高二数学选修2-3离散型随机变量的方差导学案
人教A版高中数学选修2-3 2.3《离散型随机变量的方差》教学设计
离散型随机变量的方差宁波市效实中学 范丽观1．教学内容解析《离散型随机变量的方差》是人教A 版选修2-3第二章《随机变量及其分布列》中第3.2节的内容．是离散型随机变量的另一个重要数字特征,是用来度量随机变量与其数学期望之间的偏离程度．在高中数学中.这块内容的教学要求是“了解”．重点：了解离散型随机变量方差的概念、含义及计算过程．难点：离散型随机变量的方差公式的引入，第二个方差公式22()=()()D X E X E X（）的推导． 2．教学目标设置（1）知识与技能：会根据离散型随机变量的分布列求方差,推导两点分布、猜想二项分布的方差公式,并会依据期望、方差这两个重要的数字特征分析解决实际生活中的问题． （2）过程与方法：运用类比思想，建立统计中样本数据的方差与概率论中离散型随机变量的方差的联系,引入离散型随机变量的方差的公式，并通过实例体会方差的意义． （3）情感、态度与价值观：培养学生直觉思维中的类比、数据处理、抽象概括建立数学模型等数学核心素养，进一步体会运用概率思想思考和解决问题的乐趣． 3．学生学情分析在初中(或必修3)时学生已经学过了统计中样本平均值与方差的概念,现在又刚刚学习了概率论中“离散型随机变量的分布列”与“离散型随机变量的期望”这两块知识，所以学生对于离散型随机变量的方差概念的理解不至于产生大的困难．而且离散型随机变量的方差及标准差的计算，教材没有进一步的展开介绍其他公式，只要求会根据定义求出离散型随机变量的方差(或标准差)．但学生在解决实际问题的过程中，如何利用离散型随机变量思想描述和分析随机现象，通过期望及方差的数值分析来处理问题时存在困难． 4．教学策略分析本节课借助于PPT ，运用探究式教学． 第一环节：展示问题，探寻方法．以投资理财中所承担的风险作为问题情境，让学生探索思考寻找合适的解决问题的手段． 第二环节：直觉类比，探求新知．利用直觉类比的方法，对统计中的样本平均值、方差与概率中变量的期望、方差概念进行同化或顺应，然后再进行整合，得到离散型随机变量的方差概念． 第三环节：学以致用，归纳提升提进式设计例题， 熟练方差计算公式并挖掘出求方差的简便方法，既了解了方差的意义，又掌握了方差的性质及常用分布列中计算方差的公式． 5．教学过程第一环节：展示问题，探寻方法概率论中关于离散型随机变量知识的学习已近尾声.大家越来越感到这块知识与现实生活有着千丝万缕的联系，正如英国经济学家所说：概率论是生活的真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们将寸步难行，无所作为。
人教课标版高中数学选修2-3：《离散型随机变量的均值与方差(第2课时)》教案-新版
2.3 离散型随机变量的均值与方差（第2课时）一、教学目标 1．核心素养通过对离散型随机变量的方差的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力． 2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的方差的概念 （2）能计算简单离散型随机变量的方差 （3）并能够解决一些实际问题. 3．学习重点离散型随机变量的方差的概念、公式及其应用. 4．学习难点灵活利用公式求方差.． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P64－P67，思考：方差、标准差的定义是什么？它们各自反应了什么？ 任务2若随机变量X 服从两点分布，则方差为多少？若服从二项分布呢？ 任务3根据方差的计算过程，可得到它的什么性质？ 2．预习自测（1）已知随机变量x 的分布列则()X D =__________.（2）若随机变量⎪⎭⎫⎝⎛3210~，B X ，则方差DX=________.（二）课堂设计 1．知识回顾(1)均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 n n p x p x p x E +++=...2211ξ为ξ的均值或数学期望，简称期望．(2)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (3)均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量， 且有b aEX b aX E +=+)(①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身；②当1=a 时，b EX b X E +=+)(，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；③当0=b 时，aEX aX E =）（，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.(4)①若X 服从两点分布，则p X E =)(； ②若ξ～),,(p n B 则np X E =)(. 2．问题探究问题探究一 随机变量方差的定义要从两名同学中挑选出一名同学代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数的分布列为如果每班只能一人参加年级比赛，你觉得应该让甲乙谁代表班级参赛? 通过计算分析： E （X 1）=5， E （X 2）=5，所以从均值比较不出两名同学的水平高低．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．但显然两名同学的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性． 我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)方差：对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是n x x x ,....,,21，且取这些值的概率分别是n p p p ,....,,21，那么，n n p X E x p X E x p X E x X D ⋅-++⋅-+⋅-=2222121))((...))(())(()(称为随机变量X 的方差，式中的)(X E 是随机变量X 的均值．标准差：)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的标准差，记作)(X σ．随机变量X 的方差、标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；数值越大，说明随机变量取值波动越大，越不稳定；请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.(进一步探究认识用随机变量方差来反映取值的稳定情况)第一名同学5.1)(,8)(==X D X E 第二名同学82.0)(,8)(==X D X E结论：第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.对“探究”的再思考(1)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ (2)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在8环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ 问题探究二 常见随机变量方差及随机变量方差的性质 ①若X 服从两点分布，则)1()(p p X D -= 若),(~p n B X ，则)1()(p np X D -=．②方差的性质：)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. 3.