立体几何体积问题
立体几何体积问题
1、在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且
60DAB ∠=， //EF 平面ABCD ， 22EA ED AB EF ====， M 为BC 中
点.
（1）求证 //FM 平面BDE ；
（2）若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离.
【答案】（1）见解析；（2试题解析
（2）由（1）得//FM 平面BDE ，所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离．
取AD 的中点H ，连接,EH BH ，
因为四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=， 2EA ED AB EF ===， 所以EH AD ⊥， BH AD ⊥，
因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ?平面ABCD AD =， 所以EH ⊥平面ABCD ， EH BH ⊥，
因为EH BH ==，所以BE =
所以12BDE
S ?==，
设F 到平面BDE 的距离为h ，又因为1
142
2
BDM BCD S S ??===
，
所以由
E BDM M BDE V V --=，得113
3h =?
解得h =
.学
即F到平面BDE的距离为15
．
5
2、如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EF DC，平面ABCD⊥平面CDEF，AE CF
⊥.
(1)求证CF DE
⊥；
(2)若CF DE
==，求五面体ABCDEF的体积.
=，24
DC EF
【答案】(1)见解析(2) 20
3
（Ⅱ）连接FA，FD，过F作FM⊥CD于M，
因为平面ABCD⊥平面CDEF且交线为CD，FM⊥CD，
所以FM⊥平面ABCD．
因为CF＝DE，DC＝2EF＝4，且CF⊥DE，
所以FM＝CM＝1，学
所以五面体的体积V ＝V F －ABCD ＋V A －DEF ＝＋＝．
3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， 60BAD ∠=?，点
M 在线段PC 上，且2PM MC =， O 为AD 的中点.
（Ⅰ）若PA PD =，求证 平面POB ⊥平面PAD ；
（Ⅱ）若平面PAD ⊥平面ABCD ， PAD ?为等边三角形，且2AB =，求三棱锥P OBM -的体积.
【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ） 23
. 方法二
∵平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABC D=AD，PO⊥AD， ∴PO⊥平面ABCD， ∵PAD ?为等边三角形， 2AD AB ==,∴3AO = ∵底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，2AB = 由(Ⅰ)BO ⊥AD ∴112332
2OBC S BC OB ?=??=?=∵PM=2MC
∴2
221212333
3
33
33
3
P OBM M POB C POB P OBC OBC V V V V S PO ----?====??=?= 4、已知多面体ABCDEF 中，四边形ABFE 为正方形，
90CFE DEF ?∠=∠=， 22DE CF EF ===， G 为AB 的中点， 3GD =.
（Ⅰ）求证 AE ⊥平面CDEF ； （Ⅱ）求六面体ABCDEF 的体积. 【答案】（1）见解析（2）8
3
（Ⅱ）连接CE ，则ABCDEF C-ABFE A-CDE =V V V +六面体四棱锥三棱锥 由（Ⅰ）可知AE ⊥平面CDEF ， CF ⊥平面ABFE .
所以ABFE -ABFE 143
3
V S CF =??=正方形四棱锥， A-CDE 143
3
CDE V S AE ?=??=三棱锥， 所以ABCDEF 4483
3
3
V =+=六面体.
5.如图，正方形ABCD 中， 22AB = AC 与BD 交于O 点，现将ACD 沿AC 折起得到三棱锥D ABC -， M ， N 分别是OD ， OB 的中点. (1)求证 AC MN ⊥；
(2)若三棱锥D ABC -的最大体积为0V ，当三棱锥D ABC -的体积为
03
，且DOB ∠为锐角时，求三棱锥D MNC -的体积. 【答案】(1)证明见解析；3. (2)当体积最大时三棱锥D ABC -的高为DO 03
时，高3
DO ， OBD 中， OB OD =，作DS OB ⊥于S ，∴3
DS =
，∴60DOB ∠=?，
∴OBD 为等边三角形，∴S 与N 重合，即DN ⊥平面ABC ，
易知D MNC C DMN V V --=.
∵CO ⊥平面DOB ，∴2h CO ==，∴1113
132
224
DMN
ODN
S S =
=
???=
， ∴1133
23
346
D MNC C DMN DMN
V V S
CO --==?=??=. 6.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =， 1AB B C ⊥. ⑴ 求证 AO ⊥平面11BB C C ；
(2)设1160B BC B AC ∠=∠=?，若三棱锥1A BCC -的体积为1，求点1C 到平面1ABB 的距离.
【答案】（1）见解析（2）
2155
试题解析
（1)证明 ∵四边形11BB C C 是菱形， ∴11B C BC ⊥,
∵11,AB B C AB BC B ⊥?=, ∴1B C ⊥平面1ABC ，
又AO ?平面1ABC ， ∴1B C AO ⊥．
∵1AB AC =, O 是1BC 的中点， ∴1AO B C ⊥， ∵11B C BC O ?=， ∴AO ⊥平面11BB C C . 在Rt ABO ?中，
BO x ===， 在Rt BCO ?中，
AB ==
=
1
1122ABB S AB ?=?==， 设点1C 到平面1ABB 的距离为h ， 由1
1
11
1
1C ABB A BB C A BCC V V V ---===，
得1
11133ABB S h h ???==，
解得h =
， 即点1C 到平面1ABB
. 7、如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （I ）证明 平面AEC ⊥平面BED ；
（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -
求该三棱锥的侧面积.
【答案】（I ）见解析（II
）
（II ）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由ABC =120°，可得
AG =GC =
32
x ,GB =GD =2x
.学
8、如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，PA =6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G . （Ⅰ）证明 G 是AB 的中点；
（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为4
3.
试题解析 （I ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥ 因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥
所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥
又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.
（II ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.
理由如下 由已知可得PB PA ⊥，⊥PB PC ，又EF PB ∥,所以
EF PA EF PC ，⊥⊥,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正
投影.
连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.
由（I ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2
.
3=CD CG 学
9、如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，
CD 上，AE =CF ，EF 交BD 于点H ，将DEF △沿EF 折到D'EF △的位置.
(Ⅰ)证明 AC HD'⊥；
(Ⅱ)若55,6,,4
AB AC AE OD'====求五棱锥D'ABCFE -的体积.
【答案】（Ⅰ）详见解析；. 【解析】
试题分析 （Ⅰ）证AC EF ∥，再证.AC HD '⊥（Ⅱ）证明OD OH '⊥，再证'⊥OD 平面ABC ，最后根据锥体的体积公式求五棱锥D'ABCFE -的体积.
试题解析 （I ）由已知得,.⊥=AC BD AD CD 又由=AE CF 得
=AE CF
AD CD
，故.AC EF ∥
10、如图，四棱锥P ABC -D 中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，
3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．
（I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.
【答案】（I ）见解析；（II
【解析】
试题分析 （I ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形
AMNT 为平行四边形，从而得到MN
AT ，由此结合线面平行的判断
定理可证；（II ）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果．学 试题解析 （I ）由已知得
232
==
AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221
==
BC TN . ......3分 学_ _
_X_X_
又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.
因为?AT 平面PAB ，?MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .