2.3.2离散型随机变量的方差
2.3.2 离散型随机变量的方差
三、自学检测：6min P68练习1，2
1.直接用公式：E(X)=2
n
D(x) [xi E(X )]2 pi ＝1.2 i1
X DX 1.2 30
5
2.直接用公式：D（X）=[c-E(X)]2×1=0
方差 方差反映了X取值的稳定 与波动，集中与离散程度
(1) E ( a X b ) a E X b
计算 公式
(2)若X服从两点分 布，则 EX=p
(3)若X~B（n,p） 则EX= np
(1) D ( aX b ) a 2 D X
(2)若X服从两点分布， 则 DX=p(1-p)
(3)若X~B（n,p） 则 DX= np(1－p)
【综合应用】
某一大学毕业生参加某一公司的笔试,共有5个问题需
要解答,如该同学答对每个问题的概率均为 2 ,且每个
3
问题的解答互不影响.
(1)求该同学答对问题的个数ξ 的期望与方差.
(2)设答对一个题目得10分,否则扣1分,求该同学得分
η 的期望与方差.
【解题指南】 解答该5个问题可以认为是5次独立重复试验,答 对问题的个数ξ 服从二项分布,求η 的期望与方 差可通过ξ 与η 的线性关系间接求出.
探究点1 离散型随机变量的方差的概念
问题一：统计甲、乙两名射手以往的成绩，得其击
中目标靶的环数X1，X2的分布列分别如下：
X1 5
6
7
8
9
10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
X2 5
2.3.2离散型随机变量的方差(二)
3、已知X的概率分布为
X
-1
0
1
P
1/
1/3
1/6
且Y= aX+3,EY=7/3, 则a= 2 .
4、随机变量X~B(100,0.2),那么D(4X+3)= 256
5、随机变量 的分布列为
-1
0
1
P
a
b
c
其中，a,b,c成等差，若 E 1 , 则D 的值为
3
.
5 9。
6.根据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的 概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财 产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内， 万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元(a>100)， 问a如何确定，可使保险公司期望获利？
A88
28
ξ=4“表示 ● ● ●●☆● ☆ ●”有P （ξ=4）=
A64 A21 A33 3
A88
28
ξ=5“表示 ● ● ●●● ☆ ☆ ●”有P （ξ=5）=
A65 A21 A22 2
A88
28
ξ=6“表示 ● ● ●●●● ☆ ☆”有P （ξ=6）=
A66 A21 1 A88 28
的分布列
出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.⑴写 出ξ的分布列；(不要求写计算过程）⑵求数学期望Eξ; ⑶求概率P(ξ Eξ).
析:审清题意是解决该题的关键.
1.抓住蝇子一个个有顺序地飞出,易联想到把8只蝇子看作8个元素有序排列.
●●☆●●●☆●，由于ξ=0“表示☆ ●●●●●☆●”，所以有ξ=1“表示
的路口数，求：
（1）随机变量 的分布列和数学期望 E( ) ；
（2）停车时最多已通过3个路口的概率。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.3.2 离散型随机变量的方差
1 1 1 解析：因为 ＋ ＋p＝1，所以 p＝ . 2 3 6 1 1 1 2 又 E(ξ)＝0× ＋1× ＋x× ＝ .所以 x＝2. 2 3 6 3
2 2 1 2 2 1 2 2 1 15 故 (1)D(ξ)＝ 0－3 × ＋ 1－3 × ＋ 2－3 × ＝ 2 3 6 27
解得 p＝0.2，n＝10，故选 C. 答案：( B ) A．E(X)＝3.5，D(X)＝3.52 35 B．E(X)＝3.5，D(X)＝ 12 C．E(X)＝3.5，D(X)＝3.5 35 D．E(X)＝3.5，D(X)＝ 16
栏 目 链 接
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题型一 方差与标准差的计算 例1 已知离散型随机变量X的概率分布列为：
X P
1 1 7
2 1 7
3 1 7
4 1 7
5 1 7
6 1 7
7 1 7
栏 目 链 接
求其方差与标准差．
1 1 1 解析：∵E(X)＝1× ＋2× ＋„＋7× ＝4； 7 7 7 1 1 1 2 2 2 ∴D(X)＝(1－4) × ＋(2－4) × ＋„＋(7－4) × ＝4. 7 7 7 ∴ DX＝2.
第二章
随机变量及其分布
2．3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.2 离散型随机变量的方差
栏 目 链 接
1．通过实例理解取有限值的离散型随机变量方
差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解 决一些实际问题．
栏 目 链 接
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基 础 梳 理 1．一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为：
栏 目 链 接
例如：设ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝2.4，D(ξ) ＝1.44，求n，p. 答案：n＝6，p＝0.4
第2章 2.3 2.3.2 离散型随机变量的方差
2.3.2 离散型随机变量的方差学习 目 标核 心 素 养1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点)3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)1.通过离散型随机变量的方差的学习，体会数学抽象的素养．2．借助方差解决实际问题，提高数学运算的素养.1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i －E (X ))描述了i D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．思考：随机变量的方差与样本方差有什么关系？[提示] 随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．2．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )；(2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )． 3．离散型随机变量方差的线性运算性质 设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )．1．若随机变量X 服从两点分布，且在一次试验中事件A 发生的概率P ＝0.5，则E (X )和D (X )分别为( )A ．0.25；0.5B ．0.5；0.75C ．0.5；0.25D ．1；0.75C [E (X )＝0.5，D (X )＝0.5×(1－0.5)＝0.25.]2．已知随机变量ξ，D (ξ)＝19，则ξ的标准差为________． 13 [ξ的标准差D (ξ)＝19＝13.]3．已知随机变量ξ的分布列如下表：ξ －1 0 1 P121316则－13 59 [均值E (ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13； 方差D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59.]求随机变量的方差与标准差【例X －1 0 1 P1214a(2)计算X 的方差；(3)若Y ＝4X ＋3，求Y 的均值和方差．[解] (1)由分布列的性质，知12＋14＋a ＝1，故a ＝14，从而X 2的分布列为X 2 0 1 P1434(2)法一：(直接法)由(1)知a ＝14，所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X 的方差D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋142×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋142×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋142×14＝1116.法二：(公式法)由(1)知a ＝14，所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X 2的均值E (X 2)＝0×14＋1×34＝34，所以X 的方差D (X )＝E (X 2)－[E (X )]2＝1116.(3)因为Y ＝4X ＋3，所以E (Y )＝4E (X )＋3＝2，D (Y )＝42D (X )＝11.方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X 2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D (X )＝E (X 2)－[E (X )]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D (aX ＋b )＝a 2D (X )．1．已知η的分布列为：η 0 10 20 50 60 P1325115215115(2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．[解] (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6. (2)∵Y ＝2η－E (η)， ∴D (Y )＝D (2η－E (η)) ＝22D (η)＝4×384＝1 536.两点分布与二项分布的方差【例2】 设X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k(k ＝0,1,2,3,4,5)，则D (3X )＝( )A ．10B ．30C ．15D ．5A[由P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k(k ＝0,1,2,3,4,5)可知随机变量服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13， 所以D (X )＝5×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝109，D (3X )＝9D (X )＝10.]1．(变换条件、改变问法)本例题改为随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，且E (3X ＋2)＝9.2，D (3X ＋2)＝12.96，求二项分布的参数n ，p 的值．[解] 由E (3X ＋2)＝9.2，D (3X ＋2)＝12.96及X ～B (n ，p )知 ⎩⎨⎧ E (3X ＋2)＝3E (X )＋2，D (3X ＋2)＝9D (X )，即⎩⎨⎧3np ＋2＝9.2，9np (1－p )＝12.96，解得⎩⎨⎧n ＝6，p ＝0.4， 所以二项分布的参数n ＝6，p ＝0.4.2．(改变问法)本例题条件不变，求E (3X ＋2)． [解] 由例题可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，所以E (X )＝5×13＝53. 故E (3X ＋2)＝3E (X )＋2＝7.求离散型随机变量的均值与方差的关注点1．写出离散型随机变量的分布列．2．正确应用均值与方差的公式进行计算．3．对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布，然后直接应用公式计算．均值、方差的实际应用[1．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X1012 3P 0.70.20.060.04次品数X2012 3P 0.80.060.040.10由E(X12[提示]不能．因为E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.所以，不能由E(X1)和E(X2)的值比较两台机床的产品质量．2．在探究1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？[提示]利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．【例3】甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5，3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．[思路点拨](1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的均值，然后再看其方差值．[解](1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．