线性回归方程分析
《线性回归方程》课件
线性回归方程的假设
线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系，即它们 之间的关系可以用一条直线来描述。
无异方差性
误差项的方差在所有观测值中保持恒定，没 有系统的变化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性，即它们之间 没有高度的相关性。
无自相关
误差项在不同观测值之间是独立的，没有相 关性。
02
线性回归方程的建立
详细描述
在销售预测中，线性回归方程可以用来分析历史销售数据，并找出影响销售的关键因素。通过建立线性回归模型 ，可以预测未来的销售趋势，为企业的生产和营销策略提供依据。
案例二：股票价格预测
总结词
线性回归方程在股票价格预测中具有一定的 应用价值，通过分析历史股票价ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和影响股 票价格的因素，可以预测未来的股票价格走 势。
04
线性回归方程的应用
预测新数据
1 2
预测新数据
线性回归方程可以用来预测新数据，通过将自变 量代入方程，可以计算出对应的因变量的预测值 。
预测趋势
通过分析历史数据，线性回归方程可以预测未来 的趋势，帮助决策者制定相应的策略。
3
预测异常值
线性回归方程还可以用于检测异常值，通过观察 偏离预测值的点，可以发现可能的数据错误或异 常情况。
确定自变量和因变量
确定自变量
自变量是影响因变量的因素，通 常在研究问题中是可控制的变量 。在建立线性回归方程时，首先 需要确定自变量。
确定因变量
因变量是受自变量影响的变量， 通常是我们关心的结果或目标。 在建立线性回归方程时，需要明 确因变量的定义和测量方式。
收集数据
数据来源
确定数据来源，包括调查、实验、公开数据等，确保数据质量和可靠性。
线性回归方程-高中数学知识点讲解
线性回归方程
1．线性回归方程
【概念】
线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．
【实例解析】
例：对于线性回归方程푦=1.5푥+45，푥1∈{1，7，5，13，19}，则푦=
解：푥=1+7+5+13+19
5
=
9，因为回归直线必过样本中心（푥，푦），
所以푦=1.5×9+45=13.5+45=58.5．
故答案为：58.5．
方法就是根据线性回归直线必过样本中心（푥，푦），求出푥，代入即可求푦．这里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式．
【考点点评】
这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．
1/ 1。
线性回归分析的基本原理
线性回归分析的基本原理线性回归分析是一种常用的统计分析方法，用于研究两个变量之间的线性关系。
它通过拟合一条直线来描述两个变量之间的关系，并利用这条直线进行预测和推断。
本文将介绍线性回归分析的基本原理，包括模型假设、参数估计、模型评估等内容。
一、模型假设线性回归分析的基本假设是：自变量和因变量之间存在线性关系。
具体来说，假设因变量Y可以通过自变量X的线性组合来表示，即Y =β0 + β1X + ε，其中β0和β1是待估参数，ε是误差项，表示模型无法解释的随机误差。
二、参数估计线性回归分析的目标是估计模型中的参数，即β0和β1。
常用的估计方法是最小二乘法，即通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来估计参数。
具体来说，最小二乘法通过求解以下方程组来得到参数的估计值：∑(Yi - β0 - β1Xi) = 0∑(Yi - β0 - β1Xi)Xi = 0其中∑表示对所有样本进行求和，Yi和Xi分别表示第i个观测值的因变量和自变量的取值。
三、模型评估在进行线性回归分析时，需要对模型进行评估，以确定模型的拟合程度和预测能力。
常用的评估指标包括残差分析、决定系数和假设检验。
1. 残差分析残差是观测值与模型预测值之间的差异，残差分析可以用来检验模型的合理性和假设的成立程度。
通常，残差应该满足以下几个条件：残差的均值为0，残差的方差为常数，残差之间相互独立，残差服从正态分布。
通过绘制残差图和正态概率图，可以对残差是否满足这些条件进行检验。
2. 决定系数决定系数是衡量模型拟合程度的指标，表示因变量的变异程度中可以由自变量解释的比例。
决定系数的取值范围为0到1，越接近1表示模型的拟合程度越好。
常用的决定系数是R平方，定义为回归平方和与总平方和的比值。
R平方越大，说明模型对观测值的解释能力越强。
3. 假设检验在线性回归分析中，常常需要对模型的参数进行假设检验，以确定参数的显著性。
常用的假设检验包括对β0和β1的检验。
假设检验的原假设是参数等于0，备择假设是参数不等于0。
回归方程公式详解
回归方程公式详解
回归方程（Regression Equation）是统计学中用来描述自变量与因变量之间关系的数学公式。
回归方程可以通过分析数据得到，并用于预测未来观测值或者理解变量之间的关系。
一般来说，回归方程的形式为：
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε
其中，
Y 是因变量（被预测的变量）；
X1, X2, ..., Xn 是自变量（影响因变量的变量）；
β0, β1, β2, ..., βn 是回归系数（或称为斜率），表示每个自变量对因变量的影响；
ε是误差项（残差），表示不能被自变量解释的随机误差。
回归方程的目标是通过估计回归系数，找到最佳的拟合线来描述因变量和自变量之间的关系。
