复变函数积分方法总结
复变函数的积分
4i (cos i sin )d
0
2π
0.
第三章 复变函数的积分
1 例4 求 n 1 dz , C 为以 z0 为中心, r 为半 C (z z ) 0 y 径的正向圆周 n 为整数. ,
z
解: 积分路径的参数方程为
z0
o
r
z z0 re i
(0 2π ),
§3.1复变函数积分的概念 及其简单性质
1、 复变函数积分的定义与计算问题
2、复变函数积分的基本性质
第三章 复变函数的积分 光滑曲线的概念回顾:
对于简单曲线C : z x( t ) iy( t ) t 如果在 t 上, x( t ) 和 y( t ) 都是连续的, 且对于 t 的每一个值, 有 [x( t )]2 [y( t )]2 0,那末 称这曲线C为光滑的.
(2)
C
f ( z )dz {u(t ) iv(t )}{ x(t ) iy(t )}dt
f [ z(t )]z(t )dt .
第三章 复变函数的积分
计算 zdz , C : 从原点到点3 4i 的直线段. 例1 ： C
解： C的参数方程为: z (3 4i )t , 0 t 1
这里 zk zk zk 1 ,
B
记 = max |zk-zk-1|
y
k z k zk 1
(4)求极限
当 n 无限增加且 0 时,
A
C z n 1
1 2
如果不论对 C 的分法及 k 的 o x 取法如何, Sn有唯一有限的极限J , 则称f ( z )沿着C的正 向可积,极限值J 称为函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分,记为
第二章复变函数的积分
f (z)dz lim f (k )(zk zk1)
l
积分n函 数k1
积分路径 一般来说,复变函数的积分值与积分路径有关.
2、复变函数积分计算方法
n
f (z)dz lim f (k )(zk zk1) n k 1
l
1）将复变函数的路积分化为两个实变函数的线积分
2）参数积分法
若积分曲线的参数方程z=z(t) ( ),dz z'(t)dt
则
f (z)dz f [z(t)]z'(t)dt
l
（极坐标法，通常用来计算积分路径为圆弧时的情况）
通常思路：
积分路径l为圆弧： 宗量用指数形式表示：
z z0
z z0 ei
n
n
f (z)dz f (z)dz;l lk
l
k 1 lk
k 1
f (z)dz f (z)dz
lAB
lBA
f (z)dz
l
f (z) dz ; dz
dx2 dy2 ds
l
Ms; M f (z) , s l的长度
用来求积分的估计值
r
1
z3 z
2
dz
z3 z r 1 z2
dz
（1）
z3
z r 1 z2
dz M
dz M
z r
ds Ms
z r
（2）
由（1）（2）式，得：
z3 dz Ms
z r 1 z2
M
1
r
3
r
2
s ds 2 r z r
[3] 第三章 复变函数的积分
![[3] 第三章 复变函数的积分](https://img.taocdn.com/s3/m/a824536c172ded630a1cb66e.png)
第一节 解析函数的概念
➢ 一、积分的定义
有向曲线：设C为平面给定的一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选
定C的两个可能方向的一个作为正方向（或正向），则我们就把C称为有 向曲线．与曲线C反方向的曲线记为 C 1
简单闭曲线的正方向：当曲线上的点P顺此方向前进时，邻近P点的曲线
内部始终位于P点的左方，
如果把z0除去，虽然在除去z0的C的内部，函数处处解析，
但是这个区域已经不是单连通区域.
由此可猜想：积分的值与路径无关或沿闭曲线积分值为零的条件 与被积函数的解析性及区域的单连通性有关．究竟关系如何，下面我 们讨论此问题．
16
➢一、柯西积分定理
定理3.2（柯西—古萨基本积分定理） 设函数f (z)在单连通区域D内 处处解析，那么函数f (z)在D内沿任何一条封闭曲线C的积分为零，
G
(
Q x
P y
)dxdy.
证明： 因为函数f (z)在区域D内解析，故f (z)存在,(下面在f (z)连续的假设下证明)
因为u与v的一阶偏导数存在且连续，故应用格林公式得：
C f (z)dz C (u iv)(dx idy) C u(x, y)dx v(x, y)dy iC v(x, y)dx u(x.y)dy
k 1
k 1
k 1
其中sk是小弧段z¼ k1zk的长， | zk | xk2 yk2 sk
n
n
n
lim |
0
k 1
f
( k )zk
|
lim
0
|
k 1
f
( k ) || zk
|
lim
0
|
k 1
f
( k ) ||
复变函数与积分变换公式汇总
复变函数与积分变换公式汇总一、复变函数复变函数是将复数域上的变量映射到复数域上的函数。
形式上，复变函数可以表示为f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中z = x + iy是自变量，u(x,y)和v(x,y)是实部和虚部函数。
复变函数的性质包括解析性、全纯性、调和以及实部虚部的关系等。
1.解析函数性质解析函数是复变函数的重要性质之一，它表示函数在其定义域内处处可导，并且其导数连续。
如果f(z)是定义在区域D上的函数，满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)是该区域上的解析函数。
Cauchy-Riemann条件可以表示为：∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x2.全纯函数性质全纯函数是解析函数的特殊情形，它在整个复平面上都有定义，并且是解析的。
全纯函数还有许多重要的性质，如Liouville定理、最大模原理等。
3.调和函数性质调和函数是复平面上的实函数，满足拉普拉斯方程(△u=∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0)。
调和函数在物理学中有广泛的应用，例如描述电势、热力学等现象。
4.实部虚部关系对于任意一个复变函数f(z)，其实部u(x,y)和虚部v(x,y)之间有一些重要的关系。
例如，如果f(z)是一个解析函数，则它的实部和虚部函数满足调和方程，并且u(x,y)和v(x,y)是共轭调和函数。
二、积分变换公式积分变换是对函数进行积分操作的数学工具，常用于求解微分方程、信号处理等问题。
常见的积分变换公式包括拉普拉斯变换和傅里叶变换等。
1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种广泛应用于信号分析和控制系统的积分变换方法。
定义域为半无穷区间的函数f(t)在复平面上进行拉普拉斯变换后得到一个复变函数F(s)，满足积分方程：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] f(t)e^(-st) dt2.拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换具有一些重要的性质，如线性性、位移性质、尺度变换、微分性质等。
复变函数与积分变换期末总结
复变函数与积分变换期末总结复变函数与积分变换是数学中重要的课程内容，对于理解和应用数学、物理、工程等领域都具有重要意义。
在这门课程中，我学习了复数、复变函数的性质和运算，并通过积分变换掌握了解析函数的积分和导数。
在期末总结中，我将对复变函数与积分变换的主要内容进行回顾和总结。
首先，我们先来介绍复数和复平面。
复数是由实部和虚部组成的数，通常用z = x + yi的形式表示。
其中，z是复数，x和y分别是实部和虚部。
我们可以将复数表示为在复平面上的点，实部与x坐标对应，虚部与y坐标对应。
复平面上的数可以进行加法、减法、乘法和除法的运算，这些运算保持了复数域的封闭性。
接着，我们讨论复变函数及其性质。
复变函数是将复数映射到复数的函数，即f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)分别是实部和虚部函数。
我们可以用几何矢量的形式表示复变函数，即f(z) =f(x + yi) = u(x, y) + iv(x, y) = ，f(z)，e^(iθ)。
其中，f(z)，表示复变函数的模，θ表示复变函数的幅角。
复变函数的导数和积分是复变函数研究的重要内容。
如果一个函数在其中一点处的导数存在，则称该函数在该点处可导。
在复分析中，复变函数的导数定义为极限的形式，即f'(z) = lim[(f(z+h)-f(z))/h]，其中h是一个趋近于0的复数。
利用导数的定义以及复变函数局部线性的特点，可以推导出复变函数的柯西-黎曼条件。
柯西-黎曼条件表示为∂u/∂x =∂v/∂y，∂v/∂x = -∂u/∂y。
满足柯西-黎曼条件的函数是解析函数。
通过解析函数的导数，我们可以得到解析函数的积分公式。
解析函数的积分只与积分路径有关，与路径的起点和终点无关。
这个性质称为路径独立性。
我们可以利用路径独立性，通过积分公式计算一些复变函数的实际积分。
积分公式包括柯西定理和柯西积分公式等。
柯西定理表示为∮ f(z)dz = 0，其中沿着封闭路径的积分等于0。
第3章复变函数的积分
15
四、复积分的计算方法
函数的线 C f ( z )dz 可以通过两个二元实变 积分来计算.
