2009年第一届全国大学生数学竞赛决赛试题与答案(数学专业)【免积分】

评阅人 封 所在院校：
解： 先求圆柱面的轴 L0 的方程. 由已知条件易知，圆柱面母线的方向是
G G n = (1,1,1) ， 且圆柱面经过点 O(0, 0, 0) ， 过点 O(0, 0, 0) 且垂直于 n = (1,1,1) 的平
密 面 π 的方程为： x + y + z = 0 .
……………………………（3 分)
为 L0 上的点. ………………………………………………………………. （12 分)
G JJJG G JJJG | n × P0 S | | n × P0O | G G 对圆柱面上任意一点 S ( x, y, z ) ， 有 ， 即 = |n| |n| (− y + z − 1) 2 + ( x − z − 1) 2 + (− x + y + 2) 2 = 6 ，
a12 " a1n ⎞ ⎟ a22 " a2 n ⎟ ，若 AF = FA ，证明： " " "⎟ ⎟ an 2 " ann ⎟ ⎠
评阅人
− an ⎞ ⎟ 0 # 0 −an −1 ⎟ 1 # 0 − an − 2 ⎟ . ⎟ # # # # ⎟ 0 # 1 −a1 ⎟ ⎠ 0 # 0
⎛ a11 ⎜ a （1）假设 A = ⎜ 21 ⎜" ⎜ ⎜a ⎝ n1
M = A ，只需证明 A 与 M 的各个列向量对应相等即可.若以 ei 记第 i 个基本单位列向
量.于是，只需证明：对每个 i ， Mei = Aei (= α i ) .
……………………… （2 分)
若记 β = (−an , −an −1 ," , −a1 )T ，则 F = (e2 , e3 ," , en , β ) .注意到，
根据
fg k (η ) = gfg k −1 (η ) + fg k −1 (η )
.............................(6分）
= g ( fg k −1 )(η ) + fg k −1 (η )
用归纳法不难证明， fg k (η ) 一定可以表示成 η , g (η ), g 2 (η )," , g k (η ) 的线性组合，且 表示式中 g k (η ) 前的系数为 λ0 .
………………………………….（8 分)
因此， Wm 在 f 下也是不变的， f 在 Wm 上的限制在基 η , g (η ), g 2 (η )," , g m −1 (η ) 下的 矩阵是上三角矩阵，且对角线元素都是 λ0 ，因而，这一限制的迹为 mλ0 . …..（10 分) 由于 fg − gf = f 在 Wm 上仍然成立，而 fg − gf 的迹一定为零，故 mλ0 = 0 ，即
年级：
因 e1 , e2 , e3 ," , en 线性无关，故， x0 = x1 = x2 = " = xn −1 = 0 …………（19 分) 线 所以，E , F , F 2 ," , F n −1 线性无关.因此，E , F , F 2 ," , F n −1 是 C ( F ) 的基， 特别地，
π 与三已知直线的交点分别为 O(0, 0, 0), P(1, 0, −1), Q(0, −1,1) ………… （5 分)
身份证号： 圆柱面的轴 L0 是到这三点等距离的点的轨迹， 即
⎧ x 2 + y 2 + z 2 = ( x − 1) 2 + y 2 + ( z + 1) 2 ⎪ ， ⎨ 2 2 2 2 2 2 ⎪ ⎩ x + y + z = x + ( y + 1) + ( z − 1)
θ = Oe1 = ( x0 E + x1 F + x2 F 2 + " + xn −1 F n −1 )e1
= x0 Ee1 + x1 Fe1 + x2 F 2 e1 + " + xn −1 F n −1e1 = x0 e1 + x1e2 + x2 e3 + " + xn −1en .........................(18分）
（2） 不一定. 令 f n ( x) = x 2 +
…………………………… （6 分)
1 ，则 f ( x) = lim f n ( x) 在 [ a, b] 上不能保证处处可导.（10 分) n →∞ n
π
2 0 3
专业：
得
分
五、 （10 分）设 an = ∫ 散.
π
2 0
评阅人
3
∞ sin nt 1 t dt ， 证明 ∑ 发 sin t n =1 an
所以，所求圆柱面的方程为：
x 2 + y 2 + z 2 − xy − xz − yz − 3 x + 6 y = 0 . ………………. （15 分)
得 分 二、 （20 分）设 C n×n 是 n × n 复矩阵全体在通常的运算下所构成
⎛0 ⎜ ⎜1 的复数域 C 上的线性空间， F = ⎜ 0 ⎜ ⎜# ⎜0 ⎝
A = an1 F n −1 + an −11 F n − 2 + " + a21 F + a11 E ；
（2）求 C n×n 的子空间 C ( F ) = { X ∈ C n×n | FX = XF } 的维数. （ 1 ）的证明 : 记 A = (α1 , α 2 ," , α n ) ， M = an1 F n −1 + an −11 F n − 2 + " + a21 F + a11 E . 要证明
即
⎧x − z = 1 ，……………………………………………（9 分) ⎨ ⎩ y − z = −1
将 L0 的方程改为标准方程 姓名：
x −1 = y + 1 = z .
圆柱面的半径即为平行直线 x = y = z 和 x − 1 = y + 1 = z 之间的距离. P0 (1, −1, 0)
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知 Me2 = MFe1 = FMe1 = FAe1 = AFe1 = Ae2
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Me3 = MF 2e1 = F 2 Me1 = F 2 Ae1 = AF 2e1 = Ae3
"""""
Men = MF n −1e1 = F n −1Me1 = F n −1 Ae1 = AF n −1e1 = Aen
f m ( x ) − f n ( x ) ≤ f m ( x ) − f m ( x j ) + f m ( x j ) − f n ( x j ) + f n ( x j ) − f n ( x) ，
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= f m '(ξ )( x − x j ) + f m ( x j ) − f n ( x j ) + f n '(η )( x − x j ) < ( 2M + 1) ε . …（5 分)
……………………………（4 分)
下面证明， Wm 在 f 下也是不变的.事实上，由 f (η ) = λ0η ，知
fg (η ) = gf (η ) + f (η ) = λ0 g (η ) + λ0η …………（5 分)
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fg 2 (η ) = gfg (η ) + fg (η ) = g (λ0 g (η ) + λ0η ) + (λ0 g (η ) + λ0η ) = λ0 g 2 (η ) + 2λ0 g (η ) + λ0η
Fe1 = e2 , F 2 e1 = Fe2 = e3 ," , F n −1e1 = F ( F n − 2 e1 ) = Fen −1 = en
由
（*） ….. （6 分)
Me1 = (an1 F n −1 + an −11 F n − 2 + " + a21 F + a11 E )e1 = an1 F n −1e1 + an −11 F n − 2 e1 + " + a21 Fe1 + a11 Ee1 = an1en + an −11en −1 + " + a21e2 + a11e1 = α1 = Ae1 ...............................................(10分）
首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 （数学类，2009）
考试形式： 专业： 题 满 得 号 分 分 注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 年级： 线 得 分 一 、（ 15 分 ） 求 经 过 三 平 行 直 线 L1 : x = y = z ， L2 : x − 1 = y = z + 1 ， L3 : x = y + 1 = z − 1 的圆柱面的方程. 一 15 闭卷 二 20 考试时间： 三 15 四 10 120 分钟 五 10 满分： 六 15 100 七 15 分. 总分 100
dim C ( F ) = n .
封 所在院校： 得 分
……………………………（20 分)
三、 （15 分） 假设 V 是复数域 C 上 n 维线性空间 （n > 0） ，f , g 是 V 上的线性变换.如果 fg − gf = f ，证明： f 的特征值都是