运用新知例1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求)(X E ，)(X D .【知识点：期望、方差】解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以X ～B(200,1%)．因为np X E =)(，)1()(p np X D -=，这里n ＝200，p ＝1%.所以)(X E =200×1%＝2，)(X D ＝200×1%×99%＝1.98. 例2已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23. (1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2【知识点：离散型随机变量期望、方差及方差的性质】 解:由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23， ∴x ＝2.(1)D (X )＝(0－23)2×12＋(1－23)2×13＋(2－23)2×16＝1527＝59. (2)∵Y ＝3X －2，∴D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )．==练习1 设X ～B (n ，p )，且E (X )＝12，D (X )＝4，则n 与p 的值分别为( ) A ．18，13 B ．12，23C ．18，23D ．12，13 【知识点：离散型随机变量方差及方差的性质】答案：由X ～B (n ，p )，则4)(,12)(====npq X D np X E ，所以32,18==p n . 练习2 设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：求E (X )与D (X )的最大值． 解:根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤p <1，0≤12－p <1，解得0≤p ≤12.因为E (X )＝－1×(12－p )＋0×p ＋1×12＝p ， 所以当p ＝12时，E (X )取得最大值，为12.因为D (X )＝(－1－p )2(12－p )＋(0－p )2p ＋(1－p )2×12＝－p 2－p ＋1＝－(p ＋12)2＋54，故当p ＝0时，D (X )取得最大值为1.【知识点：离散型随机变量期望、方差及二次函数的性质】 4．课堂总结 重点难点突破（1）求离散型随机变量均值与方差的方法步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取每个值的概率； ③写出X 的分布列； ④由方差的定义求)(X D ．（2）方差的性质：（1）)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. （2）若X 服从两点分布，则()=(1)D X p p -； （3）若ξ～),,(p n B 则(1)D np p ξ=-；（4）方差DX 表示，DX 越大，表示，说明X 的取值越分散；DX 越小，表示，说明X 的取值越集中稳定.（5）方差公式的几种形式：22122))(()())(())(()(X E X E p X E x X E X E X D i ni i -=⋅-=-=∑=.方差的意义数学期望反映了随机变量取值的平均水平，但有时只知道数学期望还不能解决问题，还需要知道随机变量的取值在均值周围变化的情况，即方差．①随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．②随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；③标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 5．随堂检测1.若随机变量X 满足P （x ＝c ）＝1，其中c 为常数，则()X E =________，()X D _______.2.已知随机变量X 的分布列为则()X E 与()X D 的值为( )(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.213.已知()5.0100~，B X 则()X E =___,()X D =____. ()12-X E =____,()12-X D =____.4.有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X ，则()X E =_____, ()X D =_______.5.已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x 1、x 2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？（三）课后作业 基础型 自主突破1．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21 2．已知X 的分布列为则D (X )等于( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．0 3．D (ξ－D (ξ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．D (ξ) D ．2D (ξ) 能力型 师生共研4．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定5．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝23，P(ξ＝X2)＝13，且X1<X2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则X1＋X2的值为()A.53 B.73C．3 D.1136．设ξ～B(n，p)，则有()A．E(2ξ－1)＝2np B．D(2ξ＋1)＝4np(1－p)＋1 C．E(2ξ＋1)＝4np＋1D．D(2ξ－1)＝4np(1－p)7．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝32，则σ(X3)的值是()A．0.5 B. 1.5 C. 2.5 D．3.5自助餐1.已知离散型随机变量X的分布列如下表．E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.2.变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．3．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．4．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：(1)ξ所取各值的分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．（四）参考答案预习自测 1.1.2 2.920 随堂检测 1.c ,0 2. D3.50, 25, 99, 1004. 2，1.985. 解：92.0106.092.081=⨯+⨯+⨯=ξE ，94.0102.094.082=⨯+⨯+⨯=ξE∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.又8.0,4.021==ξξD D∴甲射击水平更稳定.如果对手在8环左右,派甲；如果对手在9环左右,派乙. 课后作业 基础型 1.D 2.B 3.C 能力型 4.A 5.C 6.D 7.C 自助餐 1.512, 14 2.593.