立体几何体积问题

立体几何体积问题1、在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=， //EF 平面ABCD ， 22EA ED AB EF ====， M 为BC 中点.（1）求证 //FM 平面BDE ；（2）若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离.【答案】（1）见解析；（2试题解析（2）由（1）得//FM 平面BDE ，所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离．取AD 的中点H ，连接,EH BH ，因为四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=， 2EA ED AB EF ===， 所以EH AD ⊥， BH AD ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ⋂平面ABCD AD =， 所以EH ⊥平面ABCD ， EH BH ⊥，因为EH BH ==，所以BE =所以12BDES ∆==，设F 到平面BDE 的距离为h ，又因为11422BDM BCD S S ∆∆===，所以由E BDM M BDE V V --=，得1133h =⨯解得h =.学即F到平面BDE的距离为15．52、如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EF DC，平面ABCD⊥平面CDEF，AE CF⊥.(1)求证CF DE⊥；(2)若CF DE==，求五面体ABCDEF的体积.=，24DC EF【答案】(1)见解析(2) 203（Ⅱ）连接FA，FD，过F作FM⊥CD于M，因为平面ABCD⊥平面CDEF且交线为CD，FM⊥CD，所以FM⊥平面ABCD．因为CF＝DE，DC＝2EF＝4，且CF⊥DE，所以FM＝CM＝1，学所以五面体的体积V ＝V F －ABCD ＋V A －DEF ＝＋＝．3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， 60BAD ∠=︒，点M 在线段PC 上，且2PM MC =， O 为AD 的中点.（Ⅰ）若PA PD =，求证 平面POB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若平面PAD ⊥平面ABCD ， PAD ∆为等边三角形，且2AB =，求三棱锥P OBM -的体积.【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ） 23. 方法二∵平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABC D=AD，PO⊥AD， ∴PO⊥平面ABCD， ∵PAD ∆为等边三角形， 2AD AB ==,∴3AO = ∵底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，2AB = 由(Ⅰ)BO ⊥AD ∴1123322OBC S BC OB ∆=⨯⨯=⨯=∵PM=2MC∴2221212333333333P OBM M POB C POB P OBC OBC V V V V S PO ----∆====⨯⨯=⨯= 4、已知多面体ABCDEF 中，四边形ABFE 为正方形，90CFE DEF ︒∠=∠=， 22DE CF EF ===， G 为AB 的中点， 3GD =.（Ⅰ）求证 AE ⊥平面CDEF ； （Ⅱ）求六面体ABCDEF 的体积. 【答案】（1）见解析（2）83（Ⅱ）连接CE ，则ABCDEF C-ABFE A-CDE =V V V +六面体四棱锥三棱锥 由（Ⅰ）可知AE ⊥平面CDEF ， CF ⊥平面ABFE .所以ABFE -ABFE 1433V S CF =⋅⋅=正方形四棱锥， A-CDE 1433CDE V S AE ∆=⋅⋅=三棱锥， 所以ABCDEF 448333V =+=六面体.5.如图，正方形ABCD 中， 22AB = AC 与BD 交于O 点，现将ACD 沿AC 折起得到三棱锥D ABC -， M ， N 分别是OD ， OB 的中点. (1)求证 AC MN ⊥；(2)若三棱锥D ABC -的最大体积为0V ，当三棱锥D ABC -的体积为03，且DOB ∠为锐角时，求三棱锥D MNC -的体积. 【答案】(1)证明见解析；3. (2)当体积最大时三棱锥D ABC -的高为DO 03时，高3DO ， OBD 中， OB OD =，作DS OB ⊥于S ，∴3DS =，∴60DOB ∠=︒，∴OBD 为等边三角形，∴S 与N 重合，即DN ⊥平面ABC ，易知D MNC C DMN V V --=.∵CO ⊥平面DOB ，∴2h CO ==，∴1113132224DMNODNS S ==⨯⨯⨯=， ∴113323346D MNC C DMN DMNV V SCO --==⋅=⨯⨯=. 6.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =， 1AB B C ⊥. ⑴ 求证 AO ⊥平面11BB C C ；(2)设1160B BC B AC ∠=∠=︒，若三棱锥1A BCC -的体积为1，求点1C 到平面1ABB 的距离.【答案】（1）见解析（2）2155试题解析（1)证明 ∵四边形11BB C C 是菱形， ∴11B C BC ⊥,∵11,AB B C AB BC B ⊥⋂=, ∴1B C ⊥平面1ABC ，又AO ⊂平面1ABC ， ∴1B C AO ⊥．∵1AB AC =, O 是1BC 的中点， ∴1AO B C ⊥， ∵11B C BC O ⋂=， ∴AO ⊥平面11BB C C . 在Rt ABO ∆中，BO x ===， 在Rt BCO ∆中，AB ===11122ABB S AB ∆=⨯==， 设点1C 到平面1ABB 的距离为h ， 由111111C ABB A BB C A BCC V V V ---===，得111133ABB S h h ∆⋅⋅==，解得h =， 即点1C 到平面1ABB. 7、如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （I ）证明 平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -求该三棱锥的侧面积.【答案】（I ）见解析（II）（II ）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由ABC =120°，可得AG =GC =32x ,GB =GD =2x.学8、如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，PA =6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G . （Ⅰ）证明 G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为43.试题解析 （I ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥ 因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（II ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.理由如下 由已知可得PB PA ⊥，⊥PB PC ，又EF PB ∥,所以EF PA EF PC ，⊥⊥,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由（I ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 学9、如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE =CF ，EF 交BD 于点H ，将DEF △沿EF 折到D'EF △的位置.(Ⅰ)证明 AC HD'⊥；(Ⅱ)若55,6,,4AB AC AE OD'====求五棱锥D'ABCFE -的体积.【答案】（Ⅰ）详见解析；. 【解析】试题分析 （Ⅰ）证AC EF ∥，再证.AC HD '⊥（Ⅱ）证明OD OH '⊥，再证'⊥OD 平面ABC ，最后根据锥体的体积公式求五棱锥D'ABCFE -的体积.试题解析 （I ）由已知得,.⊥=AC BD AD CD 又由=AE CF 得=AE CFAD CD，故.AC EF ∥10、如图，四棱锥P ABC -D 中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.【答案】（I ）见解析；（II【解析】试题分析 （I ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MNAT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（II ）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果．学 试题解析 （I ）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN . ......3分 学_ __X_X_又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .。