等式的基本性质学案
【教案】等式与不等式性质(一)教学设计
变形→判断差的符号→下结论．作差后变形
是比较大小的关键一步，变形的方向
是化成几个完全平方式的形式或一
些易判断符号的因式积的形式．
例 1 比 较 （ x+2 ） (x+3) 和
(x+1)(x+4)的大小
语言表示
符号表示
如 果 a-b 是 正 数 ，
那 么 a＞ b
> ⇔− >0
x
秒，人在此时间内跑
0.5
燃烧的速度是每秒 0.5 cm，人跑开的
x
x
的路程为 4×
m．由题意可得 4× >100.
0.5
0.5
速度为每秒 4 m，为了使点燃导火索
3.答案
的人能够在爆破时跑到 100 m 以外的
安全区，导火索的长度 x(cm)应满足
的不等式为(
解析
A
1
3
∵M－N＝x2＋x＋1＝x＋22＋ >0，
习 的
目标，
整 体
提 升
数 学
素养。
教学环节：板书设计
1. 不等关系与不等式“翻译”表
2. 两个实数比较大小的方法
3. 整体讲解在电子白板上下课时保存，下节课可以打开继续使用
6
学科网（ 北京） 股份有 限公司
言
③多个不等关系用不等式组表示．
变式练（1） 某套试卷原以每本 2.5
元的价格销售，可以售出 8 万本．据
市场调查，若单价每提高 0.1 元，销
等于， 等于，
至少， 至多，
不低
不超
于
过
符
号
>
语
2
人教A版高中学案数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 等式性质、不等式性质、基本不等式
16
5
C. + 的最小值是6D.2 + 2 的最小值为
[解析]对于A选项, = ⋅ ⋅ ≤
+
⋅(
) =
A选项正确.对于B选项,( + )( + ) = +
由 =
,
=
,解得
对于C选项, + =
− ≥ ,当且仅当 = −, = 时取等号,故选C.
3.下列说法中，正确的个数是() B
①2 + 2 ≥ 2 成立的条件是 ≥ 0, ≥ 0②2 + 2 ≥ 2 成立的条件是, ∈
③ + ≥ 2 成立的条件是 > 0, > 0④ + ≥ 2 成立的条件是 > 0
等号成立,故有最大值−.故选C.
−
− = −,当且仅当− =
,即
−
= −时,
5.[2024扬州期末]对于实数,,,下列命题正确的是()
C
A.若 > ,则 2 > 2 B.若 > ,则2 > 2
−
C.若 > ,则|| > ||D.若 > > > 0,则
又 < ,∴ − < < ,− > ,∴ > − > > −.
2.已知 = 2 + 4 + 1, = − 2 + 2 − 4,则() C
A. > B. < C. ≥ D. ≤
青岛版-数学-七年级上册-《整式的加减》复习学案 (2)
第六章整式的加减复习学案指出下列多项式每一项的系数和次数, 分别是几次几项式① 3a －2b+1 ② 2x 2－3x+5③ 2a －ab 2 ④ 1－x+ x 24.观察下面一列单项式：x -，22x ，34x -，48x ，516x -，…，根据其中的规律，得出第十个单项式是5.把多项式x y x x 3143+-+-按项的次数由高到低排列（二）同类项1.定义：所含 相同，并且 也相同的项，叫做同类项。
常数项都是同类项。
（要牢记！）2.概念： 叫做合并同类项。
3.合并同类项的法则对应训练1.判别下列各题中的两个项是不是同类项。
2.单项式 2x 2y 和（ ）是同类项：①5xy ②13x 2y ③x 2yz ④2a 2b ⑤－21x 2y 3、合并下列多项式中的同类项：（1）3a+(-5a) (2)4m 2n+ m 2n (3)-0.3ab+0.3ab4、合并下列各项式的同类项：（1）13x-3x-10x ； （2）x 2y-4x 2y+2x 2y ；（3）2m 2+1-3m-7-3m 2+5 （4）5ab-4a 2b-8ab 2+3ab-ab 2-4a 2b 。
5、先化简，再求值：（1） 2x 2-5xy+2y 2+x 2-xy-2y 2，其中x=-1，y=2；（2）a3-3a2b+ab2+3a2b-b3-ab2，其中a=14，b=-12。
（三）去括号1.去括号法则：（1）括号前面是“＋”号时（2）括号前面是“－”号时．2.添括号法则：（1）所添括号前面是“+”时，（2）所添括号前面是“-”时，对应训练1、判断：下列去括号有没有错误?若有错，请改正：(1)a2-(2a-b+c) = a2-2a-b+c；(2)-(x-y)+(xy-1) =-x-y+xy-1.2、根据去括号法则，在___上填上“+”号或“-”号：(1)a___(-b+c)=a-b+c(2)a___(b-c-d)=a-b+c+d(3)____(a-b)___(c+d)=c+d-a+b3、去括号：（1）a＋（b－c）；（2）a－（b－c）；（3）a＋（－b＋c）；（4）a－（－b－c）．（四）整式的加减1. 概括：整式的加减运算是，有括号，先去括号，有同类项再合并同类项。
五年级数学下册第五单元《解简易方程》教学案
板书设计
方程的意义
教学反思
这节课利用天平教具，激起了学生很大的兴趣，让学生分类总结式子，有理有据，感知方程的意义。课堂生成资源，方程不带单位，含有字母的等式说法不完整，学生生出的问题，学生解决。有尽量让每一位都能参与其中。就是板书有点凌乱。
第二课时
学习目标
1.通过天平演示保持平衡的几种变换情况，让学生初步认识等式的基本性质。
2.猜猜:除了这样的变化，天平仍保持平衡外，还可以怎么做能使天平保持平衡?出示第二个天平关系。
3.让学生观察现在的天平是什么样的?(平衡)，左边两个盖子，右边四个夹子。
怎样用等式来表示这幅图呢?
4.学生猜测后，教师进行实际天平操作，验证学生的猜测。如果把天平的两边物品的数量分别扩大到原来的 3倍、4 倍呢?(仍然保持平衡)
师：(处理第三个，追问）怎么又可能了呢？
生：如果遮住的是未知数，那就是方程。如果遮住的是已知数，那就不是方程。
4.学生独立完成并汇报。
师：谁先来说说你写的方程？
生：28+x=40。
生2:40-x=28。
生3:40-28=x。
生：40-28=12(岁）。
1.判断下面的式子，哪些是等式？哪些是方程？
①45+35=80
让学生猜测。这里对学生可能有些难度，有些学生的猜测脱离不了等式的性质。
如:学生猜测天平的两边同时放2个、3 个杯子;同时减去一把茶壶等。这时教师一定要及时强调:这都是把等式的两边加上或减去同一个数，并提示学生如果把等式的两边同时乘或除以一个相同的数(0除外)，会怎么样呢?
生尝试写出:2a=4b
学生回答:去掉一个盖子和两个夹子。引导是把两边都平均分成两份，都去掉一份
2017_2018学年高中数学不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1.4绝对值的三角不等式学案新人教B版选修4_5
1．4 绝对值的三角不等式[对应学生用书P13][读教材·填要点]绝对值的三角不等式(1)定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|.当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，等号成立⇔(a－b)(b－c)≥0，即b落在a，c之间．①推论1：||a|－|b||≤|a＋b|②推论2：||a|－|b||≤|a－b|[小问题·大思维]1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？提示：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.2．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.3．绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释是什么？提示：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|AC|＝|AB|＋|BC|；当点B不在点A，C之间时，|AC|<|AB|＋|BC|.[对应学生用书P13][例1] (1)以下四个命题：①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；③若|x |＜2，|y |＞3，则|x y |＜23；④若AB ≠0，则lg |A |＋|B |2≥12( lg|A |＋lg|B |)．其中正确的命题有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个(2)不等式|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充要条件是________．[思路点拨] 本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要条件等问题．解答问题(1)可利用绝对值的三角不等式定理，结合不等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题(2)应分|a |＞|b |与|a |<|b |两类讨论．[精解详析] (1)|a ＋b |＝|(b －a )＋2a |≤|b －a |＋2|a | ＝|a －b |＋2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |，①正确； 1＞|a －b |≥|a |－|b |，∴|a |＜|b |＋1，②正确； |y |＞3，∴1|y |＜13. 又∵|x |＜2，∴|x ||y |＜23.③正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫|A |＋|B |22＝14(|A |2＋|B |2＋2|A ||B |)， ≥14(2|A ||B |＋2|A ||B |)＝|A ||B |， ∴2lg |A |＋|B |2≥lg|A ||B |.∴lg |A |＋|B |2≥12(lg|A |＋lg|B |)，④正确．(2)当|a |>|b |时，有|a |－|b |>0， ∴|a ＋b |≥||a |－|b ||＝|a |－|b |. ∴必有|a ＋b ||a |－|b |≥1.即|a |>|b |是|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充分条件．当|a ＋b ||a |－|b |≥1时，由|a ＋b |>0，必有|a |－|b |>0. 即|a |>|b |，故|a |>|b |是|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的必要条件．故所求为：|a |>|b |. [答案] (1)A (2)|a |＞|b|(1)绝对值的三角不等式：|a |－|b |＜|a ±b |＜|a |＋|b |的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边．(2)对|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |的诠释：1．(1)若x ＜5，n ∈N ＋，则下列不等式： ①|x lgn n ＋1|＜5|lg nn ＋1|；②|x |lg n n ＋1＜5lg nn ＋1； ③x lgn n ＋1＜5|lg nn ＋1|；④|x |lgn n ＋1＜5|lg nn ＋1|. 其中，能够成立的有________．(2)已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是( )A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：(1)∵0＜nn ＋1＜1.∴lgnn ＋1＜0.由x ＜5，并不能确定|x |与5的关系， ∴可以否定①②③，而|x |lgnn ＋1＜0，④成立．(2)∵|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |， ∴m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a －b ||a －b |＝1，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b |＝1.∴m ≤1≤n .答案：(1)④ (2)D[例2] 已知a ，b ∈R 且a ≠0， 求证：|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |2.[思路点拨] 本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉绝对值符号较困难．从所证的不等式可以看出，不等式的左边为非负值，而不等式右边的符号不定．如果不等式右边非正，这时不等式显然成立；当不等式右边为正值时，有|a |＞|b |.所以本题应从讨论|a |与|b |的大小入手，结合作差比较法，可以使问题得以解决．[精解详析] ①若|a |＞|b |， 左边＝|a ＋b ||a －b |2|a |＝|a ＋b ||a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b ||a －b ||a ＋b |＋|a －b |。
高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1-3绝对值不等式的解法学案新人教B版选修4_5
高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1-3绝对值不等式的解法学案新人教B版选修4_5[读教材·填要点]1．含绝对值的不等式|x|≤a与|x|≥a的解集2．(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(1)分区间讨论法：以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负进而去掉绝对值符号是解题关键．(2)图象法：构造函数，结合函数的图象求解．(3)几何法：利用绝对值不等式的几何意义求解．[小问题·大思维]1．|x|以及|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？提示：|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距离；|x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a，b的点的距离之和(差)．2．如何解|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的不等式的解集？提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．[例1](1)1＜|x －2|≤3；(2)|2x ＋5|＞7＋x ；(3)≤.[思路点拨] 本题考查较简单的绝对值不等式的解法．解答本题(1)可利用公式转化为|ax ＋b|＞c(c ＞0)或|ax ＋b|＜c(c ＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式．(3)可分类讨论去掉分母和绝对值．[精解详析] (1)法一：原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x －2|＞1，|x －2|≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜1或x ＞3，－1≤x≤5，解得－1≤x＜1或3＜x≤5，所以原不等式的解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．法二：原不等式可转化为：①或②⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＜0，1＜－－，由①得3＜x≤5，由②得－1≤x＜1，所以原不等式的解集是{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．(2)由不等式|2x ＋5|＞7＋x ，。
专题06 一元一次方程(学案)
2021年中考数学一轮专题复习学案06 一元一次方程知识点1：方程的有关概念知识点梳理1．方程、方程的解、解方程：（1）含有未知数的等式叫做方程．（2）使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．（3）求方程解的过程叫做解方程．注意：方程的解与解方程不同．2．一元一次方程：在整式方程中，只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数是 1 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．3.一元一次方程的一般形式：ax+b=0(a，b为常数，且a≠0) .典型例题【例1】（2019•呼和浩特14/25）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为．【解答】解：∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，∴2m﹣1＝1，即m＝1或m＝0，方程为x﹣2＝0或﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或x＝﹣2，故答案为：x＝2或x＝﹣2．【例2】已知3是关于x的方程2x－a＝1的解，则a的值是()A．－5B．5C．7D．2【分析】直接利用方程的解的定义可得出关于a的方程：6－a＝1，所以a＝5.【答案】B1.等式的基本性质：（1）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． 如果a =b ，那么a ±c = b ±c ．（2）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果a =b ，那么ac = bc ；如果a =b (c ≠0)，那么=a b c c．（3）等式除了以上两条性质外，还有其他的一些性质：①对称性：等式的左、右两边交换位置，所得的结果仍是等式．如果a =b ，那么b = a ．②传递性：如果a =b ，且b =c ，那么a = c ．等式的传递性，习惯上也称作是等量代换． 2．解一元一次方程的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.【例3】（2020•重庆A 卷7/26）解一元一次方程11(1)123x x +=-时，去分母正确的是（ ）A ．3(x +1)=1-2xB ．2(x +1)=1-3xC ．2(x +1)=6-3xD ．3(x +1)=6-2x【考点】解一元一次方程【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案． 【解答】解：方程两边都乘以6，得：3(x +1)=6-2x ， 故选：D ．