在实际应用中，可以使用不同的回归方法，如线性回归、多项式回归、逻辑回归等，具体选择取决于数据的性质和研究问题的需求。
对于线性回归模型（最常见的一种回归模型），回归方程的形式简化为：Y = β0 + β1X1 + ε
其中，Y 和X1 是一维变量（向量），β0 和β1 是回归系数，ε 是误差项。
线性回归的目标是找到最佳的拟合直线，使得观测数据点与该直线的拟合误差最小。
需要注意的是，回归方程所估计的系数可以提供关于自变量与因变量之间的定量关系和影响程度的信息。
此外，回归方程的使用也需要考虑一些假设和前提条件，如线性性、独立性、常态性、同方差性等。
在实际应用中，可以使用统计软件（如Python中的scikit-learn、R语言中的lm函数等）进行回归分析，从而得到具体的回归方程和系数。
线性回归分析
线性回归分析线性回归分析是一种常见的统计分析方法，主要用于探索两个或多个变量之间的线性关系，并预测因变量的值。
在现代运营和管理中，线性回归分析被广泛应用于市场营销、财务分析、生产预测、风险评估等领域。
本文将介绍线性回归分析的基本原理、应用场景、建模流程及常见误区。
一、基本原理线性回归分析基于自变量和因变量之间存在一定的线性关系，即当自变量发生变化时，因变量也会随之发生变化。
例如，销售额与广告投入之间存在一定的线性关系，当广告投入增加时，销售额也会随之增加。
线性回归分析的目标是找到这种线性关系的最佳拟合线，并利用该线性方程来预测因变量的值。
二、应用场景线性回归分析可以应用于许多不同的领域，例如：1.市场营销。
通过分析销售额和广告投入之间的关系，企业可以确定最佳的广告投入量，从而提高销售额。
2.财务分析。
线性回归分析可以用于预测公司的收入、费用和利润等财务指标，并帮助企业制定有效的财务战略。
3.生产预测。
通过分析生产量和生产成本之间的关系，企业可以确定最佳的生产计划，从而提高生产效率。
4.风险评估。
通过分析不同变量之间的关系，企业可以评估各种风险并采取相应的措施，从而减少损失。
三、建模流程线性回归分析的建模流程包括以下步骤：1.确定自变量和因变量。
自变量是用来预测因变量的变量，而因变量是需要预测的变量。
2.收集数据。
收集与自变量和因变量相关的数据，并进行初步的数据处理和清理工作。
3.拟合最佳拟合线。
利用最小二乘法拟合最佳拟合线，并计算相关的统计指标（如拟合优度、标准误等）。
4.判断线性关系的签ificance。
利用t检验或F检验来判断线性关系的签ificance，并进行推断分析。
5.进行预测。
利用已知的自变量的值，通过线性方程来预测因变量的值。
四、常见误区在进行线性回归分析时，有一些常见的误区需要注意：1.线性假设误区。
线性回归分析建立在自变量和因变量之间存在线性关系的基础之上，如果这种关系不是线性的，则建立的回归模型将失效。
线性回归分析
一元线性回归分析1.理论回归分析是通过试验和观测来寻找变量之间关系的一种统计分析方法。
主要目的在于了解自变量与因变量之间的数量关系。
采用普通最小二乘法进行回归系数的探索，对于一元线性回归模型,设（X1，Y1），（X2，Y2），…，（X n，Y n）是取至总体（X,Y）的一组样本。
对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。
要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。
综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。
由此得回归方程：y=β0+β1x+ε其中Y为因变量，X为解释变量（即自变量），ε为随机扰动项，β0，β1为标准化的偏斜率系数，也叫做回归系数。
ε需要满足以下4个条件：1.数据满足近似正态性：服从正态分布的随机变量。
2.无偏态性：∑（εi）=03.同方差齐性：所有的εi 的方差相同，同时也说明εi与自变量、因变量之间都是相互独立的。
4.独立性：εi 之间相互独立，且满足COV（εi，εj）=0（i≠j）。
最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。
用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。
最常用的是普通最小二乘法（OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。
线性回归分析根据已有样本的观测值，寻求β0，β1的合理估计值^β0，^β1，对样本中的每个x i，由一元线性回归方程可以确定一个关于y i的估计值^y i=^β0+^β1x i，称为Y关于x的线性回归方程或者经验回归公式。
^β0=y-x^β1，^β1=L xy/L xx，其中L xx=J12−x2，L xy=J1−xy，x=1J1 ，y=1J1 。
再通过回归方程的检验：首先计算SST=SSR+SSE=J1^y−y 2+J1−^y2。
其中SST为总体平方和，代表原始数据所反映的总偏差大小；SSR为回归平方和（可解释误差），由自变量引起的偏差，放映X的重要程度；SSE为剩余平方和（不可解释误差），由试验误差以及其他未加控制因子引起的偏差，放映了试验误差及其他随机因素对试验结果的影响。
线性回归方程的残差分析课件
残差的同方差性检验
目的
检验残差是否具有同方差性，即方差是否随预测值的增加而增加。
方法
可以通过绘制残差的散点图、计算残差的方差齐性检验等手段进行检验。
CHAPTER 03
残差图分析
残差图绘制
残差图是一种用于分析回归模型预测 准确性的工具，通过将实际观测值与 预测值进行比较，可以直观地展示模 型的预测误差。
案例三：某股票价格预测的线性回归分析
总结词
利用线性回归分析方法预测某股票未来价格走势，并通过残差分析评估模型的预测能力 和可靠性。
详细描述
收集某股票的历史价格数据和其他相关因素数据，如公司财务指标、市场走势等。利用 线性回归分析方法建立股票价格预测模型。通过残差分析评估模型的预测能力和可靠性 ，如计算残差均值、残差标准差、残差图等。根据分析结果提出投资策略和建议，如选
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
残差分析还可以用于评估模型的预测能力和泛化能力 。通过将模型应用于新数据集，观察新数据集的残差 分布和拟合效果，可以评估模型的预测精度和泛化能 力，为实际应用提供依据。
03
04
β0和β1
回归系数，表示X对Y的效应 大小。
ε
随机误差项，表示Y的变异中 不能由X解释的部分。
线性回归方程的建立
收集数据
收集因变量Y和自变量X的相关数据。
散点图
最小二乘法
使用最小二乘法估计β0和β1的值，使 实际观测值与预测值之间的残差平方 和最小化。
绘制Y与X的散点图，观察是否存在线 性关系。
线性回归方程的评估
线性回归方程分析
环球雅思学科教师辅导讲义讲义编号： 组长签字： 签字日期：学员编号： 年 级： 高二 课时数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：闫建斌 课 题 线性回归方程授课日期及时段 2014-2-11 18:00-20:00 教学目标 线性回归方程基础 重点、难点教 学 内 容1、本周错题讲解2、知识点梳理1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系 ②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法1221ni i i ni i x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3．线形回归模型：⑴随机误差e ：我们把线性回归模型e a bx y ++=，其中b a ,为模型的未知参数，e 称为随机误差。
随机误差a bx y e i i i --=⑵残差eˆ：我们用回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的y ˆ估计a bx +，随机误差)(a bx y e +-=，所以y y e ˆˆ-=是e 的估计量，故a x b y y y e ii i i i ˆˆˆˆ--=-=，e ˆ称为相应于点),(i i y x 的残差。
⑶回归效果判定-----相关指数(解释变量对于预报变量的贡献率) 22121ˆ()1()niii niii y yR y y ==-=--∑∑(2R 的表达式中21)(∑=-ni i y y 确定)注：①2R 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；②2R 越接近于1，，则回归效果越好。
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n
(xi x)(yi y)
i 1
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
i 1
i 1
注:⑴ r ＞0 时,变量 x, y 正相关； r <0 时,变量 x, y 负相关;
--
--
⑵①| r | 越接近于 1，两个变量的线性相关性越强;
②| r | 接近于 0 时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程： y bx a (最小二乘法)
最小二乘法:求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法
n
xi yi nx y
b
i 1 n
i 1
xi2
2
nx
a y bx
注意：线性回归直线经过定点 (x, y)
２．相关系数(判定两个变量线性相关性）： r
故 eˆi yi yˆi yi bˆxi aˆ , eˆ 称为相应于点 (xi , yi ) 的残差。
n
( yi yˆi )2
⑶回归效果判定---－－相关指数(解释变量对于预报变量的贡献率)
R2
1
i 1 n
( yi yi )2
i 1
n
2
（ R2 的表达式中 ( yi y) 确定)
3.线形回归模型： ⑴随机误差 e :我们把线性回归模型 y bx a e ，其中 a,b 为模型的未知参数, e 称为随机误差。
随机误差 ei yi bxi a ⑵残差 eˆ ：我们用回归方程 yˆ bˆx aˆ 中的 yˆ 估计 bx a ,随机误差 e y (bx a) ，所以 eˆ y yˆ 是 e 的估计量，
--
讲义编号:
学员编号:
学员姓名:
课
题
授课日期及时段
教学目标
重点、难点
环球雅思学科教师辅导讲义
组长签字：
签字日期:
年
级: 高二
课时数:3
辅导科目： 数学
学科教师：闫建斌
线性回归方程
20１4-2-11
１8:00－20：0０
线性回归方程基础
教学内 容
1、本周错题讲解
2、知识点梳理
1．线性回归方程 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系
时间 x
1
2
3
4
5
命中率 y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这 5 天的平均投篮命中率为__＿_____；用线性回归分析的方法，预测小李该月６号打 6 小时篮球的投篮 命中率为_＿______.
