高中数学人教A版选修(2-1)3.1.1《空间向量及其运算》word导学案
人教A版高中数学选修2-1课件高二：3-1-1空间向量及其线性运算
4．理解空间向量的正交分解及其坐标的表示，掌握空间 向量的坐标运算及数量积的坐标表示，会判断两个向量平行或 垂直；掌握两个向量的夹角公式和向量长度的坐标计算公式， 并会用这些公式解决有关问题．
5．理解平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、 面面的垂直、平行关系．
6．能用向量方法证明有关线、面位置关系，能够用向量 方法解决线线、线面、面面的夹角及其长度问题．
向量那样，从某点
O
出
发
，
逐
一
引
向
量
→ OA1
＝
a1
，
→ A1A2
＝
a2，……An－1An＝an，于是以所得折线 OA1A2……的起点 O 为
起点，终点 An 为终点的向量O→An，就是 a1，a2，……，an 的和，
即
O→An＝O→A1＋A→1A2＋……An－1An＝a1＋a2＋……＋an. 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点 上，这时的和向量就为零向量． 2．向量减法满足三角形法则：“同始连终、指向被减”． 即以同一点 O 作始点，作O→A＝a，O→B＝b，连结终点 A，B， 则A→B＝b－a，B→A＝a－b.
[答案] B
[分析] 给出的命题都是对向量的有关概念及加减法的理 解，解答本题应紧扣向量及其加减运算的有关概念进行．
[解析] |a|＝|b|，说明 a 与 b 模相等，但方向不确定，由 a 的相反向量 b＝－a，故|a|＝|b|，从而 B 正确．只定义加法具有 结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有A→B＋A→D＝ A→C，只有平行四边形才能成立．故 A、C、D 均不正确．
[解析] B→C1＝B→C＋B→B1＝A→A1＋A→D＝b＋c， A→C1＝A→C＋C→C1＝A→B＋A→D＋C→C1＝a＋b＋c， B→D1＝A→D1－A→B＝A→D＋A→A1－A→B＝b＋c－a， C→O＝C→C1＋C→1O＝A→A1＋12C→1A1 ＝A→A1＋12(C→1D1＋C→1B1) ＝A→A1＋12(－A→B－A→D)＝c－12a－12b.
1.1.1+空间向量及其线性运算+教学设计-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
《1.1.1空间向量及其线性运算》教学设计一、教学内容解析《1.1空间向量及其运算》是人教A版《普通高中教科书·数学(选择性必修)》第一册(以下简称“教科书”) 第一章《空间向量与立体几何》的第一节内容，包括“空间向量及其线性运算”和“空间向量的数量积运算”两小节内容，其中第1课时“空间向量及其线性运算”要学习的核心知识有: 空间向量的概念;零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量、共面向量；空间向量的加法、减法以及数乘运算．这些核心知识是后续学习空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示、应用空间向量解决立体几何图形位置关系与度量关系的基石．二、学情分析在学习本节课内容之前，学生已在人教A版必修第二册中学习了《平面向量及其应用》和《立体几何初步》内容．大致了解了平面向量的基本研究思路与框架即“实际背景→基本概念→向量运算( 线性运算、数量积) →向量基本定理及坐标表示→向量的应用”，这也是研究和学习空间向量的基本研究思路．三、教学目标（1）了解空间向量的实际背景；理解空间向量及相关概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘运算；（2）经历由平面向量的概念、运算推广到空间向量的过程；通过空间向量加法结合律的证明体会维数增加对向量推广带来的变化；（3）在借助几何图形解释空间向量相关概念中进一步发展直观想象核心素养，领悟数形结合的思想方法，提升数学运算和逻辑推理能力; 从平面向量推广得到空间向量、空间向量问题转化为平面向量问题的过程中提升数学抽象素养，领悟类比、特殊与一般、转化与化归等思想.四、教学重难点重点: 空间向量及其相关概念，空间向量的线性运算；难点: 空间向量加法结合律的证明，空间向量的线性运算．五、教学策略分析本节课采用创设问题情境，设置问题链引导学生类比平面向量层层深入学习空间向量的概念、线性运算、运算律和位置关系等内容．学生通过自主探究、交流、师生互动等教学活动参与学习过程，突破学习中的难点和疑点．利用PPT等教学软件绘制图形、平移图形、展示图片，借助几何直观图形帮助学生分析和理解概念．六、教学过程设计1、情境引入如图所示，一只蚂蚁从A点出发，一直沿着棱爬行，先爬行到B点，再爬行到C点，那么它的实际位移是什么？若蚂蚁继续沿着棱从C点向上爬行到C1点，那么它的实际位移是什么？追问：位移在数学中可以用什么概念表示？这些向量是否位于同一平面？【设计意图】通过学生情境引入，引导学生回忆熟悉的平面向量，同时发现空间向量，感受到与平面向量的差异，进而激发学生的求知欲．师：通过平面向量及其应用的学习，我们知道平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，他们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系，可以通过平面向量运算得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决。
2021年高中数学3.1.3空间向量的数量积运算学案含解析人教A版选修2_1
3.1.3 空间向量的数量积运算[目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．[重点] 空间向量的数量积运算．[难点] 利用空间向量解决夹角、距离等问题．知识点一 空间向量的夹角[填一填]1．定义：(1)条件：a ，b 是空间的两个非零向量．(2)作法：在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b . (3)结论：∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作a ，b ．2．范围：a ，b∈[0，π]，其中，(1)当a ，b ＝0时，a 与b 的方向相同． (2)当a ，b ＝π时，a 与b 的方向相反． (3)当a ，b＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . [答一答]1．若a ，b 是空间的两个非零向量，则－a ，b ＝a ，－b ＝a ，b ，对吗？提示：不对．∵－a 与a ，－b 与b 分别是互为相反向量，∴－a ，b＝a ，－b ＝π－a ，b ．知识点二 空间向量的数量积[填一填]1．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos a ，b 叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b＝|a ||b |cosa ，b ．(2)运算律：①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 2．空间向量数量积的性质[答一答]2．类比平面向量，你能说出a ·b 的几何意义吗？提示：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |·cos θ的乘积． 3．对于向量a ，b ，c ，由a ·b ＝a ·c ，能得到b ＝c 吗？提示：不能，若a ，b ，c 是非零向量，则a ·b ＝a ·c 得到a ·(b －c )＝0，即可能有a ⊥(b －c )成立．4．对于向量a ，b ，若a ·b ＝k ，能不能写成a ＝k b？ 提示：不能，向量没有除法，k b无意义． 5．为什么(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立？ 