2．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲：分数X 80 90 100 概率P0.20.60.2乙：分数Y 80 90100 概率P0.40.20.4[解] 因为E (X )＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D (X )＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E (Y )＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D (Y )＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80， 即E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y )，所以甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．对随机变量X 的方差、标准差的五点说明(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．(2)随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 的取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更为广泛． (4)D (X )越小，随机变量X 的取值越稳定，波动越小．(5)方差也可以用公式D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2计算(可由D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i展开得到).1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值．( ) (2)离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平．( ) (3)离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平．( ) (4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．已知X的分布列为A．0.7B．0.61C．－0.3 D．0B[E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.]3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．乙[因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．]4．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝4，D(X)＝43，求n，p的值．[解]由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由E(X)＝np＝4，D(X)＝np(1－p)＝4 3，得1－p＝1 3，∴p＝23，n＝6.课时分层作业(十五)离散型随机变量的方差(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)和D(X)的值分别为()A．0和1B．p和p2C．p和1－p D．p和(1－p)pD[由题意知随机变量X满足两点分布，∴E(X)＝p，D(X)＝(1－p)p.]2．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为()A．0.6和0.7 B．1.7和0.09C．0.3和0.7 D．1.7和0.21D[E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.] 3．已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)＝6，则p等于()A.17 B.16C.15 D.14A[由题意得np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝67，∴p＝17.]4．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝13，k＝1,2,3，则D(3ξ＋5)等于()A．6 B．9 C．3 D．4A[E(ξ)＝(1＋2＋3)×13＝2，D(ξ)＝13[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23，所以D(3ξ＋5)＝32D(ξ)＝9×23＝6.故选A.]5．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是()A．甲C ．一样D ．无法比较B [由题中分布列可得：E (ξ)＝8×0.3＋9×0.2＋10×0.5＝9.2， E (η)＝8×0.2＋9×0.4＋10×0.4＝9.2，D (ξ)＝(8－9.2)2×0.3＋(9－9.2)2×0.2＋(10－9.2)2×0.5＝0.76， D (η)＝(8－9.2)2×0.2＋(9－9.2)2×0.4＋(10－9.2)2×0.4＝0.5.6 ∵E (ξ)＝E (η)，D (ξ)＞D (η)，∴甲、乙两名运动员射击命中环数的平均数相等，而乙的成绩波动性较小，更稳定．]二、填空题6．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为________．89 [由题意知X ～B⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，所以D (X )＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝89.] 7．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．0．5 [在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )，所以p (1－p )＝0.25，解得p ＝0.5.]8．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________. 25 [设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.] 三、解答题9．已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23. (1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2，求D (Y )的值． [解] 由12＋13＋p ＝1，得p ＝16. 又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23， 所以x ＝2.(1)D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×16＝59.(2)因为Y ＝3X －2，所以D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )＝5.10．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x ，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y ，令X ＝x ·y .求：(1)X 所取各值的概率； (2)随机变量X 的均值与方差． [解] (1)P (X ＝0)＝53×3＝59； P (X ＝1)＝1×13×3＝19； P (X ＝2)＝1＋13×3＝29； P (X ＝4)＝13×3＝19. (2)X 的分布列如下：所以E (X )＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1.D (X )＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.[能力提升练]1．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6B [由已知E (ξ)＝10×0.6＝6，D (ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4. 因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.所以E (η)＝－E (ξ)＋8＝2，D (η)＝(－1)2D (ξ)＝2.4.]2．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的均值和方差分别是( )A.103，20081B.559，10081C.809，109 D.509，20081D [成功次数X 服从二项分布，每次试验成功的概率为1－23×23＝59，故在10次试验中，成功次数X 的均值E (X )＝10×59＝509，方差D (X )＝10×59×49＝20081.]3．某旅游公司为三个旅游团提供了a ，b ，c ，d 四条旅游线路，每个旅游团队可任选其中一条线路，则选择a 线路的旅游团数X 的方差D (X )＝________.916 [由题意知X 的可能取值有0,1,2,3，并且 P (X ＝0)＝3343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×3243＝2764， P (X ＝2)＝C 23×343＝964，P (X ＝3)＝143＝164.∴E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34，D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－342×2764＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342×2764＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－342×964＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－342×164＝916×2764＋116×2764＋2516×964＋8116×164＝916.]4．抛掷一枚均匀硬币n (3≤n ≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，若P (ξ＝1)＝332，则方差D (ξ)＝________. 32 [因为3≤n ≤8，ξ服从二项分布B⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，且P (ξ＝1)＝332，所以 C 1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝332， 即n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝664，解得n ＝6，所以方差D (ξ)＝np (1－p )＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32.] 5．A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为(1)在A ，B 1)和Y 2(单位：万元)分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．[解] (1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列分别为E (Y 1)＝5×0.8＋10×D (Y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8；D (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f (x )＝D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 100·Y 1＋D ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 100·Y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1002D (Y 1)＋⎝⎛⎭⎪⎫100－x 1002D (Y 2) ＝41002[x 2＋3(100－x )2] ＝41002(4x 2－600x ＋3×1002)． 所以当x ＝6002×4＝75时，f (x )＝3为最小值.。
学案12：2.3.2 离散型随机变量的方差
2.3.2 离散型随机变量的方差课堂导学三点剖析一、随机变量的方差与标准差的求法例1 设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX .温馨提示解本题时，要防止机械地套用均值与方差的计算公式，即EX =（-1）×21+0×(1-2q )+1×q 2=q 2-21； DX =［-1-(q 2-21)］2×21+(q 2-21)2×(1-2q )+［1-(q 2-21)］2×q 2.这是由于忽略了随机变量分布列的性质所出现的误解，求离散型随机变量的均值与方差，应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数时，应先求出待定常数后，再求其均值与方差.二、两点分布、二项分布的方差例2 设一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，求当p 为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值. 温馨提示要求成功次数标准差的最大值，就需先建立标准差关于变量p的函数关系式，另外要注意利用分布列的性质求出定义域0≤p≤1.三、方差的应用例3 海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1、X2（单位：s），其分布列如下：根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.温馨提示随机变量X的方差的意义在于描述随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.标准差σX=DX则体现随机变量取值与其均值的偏差，在实际问题中，若有两个随机变量X1、X2，且EX1=EX2或EX1与EX2比较接近时，我们常用DX1与DX2来比较这两个随机变量，方差值大的，则表明X较为离散，反之则表明X较为集中.同样，标准差的值较大，则标明X与其均值的偏差较大，反之，则表明X与其均值的偏差较小.各个击破类题演练1 若随机事件A在一次试验中发生的概率为2a.随机变量ξ表示在一次试验中发生的次数.求方差Dξ的最值.变式提升1 某射击手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ与方差Dξ（保留两位小数）.类题演练2 若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p (0＜p ＜1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数. （1）求方差Dξ的最大值； （2）求ξξE D 12-的最大值.变式提升2 证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过14.类题演练3 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ、η的分布列为：计算ξ、η的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣.变式提升3 现要从甲、乙两个技工中选派一个参加技术比赛，已知他们在同样的条件下每天的产量相等，而出次品的个数的分布列如下：甲乙根据以上条件，选派谁去合适？参考答案课堂导学例1 解：由于离散型随机变量的分布列满足(1)p i ≥0，i =1，2，3，...； (2)p 1+p 2+...+p n + (1)故221(12)1,20121,1.q q q q ⎧+-+=⎪⎪≤-≤⎨⎪≤⎪⎩解得q =1-22. 故X 的分布列为∴EX =(-1)×2+0×(2-1)+1×(22-) =-2321++（-2）=1-2； DX =［-1-（1-2)］2×21+（1-2）2×（2-1）+［1-（1-2)］2×(223-)=（2-2）2×21+（2-1）3+2(223-)=2-1.例2 解：设成功次数为随机变量X ，由题意可知X —B （100，p ）， 那么σX =)1(100p p DX -=，因为DX =100p (1-p )=100p -100p 2（0≤p ≤1）. 把上式看作一个以p 为自变量的一元二次函数，易知当p =21时，DX 有最大值25.所以DX 的最大值为5，即当p =21时，成功次数的标准差的最大值为5. 