截面几何性质
附录Ⅰ-常见截面的几何性质
取微面积dA=dzdy，则：Izy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
由 Iz 对 A y 2 称 dIy A 性 R IR z2 y ： 2 6D 44R ;2 由 y 几 2 d 何 y 关 R 4 4 系 2＝ ： 6 D y24 ;4 z2,
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的
静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，
Байду номын сангаас
则截面对该轴的静矩为零。
返回 下一张 上一张 小结
二、形心公式：
yc
SAz ;zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i1
z2dA;
A
圆形截面：Iy
Iz
D4 ;
64
几何关系： IP A2 d A A (y 2 z 2 ) d A I Z Iy .
四、惯性积：
Izy
zydA;
A
五、平行移轴公式：
Iz1za2A; y1 y b2A; Iz1y1 Izyab;A
特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值；
②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴；
③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的 o 角，即 形心主惯性轴。
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
返回 下一张 上一张 小结
第三节 惯性矩和惯性积的 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
返回 下一张 上一张 小结
六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1y1 I zy abA;
注意: y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
三、惯性积:
定义:平面图形内, 微面积dA与其两个坐 标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为 该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
z y dA;
A
特点: ①惯性积是截面对某两个正交
材料力学 截面的几何性质
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
第七章 截面的几何性质
A 120 ×10 × 60 + 70 ×10 × 5 = = 39.7mm 120 ×10 + 70 ×10
yc =
Sy
5
§7-2 惯性矩、惯性积与极惯性 惯性矩、
一、惯性矩
Iz = ∫ y dA
2 A
I y = ∫ z dA
2 A
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积， 即
I y = A iy
主惯性轴和主惯性矩
一、主惯性轴和主惯性矩 (1)主惯性轴 主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐标轴z0 、
y0的惯性积 Iz0y0=0时，则坐标轴 z0 、y0称为主惯性轴。 因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是 平面图形的主惯性轴。 (2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为 主惯性矩 主惯性矩。
例 计算图所示阴影部分截面的形心主惯性矩Iz。
解：1)求形心位置 由于y 轴为对称轴，故形心必在 此轴上，建立yoz′坐标系，故zc′=0 。将阴影部分截面看成是矩形Ⅰ 减去圆形Ⅱ而得到，故其形心的yc 坐标为：
15
ΣAi y ci yc = =( A
600 × 1000 × 500 − 600 × 1000 −
2
I z = Aiz
2
6
i y 、i z
分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
二、惯性积
I zy = ∫ A zydA
若截面具有一根对称轴，则该 截面对于包括此对称轴在内的 二正交坐标轴的惯性积一定等 于零。
I zy = 0
7
三、极惯性矩
Ip =
2
∫A
ρ dA
2
2 2
Qρ = z + y
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴
2
对于复杂形状，可以采用微元法或积分法计算其 惯性矩。
3
在工程实践中，常常使用软件或计算器进行惯性 矩的计算，以提高计算效率和精度。
04
CATALOGUE
惯性积
惯性积的定义
惯性积是截面的一种几何属性，用于描述截面的 形状和大小。
惯性积是一个标量，表示截面在某个方向上的投 影面积与该方向上单位长度的平方之比。
02
利用三维坐标系中的点坐标和 方向向量，通过向量的外积计 算得到截面的法向量和面积向 量，进而计算惯性积。
03
利用计算机图形学中的几何算 法，通过计算截面的顶点坐标 和法线向量，实现惯性积的精 确计算。
05
CATALOGUE
平行移轴
平行移轴的定义
一个方向上的直线，可以 是实线或虚线。
在三维空间中，与某一平 面相交的平面。
中性轴
通过截面形心并与形心轴垂直的轴线。
惯性矩的性质
01
惯性矩与截面的形状和大小有关，形状相同但尺寸不同的截面 具有不同的惯性矩。
02
惯性矩具有方向性，与中性轴的位置有关。
对于矩形、圆形、椭圆形等简单形状，其惯性矩可以通过公式
03
直接计算。
惯性矩的计算方法
1
对于简单形状，如矩形、圆形、椭圆形等，可以 直接使用公式计算其惯性矩。
截面的几何性质
目录
• 截面的定义与性质 • 面积矩 • 惯性矩 • 惯性积 • 平行移轴
01
CATALOGUE
截面的定义与性质
截面的定义
截面定义
截面是指通过一个平面与一个三维物 体相交，所形成的交线或交面。这个 平面可以是垂直的、倾斜的或与三维 物体表面平行。
截面的形状
建筑力学第七章 截面的几何性质
第七章平面图形的几何性质研究截面几何性质的意义从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩I P、抗扭截面系数W P等一些几何量密切相关。
因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。
另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