解:(1)X 服从两点分布，∴E (X )＝p ＝12.D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14. (2)由题意知，X ～B (10，12)． ∴E (X )＝np ＝10×12＝5， D (X )＝npq ＝10×12×(1－12)＝52.4.解:(1)随机变量ξ的可能取值有0,1,2,4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为 P (ξ＝0)＝1－23×23＝59；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为 P (ξ＝1)＝13×13＝19；“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P (ξ＝2)＝2×13×13＝29； “ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P (ξ＝4)＝13×13＝19. 则ξ的分布列为(2)E (ξ)＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D (ξ)＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.。
人教A版高中数学选修2-3_2.3《离散型随机变量的方差》优质教学设计(5页)
《离散型随机变量的方差》教学设计高中数学选修2-3第二章2.3.2离散型随机变量的方差外国语学校一、教学内容解析1、教材的地位和作用（1）方差是紧接着均值学习之后又一个度量离散型随机变量的特征数。
通过实例使学生理解取有限值离散型随机变量方差的含义：随机变量的方差刻画了随机变量取值的稳定性。
离散型随机变量的均值刻画了它的平均水平，而方差则是从另一个侧面刻画了随机变量的取值特点。
（2）通过比较使学生知道随机变量的方差与样本的方差的联系与区别：随机变量的方差是常数，但样本的方差是一个随机变量，它随着样本的变化而变化。
并且通过本节的学习让学生再一次领会到从样本到总体的思想，为后续课程连续型随机变量的特例正态分布的学习做好铺垫。
（3）利用方差解决实际问题。
在一些决策问题中，会有很多可供选择方案，那么如何科学地选择好的方案？在随机变量均值相同的情况下比较方差是其中一种方法。
2、教学重点与难点重点：离散型随机变量方差的概念及其实际含义。
难点：如何利用均值与方差在实际问题中作出科学的决策。
二、教学目标设置[知识与技能目标]通过实例，让学生理解离散型随机变量方差的概念，了解其实际含义。
会计算简单的离散型随机变量的方差，并解决一些实际问题。
[过程与方法目标]经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、概括等合情推理能力。
通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。
[情感与态度目标]通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度。
在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值。
三、学生评价及教学策略分析1、评价学生学习过程本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身与数学学习活动中，是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法。
2、评价学生的基础知识，基本技能和发现问题、解决问题的能力教学中通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用，教师根据反馈适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的两点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上。
人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值与方差(第1课时)》教案-新版
2.3 离散型随机变量的均值与方差（第1课时）一、教学目标1．核心素养通过对离散型随机变量的均值的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力．2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的均值的概念；（2）能计算简单离散型随机变量的期望，并能解决一些实际问题.3．学习重点离散型随机变量的期望的概念、公式及其应用.4．学习难点灵活利用公式求期望.二、教学设计1．预习任务任务1阅读教材P60－P63，思考：何为加权平均、权数？随机变量的均值（数学期望）的定义是什么？它反应了什么？任务2根据数学期望的计算过程，可得到它的什么性质？任务3何为两点分布？如果随机变量服从两点分布，则其数学期望有什么特点？任务4随机变量均值与样本的平均值有何联系与区别？2．预习自测1．已知X的分布列为则E(X)等于()A．0.7 B．0.61 C．－0.3 D．02．设E(X)＝10，E(Y)＝3，则E(3X＋5Y)＝()A．45 B．40 C．30 D．153．若X ～B (4，12)，则E (X )的值为( )A ．4B ．2C ．1 D.12 （二）课堂设计 1．知识回顾（1）何为离散型随机变量． （2）离散型性随机变量的分布列． （3）何为样本平均值？怎么计算？．（4）我们预习本课的数学期望是怎么定义的？怎么计算？ 2.创设情境 引入新知前面我们学习了离散性随机变量分布列的概念，研究了一些简单离散型随机变量的分布，建立了二项分布、超几何分布等应用广泛的概率模型.离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律，但往往还需要进一步了解离散型随机变量取值的特征.比如：某商店为了满足市场需求，要将单价分别为18元/kg ，24元/kg 、36元/kg ，如果按照3：2：1的比例对糖果进行混合销售，其中混合糖果中每颗质量都相等，如何对每千克糖果定价才合理？通过师生探究发现：当定价为混合糖果的平均价格时才合理.进而求混合糖果的平均价格，从而得出如下结论：根据混合糖果中3种糖果的比例可知在1kg 的混合糖果中，3种糖果的质量分别是63kg ，62 kg 和61kg ，则混合糖果的合理价格应该是18×63+24×62+36×61=23（元/kg ）. 问题1：上述分式中36，26和61的意义是什么？在学生思考后，教师指出：上面的平均值其实是一种加权平均数，其中36，26和61表示一种权重系数，简称为权数.在计算平均数时，权数可以表示总体中的各种成分所占的比例.权数越大的数据在总体中所占的比例越大，它对加权平均数的影响越大.加权平均数是不同比重数据的平均数.加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算.通过交流，使学生达成共识：36，26和61分别表示价格为18元/kg 、24元/kg 何36元/kg 的糖果在混合糖果中所占的比例.问题2：如果每一颗糖果的质量都相等，则在搅拌均匀的混合糖果中， 任取一颗恰好是18元/kg 的糖果的概率是多少？恰好是24元/kg 的糖果的概率是多少？恰好是36元/kg 的糖果的概率是多少？学生讨论，得出共识：在混合糖果中，任取一颗恰好是18元/kg 的糖果的概率是36，恰好是24元/kg 的糖果的概率是26，恰好是36元/kg 的糖果的概率是61.问题3：假如从混合糖果中随机的选取一颗，记X 为该糖果原来的单价，你能写出X 的分布列吗？学生不难得出随机变量X 的分布列为：问题4：能否将混合糖果的平均价格用X 的取值及其相应的概率来表示呢？