C f ( z )dz {u[ x( t ), y( t )] x( t ) v[ x( t ), y( t )] y( t )}dt
i {v[ x ( t ), y( t )] x( t ) u[ x ( t ), y( t )] y( t )}dt
C f ( z )dz C
1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz .
C2 Cn
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
17
例3-1 计算 C zdz , C : 从原点到点3 4i 的直线段.
x 3t , 0 t 1, 解 直线方程为 y 4t , 在 C 上, z ( 3 4i )t , dz ( 3 4i )dt ,
第一节 复变函数的积分
一、复变函数积分的定义 二、复积分存在的条件及其计算法 三、复积分的基本性质
四、小结与思考
1
一、积分的定义
1.有向曲线: 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑) 曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到B作为曲线C的正向,
udx vdy i vdx udy .
C C
11
三、复积分的基本性质
复积分与实变函数的定积分有类似的性质.
(1) f ( z )dz
C C C
f ( z )dz;
( 2) kf ( z )dz k f ( z )dz; ( k为常数)
复变函数 积分
复变函数积分复变函数是数学分析中一个重要的概念，它是指从复数域到复数域的映射。
复变函数可以用于描述电磁场、流体力学等现象，也是解析几何、函数论等数学领域的基础。
在复变函数中，积分是一个重要的概念。
复变函数的积分包括曲线积分、路径无关积分、面积积分等，下面对这些内容进行详细介绍。
1. 曲线积分：曲线积分是复变函数论中的基础概念之一。
对于一个可微曲线C，我们可以定义复变函数f(z)在C上的积分。
曲线积分的计算可以使用参数方程，将积分转化为对参数的积分，并通过换元法或者分部积分等方法进行计算。
2. 路径无关积分：路径无关积分是复变函数最重要的性质之一。
当复变函数f(z)在开集D上解析时，f(z)在D上的曲线积分与路径无关，即积分结果与路径选择无关。
这个性质保证了复变函数的积分是唯一的，不受路径的影响。
3. 格林公式：格林公式是复变函数论中的基本公式之一，它与曲线积分和面积积分有密切的关系。
格林公式可以用于计算曲线积分和面积积分，并给出了二者之间的关系。
格林公式是复变函数的积分理论的重要基础。
4. 应用举例：复变函数的积分在物理学和工程学中有广泛的应用。
比如，电磁场的描述中经常使用电磁场复变函数，通过对复变函数进行积分可以得到电场、磁场等物理量。
在流体力学中，也可以使用复变函数进行描述，并通过积分得到流体速度、流量等参数。
综上所述，复变函数的积分是复变函数论中的重要内容之一，它包括曲线积分、路径无关积分、格林公式等内容。
复变函数的积分在物理学和工程学中有广泛的应用，并为这些领域提供了一种描述和计算复杂问题的方法。
复变函数的积分是复变函数论基础知识，对于进一步研究复变函数的性质和应用具有重要意义。
复变函数与积分变换总结_1
复变函数与积分变换总结_1复变函数与积分变换总结_11.复变函数复变函数是定义在复数域上的函数。
和实变函数类似，复变函数也具有实部和虚部。
复变函数有很多重要的性质和定理，以下是其中的一些重要内容：（1）柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v为实变函数，它们分别表示f的实部和虚部。
如果f在局部有定义且可导，则f满足柯西-黎曼方程：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x。
这个方程是复变函数可导的充分必要条件。
（2）柯西积分定理：柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理，它表示若f是一个在区域D上解析的函数，则对于D内任意闭合曲线C，有∮Cf(z)dz=0。
这个定理说明，对于解析函数来说，沿着闭合曲线的积分值为0。
（3）柯西积分公式：柯西积分公式是复变函数理论中的另一个重要定理，它给出了在解析函数上对闭合曲线上的导数的表达式。
设f是D内的解析函数，z0是D内任意一点，且C是以z0为中心的一条简单闭曲线，且完全在D内，则有f(n)(z0)=n!/2πi∮C(f(z)/(z-z0)^(n+1))dz，其中n为正整数，f(n)(z0)表示f的n次导数在z0处的值。
2.积分变换积分变换是将一个函数通过其中一种数学变换转换为另一个函数的过程，常用的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换。