【点评】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．【例4】解方程：（1）20%+50%x =7.2；（2）5382x x -=． 【分析】（1）方程移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；（2）方程合并，把x 系数化为1，即可求出解．【答案】解：（1）移项，得：50%x =7.2–20%，知识点2：一元一次方程的解法知识点梳理典型例题合并同类项，得：0.5x =7， 将x 的系数化为1，解得：x =14． （2）合并同类项，得：3382x ， 将x 的系数化为1，解得：x =4．1．列一元一次方程解应用题的一般步骤：审题→找出 相等关系 →列出一元一次方程→解一元一次方程→写出答案．2.关键：寻找等量关系是关键，注意两点：（1）设适当的未知数；（2）题中各个量的单位．【例5】（2020•山西17/23）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．【考点】一元一次方程的应用【分析】设该电饭煲的进价为x 元，则售价为80%×(1+50%)x 元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元列出方程，求解即可．知识点3：一元一次方程的实际应用知识点梳理典型例题【解答】解：设该电饭煲的进价为x元，则标价为(1+50%)x元，售价为80%×(1+50%)x元，根据题意，得80%×(1+50%)x-128=568，解得x=580．答：该电饭煲的进价为580元．【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．【例6】（2018·呼和浩特13/25）文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元”，小华说：“那就多买一个吧，谢谢，”根据两人的对话可知，小华结账时实际付款元．【考点】一元一次方程的应用．【分析】设小华购买了x个笔袋，根据原单价×购买数量（x﹣1）﹣打九折后的单价×购买数量（x）＝节省的钱数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出小华购买的数量，再根据总价＝单价×0.9×购买数量，即可求出结论．【解答】解：设小华购买了x个笔袋，根据题意得：18（x﹣1）﹣18×0.9x＝36，解得：x＝30，∴18×0.9x＝18×0.9×30＝486．答：小华结账时实际付款486元．故答案为：486．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．知识点4：常见的几种应用题类型知识点梳理1.行程问题：基本量间的关系：路程=速度×时间相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程追及问题：被追的路程=甲走的路程-乙走的路程（若甲为快者）2.工程问题：基本量间的关系：工作效率=工作总量工作时间其他常用关系量：①甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率；②通常把工作总量看作“1”.【例7】（2020•吉林10/26）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为．【考点】数学常识；由实际问题抽象出一元一次方程【分析】设快马x天可以追上慢马，根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设快马x天可以追上慢马，依题意，得：(240-150)x=150×12．故答案为：(240-150)x=150×12．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【例8】（2019·安徽省17/23）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？【考点】一元一次方程的应用．【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，解得x＝7，所以乙工程队每天掘进5米，典型例题146261075-=+（天）答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出两队的工效，进而得出等量关系是解题关键．1．请写出一个解为x＝2的一元一次方程：__________．2. 已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是()A．2B．－2 C.27D．－273.设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算a bc d=ad﹣bc，则满足等式12321x x+=1的x的值为．4.解方程：（1）5(x-1)-1=2x；（2）26135x xx+-+=-．5.（2020•青海15/28）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是()A．2286()()(5)22x xππ⨯=⨯⨯-B．2286()()(5)22x xππ⨯=⨯⨯+ C．2286(5)x xππ⨯=⨯⨯+D．22865xππ⨯=⨯⨯6.（2018·通辽8/26）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（）A．亏损20元B．盈利30元C．亏损50元D．不盈不亏7.（2020•呼和浩特5/24）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，巩固训练路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了( ) A ．102里B ．126里C ．192里D ．198里8.湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为__________________.9.根据省“十三五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间将由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260 km ，求提速后的火车速度．