提示：由定义得(a ·b )c ＝(|a ||b |cosa ，b )c ，即(a ·b )c ＝λ1c ；a (b ·c )＝a (|b ||c |cos b ，c )，即a (b ·c )＝λ2a ，因此，(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立．1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点．2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．类型一 空间向量的数量积运算【例1】 如下图所示，已知正三棱锥A BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点．求下列向量的数量积．(1)AB →·AC →；(2)AD →·BD →； (3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →.【解】 (1)由题知|AB →|＝|AC →|＝a ，且〈AB →，AC →〉＝60°， ∴AB →·AC →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(2)|AD →|＝a ，|BD →|＝a ，且〈AD →，BD →〉＝60°. ∴AD →·BD →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(3)|GF →|＝12a ，|AC →|＝a ，又GF →∥AC →，∴〈GF →，AC →〉＝180°.∴GF →·AC →＝12a ·a ·cos180°＝－12a 2.(4)|EF →|＝12a ，|BC →|＝a ，又EF →∥BD →，∴〈EF →，BC →〉＝〈BD →，BC →〉＝60°. ∴EF →·BC →＝12a ·a ·cos60°＝14a 2.在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)． 解：如图所示，(1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos60°＝12；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.类型二 利用数量积求夹角【例2】 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．【分析】 求异面直线BA 1与AC 所成的角，可转化为求向量BA 1→与AC →所成的角，因此可先求BA 1→·AC →，再求|BA 1→|，|AC →|，最后套用夹角公式求得，但要注意两直线夹角与两向量夹角的区别．【解】 因为BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →，且BA →·BC →＝BB 1→·BA →＝BB 1→·BC →＝0， 所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →)＝BA →·BC →－BA→2＋BB 1→·BC →－BB 1→·BA →＝－1. 又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝ 3.所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC→|BA 1→||AC →|＝－16＝－66.则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．解：不妨设正方体的棱长为1， 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，A 1B →＝a －c ，AC →＝a ＋b .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b ) ＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1.而|A 1B →|＝|AC →|＝2，∴cos 〈A 1B →，AC →〉＝12×2＝12，∴〈A 1B →，AC →〉＝60°.∴异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°. 类型三 利用数量积求距离【例3】 在正四面体ABCD 中，棱长为a .M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.【分析】 转化为求向量MN →的模，然后将向量MN →分解，再根据数量积运算性质进行求解． 【解】 因为MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →，所以MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 所以|MN |＝53a .求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离.如下图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使直线AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°， ∴AC →·CD →＝0，同理BA →·AC →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°. ∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →， ∴BD →2＝BA →2＋AC →2＋CD→2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝BA→2＋AC→2＋CD→2＋2BA →·CD →＝3＋2·1·1·cos〈BA →，CD →〉＝⎩⎪⎨⎪⎧4 〈BA →，CD →〉＝60°， 2〈BA →，CD →〉＝120°.∴|BD →|＝2或2，即B ，D 间的距离为2或 2. 类型四 利用数量积证明垂直问题【例4】 如下图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC .【分析】 本题考查利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0求证线面垂直，关键是在平面PAC 中找出两相交向量与向量B 1O →垂直．【证明】 不妨设正方体的棱长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b＝b ·c ＝a ·c ＝0.由题图得：PA →＝PD →＋DA →＝－12AA 1→－AD →＝－b －12c ，PC →＝PD →＋DC →＝－12AA 1→＋AB →＝a －12c ，B 1O →＝B 1B →＋BO →＝－c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b －c .∵PA →·B 1O →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝12a ·b －12b 2＋b ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2， PC →·B 1O →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝－12a 2＋12a ·b －a ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2，又∵|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝0，∴PA →·B 1O →＝0，PC →·B 1O →＝0.∴PA →⊥B 1O →，PC →⊥B 1O →. ∴PA ⊥B 1O ，PC ⊥B 1O .又∵PA ∩PC ＝P ，∴B 1O ⊥平面PAC .用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . 证明：如图．方法一：∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴AB →·CD →＝0，AC →·BD →＝0.AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC .方法二：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， ∵AB ⊥CD ，∴AB →·CD →＝0，即AB →·(AD →－AC →)＝0，a ·(c －b )＝0，即a ·c ＝b ·a . ∵AC ⊥BD ，∴AC →·BD →＝0，即AC →·(AD →－AB →)＝0，b ·(c －a )＝0， 即b ·c ＝b ·a .∴a ·c ＝b ·c ，c ·(b －a )＝0， 即AD →·(AC →－AB →)＝0，AD →·BC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC.1．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，对角线AC 1和BD 1相交于点O ，则有( C)A.AB →·A 1C 1→＝2a 2B.AB →·AC 1→＝2a 2C.AB →·AO →＝12a 2D.BC →·DA 1→＝a 2解析：∵AB →·AO →＝AB →·12AC 1→＝12AB →·(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(AB →2＋AB →·AD →＋AB →·AA 1→)＝12AB →2＝12|AB →|2＝12a 2. 2．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( B ) A ．14 B.14 C ．4 D ．2解析：|a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，∴|a －2b ＋3c |＝14.3．已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于－2.解析：a·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2. 4．已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则 |a －b ＋2c |等于 5.解析：(a －b ＋2c )2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a·b ＋4a·c －4b ·c ＝1＋1＋4－2cos60°＝5，∴|a －b ＋2c |＝ 5.5．如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2. BD →·AC →＝(AD →－AB →)·AC →＝AD →·AC →－AB →·AC →，由于AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝AD →·AD →＝1，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos60°＝2×2×12＝1.∴BD →·AC →＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ， ∴BD ⊥平面ADC .。
(新课程)高中数学《3.1.1空间向量及其运算》导学案 新人教a版选修2-1
§3.1.1空间向量及其运算1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．8486复习1：平面向量基本概念：具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法.复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝ .(2)当λ＞0时，λa 与A. ；当λ＜0时，λa 与A. ；当λ＝0时，λa ＝ .3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的相关概念问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中， OB = ， AB = ，试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +- a .2. 点C 在线段AB 上，且52AC CB =,则 AC = AB , BC = AB .反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ；⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )；⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ．※ 典型例题例1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC + ⑴；'AB AD AA ++ ⑵；1'2AB AD CC ++ ⑶ 1(')2AB AD AA ++ ⑷．变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB .小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．例2 化简下列各式： ⑴ AB BC CA ++ ; ⑵;AB MB BO OM +++ ⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC -- .变式：化简下列各式： ⑸ OA OC BO CO +++ ; ⑹ AB AD DC -- ; ⑺ NQ QP MN MP ++- .小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.※ 动手试试练1. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -, M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列表达式： ⑴ 111AA A B + ; ⑵ 11111122A B A D + ; ⑶ 111111122AA A B A D ++ ⑷ 1111AB BC CC C A A A ++++ .三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量基本概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律※ 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列说法中正确的是（ ） A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同; B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC += . 2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简'''''AA A B A D ++ =3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ） A. 00a b = B. 00a b = 或00a b =- C. 01a = D. ∣0a ∣=∣0b ∣ 4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+ ,则四边形是（ ）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形5. 下列说法正确的是（ ）A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量1. 在三棱柱中，M,N 分别为BC ,B'C'的中点，化简下列式子： ⑴ AM + BN ⑵'A N －'MC + 'BB2. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB a = ，AD b = ，1A A c = ， 则下列向量中与1B M 相等的是（ ）A. 1122a b c -++ B. 1122a b c ++ C. 1122a b c -+ D. 1122a b c --+。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-1精讲优练_3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算