（1）傅里叶变换：傅里叶变换是将一个时间域上的函数转换为频域上的函数。
对于一个函数f(t)，它的傅里叶变换表示为F(ω)，其中ω是频域上的变量。
傅里叶变换具有线性性、位移性、尺度性和频域去掉奇点的特性。
傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理等领域。
（2）拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是将一个时间域上的函数转换为复平面上的函数。
对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复平面上的变量。
拉普拉斯变换具有线性性、位移性、尺度性和频域去掉奇点的特性。
拉普拉斯变换在控制系统、信号处理等领域具有重要应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复变函数积分方法总结 [键入文档副标题] acer [选取日期] 2
复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ
。
1.定义法求积分：
定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段zk-1 zk
(k=1,2…
n)上任取一点k并作和式Sn=∑f(𝑘)nk−1(zk-zk-1)= ∑f(𝑘)nk−1∆zk记
∆zk= zk- zk-1，弧段zk-1 zk的长度 δ=max1≤k≤n{∆Sk}(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c的分发即k的取法如何，Sn有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为： ∫f(z)dzc=limδ 0∑f(𝑘)nk−1∆zk
设C负方向(即B到A的积分记作) ∫f(z)dzc−
.当C为闭曲线时，f(z)
的积分记作∮f(z)dzc
(C圆周正方向为逆时针方向)
例题：计算积分1)∫dzc 2) ∫2zdzc
,其中C表示a到b的任一曲线。
（1） 解：当C为闭合曲线时，∫dzc
=0. 3
∵f(z)=1 Sn=∑f(𝑘)nk−1(zk-zk-1)=b-a ∴limn 0 Sn=b-a,即1)∫dzc=b-a. (2)当C为闭曲线时，∫dzc=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分∫zdzc存
在，设k=z
k-1
,则
∑1= ∑Znk−1（k−1）(zk-zk-1) 有可设k=zk，则 ∑2= ∑Znk−1（k−1）(zk-zk-1)
因为Sn的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 Sn= (∑1+∑2)= ∑k−1nzk(zk2−zk−12)=b2-a2
∴ ∫2zdzc
=b2-a2
1.2 定义衍生1：参数法：
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入∫f(z)dzc得：
∫f(z)dzc= ∫udxc - vdy + i∫vdxc
+ udy
再设z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t≤β) ∫f(z)dzc=∫f(z(t))z(t)́dtβα 参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0
+reiθ，(0≤θ≤2π)
例题1： ∫z2dz
3+i
0 积分路线是原点到3+i的直线段
解：参数方程 z=（3+i）t ∫z2dz3+i0=∫[(3+i)t]2[(3+i)t]′dt10 =(3+i)3∫t2dt10 =6+263i 例题2： 沿曲线y=x2计算∫（x2+iy）dz
1+i
0 4
解： 参数方程 {
x=t
y=t2 或z=t+it2 (0≤t≤1)
∫(x2+iy)dz1+i0=∫（t2+it2）(1+2it)dt10 =(1+i)[∫(t2dt)dt10 + 2i∫t3dt10] =-16+56i 1.3定义衍生2 重要积分结果： z=z0+ reiθ
，(0≤θ≤2π)
由参数法可得： ∮dz(z−z0)n+1c=∫ireiθei（n+1）θrn+12π0dθ=irn∫e
−inθ
1+i
0dθ
∮dz(z−z0)n+1c
={2πi n=00 n≠0
例题1：∮dzz−2|z|=1 例题2：∮dzz−12|z|=1
解： =0 解 =2πi 2.柯西积分定理法： 2.1 柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则