第一节 静矩一、静距的概念Ay S z d d =Az S y d d =⎰⎰⎰⎰====AAy y AAz z Az S S A y S S d d d d zy d A yz静距是面积与它到轴的距离之积。
平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。
静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。
它常用单位是m 3或mm 3。
形心d A zyy zCx Cy ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∆∑=⋅∆∑=A y A y Az A z C C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A ydA y A zdA z AC A C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S y A S z z C y C ⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S 平面图形对z 轴（或y 轴）的静矩，等于该图形面积A 与其形心坐标y C （或z C ）的乘积。
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S二、组合图形的静矩根据平面图形静矩的定义，组合图形对z 轴（或y 轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++==+++=∑∑==ni Ci i Cn n C C y ni Ci i Cn n C C z z A z A z A z A S y A y A y A y A S 1221112211 式中 y Ci 、z Ci 及A i 分别为各简单图形的形心坐标和面积;n 为组成组合图形的简单图形的个数。
材料力学 3 截面的几何性质
大小：正，负，0。
y
量纲：[长度]3
二、截面的形心 几何形心=等厚均质薄片重心 z 形心坐标公式：
yc
C
zc
yc zc
y dA A z dA
A
A
Sz A Sy A
O
A
y
S y A zc
S z A yc
结论： 若 S z 0 yc 0 z 轴通过形心。反之，亦成立。
转轴公式
sin 2 I yz cos2
I y1 I z1 I y I z
二、形心主轴和形心主惯性矩 1、主轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时，
Ix y
0 0
Ix I y 2
sin20 I xy cos 20 0
tan 2 0
2 I xy Ix Iy
z1
I yzc y1 z1 dA
A
a
O
z
yc
I z A y 2dA A (b y1 )2 dA
2 A ( y1 2by1 b 2 )dA
y
zc 为形心轴， S zc Ayc 0
I zc 2bS zc b 2 A
I zc b 2 A
2
a
2677710 .52 cm 4
平 衡 项 惯 性 矩 6686481 . 857.8 单 个 形 心 惯 性 矩 779.53
组合截面可以大大提高截面惯性矩。
I y Iz 2 cos2 I yz sin 2 cos2 I yz sin 2
I y Iz 2
I y Iz 2
当＝0时，
dI y1 d
截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质§I −1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d （I −1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC ACd d利用公式（I −1），上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z AC d d （I −2） 或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S （I −3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y y C z C （I −4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。
即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I −5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。
将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为图I −1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（I −6） 例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。
解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。
因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m m323.008.0072.02.008.046.0072.0III IIII I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4996cm 4
河南理工大学万方科技学院
材料力学
附录I 截面的几何性质
例题Ⅰ- 8 试求图a所示截面对于形心轴 x 的惯性矩Ix 。 解：将截面看作由一个矩形和两个半圆形 组成，半圆形的形心位置如图b所示。
(1)求Ix 设矩形对x轴的惯性矩为Ix1，每个半 圆形对x轴的惯性矩为Ix2，则有
I x I x1 2I x2
yc
4
zc
z1
I y I y1 I y 2 169 609.4 778.4cm
20b
z
I zc I zc I zc
I z1 A1 ( yc y1 )2 I z 2 A2 ( y2 yc )2
2500 39.5 (14.1 10)2 61.1 21.3 (20 1.67 14.1)2
材料力学
附录I 截面的几何性质
讨论： （1） I xy 为代数值,可正、可负、可为零。 （2）若图形有一对称轴，则 I xy 0 （3）若截面有一根对称轴,则该截面对包括此 对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。
y
AII AI
AIII AIV
x
AI
xydA xydA
AII
xydA xydA
A
A
A
x
A
C
Sy x A
Sx y A
y
o x
结论 ：截面对形心轴的静矩为零；反之，若截面对某一 轴的静矩为零，则该轴必为截面的形心轴。
河南理工大学万方科技学院
）
材料力学
y
附录I 截面的几何性质
dy b (y ) h O
例1 试计算图示三角形截面对于与