(精确到1 km/h)10.（2020•安徽19/23）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%． （1）设2019年4月份的销售总额为a 元，线上销售额为x 元，请用含a ，x 的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；时间 销售总额（元)线上销售额（元)线下销售额（元)2019年4月份 axa x -2020年4月份1.1a 1.43x1.04()a x -（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．11.甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m ，两人同时从起点同向出发，经过3min 两人首次相遇，此时乙还需跑150m 才能跑完第一圈． （1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m 的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min 两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？12.为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？巩固训练解析1．请写出一个解为x＝2的一元一次方程：__________．【考点】一元一次方程的解．【解答】解：根据题意，写出一元一次方程的解为x＝2即可，故方程可以是：2x-2=2.注意答案不唯一．【考点】一元一次方程的解．【解答】解：把x＝m代入原方程，得：4m－3m＝2，解得：m=2，故答案为：A．3.设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算a bc d=ad﹣bc，则满足等式12321x x+=1的x的值为．【考点】解一元一次方程．【分析】根据题中的新定义化简已知方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题中的新定义得：2(1)1 23x x+-=，去分母得：3x﹣4x﹣4=6，移项合并得：﹣x=10，解得：x=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．4.解方程：（1）5(x-1)-1=2x；（2）26135x xx+-+=-．【分析】（1）去括号求解即可；（2）通分再移项合并同类项即可．【解答】解：（1）5(x-1)-1=2x5x-6=2x即3x =6 x =2 （2）26135x x x +-+=-15x +5x +10=15-3x +18 即23x =23 x =1【点评】掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．5.（2020•青海15/28）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是( )A ．2286()()(5)22x x ππ⨯=⨯⨯-B ．2286()()(5)22x x ππ⨯=⨯⨯+C ．2286(5)x x ππ⨯=⨯⨯+D ．22865x ππ⨯=⨯⨯【考点】由实际问题抽象出一元一次方程【分析】根据圆柱体的体积计算公式结合水的体积不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【解答】解：依题意，得：2286()()(5)22x x ππ⨯=⨯⨯+．故选：B ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．6.（2018·通辽8/26）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（ ） A ．亏损20元B ．盈利30元C ．亏损50元D ．不盈不亏【考点】一元一次方程的应用．【分析】设盈利的商品的进价为x 元，亏损的商品的进价为y 元，根据销售收入﹣进价＝利润，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再由两件商品的销售收入﹣成本＝利润，即可得出商店卖这两件商品总的亏损20元．【解答】解：设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，根据题意得：150﹣x＝25%x，150﹣y＝﹣25%y，解得：x＝120，y＝200，∴150+150﹣120﹣200＝﹣20（元）．故选：A．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7.（2020•呼和浩特5/24）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了()A．102里B．126里C．192里D．198里【考点】一元一次方程的应用【分析】设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，根据前六天的路程之和为378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，依题意，得：2481632378+++++=，x x x x x x解得：6x=．x=，32192+=，6192198答：此人第一和第六这两天共走了198里，故选：D．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．8.湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为__________________.【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于或等于0，列出不等式x -2≥0，解不等式即可.【答案】50-8x =389.根据省“十三五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间将由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260 km ，求提速后的火车速度．