由之前的知识，学生得出： 每千克混合糖果的平均价格为：18×63+24×62+36×61=23（元/kg ） 即18×P(X=18）+24×P(X=24）+36×P(X=36）=23（元/kg ） 教师总结：这里混合糖果的平均价格为随机变量X 的取值与其相应概率乘积之和.混合糖果的平均价格既为随机变量X 的均值.（设计意图：用实际问题为背景，从求学生熟悉的样本平均数为出发点，设置问题串，层层递进，逐步深入，最终得出结论：离散型随机变量X 取值的平均值为离散型随机变量X 的所有取值与其相应概率乘积之和.这样不但可以使学生直观感受到数学与生活的联系，而且可以激发学生的学习兴趣与热情.同时有利于学生进行知识迁移，为下面概括抽象得出科学定义做好铺垫.） 3.概括抽象 构建概念问题5：能否用数学语言表述离散型随机变量的均值这一概念的定义？ 可以使学生自行定义，教师作出修正，最终形成正式的定义：若离散型随机变量X 的分布列为：则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．数学期望又简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.（设计意图：使学生经历离散型随机变量均值概念的形成过程，体验从具体问题中概括、抽象，形成定义的思想方法，体会概括、抽象是一种常用的数学逻辑方法，使学生学会科学定义的方法.这里渗透了从特殊到一般的数学思想方法）问题6：离散型随机变量ξ的期望与ξ可能取值的算术平均数相同吗？通过师生共同分析得出结论，期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值.随机变量ξ取每个值时概率不同导致了期望不同于初中所学的算术平均数.（设计意图：期望源于平均值，但又不同于平均值，通过比较，进一步加深对数学期望的理解.）问题7：能给出两点分布与二项分布的均值吗？根据均值的计算公式，学生不难得出：4.例题分析应用新知例1：设随机变量X的分布列如下所示，已知E(X)＝1.6，则a－b＝()A．0.2B．0.1 C【知识点：期望】详解：a＋b＝0.8，且E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6.即a＋b＝0.8，且a＋2b＝1.3，∴a＝0.3，b＝0.5，a－b＝－0.2.点拨：本题主要考查离散型随机变量的均值的计算公式，且要熟知离散型随机变量的概率之和为1.例2：有一批数量很大的产品，其次品率是15℅.对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽到次品，但抽查次数最多不超过10次.求抽查次数ξ的期望.【知识点：期望】详解：解决这个实际问题的难点是求ξ的分布列，一般地，在产品抽查中已说明产品数量很大时，各次抽查结果可以认为是相互独立的.并且取1～10的整数，前k-1次取到正品，而第k 次取到次品的概率是P （ξ=k ）=15.085.01⨯-k （k=1，2，3，…,9），P （ξ=10）=185.09⨯.然后学生运用数学期望的定义来解题点拨：求离散型随机变量期望的步骤： （1）确定离散型随机变量ξ的取值.（2）写出分布列，并检查分布列的正确与否. （3）求出期望.例3：某同学代表班级参加设计比赛，每连续设计10次，其中有3次中10环，5次中9环，2次中8环.①求次同学射击一次中靶的环数的均值是多少？②如果把该同学射击一次所得的环数的2倍再加上5记为该同学的设计成绩Y ，即Y=2X+5，那么试求Y 的均值. 【知识点：分布列、期望及性质】详解：(1)击靶数的分布列，根据期望的计算公式可得出E(X)=9.1(2)写出得分Y 的分布列，并求出E （Y ）=23.2点拨：当X 为随机变量时，若Y=aX+b(a,b 为常数)，则Y 也为随机变量，并称随机变量X 和Y 具有线性关系.X 与Y 的均值也具有线性关系，且E(Y=aX+b)=aE(X)+b 练习：设E (X )＝10，E (Y )＝3，则E (3X ＋5Y )＝( ) A ．45 B ．40 C ．30 D ．15【知识点：离散型随机变量期望的性质】 详解：E(3X+5Y)=3E(X)+5E(Y)=45.点拨：随机变量X 和Y 具有线性关系.X 与Y 的均值也具有线性关系，且E(Y=aX+b)=aE(x)+b 5.课堂总结均值或数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称=ξE 为ξ的均值或数学期望，简称期望．均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量，且有()()E aX b aE X b +=+.(1)当0=a 时，()E b b =，即常数的数学期望就是这个常数本身；(2)当1=a 时，()()E X b E X b +=+，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；(3)当0=b 时，E aX aE X =（）（），即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.①若X 服从两点分布，则)(X E ＝p ； ②若ξ～),,(p n B 则)(X E ＝np . 6. 随堂检测1．随机抛掷一个骰子，所得点数η的均值为( ) A.16 B.13 C.12 D.3.52．若X ～B (4，12)，则E (X )的值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．123．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无解 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X ) （三）课后作业 (一)基础型1．若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44 D ．3×0.642．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E (ξ)的值为( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765 D ．0.223．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为ξ，则ξ的期望是( ) A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.64．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无解 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X ) （二）能力型5．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望是( )A.13 B.23 C.43 D.346．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．4007．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是()A．np(1－p) B．Np C．n D．p(1－p)8．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定9．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．10．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望；(3)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．11．