【方法技巧】 证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论来证明三点 共线. (1)存在实数λ ,使 PA PB 成立.
(2)对空间任一点O,有 OP OA tABt R. (3)对空间任一点O,有 OP xOA yOBx y 1.
【变式训练】 已知A,B,C三点共线,O为直线外空间任意一点,若 OC mOA nOB，求m+n的值.
且
A1E
2ED1，点F在对角线A1C上,且
A1F
2 3
FC. 求
证:E,F,B三点共线.
【证明】设 AB a，AD b，AA1 c.
因为
A1E
2ED1，A1F
2 3
FC，
所以
A1E
2 3
A1D1，A1F
2 5
A1C，
所以
A1E
2 3
AD
2 3
b，
A1F
OP OA n OB OA AP nAB.
因为 AB≠0,所以 AP和AB 共线,即点A,P,B共线.
2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知M,N分别是A1B,B1C1 上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设 AB =a, AC =b,AA1=c, 则MN=________(用a,b,c表示).
2
【延伸探究】本题条件不变,若 PA＝xPO＋yPQ＋PD. 求 x,y的值. 【解析】因为O为AC的中点,Q为CD的中点, 所以 PA＋PC＝2PO，PC＋PD＝2PQ, 所以 PA＝2PO－PC，PC＝2PQ－PD.
从而有 PA＝2PO－(2PQ－PD)＝2PO－2PQ＋PD. 所以x=2,y=-2.
选修2-1 空间向量导学案
§3.1.1 空间向量及其加减运算【学习要求】1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．2．掌握空间向量的加法、减法运算．【学法指导】结合平面向量的相关性质，类比学习空间向量的概念与运算．通过对空间向量的学习进一步体会数形结合的思想．【知识要点】1．空间向量（1）空间向量的定义在空间，把具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的________或______． （2）空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的________表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作________，其模记为_____或________． （3）特殊向量 名称 定义及表示零向量 规定长度为0的向量叫______，记为____ 单位向量 ______的向量叫单位向量相反向量 与向量a 长度____而方向____的向量，记为____相等向量方向____且模____的向量称为相等向量，____且____的有向线段表示同一向量或相等向量2．空间向量的加法、减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)： OB →＝OA →＋OC →＝__________；CA →＝OA →－OC →＝__________. 3．空间向量加法的运算律（1）交换律 a ＋b ＝________；（2）结合律 (a ＋b )＋c ＝__________.【问题探究】探究点一 空间向量的概念问题1 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA →，OB →，OC →，它们和以前所学的向量有什么不同？问题2 空间向量和平面向量有什么区别？它有什么作用？问题3 向量可以用有向线段表示，是否可以说向量就是有向线段？ 问题4 “空间中任何两个向量都是共面向量”，这个结论是否正确？ 例1 给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同； ②若空间向量a ，b ，满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确的命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 跟踪训练1 下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →探究点二 空间向量的加减运算问题1 怎样计算空间两个向量的和与差？问题2 使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求？例2 如图，已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．（1）AA ′→－CB →； （2）AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.跟踪训练2 化简：（1）(AB →－CD →)－(AC →－BD →)； （2）(AB →＋CD →)－(AC →＋BD →)．【当堂检测】1．下列命题中，假命题是 ( )A ．向量AB →与BA →的长度相等 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C ．只有零向量的模等于0 D ．共线的单位向量都相等2．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线交点是O ，则下列等式成立的是 ( )A ．OA →＋OB →＝AB → B ．OA →＋OB →＝BA →C ．AO →－OB →＝AB →D ．OA →－OB →＝CD →3．下列说法中正确的是 ( )A ．若|a |<|b |，则a <bB ．若向量a 是向量b 的相反向量，则a ＋b ＝0C ．如果两向量平行，则两向量相等D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →－AD →＝DB →4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.其中运算的结果为AC 1→的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【课堂小结】1．空间向量的概念和平面向量类似，向量的模，零向量，单位向量，相等向量等都可以结合平面向量理解． 2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行.§3.1.2 空间向量的数乘运算【学习要求】1．掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的意义．2．能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面问题．【学法指导】利用空间向量的数乘运算，理解和表示共线向量和共面向量，充分体现向量的工具性.【知识要点】1．空间向量的数乘运算 （1）向量的数乘：实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作_______，称为_______________．当λ>0时，λa 与向量a 方向________；当λ<0时，λa 与向量a 方向________；λa 的长度是a 的长度的________倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律与结合律：分配律：________________，结合律：______________ 2．