琴 审核人：郑威斌 2014年9月 课题 二次根式(二) 课时 2 班级 姓名 组别学习内容1．a （a ≥0）是一个非负数； 2．（a ）2=a （a ≥0）． 学习目标理解a （a ≥0）是一个非负数和（a ）2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a （a ≥0）是一个非负数，具体数据结合算术平方根的意义导出（a ）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题． 学习重难点关键1．重点：a （a ≥0）是一个非负数；（a ）2=a （a ≥0）及其运用．2．难点、关键：用分类思想的方法导出a （a ≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a ）2=a （a ≥0）．学习方法 三疑三探设疑自探－解疑合探 自探1.议一议：（学生分组讨论，提问解答）a （a ≥0）是一个什么数呢？自探2.做一做：根据算术平方根的意义填空：（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______； （13）2=______；（72）2=_______；（0）2=_______．质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 应用拓展 （一）计算1．（1x +）2（x ≥0） 2．（2a ）2 3．（221a a ++）2 4．（24129x x -+）2（二）在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3巩固练习 （一） 计算 1．（32）2 2．（35）2 3．（56）2 4．（72）22.计算下列各式的值： （18）2 （23）2 （94）2 （0）2 （478）2 22(35)(53)-归纳小结（师生共同归纳） 本节课应掌握： 1．a （a ≥0）是一个非负数；2．（a ）2=a （a ≥0）;反之:a=（a ）2（a ≥0）． 作业设计一、选择题1．下列各式中15、3a 、21b -、22a b +、220m +、144-，二次根式的个数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0二、填空题 1．（-3）2=________． 2．已知1x +有意义，那么是一个______数． 三、综合提高题 1．计算（1）（9）2 2）-（3）2 （3）（126）2 （4）（-323）2(5) (2332)(2332)+- 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）16（4）x （x ≥0） 3．已知1x y -++3x -=0，求x y 的值．4．在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-5 教后反思：襄垣县五阳矿中学九年级数学（教）学案编写人：郑威斌 参与人：高丽飞 弓丽琴 审核人：郑威斌 2014年9月 课题 二次根式(三) 课时 4 班级 姓名 组别学习内容2a ＝a （a ≥0）学习目标 理解2a =a （a ≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究2a =a （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 学习重难点关键 1．重点：2a ＝a （a ≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0时，2a ＝a 才成立．学习方法 三疑三探一、设疑自探――解疑合探 自探1.（学生活动）填空： 22=_______；20.01=_______；21()10=______；22()3=________；20=________；23()7=_______． 归纳，一般地：2a =a （a ≥0） 自探2. 化简（1）9 （2）2(4)- （3）25 （4）2(3)-二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展1. 填空：当a ≥0时，2a =_____；当a<0时，2a =_______，•并根据这一性质回答下列问题． （1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 可以是什么数？ （3）2a >a ，则a 可以是什么数？2.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -．四、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：2a =a （a ≥0）及其运用，同时理解当a<0时，2a ＝－a 的应用拓展． 五、作业设计 一、选择题1．2211(2)(2)33+-的值是（ ）．A ．0B ．23C ．423D ．以上都不对 2．a ≥0时，2a 、2()a -、-2a ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）． A ．2a =2()a -≥-2a B ．2a >2()a ->-2a C ．2a <2()a -<-2a D ．-2a >2a =2()a -二、填空题1．-0.0004=________．2．若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求a+212a a -+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（1-a ）=1；乙的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a │+2000a -=a ，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a •的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│+2(3)x ++21025x x -+。
教后反思：襄垣县五阳矿中学九年级数学（教）学案编写人：郑威斌 参与人：高丽飞 弓丽琴 审核人：郑威斌 2014年9月 课题 二次根式的乘除（一） 课时 1 班级 姓名 组别学习内容a ²b ＝ab （a ≥0，b ≥0），反之ab =a ²b （a ≥0，b ≥0）及其运用． 学习目标理解a ²b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ²b （a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出a ²b ＝ab （a ≥0，b ≥0）并运用它进行计算；•利用逆向思维，得出ab =a ²b （a ≥0，b ≥0）并运用它进行解题和化简． 学习重难点关键重点：a ²b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ²b （a ≥0，b ≥0）及它们的运用． 难点：发现规律，导出a ²b ＝ab （a ≥0，b ≥0）． 关键：要讲清ab （a<0,b<0）=b a ⨯，如(2)(3)-⨯-=(2)(3)--⨯--或(2)(3)-⨯-=23⨯=2³3．一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空（1）4³9=_______，49⨯=______； （2）16³25=_______，1625⨯=________． （3）100³36=________，10036⨯=_______． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．4³9_____49⨯，16³25_____1625⨯，100³36________10036⨯2．利用计算器计算填空（1）2³3______6，（2）2³5______10， （3）5³6______30，（4）4³5______20， （5）7³10______70．一般地，对二次根式的乘法规定为 a ²b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0） 反过来: ab =a ²b （a ≥0，b ≥0）合探1. 计算（1）5³7 （2）13³9 （3）9³27 （4）12³6合探2 化简（1）916⨯ （2）1681⨯ （3）81100⨯ （4）229x y （5）54二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 三、应用拓展判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）(4)(9)49-⨯-=-⨯- （2）12425³25=4³1225³25=41225³25=412=83四、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）① 16³8 ②36³210 ③5a ²15ay (2) 化简:20; 18; 24; 54; 2212a b五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：（1）a ²b ＝ab =（a ≥0，b ≥0），ab =a ²b （a ≥0，b ≥0）及其运六、作业设计 一、选择题1．若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm 和12cm ，•那么此直角三角形斜边长是（ ）． A ．32cm B ．33cm C ．9cm D ．27cm 2．化简a 1a-的结果是（ ）．A ．a -B ．aC ．-a -D ．-a 3．等式2111x x x +-=-成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-1 4．下列各等式成立的是（ ）．A ．45³25=85 B ．53³42=205C ．43³32=75D ．53³42=206二、填空题 1．1014=_______． 2．自由落体的公式为S=12gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为720m ，则下落的时间是_________．三、综合提高题 探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）223=223+验证：223=22³23=2223⨯=332(22)233-+==3222222222(21)221212121--+=+----=223+（2）338=338+验证：338=23³38=338=3233331-+-=222223(31)33(31)3313131-+-=+---=338+同理可得：44441515=+55552424=+，…… 通过上述探究你能猜测出： a 21a a -=_______（a>0）,并验证你的结论． 教后反思：襄垣县五阳矿中学九年级数学（教）学案编写人：郑威斌参与人：高丽飞弓丽琴审核人：郑威斌2014年9月课题二次根式的乘除（二）课时 2 班级姓名组别学习内容a b =ab（a≥0，b>0），反过来ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．学习目标理解ab =ab（a≥0，b>0）和ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．学习重难点关键1．重点：理解ab =ab（a≥0，b>0），ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．学习方法三疑三探一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题：1．填空（1）916=____，916=_____；（2）1636=_____，1636=_____；（3）416=_____，416=_____；（4）3681=________，3681=________．规律：916____916；1636____1636；416____416；3681___3681．2．利用计算器计算填空:（1）34=_____，（2）23=_____，（3）25=____，（4）78=_____．规律：34___34；23____23；25___25；78__78。