其底边重合的 x 轴的静矩。
y
d1
h
材料力学 例6 T字形截面,求其对形心轴的惯性矩。 解：(1) 求形心 任选参考坐标系,如 y0 3 20 1.5 3 17 (3 8.5) 3 zc 3 20 3 17
附录I 截面的几何性质
20cm I C
y0
6.1 cm
I zc II zc
zc
y
解：
取平行于 x 轴的狭长条，
b
x
b b( y ) ( h y ) h
所以对x 轴的静矩为
b d A (h y ) d y h
h
S x A y d A 0
河南理工大学万方科技学院
b bh (h y ) y d y h 6
2
材料力学 例2 试确定图示截面形心 C 的位置。 解：将截面分为 1，2 两个矩形。 取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合 y
2 2
C
2 πd 4 2d πd 2 2d πd I x 128 3π 8 3π 8
河南理工大学万方科技学院
材料力学
附录I 截面的几何性质
然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：
I x2 I x C
2d πd 2 a 3π 8
(2) 求 I zc , I yc
17
1 1 3 I zc I I 3 20 17 33 12 12 2048 cm4
I II I yc I yc I yc
II
3 z
zc
1 1 3 2 8.5) 2 ] [ 20 3 20 3 ( zc 1.5) ] [ 3 17 3 17 3 ( zc 12 12 4030 cm4
河南理工大学万方科技学院
材料力学
附录I 截面的几何性质
例7 计算图示型钢组合截面的形心和对形心轴的惯性矩。 y 解： S z A1 y1 A2 y2 14b z2 39.5 10 21.3 ( 20 1.67)
Sz yc 14.1cm A1 A2
856.8cm 3
河南理工大学万方科技学院
材料力学
附录I 截面的几何性质
§I-1 截面的静矩和形心的位置 一、静矩（面积矩）的定义
y x
S y xdA
A
S x ydA
A
dA y
单位： mm3 ; m3
静矩的值与所选 坐标轴的位置有关, 为代数值,可正、可 x 负、可为零。
A
o
河南理工大学万方科技学院
河南理工大学万方科技学院
材料力学
附录I 截面的几何性质
二、组合截面的惯性矩和惯性积
若组合截面由几个部分组成，则组合截面对 于x，y两轴的惯性矩和惯性积分别为
I x I xi，
i 1
n
I y I yi，
i 1
n
I xy I xyi
i 1
n
d2
y2
x
O x
y1 y
b
河南理工大学万方科技学院
材料力学
附录I 截面的几何性质
材 料力学
附录 截面几何性质
2016年11月14日
河南理工大学万方科技学院
材料力学
附录I 截面的几何性质
附录I
截面的几何性质
§I-1 截面的静矩和形心位置 §I-2 极惯性矩·惯性矩·惯性积
§I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 ·组合截面的惯性矩和惯性积
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面的主惯性轴和主惯性矩
2
2 πd 4 2d 2 πd 2 2d πd 2 a 8 3π 8 128 3π
将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得
I x2 3 467104 mm4
附录I 截面的几何性质
y
10
1
x1
C( y, x )
y1
o
2
y2
10
x2
80
x
河南理工大学万方科技学院
材料力学 例I-1’ 求图示T形截面形心位置。 解：取参考坐标轴y、z,由对称图形, zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072 m 2 , y1 2.46 m; A2 0.48 m 2 , y2 1.2m;
AIII AIV
I xy xydA A yzdA A xydA A xydA 0
AI
II
III
IV
河南理工大学万方科技学院
材料力学
附录I 截面的几何性质
例4 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。 解 ： dA = b dy
I x A y dA
y
3
2
r 2 2
河南理工大学万方科技学院
材料力学
附录I 截面的几何性质
§I-2
极惯性矩●惯性矩●惯性积
定义：平面图形中任 一微面积dA与它到坐标原 点Ｏ的距离ρ平方的乘积 ρ2dA,称为该面积dA对于 坐标原点o的极惯性矩或 截面二次极矩。
一、极惯性矩
y
x
dA
A
y
I P 2 dA
A
o
x
单位： mm4 , m4
A A A
A
yC dA 0
I x I xC a2 A
河南理工大学万方科技学院
材料力学
附录I 截面的几何性质
注意：
（1）应用平行移轴公式时，两平行轴中，要
求xc、yc 必须为形心轴。截面对任意两平行轴
的惯性矩间的关系,应通过对形心轴的惯性矩 来换算； （2）截面对所有平行轴的惯性矩中,以对形心轴 的惯性矩为最小.
附录I 截面的几何性质
10
x1
1
A 1 x1 A2 x 2 x A1 A2 Ai
i 1 n i 1
Ai x i
n
y1
o
y2
2 10
A1 y1 A2 y 2 y A1 A2
x2
80
x
河南理工大学万方科技学院
材料力学 矩形 1
附录I 截面的几何性质
2
A1 10 120 1200 mm
1 d4 I y Ix I p 64 2
河南理工大学万方科技学院
材料力学 y D d x
附录I 截面的几何性质
空心圆截面：
I P I P大 I P小
32 32 D4 (1 4 ) 32
d D
D4
d4
其中
I y I x I z大 I z小
河南理工大学万方科技学院
D4
64
(1 4 )
材料力学
附录I 截面的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ何性质
§I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 ●组合截面的惯性矩和惯性积 一、惯性矩和惯性积的平行移轴公式：
已知:
I xc , I yc , I xcyc ,
求
I x , I y 及I xy
( yc // y, xc // x)
河南理工大学万方科技学院
材料力学 例3 半径为r的半圆：求半圆的形心。
附录I 截面的几何性质
解： 在距 z 轴任意高度 y 处取狭长 条作为微面积，即
dA 2 r 2 y 2 dy
S z ydA
A
2 3 2 y r y dy r 0 3 2 3 r Sz 4r 3 yC A 1 r 2 3 2
A
河南理工大学万方科技学院
材料力学
附录I 截面的几何性质
定义:平面图形内，微面 积dA与其两个坐标x、y的 乘积xydA在整个图形内 的积分称为该图形对x、y 轴的惯性积。 图形对x、y两轴的惯性积： y