共线向量（1）共线向量定义表示空间向量a ，b 的有向线段所在的直线_______，则向量a ，b 叫做______或_______，记作________． （2）两向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使__________ （3）共线向量的推论如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋ta ，①其中a 叫直线l 的____________．在l 上取AB →＝a ，则①式可化为____________．此推论可以用来判断三点共线． 3．共面向量（1）共面向量的概念平行于______________的向量，叫做共面向量． (2)三个向量共面的充要条件若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使_____【问题探究】探究点一 空间向量的数乘运算问题1 思考实数λ和空间向量a 的乘积λa 的意义？ 问题2 空间向量的数乘运算满足哪些运算律？例1 设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC→＋AD →)．探究点二 向量共线问题问题1（1）两向量共线时，它们的方向有什么关系？ （2）在两向量共线的充要条件中，为什么要求b ≠0? 问题2 向量共线在几何中有什么应用？例2 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →. 求证：E ，F ，B 三点共线． 跟踪训练2 如图所示，四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点， F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．探究点三 向量共面问题问题1 如何理解向量与平面平行？问题2 在三个向量共面的充要条件中，若两向量a 、b 共线，那么结论是否还成立？问题3 已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)的点P 与点A ，B ，C 是否共面？ 问题4 向量共面在几何中有什么应用？问题5 已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定在下列各条件下，点P 是否与A 、B 、M 一定共面？（1）OB →＋OM →＝3OP →－OA →； （2）OP →＝4OA →－OB →－OM →.例3 如图所示，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ， OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD ＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．跟踪训练3 如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量MN →，CD →，DE →共面．【当堂检测】1．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →D ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →2．空间的任意三个向量a ，b,3a －2b ，它们一定是 ( )A ．共线向量B ．共面向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量3．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C 有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A ．四点O ，A ，B ，C 必共面 B ．四点P ，A ，B ，C 必共面 C ．四点O ，P ，B ，C 必共面 D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝______________【课堂小结】空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线，三个向量共面问题，在几何中可以解决一些点共线、点共面、线面平行问题.§3.1.3 空间向量的数量积运算【学习要求】1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律．2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．【学法指导】数量积是向量最重要的运算，利用数量积可以求向量的模、两个向量的夹角；通过类比平面向量的数量积，学习空间两向量的数量积，通过向量积的运用，培养数学应用意识．【知识要点】1．空间向量的夹角定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角 记法 _______范围〈a ，b 〉∈________.当〈a ，b 〉＝π2时，a ______b想一想：〈a ，b 〉与〈b ，a 〉相等吗？〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉呢？ 2．空间向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，则_________________叫做a ，b 的数量积，记作a·b . （2）数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律 (λa )·b ＝__________ 交换律 a·b ＝________分配律a ·(b ＋c )＝________________（3）数量积的性质两个向量数量积的性质①若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔___________②若a 与b 同向，则a·b ＝________；若反向，则a·b ＝________. 特别地，a·a ＝________或|a |＝a·a ③若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝________ ④|a·b |≤|a |·|b |【问题探究】探究点一 空间向量的数量积运算问题1 空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？ 问题2 类比平面向量的数量积，说出空间向量的数量积a·b 的定义？ 问题3 请你类比平面向量说出a·b 的几何意义． 问题4 给出下列各式：①|a·b |＝|a||b |；②(a·b )c ＝a (b·c )；③m·(a －b )＝m·a －m·b ；④m·a ＝m·b ⇒a ＝b ；⑤若a·b ＝3，则a ＝3b.其中正确的式子是________例1 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：（1）BC →·ED 1→；（2）BF →·AB 1→；（3）EF →·FC 1→. 跟踪训练1 已知正四面体OABC 的棱长为1.求：（1）OA →·OB →； （2）(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； （3）|OA →＋OB →＋OC →|.探究点二 利用数量积求夹角问题1 怎样利用数量积求直线夹角或余弦值？ 问题2 利用数量积怎样证明两个向量垂直？证明：(三垂线定理)在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直．已知：如图，PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，l ⊂α，且l ⊥OA ，求证：l ⊥P A .跟踪训练2 如图所示，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形， 且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°. 求证：CC 1⊥BD .探究点三 利用数量积求距离问题 类比平面向量，说出利用数量积求长度或距离的方法．例3 已知a ，b ，c 中每两个的夹角都是π3，且|a |＝4，|b |＝6，|c |＝2，试计算|a ＋b ＋c |.