例3 解：∵EX 1=0，EX 2=0， ∴EX 1=EX 2，∵DX 1=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5， DX 2=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-1)2×0.1=1.2， ∴DX 1＜DX 2，由上可知，A 面大钟的质量较好. 各个击破类题演练1 解：由题意得ξ的分布列为∴Eξ=0×(1-2a )+1×2a =2a ∴Dξ=(0-2a )2(1-2a )+(1-2a )22a =(1-2a )2a (2a +1-2a ) =2a (1-2a )=-4［a -41］2+41， 由分布列的性质得0≤1-2a ≤1， 且0≤2a ≤1，∴0≤a ≤21， ∴当a =41时，Dξ最大值为41； 当a =0或21时Dξ的最小值为0.变式提升1 解：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可以取值为1，2，3，4，5. ξ≈1表示一发即中，故概率为P （ξ=1）=0.8， ξ=2，表示第一发未中，第二发命中， 故P （ξ=2）=（1-0.8）×0.8=0.16； ξ=3，表示第一、二发未中，第三发命中， 故P （ξ=3）=（1-0.8）2×0.8=0.032；ξ=4，表示第一、二、三发未中，第四发命中， 故P （ξ=4）=（1-0.8）3×0.8=0.006 4；ξ=5，表示第一、二、三、四发未中，第五发命中， 故P （ξ=5）=（1-0.8）4=0.001 6，因此，它的分布列为Eξ=1×0.8+2×0.16+3×0.032+4×0.006 4+5×0.001 6=1.25.Dξ=(1-1.25)2×0.8+(2-1.25)2×0.16+(3-1.25)2×0.032+(4-1.25)2×0.006 4+(5-1.25)2×0.001 6=0.31. 类题演练2 解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P （ξ=1）=p ，P （ξ=0）=1-p ，从而Eξ=0×（1-p )+1×p =p ，Dξ=(0-p )2×(1-p )+(1-p )2×p =p -p 2. (1)Dξ=p -p 2=-(p -21)2+41， ∵0＜p ＜1，∴当p =21时，Dξ取得最大值为41. （2）ξξE D 12-=)12(21)(22p p p p p +-=--， ∵0＜p ＜1，∴2p +p1≥22. 当且仅当2p =p 1，即p =22时，ξξE D 12-取得最大值2-22.变式提升2 证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，ξ的可能取值为0或1，又设事件在一次试验中发生的概率为p ，则p （ξ=0）=1-p ，P (ξ=1)=p ，Eξ=0×(1-p )+1×p =p ，Dξ=(1-p )·(0-p )2+p (1-p )2= p (1-p )≤(21p p -+)2=41. 所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过41.类题演练3 解：依题意，有Eξ=10×0.5+9×0.2+8×0.1+7×0.1+6×0.05+5×0.05+0×0=8.85(环）. E η=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2+0×0.2=5.6(环）.Dξ=（10-8.85)2×0.5+(9-8.85)2×0.2+(8-8.85)2×0.1×…+(5-8.85)2×0.05+(0-8.85)2×0=2.227 5. Dη=（10-5.6）2×0.1+（9-5.6）2×0.1+（8-5.6）2×0.1+…+（5-5.6)2×0.2+（0-5.6）2×0.2=10.24. 所以Eξ＜Eη，说明甲的平均水平比乙高，又因为Dξ＜Dη，说明甲射中的环数比较集中，比较稳定，而乙射中的环数分散较大，技术波动较大，不稳定，所以甲比乙的技术好. 变式提升3 解：Eξ1=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3，Eξ2=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3.由于Eξ1=Eξ2，所以甲技工与乙技工出现次品数的平均水平基本一致，因而还需考查稳定性.Dξ1=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41；Dξ2=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.因此Dξ1＜Dξ2，所以技工乙波动较大，稳定性较差.综上所述，应选派技工甲去参加比赛.。
2.3.2离散型随机变量的方差(一)
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
E1X 9,E2X 9 D1 X 0 .4 ,D2 X 0 .8
问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？
问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右， 应派哪一名选手参赛？
问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右， 应派哪一名选手参赛？
E x 1 X p 1 x 2 p 2 x ip i x n p n
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
2、数学期望的性质
E(aX b)aEX b
三、如果随机变量X服从两点分布为
X
1
0
P
p
1－p
则 EX p
四、如果随机变量X服从二项分布，即
X～
EX np
B（n,p），则
二、互动探索
X DX 1.21.095
2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为 常数，求EX和DX。 解：离散型随机变量X的分布列为：
Xc P1
EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
四、方差的应用
例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1， 2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
X1111222334 10
142332412 10 10 10 10
X
1
2
3
4
P
4
3
2
1
Hale Waihona Puke 10101010
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1， 2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？ 反映这组数据相对于平均值的集中程度的量
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.2 离散型随机变量的方差学案(含解析)新人教A版选修2-
2．3.2 离散型随机变量的方差[目标] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法．[重点] 离散型随机变量的方差和标准差的概念和计算；方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法．[难点] 离散型随机变量的方差的计算与应用．知识点一 离散型随机变量的方差、标准差[填一填]1．方差及标准差的定义 设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)方差D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i . (2)标准差为D (x ). 2．方差的性质 D (aX ＋b )＝a 2D (X )．[答一答]1．方差与标准差有什么实际意义？提示：随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定与波动、集中与离散的程度．D (X )越小，稳定性越高，波动越小．显然D (X )≥0，随机变量的标准差与随机变量本身有相同的单位．2．你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型随机变量方差的计算公式吗？ 