(精确到1 km/h)【分析】根据提速前与提速后连云港至徐州的距离不变，列出方程，求解即可. 【答案】解：设提速后的火车速度是x km/h ，根据题意，得2.3(x －260)＝0.6x ，解得x ＝352.答：提速后的火车速度是352 km/h .10.（2020•安徽19/23）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4月份的销售总额为a 元，线上销售额为x 元，请用含a ，x 的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．【考点】列代数式；一元一次方程的应用【分析】（1）由线下销售额的增长率，即可用含a ，x 的代数式表示出2020年4月份的线下销售额；（2）根据2020年4月份的销售总额=线上销售额+线下销售额，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出x 的值（用含a 的代数式表示），再将其代入1.431.1x a中即可求出结论． 【解答】解：（1）与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%， ∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04()a x -元．故答案为：1.04()a x -．（2）依题意，得：1.1 1.43 1.04()a x a x =+-，解得：213x a =，∴21.431.430.22130.2 1.1 1.1 1.1ax aa a a===．答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．11.甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．（1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？【分析】（1）可设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟(200)x+米，两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程与乙路程的差=环形场地的路程，列出方程即可求解；（2）在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程=环形场地的路程，列出算式求解即可．【答案】解：（1）设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟(200)x+米，依题意有：31502003x+=⨯，解得150x=，200150200350x+=+=．答：甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米．（2）(2003300 1.2) 1.2⨯-⨯÷(600360) 1.2=-÷240 1.2=÷200=（米)，20015050-=（米)．答：乙的速度至少要提高每分钟50米．12.为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？【分析】设甲工程队每天掘进x 米，则乙工程队每天掘进(2)x -米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．【答案】解：设甲工程队每天掘进x 米，则乙工程队每天掘进(2)x -米，由题意，得2(2)26x x x ++-=，解得 7x =，所以乙工程队每天掘进5米，146261075-=+（天) 答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．。
高中数学 第二章 等式与不等式学案(含解析)新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学学案
章末整合知识结构·理脉络等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式的性质与方程的解集一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)⎩⎨⎧求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac2a 根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca 方程组的解集⎩⎪⎨⎪⎧二元一次方程组三元一次方程组二元二次方程组等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等关系与不等式⎩⎪⎨⎪⎧不等式的概念实数(代数式)大小的比较⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧a －b <0⇔a <b a －b ＝0⇔a ＝ba －b >0⇔a >b基本方法：作差法、作商法不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性等式与不等式⎩⎪⎨⎪⎧一元二次不等式及其解法⎩⎪⎨⎪⎧概念解法⎩⎪⎨⎪⎧ 因式分解法、配方法含参不等式的解法应用⎩⎪⎨⎪⎧ 解分式不等式——化归为整式不等式从实际问题中建立一元二次不等式模型等式与不等式⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧均值不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧内容：a ＋b2≥ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立证明⎩⎪⎨⎪⎧ 几何证明代数证明应用⎩⎪⎨⎪⎧比较大小证明不等式求最值⎩⎪⎨⎪⎧⎦⎥⎤积定和最小和定积最大具备条件一正、二定、三相等解决实际问题要点梳理·晰精华1．不等式基本性质中注意问题(1)不等式的基本性质中性质4、6要注意符号，另外还有一些常用的结论，同学们也要掌握．