某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格，则必须整改，若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8.计算(结果精确到0.01)：(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率；(2)平均有多少家煤矿必须整改；(3)至少关闭一家煤矿的概率．12．为了拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．（三）探究型13.设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.14.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：请小牛同学计算ξ“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.15.某企业2014年工作计划中，对每位员工完成工作任务的奖励情况作出如下规定：有一季度完成任务者得奖金300元；有两季度完成任务者得奖金750元；有三季度完成任务者得奖金1 260元；对四个季度均完成任务的员工，奖励 1 800元；若四个季度均未完成任务则没有奖金．假若每位员工在每个季度里完成任务与否都是等可能的，求企业每位员工在2014年所得奖金的数学期望．（四）自助餐1．已知某一随机变量X的概率分布列如下表，E(X)＝6.3，则a值为()A．5 B．6 C．7 D．82．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况需求量X(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是()A．706元B．690元3．如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，那么ξ的期望E(ξ)＝()A.34 B.125 C.197 D.134．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于()A.35 B.815 C.1415 D.15．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为()A．0.4 B．1.2 C．0.43 D．0.66．袋子装有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，用X表示取出的球的最大号码，则E(X)＝()A．4 B．5 C．4.5 D．4.757．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则查得次品数的数学期望为()A．15 B．10 C．20 D．58．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B(5，14)，则E(－X)的值为()A.14B．－14C．54D．－549．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k(1－p)1－k(k＝0,1,0<p<1)，则E(X)＝________.10．一个人有n把钥匙，其中只有一把能打开他的房门，他随意地进行试开，并将试开不对的钥匙除去，则打开房门所试开次数ξ的数学期望是________．11．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获得12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：12．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．13．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________． （四）参考答案 预习自测 1.C 2.A 3.B 随堂检测 1.D 2.B 3.B 课后作业 基础型 1.C 2.B 3.A 4.B 能力型 5.B 6.B 7.B 8.A9.解:(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k 7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为 P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是X 的数学期望E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120. ∴σ(X 3)＝D X 3＝10×12×12＝ 2.5.10. 解:(1)ξ可能取的值为0,1,2.P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2.所以，ξ的分布列为(2)由(1)，ξ的数学期望为 E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.(3)由(1)，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.11. 解:(1)每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的，所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是P 1＝C 25×(1－0.5)2×0.53＝516≈0.31.(2)由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B (5，0.5)，从而ξ的数学期望E (ξ)＝5×0.5＝2.50，即平均有2.50家煤矿必须整改．(3)某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是P 2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意可知，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，故至少关闭一家煤矿的概率是P 3＝1－0.95≈0.41.12. 解:记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3，由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13， P (C i )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P ＝3！P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)解法一 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η， 由已知，η～B (3，13)，且ξ＝3－η， 所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33(13)3＝127， P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23(13)2(23)＝29， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13(13)(23)2＝49， P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03(23)3＝827. 故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.