提示：设x 1、x 2、…、x n 为样本的n 个数据，x ＝x 1＋…＋x n n ，则该样本数据的方差s 2＝∑i ＝1n(x i －x )2·1n ，由于x 相当于离散型随机变量中的E (X )，而1n相当于每个数据出现的频率(概率)p i ，故离散型随机变量X 的方差可定义为：D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i (i ＝1,2，…，n )．3．随机变量的方差与样本方差有什么关系？提示：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个客观存在的常数，不随抽样样本的变化而变化；样本方差则是随机变量，它是随着样本的不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．知识点二 两个常见分布的方差[填一填]1．若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． 2．若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．[答一答]4．两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系？提示：由于两点分布是特殊的二项分布，故两点分布的方差同二项分布的方差存在特殊与一般的关系．1．对随机变量X 的方差、标准差的理解(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．(2)随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)D (X )越小，稳定性越高，波动越小．(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 2．剖析方差的性质当a ，b 均为常数时，随机变量η＝aξ＋b 的方差D (η)＝D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)．特别地： (1)当a ＝0时，D (b )＝0，即常数的方差等于0.(2)当a ＝1时，D (ξ＋b )＝D (ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身．(3)当b ＝0时，D (aξ)＝a 2D (ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．类型一 离散型随机变量的方差及性质【例1】 已知η的分布列如下：η 0 10 20 50 60 P1325115215115(1)求η(2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．【分析】 (1)首先求出均值E (η)，然后利用D (η)的定义求方差；(2)由于E (η)是一个常数，所以D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)．【解】 (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6.(2)∵Y ＝2η－E (η)，∴D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)＝4×384＝1 536.(1)求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果，同时还要正确求出每一个结果出现的概率．(2)利用离散型随机变量X 的方差的性质：当a ，b 为常数时，随机变量Y ＝aX ＋b ，则D (Y )＝D (aX ＋b )＝a 2D (X )，可以简化解答过程，提高解题效率．某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者． (1)所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及方差． (2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率． 解：(1)ξ的可能取值为0,1,2. 由题意P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P153515E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1，D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.(2)设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C ，男生甲被选中的种数为C 25＝10，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为C 14＝4，所以P (C )＝C 14C 25＝410＝25，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25.类型二 二项分布的方差【例2】 已知某运动员投篮命中率p ＝0.6. (1)求一次投篮命中次数ξ的数学期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的数学期望与方差．【分析】 解本题的关键是正确地判断出第(1)小题属于两点分布，第(2)小题属于二项分布，利用相应的公式计算可得解．【解】 (1)投篮一次命中次数ξ的分布列为：ξ 0 1 P0.40.6则E (ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D (ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)由题意知重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B (5,0.6)． 由二项分布的数学期望与方差的公式得： E (η)＝5×0.6＝3，D (η)＝5×0.6×0.4＝1.2.解此类题的一般步骤如下：第一步，判断随机变量X 服从什么分布(两点分布还是二项分布).第二步，代入相应的公式，X 服从两点分布时，D (X )＝p (1－p )；X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )时，D (X )＝np (1－p ).甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是p ＝0.51，乙每局赢的概率是p ＝0.49.甲乙一共进行了10次比赛，当各次比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局，哪一个技术比较稳定？解：用X 表示10局中甲赢的次数，则X 服从二项分布B (10,0.51)．E (X )＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局．用Y 表示10局中乙赢的次数，则Y 服从二项分布B (10,0.49)．E (Y )＝10×0.49＝4.9，于是乙平均赢4.9局．又D (X )＝10×0.51×0.49＝2.499，D (Y )＝10×0.49×0.51＝2.499.所以他们技术一样稳定．类型三 离散型随机变量方差的应用【例3】 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列，数学期望及方差．②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【解】 (1)当n ≥16时，y ＝16×(10－5)＝80. 当n ≤15时，y ＝5n －5(16－n )＝10n －80.得：y ＝⎩⎨⎧10n －80(n ≤15)，80(n ≥16)(n ∈N )．(2)①X可取60,70,80.P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列为X 607080P 0.10.20.7E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，D(X)＝162×0.1＋62×0.2＋42×0.7＝44.②购进17枝时，当天的利润的期望值为y＝(14×5－3×5)×0.1＋(15×5－2×5)×0.2＋(16×5－1×5)×0.16＋17×5×0.54＝76.4.由76.4>76得，应购进17枝．有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示：试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些．