解析 小李这 5 天的平均投篮命中率
错误!＝错误!＝0.5，
可求得小李这 5 天的平均打篮球时间错误!=３.根据表中数据可求得错误!＝0.0１，错误!＝
n(ad bc)2
。
(a b)(c d )(a c)(b d )
(4)临界值 k0 表:
P(k 2 k0 )
0.50
k0
0.455
0.40 0.708
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
父亲身高 x/cm
174
176
176
176
178
儿子身高 y/cm
175
175
176
177
177
则 y 对 x 的线性回归方程为 A.错误!=x-1 C.错误!＝88＋错误!x
B.错误!=ｘ+1 D.错误!＝１７6
( ）．
解析 因为错误!=错误!=17６，
－y =错误!＝176，
又 y 对 x 的线性回归方程表示的直线恒过点(错误!,错误!),
典型例题
１.(2０１1·山东)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表：
广告费用 x/万元
4
2
3
5
销售额 y/万元
49
26
39
54
根据上表可得回归方程错误!＝错误!x＋错误!中的错误!为 9.4,据此模型预报广告费用为６万元时销售额为
( )．
A.63.6 万元
B.６5.5 万元
C.67.7 万元
D.７2.0 万元
解析 ∵错误!＝错误!＝错误!,错误!＝错误!=42，
又＼o(y,＼s＼up6（^))=错误!x+错误!必过(错误!，错误!)，∴42＝错误!×9.４＋错误!,∴错误!＝9．１.
∴线性回归方程为错误!=9.４x＋9．1.
∴当 x＝6 时，错误!＝9.4×6+9.1=6５．5(万元）． 答案 B 2．（2０11·江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取５对父子的身高数据如下:
所以将(176,1７6）代入 A、Ｂ、Ｃ、D 中检验知选Ｃ． 答案 C
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3.（20１1·陕西）设（x1，y1），(ｘ2,y2),…，(xn，yn)是变量 x 和 y 的 n 由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下 ( ). A.ｘ和ｙ的相关系数为直线 l 的斜率 B．x 和 y 的相关系数在０到 1 之间 C.当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 D．直线 l 过点(错误!，错误!)
如果 k k0 ，就推断“ X ,Y 有关系”,这种推断犯错误的概率不超过 ；否则,在样本数据中没有发现足够证据支 持结论“ X ,Y 有关系”。 (５)反证法与独立性检验原理的比较：
反证法原理 在假设 H 0 下，如果推出矛盾，就证明了 H 0 不成立。
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独立性检 验原理
在假设 H 0 下，如果出现一个与 H 0 相矛盾的小概率事件，就推断 H 0 不成立，且该推断 犯错误的概率不超过这个小概率。
i 1
注：① R 2 得知越大,说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好;
② R 2 越接近于 1,,则回归效果越好。
4.独立性检验（分类变量关系）: (1)分类变量:这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量。 （2)列联表:列出两个分类变量的频数表，称为列联表。
（３）对于 2 2 列联表: K 2 的观测值 k
解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的
个样本点,直线ｌ是 结论中正确的是
绝对值越接近１，两个变量的线性相关程度越强,所以 A、B 错误.C 中ｎ
为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以 C 错误．根据回
归直线方程一定经过样本中心点可知 D 正确，所以选 D. 答案 D ４．(2０1１·广东）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x(单位：小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系：