解法二 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3. 由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且 P (D i )＝P (A i ＋C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23.所以ξ～B (3，23)，即P (ξ＝k )＝C k 3(23)k (13)3－k，k ＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝3×23＝2. 探究型 13.47 14.215.解:P (X ＝0)＝C 04(12)0(12)4＝116；P (X ＝300)＝C 14(12)1(12)3＝14； P (X ＝750)＝C 24(12)2(12)2＝38；P (X ＝1 260)＝C 34(12)3(12)1＝14；P (X ＝1 800)＝C 44(12)4(12)0＝116. 故X 的分布列为E (X )＝0×116＋300×14＋750×38＋1 260×14＋1 800×116＝783.75(元)． 自助餐 1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.C 7.B 8.D 9.p 10.n ＋12 11.4 760 12.49 13.0.5。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.3.2 离散型随机变量的方差》1
离散型随机变量的方差（教学设计）一、教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，能够根据离散型随机变量的分布列求出方差与标准差。
过程与方法：了解方差公式Da ξb =a 2D ξ，以及若ξ～Βn ，，则D ξ=n 1—，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：通过实际例子，感悟数学在生活中无处不在 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重难重点：离散型随机变量的方差、标准差。
难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题。
三、教学过程： （一）复习回顾：1数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望，简称期望。
数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 。
2期望的一个性质：()b aE b a E +=+ξξ 3两种特殊分布的均值（1）若X 服从两点分布，则p EX = （2）若X ～B （n,），则np EX = （二）新知探究：问题：已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X 1、X 2的分布列如下：甲同学击中目标靶的环数X 1的分布列为乙同学击中目标靶的环数X 2的分布列为试比较两名射手的射击水平。
如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？分析：∵EX 1 =8×9×10×=9 EX 2 =8×9×10×=9∴甲、乙两射手的设击水平相同思考：这样的分析对吗？（显然两名选手的水平是不同的，这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性）（三）新课讲解 回顾：样本方差对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差或标准差来刻画的，样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度。
在一组数据n x x x ,,,21 中，各数据的平均数为x ，则这组数据的方差为：()()()[]2222121x x x x x x nS n -++-+-=思考：类似于这个概念,我们如何定义随机变量的方差？ 1离散性随机变量的方差与标准差：设离散型随机变量X 的概率分布为则2(())i x E X -描述职i i=1,2,3，……相对于均值EX 的偏离程度，而 ()i ni i p EX x DX 21∑=-=为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度，我们称()X D 为随机变量X 的方差，用()X σ）为随机变量X 的标准差。
高中数学《离散型随机变量的方差》导学案
§2．3．2离散型随机变量的方差（导学案）一、学习目标：1：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
3：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 二、学习过程： 复习引入：1. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(2.若ξB （n,p ），则E ξ=np导入新课： 1. 方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+； （2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：例4．47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；211==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .三、总结反思 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要四、随堂检测： 一、选择题1.已知随机变量X 的分布列是则E(X)和D(X)分别等于( ) A.1和0 B.1和1.8 C.2和2D.2和0.82.(2015·安徽高考)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1-1，2x 2-1，…，2x 10-1的标准差为( ) A.8B.15C.16D.32【解题指南】应用标准差、方差公式和性质计算标准差.3.(2015·菏泽高二检测)已知随机变量X+η=8，若X ～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是( )A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.64.已知随机变量ξ的分布列如表，则随机变量ξ的方差D(ξ)的最大值为( )ξ0 1 2P y 0.4 xA.0.72B.0.6C.0.24D.0.48【解题指南】根据三个变量对应的概率之和是1，写出y与x之间的关系，写出变量的期望和变量平方的期望，写出方差的表示式，表示式是一个关于x的二次函数，根据二次函数求最值可得答案.【解析】5.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，则得分X的均值与方差分别为( )A.E(X)=0，D(X)=1B.E(X)=，D(X)=C.E(X)=0，D(X)=D.E(X)=，D(X)=1【解题指南】要计算随机变量的均值和方差，应先列出其分布列.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，得X的分布列，再求均值和方差.二、填空题6.已知随机变量X的分布列为：X 1 2 3P 0.4 0.5 x则X的方差为________.7.某射手击中目标的概率为p，则他射击n次，击中目标次数ξ的方差为________.【解析】8.