对B内的任意一条封闭曲线有： ∮f(z)dzc=0
2.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅
由积分路线的起点z0与终点z1来确定。 2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与
C1是D内两条正向简单闭曲线，C1在C的内部，且以复合闭路Γ=C+C1 5
所围成的多连通区域G全含于D则有： ∮f(z)dzΓ=∮f(z)dzc+∮f(z)dzc1=0
即∮f(z)dzc=∮f(z)dzc1
推论： ∮f(z)dzc=∑∮f(z)dzck
nk=1
例题：∮2z−1z2−zdz
c C为包含0和1的正向简单曲线。
解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交，互不包含的正向曲线c1和c2。 ∮2z−1z2−zdzc=∮2z−1z(1−z)dzc1+∮2z−1z(1−z)dz
c2
=∮1z−1+1zdzc1+∮1z−1+1zdzc2
=∮1z−1dzc1+∮1zdzc1+∮1z−1dzc2+∮1zdzc2 =0+2πi+2πi+0 =4πi 2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：
定理2.2可知，解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点z0与终点z1有关，即 ∫f()cd = ∫f()z1z0
d 这里的z1和z0积分的上下限。当
下限z0固定，让上限z1在B内变动，则积分∫f()z1z0
d在B内确定 6
了一个单值函数F(z),即F(z)= ∫f()z1z0
d 所以有
若f(z)在单连通区域B内解析，则函数F(z)必为B内的解析函数，且F(z) ́=f(z).根据定理2.2和2.4可得∫f(𝑧)z1z0d𝑧= F(z1) - F(z0).
例题：求∫zcosz10d𝑧
解： 函数zcosz在全平面内解析 ∴∫zcosz10d𝑧=zsinz|0i-∫sinz10d𝑧
= isin i+cosz|0i=isin i+cos i-1 =ie−1−12i+e−1+12i-1=e-1-1 此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。 2.5柯西积分公式法： 设B为以单连通区域，z0位B中一点，如f(z)在B内解析，则函数f(z)z−z0
在z0不解析，所以在B内沿围绕z0的闭曲线C的积分∫f(z)z−z0dzc一般
不为零。 取z0位中心，以δ>0为半径的正向圆周|z−z0
|=δ位积分
曲线cδ，由于f(z)的连续性，所以 ∫f(z)z−z0dzc=∫f(z)z−z0
dzcδ
=2πif(z0)
2.5.1定理：若f(z)在区域D内解析，C为D内任何一条正向简单
闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内的任一点，有： f(z0)=12πi∮f(z)z−z0
dz
例题：1）∮
sin zzdz|z|=2 2）∮z
(9−z2)(z+i)dz
|z|=2
解：=2π isin z|z=0=0 解： =∮z9−z2z−(−i)dz|z|=2 7
=2πiz9−z2|z=-i=π5 2.6解析函数的高阶导数：
解析函数的导数仍是解析函数，它的n阶导数为 f(n)(z0)=n!2πi∮f(z)(z−z0)n+1dz(n=1,2…)
其中C为f(z)的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于D. 例题：∮
ez
z5dz
c
C:|Z|=1
解：由高阶导数的柯西积分公式： 原式=2πi∙14!(ez)(4)|z=π2 =πi12 3.解析函数与调和函数：
定义：（1）调和函数：如果二元实函数φ(x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程： ∂2φ∂x2+∂2φ∂y2=0，则称φ(x,y)为区域D内的调和函数。若f(z)=u+iv为解析
函数，则u和v都是调和函数，反之不一定正确 （2）共轭调和函数:u(x，y)为区域内给定的调和函数，我们把是 u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函
数。若v是u的共轭调和函数，则-u是v的共轭调和函数 关系：任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数。 3.1求解方法：
（1）偏积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的