跟踪训练3 如图所示，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，线段DD′⊥α于D′，如果∠DBD′＝30°，AB＝a，AC＝BD＝b，求CD的长．【当堂检测】1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有()A．①②B．②③C．③④D．②④2．已知a，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于()A．7 B．10 C．13 D．43．如图所示，已知P A⊥平面ABC，∠ABC＝120°，P A＝AB＝BC＝6，则PC等于()A．6 2 B．6 C．12 D．144【课堂小结】空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的数量积．§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示【学习要求】1．理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题．2．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．3．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．【学法指导】从空间向量的正交分解到空间向量基本定理，是特殊到一般的思想．把空间向量用不共面的三个向量表示是利用向量解决几何问题的基础.【知识要点】1．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c________，那么对于空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p ＝_________.其中__________叫做空间的一个基底，__________都叫做基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示（1）单位正交基底三个有公共起点O的____________的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．（2）空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为______，分别以___________的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.（3）空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，一定可以把它________，使它的起点与原点O重合，得到向量OP→＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝______________把__________称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作____________.【问题探究】探究点一空间向量的基底问题1平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？问题2基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？问题3类比平面向量的正交分解，空间向量也可以正交分解，请思考此时的基底应满足什么条件？例1若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？跟踪训练1设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有 ()A．1个B．2个C．3个D．4个探究点二用基底表示向量问题1和平面向量基本定理类似，请你思考怎样用空间的基底来表示任何一个空间向量？问题2用基底表示向量应注意哪些问题？例2如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.试用向量a，b，c表示向量GH→.跟踪训练2在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：（1）AP→；（2）AM→；（3）AN→；（4）AQ→.探究点三空间向量的坐标表示问题1怎样把空间向量用坐标表示？问题2空间向量的坐标表示和利用空间向量基本定理表示向量是什么关系？例3已知P A垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且P A＝AD＝1，求向量MN→、DC→的坐标．跟踪训练3在直三棱柱ABO—A1B1O1中，∠AOB＝π2，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求DO→，A1B→的坐标．【当堂检测】1．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则 ( ) A ．OA →、OB →、OC →共线 B ．OA →、OB →共线 C ．OB →、OC →共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面2．已知e 1，e 2，e 3是空间直角坐标系中分别与x 轴、y 轴、z 轴同向的单位向量，且p ＝e 1＋2e 2－3e 3，则p 的坐标是 ( )A ．(1,2,3)B ．(－1，－2,3)C ．(1,2，－3)D ．(1，－2，－3)3．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是 ( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)4．从空间一点P 引出三条射线P A ，PB ，PC ，在P A ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →＝b ，PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝______________.(用a ，b ，c 表示)【课堂小结】1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示． 2．向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示．在表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算.§3.2 立体几何中的向量方法第1课时 空间向量与平行关系【学习要求】1．理解直线的方向向量和平面的法向量．2．能用向量语言表述线线、线面、面面平行关系．【学法指导】在学习用空间向量方法证明平行关系、垂直关系时，应先复习必修二中学习的线面、面面平行与垂直的判定定理，将这种位置关系的判断转化为向量间的代数运算，体现向量的工具性作用.【知识要点】1．直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的________向量，叫做直线的一个方向向量平面的法向量直线l ⊥α，取直线l 的__________n ，叫做平面α的法向量2．空间中平行关系的向量表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则线线平行 l ∥m ⇔________⇔a ＝kb (k ∈R) 线面平行 l ∥α⇔________⇔________ 面面平行 α∥β⇔________⇔____________ 线线垂直 l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a·b ＝0 线面垂直 l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝ku ，k ∈R 面面垂直α⊥β⇔u ⊥v ⇔u·v ＝0.【问题探究】探究点一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系问题1 对于一条确定的直线和一个确定的平面，它的方向向量及法向量有几个？ 