解：在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，E(X乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90.方差分别为D (X 甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40， D (X 乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80. 由上面数据，可知E (X 甲)＝E (X 乙)，D (X 甲)<D (X 乙)．这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好．离散型随机变量期望与方差的综合应用【例4】 设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求abc .【思路分析】 第一问关键是分清取出2个球所得分数之和的所有情况，然后分类讨论，根据情况算出相应的概率、写出分布列；第二问类似地写出分布列，根据期望、方差的公式建立方程求解．【解】 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知η的分布列为η 1 2 3 paa ＋b ＋cba ＋b ＋cca ＋b ＋c所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (η)＝(1－53)2·a a ＋b ＋c ＋(2－53)2·b a ＋b ＋c ＋(3－53)2·c a ＋b ＋c ＝59.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故abc ＝321.【解后反思】 离散型随机变量的分布列和期望是理科数学考题中的高频考点之一，其中，浙江省又多以摸球为背景，以对立事件、相互独立事件、两点分布、二项分布等知识为载体，综合考查事件发生的概率及随机变量的分布列、数学期望与方差．解题时首先要理解关键词，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，后面一般就是计算问题．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数．(1)求方差D (ξ)的最大值； (2)求2D (ξ)－1E (ξ)的最大值．解：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，从而E (ξ)＝0×(1－p )＋1×p ＝p ， D (ξ)＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2.(1)D (ξ)＝p －p 2＝－(p 2－p ＋14)＋14＝－(p －12)2＋14，∵0<p <1，∴当p ＝12时，D (ξ)取得最大值，最大值为14.(2)2D (ξ)－1E (ξ)＝2(p －p 2)－1p ＝2－(2p ＋1p )，∵0<p <1，∴2p ＋1p≥2 2.当2p ＝1p ，p ＝22时，取“＝”，因此，当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取得最大值2－2 2.1．下面说法中正确的是(D)A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平解析：由于离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映的是随机变量的平均取值水平，而不是概率的平均值，故A错．而D(ξ)则反映随机变量的集中(或稳定)的程度，即波动水平．2．若X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则(A)A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45解析：由E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，可知1－p＝0.8，所以p＝0.2，n＝8.3．已知随机变量ξ，D(ξ)＝19，则ξ的标准差为13.解析：D(ξ)＝19＝13.4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，则自动包装机乙的质量较好．解析：均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，方差大说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中．故乙的质量较好．5．已知随机变量X的分布列是X 0123 4P 0.2m n 0.20.1且E(X)＝1.8.(1)求D(X)；(2)设Y＝2X－1，求D(Y)．解：(1)由分布列可知0.2＋m＋n＋0.2＋0.1＝1，且E(X)＝0×0.2＋1×m＋2×n＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0.5，m ＋2n ＝0.8，解得m ＝0.2，n ＝0.3. ∴D (X )＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.(2)∵D (X )＝1.56，∴D (2X －1)＝4D (X )＝6.24.。
课件9：2.3.2 离散型随机变量的方差
C．0.25 和 1
D．0.75 和 1
【解析】E(X)＝0.5，D(X)＝0.5(1－0.5)＝0.25.
【答案】A
2．已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4，5.5，则该组数据的 方差是________．
【解析】 x ＝4.7＋4.8＋55.1＋5.4＋5.5＝5.1， 则该组数据的方差 s2＝ (4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5 5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2＝0.1. 【答案】0.1
(2)结合(1)中 ξ，η 的分布列可得： E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7 －9.2)2×0.1＝0.96， D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7 －8.7)2×0.2＝1.21.
解：(1)依据题意，得 0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得 a＝0.1. ∵乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2， ∴乙射中 7 环的概率为 1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. ∴ξ，η 的分布列分别为
ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由 D(η)＝a2D(ξ)，得 a2×2.75＝11，得 a＝±2. 又 E(η)＝aE(ξ)＋b，所以，当 a＝2 时， 由 1＝2×1.5＋b，得 b＝－2； 当 a＝－2 时，由 1＝－2×1.5＋b，得 b＝4. 所以ab＝ ＝－ 2，2， 或ab＝ ＝－ 4. 2，
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两点分布的期望
E(X ) p
xn pn
二项分布的期望
E(X ) np
自主探究
要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录， 第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为
X1
5
6
7
8
9
10
P
0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为
特殊分布的方差
1；X服从两点分布，则D(X)=p(1-p) 因为X服从两点分布，则E(X)=p 所以，D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p)
2；X服从二项分布，即X ～B(n，p)，E(X)=np，则D(X)=np(1-p) D(X)=(1-p) E(X)
特殊分布的方差
练习
练习
3.设X为随机变量，且X～B(n，p)，若随机变量X的数学期望E(X)＝4，D(X)＝ 4，则P(X＝2)＝_______； 3
解：由题可得，
D(X)=(1-p)×E(X)，即
43=4(1-p），解得p=
2 3
E(X)=4=np，解得n=6.