某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分.小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的方差为________.【补偿训练】从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸取的白球数为X，已知E(X)=3，则D(X)=________.【解析】三、解答题(每小题10分，共20分)9.抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数.(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X).(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X).10.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为(1)求a，b的值.(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况.【解题指南】利用概率和是1求得a，b；再利用公式求得均值和方差，并做出分析.。
【B版】人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的方差》导学案
2.3.2离散型随机变量的方差【学习要求】1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念。
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题。
3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差。
【学法指导】1．通过实例理解离散型随机变量的方差的意义，通过例题体会方差在解决实际问题中的应用。
2．要善于将实际问题转化为数学问题来解决，通过模仿建立起数学建模的思维常识。
【知识要点】1．离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为则(x i－E(X))2描述了x i(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度。
我们称D(X)为随机变量X的，并称其算术平方根随机变量X的。
2．离散型随机变量方差的性质（1）设a，b为常数，则D(aX＋b)＝，（2）D(c)＝0(其中c为常数)。
3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差（1）若X服从两点分布，则D(X)＝(其中p为成功概率)；（2）若X～B(n，p)，则D(X)＝。
【问题探究】探究点一方差、标准差的概念及性质问题1某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，5；乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7。
观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的。
那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？问题2类比样本方差、标准差的概念，能否得出离散型随机变量的方差、标准差？问题3随机变量的方差与样本的方差有何不同？问题4方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？问题5我们知道若一组数据x i(i＝1，2，…，n)的方差为s2，那么另一组数据ax i＋b(a、b是常数且i＝1，2，…，n)的方差为a2s2。
离散型随机变量的方差教学设计——高中数学选修2-3第二章第5节第3课时
［ 程 与方 法 目标 ］ 过 １ 历 概 念 的 建 构 这 一 过 程 ， 学 生 进 一 步 体 会 从 特 殊 ． 经 让 能力 ． 即发 现 、 出 、 究 及 解 决 问 题 的 能 力 ； 己 动 手 的 能 提 探 自 力 ： 立 参 与 社 会 活 动 的能 力 。 在 研 究 学 习 过 程 中 ， 生 的 独 学 积 极 性 能 够 得 到 充 分 调 动 ， 助 于增 强 满 足 感 与 自信 心 ， 有 提 高 创 新 能 力 ， 实 现 中感 受 研 究 数 学 的 趣 味 ， 分 享 中领 略 在 在 成功 的喜悦 。 四 、 养 学 生 的创 新 意 识 。 理 论 结 合 实 际开 展 探 究 式 培 将
际 问 题． ຫໍສະໝຸດ 方 差 是 概 率 论 和数 理 统 计 的重 要 概 念 之 一 ， 反 映 随 机 是 变 量 取 值 分 布 的特 征数 ． 习 方 差 将 为 今 后 学 习 概 率 统计 知 学 识 做 铺 垫 ． 时 ， 在 市 场 预 测 ， 济 统 计 ， 险 与 决 策 等 领 同 它 经 风
面 的实 际 问题 ， 中贯 彻 渗 透 现 代 教 育 理念 ， 倡 学 生 自主 创 从 提 新 ， 展 研 究 型 课 题 ， 力 培 养 与 提 高学 生 的创 新 意 识 、 践 开 着 实 技 能 与 研 究 能 力 。 充分 发扬 学 生 的个 性 ， 挥 每 个 人 的特 长 ， 发 指 导 学 生 学 会 简 单 的研 究性 学 习 。数 学 教 师 要 提 倡 学 生 勇 敢 地 提 出问 题 ． 合 教 材 的 内容 不 断 反 思 自己 的 学 习 成 果 ； 倡 结 提 学 生 积 极 开 展 问题 谈 论 与 辨 析 ， 化 自 己的 问 题 意识 ， 立 质 强 树 疑 意 识 ： 导学 生 自觉 地 探索 ， 进 问题 的解 决 。 倡 促 新课程改革 着力强调教 学活动要培养学 生的创新精 神 ， 提 高 学 生 的 实 践 能 力 ， 补 传 统 教 学 观 念 的 不 足 ， 服理 论 严 弥 克 重 脱 离 实 际 的 教 育 弊 端 。 研 究 性 学 习 的 一个 很 重要 的方 面是 要 指导 学 生 把 所 学 的 数 学 知 识 应 用 到 实 际 中 ， 现 问 题 、 决 发 解 问题 ． 到 理论 与实 践 的 高 度 统一 。 做 提倡 并 鼓 励 学 生 探 究 生 活 中 的数 学 问题 ， 爱上 数 学 研 究 性 学 习 ， 体会 到 学 习 无 穷无 尽 的 乐趣 ． 高 参 与 热情 ， 而 做 到 学 以 致 用 。 数 学 知识 在 实 际 生 提 从 活 中 的应 用 是 很 广 泛 的 ， 仅 能够 帮助 解 决 数 学 问题 ， 能 够 不 更 帮 助 实 际 的生 产 、 活 ， 助 于 问 题 的 发 现 、 出与 及 时 解 决 。 生 有 提 例 如 ， 用 数 列 的相 关 知 识 可 以帮 助 购 房 、 车 分 期 付 款 等 问 运 购
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2.32离散型随机变量的方差
学习目标
1、理解各种分布的方差
2、会应用均值（期望）和方差来解决实际问题
自主学习：课本
1.一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是n x x x x ⋅⋅⋅321,,这些值对应的概率是n p p p p ⋅⋅⋅,,,321则________________________________________________________叫做这个
离散型随机变量X 的方差;______________________________叫作离散型随机变量X 的标准差
2. 离散型随机变量的方差刻画了这个离散型随机变量的_____________________________.