如：“a >b 且ab >0，则1a <1b ”，“a >b ，c <d ，则a －c >b －d ”，“a >b >0，c >d >0，则a d >bc ”．在使用这些性质时，要注意上述各不等式成立的条件．(2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．2．一元二次不等式的解法 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实数根x 1＝－b －Δ2a ，x 2＝－b ＋Δ2a(x 1<x 2) 有两相等实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2} {x |x ∈R ，x ≠－b2a}R ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的{x |x 1<x <x 2}∅∅解集3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1＋x 2＝ca ，若bc＝0时，关系式仍然成立．4．不等式组、简单分式不等式、绝对值不等式的解法(1)不等式组的解集等于组成该不等式组的每个不等式解集的交集． (2)解简单分式不等式应等价转化为整式不等式(整式不等式组)求解．(3)解绝对值不等式可根据绝对值的几何意义求解，也可按零点分段法逐段脱去绝对值号求解．5．均值不等式及有关结论(1)均值不等式：如果a >0，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几个常用的重要结论：①b a ＋ab≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)． ②a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)．③ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)利用均值不等式求最值 已知x >0，y >0，则①如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． ②如果x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值s 24(简记：和定积最大)．素养突破·提技能类型 特殊不等式的解法 ┃┃典例剖析__■ 1．一元高次不等式的解法典例1 解不等式：(x ＋2)(x 2－x －12)>0.思路探究：可转化为不等式组或用数轴标根法两种方法求解．解析：方法一：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x 2－x －12>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2<0，x 2－x －12<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >－2，x <－3或x >4或⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－3<x <4.解得x >4或－3<x <－2.所以原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}． 方法二：令(x ＋2)(x 2－x －12)＝0， 得x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝4. 将－3，－2,4标在数轴上，如图．由图可知原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}．归纳提升：解简单的一元高次不等式，主要通过数轴标根法来求解，其步骤是 (1)将f (x )最高次项系数化为正数．(2)将f (x )分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积，然后求出f (x )＝0的解，并在数轴上标出．(3)自数轴正方向起，用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴． (4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式写出解集．在用数轴标根法求解高次不等式的过程中要注意：①区间端点能否取到；②各因式中最高次项的系数要全为正数；③奇数个等根，穿过，偶数个等根，穿而不过．2．分式不等式的解法典例2 解不等式：x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6<0.思路探究：一般地，解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组．解析：原不等式可变形为x 2＋2x －3x 2－x －6>0，故原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成：①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x 2－x －6>0；②⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3<0，x 2－x －6<0.解①得x <－3或x >3；解②得－2<x <1.综上可得，原不等式的解集是{x |x <－3或－2<x <1或x >3}．归纳提升：分式不等式的求解在高考中比较常见，解分式不等式的过程就是转化的过程，通过不等式的性质和符号运算规律将其转化为整式不等式问题，注意不等式的等价变形．类型 含参不等式恒成立问题的求解策略 ┃┃典例剖析__■不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以多种形式出现在高中数学的各个分支中，扮演着重要的角色．求解含参不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想．一般而言，针对不等式的表现形式，有如下两种策略．1．判别式法典例3 对于x ∈R ，不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围．