所以，
P(X＝2)＝C62
(
2 3
)2
(
1)4 3
20 243
4.随机变量ξ的取值为0,1,2，若P(ξ=0)=0.2，E(ξ)=1，则D(ξ)=_____________；
解：列出ξ的分布列，设P(ξ=1)=p，则P(ξ=2)=0.8-p 所以，E(ξ)=0×0.2+1×p+2×(0.8-p)=1
ξ
0
P 0.2
1
2
p 0.8-p
解得：p=0.6，
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
O 5 6 7 8 9 10 X1
O 5 6 7 8 9 X2
思考
怎样定量刻画随机变量的稳定性？
由初中和必修三知识我们知道，样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度，用它可以 刻画样本数据的稳定性。
类比于此，我们定义随机变量的方差来刻画随机变量的稳定程度。
离散型随机变量的方差
设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(xi-E(x))2描述了xi （i=1,2,...,n）相对于其平均值E(x)的偏离程度。而
D(x)=(x1-E(x))2p1+ (x2-E(x))2p2+(xi-E(x))2pi) )+...+(xi-E(x))2pi+...+ (xn-E(x))2pn
=(ax1-aE(x))2p1+ (ax2-aE(x))2p2 +...+(axn-aE(x))2pn
=a2(x1-E(x))2p1+a2 (x2-E(x))2p2 +...+a2 (xn-E(x))2pn =a2[(x1-E(x))2p1+(x2-E(x))2p2 +...+ (xn-E(x))2pn] =a2D(X)
n
(xi E(x))2 p（i i=1,2,...,n） i 1
我们称D(x)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差
离散型随机变量的方差
分别计算“自主探究” 中两名同学射击成绩的方差.
X1
5
6
7
8
9
10
P
0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
10
例5：为决策提供依据 对于两个随机变量X1和X2 在E(X1)与E(X1)相等或很接近时，比较D(X1)和D(X2)可以确定哪个 随机变量的性质更适合实际的生产、生活的需要.
小结
1.离散型随机变量X的均值、方差的定义及计算公式。
n
E(x) xi pi , i 1
n
D(x) (xi E(x))2 pi i 1
复习回顾
1.离散型随机变量的均值（数学期望）
X
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
E(X ) x1 p1 x2 p2 ...xi pi ... xn pn
2.数学期望的线性性质:
若Y aX b, 则E(Y ) E(aX b) aE(X ) b
3.特殊分布的数学期望 超几何分布的期望
1.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的 二等品件数，则D(X)=________； 解：由题可知，X～B(100,0.02)， 所以，D(X)=100×0.02×(1-0.02)=1.96
2.已知ξ ～B(n,p)，E(ξ)=8，D(ξ)=1.6，则n=___________，p=___________. 解：由题可得， D(ξ)=np(1-p)=(1-p)×E(ξ)，即1.6=8(1-p），解得p=0.8 E(ξ) =np=8=n×0.8，解得n=10.
2.期望、方差的性质—线性性质
E(aX+b ) =aE(X) +b，D(aX+b ) =a2D(X)
3.特殊分布的均值及方差 超几何分布
E(X ) nM N
两点分布 E(X ) p D(X)=p(1-p)
二项分布 E(X ) np D(X)=np(1-p)
下 课
2
2
2
2
2
2
p2 p 1 ( p 1)2 1
4
22
所以，当0<p<1时，D(ξ)先变大后变变小，选D
C.D(ξ)先变小后变大
D.D(ξ)先变大后变变小
课本例题
例4：考查计算 求解方差的一般步骤 ①理解X的意义，写出X 所有可能的取值；②求X取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出E(X)； ④根据方差的定义求出D(X)。
D X1 (i 8)2 P(X1 i) 1.50 , i5
X2
5
6
7
8
9
P
0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
9
D X 2 (i 8)2 P(X 2 i) 0.82 i5
因此，第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.
该派那名同学去参加比赛呢？
离散型随机变量方差的性质
离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1) D(X) ≥0；
(2)设Y= aX+b ，则E(Y)=aE(X)+b，D(aX+b ) =a2D(X) 所以， D(aX+b )=(ax1+b-aE(x)-b)2p1+ (ax2+b-aE(x)-b)2p2 +...+(axn+b-E(x)-b)2pn
X2
5
6
7
8
9
P
0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
应该派哪名同学参赛？
自主探究
由上节知识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低，即通过比较X1和X2的均值来比较 两名同学射击水平的高低。
通过计算得E(X1)=8，E(X2)=8，均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平。
我们还能从哪个角度比较两名同学的射击水平？
思考
分布列还能怎样呈现？如何直观观察随机变量的分布情况？还有其他刻画两名同学各自射击特点的指 标吗？
左右两图分别表示X1和X2的分布列。比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于8环， 即第二名同学的射击成绩更稳定。
P
P
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
则，D(ξ)=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4
练习
5.设0<p<1，离散型随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
1 p
1
p
2
2
2
则当p在(0,1)内变化时，
A.D(ξ)变小
B.D(ξ)变大
解：根据题意可求得E(ξ)=
1 2
p
所以
D( ) (0 1 p)2 1 p (1 1 p)2 1 (2 1 p)2 p