3. 离散型随机变量X 分布列为二点分布时, ()___________D X =.
4.离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布时，()___________D X =.
5. 离散型随机变量X 服从参数为,N M ，n 的超几何分布时, ()___________D X = 自学检测
1.已知X ～(),B n p ，()8,() 1.6E X D X ==，则,n p 的值分别是（ ）
A ．100和0.08
B ．20和0.4
C ．10和0.2
D ．10和0.8
2.设掷1颗骰子的点数为X ,则( )
A. 2() 3.5,() 3.5E X D X ==
B. 35() 3.5,()12
E X D X == C. () 3.5,() 3.5E X D X == D. 35() 3.5,()16E X D X ==
3.一牧场的10头牛,因误食疯牛病病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率是0.02,若发病的牛数为X 头,则()D X 等于( )
A. 0.2
B. 0.196
C.0.8
D.0.812
4. 已知随机变量X 的分布列为
则X 的标准差()X σ= A. 3.56 B. C. 3.2 D. 5.王非从家乘车到学校,途中有3个交通岗,设在个交通岗遇红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25
,则王非上学路上遇红灯的数学期望是___________,方差是_______________. 6.已知随机变量X 的分布列为
且() 1.1E X =,设,则()____________D X =
7.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为21,ξξ，它们的分布列如下：
试对这两名工人的技术水平进行比较。
8.一盒零件中有9个正品，3个次品，每次取一个零件，若取出的是次品不再放回，取得正
品前已取得的次品数X 为随机变量，求X 的期望和方差。
【合作探究】
3、一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求甲学生和乙学生在这次测验中的成绩的期望 ．
4、运动员投篮时命中率6.0=P
（1）求一次投篮时命中次数ξ的期望与方差；
（2）求重复5次投篮时，命中次数ξ的期望与方差．
【巩固提高】 X
2、掷一枚均匀的骰子，以ξ表示其出现的点数．
（1）求ξ的分布列； （2）求)31(≤≤ξP ；（3）求ξE ,ξD 的值．
3、设X ～B(n,p)，且12=EX ，4=DX ，则n 与p 的值分别为多少？
4、已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，求任意取出的3件产品中次品数的数
学期望、方差和标准差？
5、有一批零件共10个合格品，2个不合格品，安装机器时从这批零件中任选一个，取到合格品才能安装；若取出的是不合格品，则不再放回
(1)求最多取2次零件就能安装的概率；
(2)求在取得合格品前已经取出的次品数ξ的分布列，并求出ξ的期望ξE 和方差ξD ．
课堂小测
1．某射手击中目标的概率为0.9，现连续射击10次，击中目标的次数X 的方差为（ ）
A ． 0.9
B ．0.09
C ．0.81
D ．9
2.已知随机变量X 的分布列为
设32+=X Y ,则)(Y E 的值为 A.
3
7 B. 4 C. -1 D. 1 3. 设随机变量X 服从二项分布,即X ～B(n,p),且71,3)(==P X E , _________n =,()____________D X =
4.从汽车东站架车至汽车西站的途中要经过8个交通岗,假设某辆汽车在各交通岗遇到红灯
的事件是独立的,并且概率都是13
. (1)求这辆汽车首次遇到红灯前,已经过了两个交通岗的概率;
(2)这辆汽车在途中遇到红灯数X 的期望与方差.
课后训练
1.下列是4个关于离散型随机变量ξ的期望和方差的描述，正确的个数是（ ）
（1）E ξ与D ξ是一个数值，它们是ξ本身所固有的特征数，他们不具有随机性
（2）若离散型随机变量一切可能取值位于区间[],a b 内，则a E b ξ≤≤
（3）离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映的是随机变量取
值的稳定与波动，集中与离散程度
（4）散型随机变量的期望可以是任意实数，而方差的值一定是非负实数
A ． 1个
B ．2个
C ． 3个
D ．4个
2．一批产品中，次品率为13
，现连续抽取4次，其次品数记为ξ，则D ξ的值为（ ） A ．43 B ．83 C ．89 D ．19
3．同时抛两枚均匀硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D ξ等于（ ）
A ．158
B ．154
C ．52
D ．5 4．某保险公司开发了一项保险业务，若在一年内事件
E 发生，则公司要赔偿a 元，设一年内E 发生的概率p ，为使公司的收益的期望值等于a 的10%，公司应要求顾客交保险金_________元
5.设一次试验成功的概率为p ,进行100次独立重复试验,当________p =时,成功次数的标准差最大,其最大值是______________.
6.某运动员投篮命中率为0.6,(1)求一次投篮时命中次数X 的期望与方差
(2)求重复5次投篮时,命中次数Y 的期望与方差
7. 已知随机变量X 的分布列为
试求X的方差.。