思路探究：不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，可转化为函数y ＝x 2－2x ＋3－m 图像恒在x 轴及其上方，即Δ≤0.解析：不妨设y ＝x 2－2x ＋3－m ，其函数图像是开口向上的抛物线，为了使y ≥0(x ∈R )恒成立，只需对应方程的Δ≤0，即(－2)2－4(3－m )≤0，解得m ≤2.故实数m 的取值范围为(－∞，2]．归纳提升：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．2．分离变量法典例4 若关于x 的不等式ax 2－2x ＋2>0对于满足1<x <4的一切实数x 恒成立．求实数a 的取值范围．思路探究：可先将参数的a 分离出来即a >2x －2x 2，然后再求2x －2x 2的最值．解析：∵1<x <4，∴不等式ax 2－2x ＋2>0可转化为a >2x －2x 2，令y ＝2x －2x 2＝－2(1x －12)2＋12≤12.∵14<1x<1， ∴当1x ＝12，即x ＝2时，函数取得最大值12，∴a >12，即实数a 的取值范围为(12，＋∞)．归纳提升：如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x 的关系，那么可以利用函数的最值求解．a >y 恒成立⇔a >y max ，a <y 恒成立⇔a <y min .类型 均值不等式的变形技巧 ┃┃典例剖析__■ 1．技巧一：添项典例5 求函数y ＝3x 2＋162＋x 2的最小值．思路探究：当求和的最小值时，尽可能凑定积，本题需添6，减6. 解析：易知2＋x 2>0， 所以y ＝3(2＋x 2)＋162＋x 2－6≥23(2＋x 2)·162＋x 2－6＝83－6，当且仅当3(2＋x 2)＝162＋x 2，即x ＝±433－2时，等号成立，此时y min ＝83－6. 2．技巧二：放入根号内或两边平方典例6 求函数y ＝x 1－x 2(0<x <1)的最大值．思路探究：求积的最值(因式中含根号)，把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键所在．解析：由0<x <1，可得y ＝x 1－x 2＝x 2(1－x 2)≤x 2＋1－x 22＝12，当且仅当x 2＝1－x 2，即x ＝22时，等号成立，此时y max ＝12. 3．技巧三：分子常数化典例7 设x ∈(0，＋∞)，求函数y ＝2xx 2＋4的最大值．思路探究：当分子的变量因子次数比分母的小且变量因子不为零时，都可同时除以分子所含变量因子使分子变量常数化，以实现变量形式的统一，从而使问题得以解决．解析：由题意知，y ＝2x x 2＋4＝2x ＋4x .∵x ∈(0，＋∞)，∴x ＋4x ≥2x ·4x＝4， 当且仅当x 2＝4， 即x ＝2时，等号成立， 此时，y max ＝12.归纳提升：运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分重视运用“一正、二定、三相等”这三个条件的基础上，观察结果，合理变形．其中，成功实现变形是关键．。
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7.1等式的基本性质学案
学习目标
1、经历探索等式的性质的过程，理解等式的基本性质。
2、能利用等式的基本性质进行等式变形。
3、通过等式基本性质的探索和运用，培养学生的推理意识。
学习过程
交流与发现一
思考下列问题，并与同学交流。
（1）小莹今年a岁，小亮今年b岁，再过c年他们分别是多少岁？
（2）如果小莹和小亮同岁，（即a=b），那么再过c年他们的岁数还相同吗？C年前呢？为什么？
从（2）中你发现了什么结论？能用等式把它表示出来吗？
我的发现：
交流与发现二
（4）一袋巧克力糖的售价是a元，一盒果冻的售价是b元，买c袋巧克力糖和买c 盒果冻各要花多少钱？
（5）如果一袋巧克力糖与一袋果冻的售价相同（即a=b），那么买c袋巧克力糖和买c盒果冻的价钱相同吗？
从（5）中你发现了什么结论？能用等式把它表示出来吗？
我的发现：
如图，已知线段a、b、c，其中a=b，c<a。
（1）如果线段a，b分别加上（或减去）线段c，所得到的线段还相等吗？画图说明。
（2）如果将线段a，b的长同时扩大（或缩小）相同的倍数，所得的线段还相等吗？画图说明。
a c
b
回顾与思考：
课本22页第8题，还记得怎么做的吗？当时利用等式的基本性质了吗？
学以致用
例1：在下列各题的横线上填上适当的整式，使等式成立，并说明根据的是等式的哪一条基本性质以及是怎样变形的。
（1）如果2x-5=3，那么2x=3+____
（2）如果-x=1，那么x=____
练习一：回答下列问题：
（1）由等式a=b能不能得到等式a+3=b+3？为什么？
（2）由等式a=b能不能得到等式 = ？为什么？
（3）由等式x+5=y+5能不能得到x=y？为什么？
（4）由等式-2x+1=-2y+1能不能得到等式x=y？为什么？
练习二：在下列各题的括号中填上适当的整式，使等式成立，并说明根据的是等式的哪一条基本性质以及是怎样变形的。
（1）如果x+3=10，那么x=（）。
（2）如果2x－7=15，那么2x=（）。
（3）如果4a=－12，那么a=（）。
（4）如果，那么y=（）。
拓展与延伸：
1、下列说法中，正确的是（）
A、如果ac=bc，那么a=b
B、如果，那么a=-b
C、如果x-3=4,那么x=3-4
D、如果，那么x=-2
2、下列等式中，可由等式2x-3=x+2变形得到的是（）
A、2x-1=x
B、x-3=2
C、3x=3+2
D、x+3=-2
探索与创新：
观察下面的三幅图：
分别表示三种不同的物体，天平（1）（2）保持平衡，）也平衡，那么应在天平（？
（1）（2）（3）
当堂检测：
1、下列等式变形错误的是( )
A.由a=b得a+5=b+5;
B.由a=b得6a=6b ;
C.由6+a=b-6得a=b-12;
D.由x=y得x÷3=3÷y
2、已知等式ax=ay,下列变形不正确的是（）.
A．x=y B．ax+1= ay+1 C．ay=ax D．3-ax=3-ay
3、如果x=3x+2，那么x-___=2，根据____________
课堂小结：
这节课你有哪些收获?请你说给大家听听！
2
a
2
b
6
1
3
=
-
y
6
3
1
=
-x
c
b
c
a
-
=。