问题2 怎样求一个平面的法向量？试一试 已知A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量． 例1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：（1）直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； （2）平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)；（3）直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； （4）直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 跟踪训练1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：（1）直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； （2）直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)； （3）平面α与β的法向量分别是u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12； （4）平面α与β的法向量分别是u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)；（5）直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(0，－8,12)，u ＝(0,2，－3)．探究点二 用向量法证明立体几何定理例2 证明：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．已知：直线l ，m 和平面α，β，其中l ，m ⊂α，l 与m 相交，l ∥β，m ∥β，求证：α∥β. 跟踪训练2 用向量方法证明：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．已知：直线l ，m 和平面α，其中l ⊄α，m ⊂α，且l ∥m ，求证：l ∥α.探究点三 利用空间向量证明平行关系问题 怎样利用向量证明空间中的平行关系？例3 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点， 求证：（1）FC 1∥平面ADE ； （2）平面ADE ∥平面B 1C 1F .跟踪训练3 如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为AB 、SC 的中点．证明：EF ∥平面SAD .【当堂检测】1．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是 ( )A ．(0,1,2)B ．(3,6,9)C ．(－1，－2,3)D ．(3,6,8)2．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3) D ．(3,2,1)3．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则 ( ) A ．α∥β B ．α⊥β C ．α，β相交但不垂直 D ．以上均不正确 4．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝______ 5．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，证明：平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.【课堂小结】1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)； （3）根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明.第2课时 空间向量与垂直关系【学习要求】1．能利用向量叙述线线、线面、面面的垂直关系． 2．进一步体会直线的方向向量，平面法向量的作用．【学法指导】在平行关系的基础上，利用直线的方向向量和平面的法向量判定立体几何中的垂直关系，体现了转化的数学思想.【知识要点】空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系 线线垂直线面垂直面面垂直设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔___ 设直线l 的方向向量是a＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔________若平面α的法向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔____________【问题探究】探究点一 证明线线垂直问题 怎样证明两条直线互相垂直？例1 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.跟踪训练1 在棱长为a 的正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ，求证：A 1F ⊥C 1E .探究点二 证明线面垂直问题 怎样利用向量方法证明线面垂直？例2 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面GBD .跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的 中点．求证：EF ⊥平面B 1AC . 探究点三 证明面面垂直问题 怎样证明两个平面垂直？例3 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E 、F 分别是AC 、AD 的中点，求证：平面BEF ⊥平面ABC . 跟踪训练3 如图所示，在六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2. 求证：（1）A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面；（2）平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1.【当堂检测】1．若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则 ( ) A ．l 1∥l 2 B ．l 1⊥l 2 C ．l 1、l 2相交但不垂直 D ．不能确定 2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则 ( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂α D ．l 与α斜交3．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是 ( ) A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．不能确定4.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2， BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．证明：PC ⊥平面BEF .【课堂小结】1．用空间向量法解决立体几何中的垂直问题，主要是运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也可借助空间中已有的一些关于垂直的定理．2．用法向量来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果．第3课时空间向量与空间角【学习要求】1．理解直线与平面所成角的概念．2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角求法问题．【学法指导】空间中的各种角都可以转化为两条直线所成的角，可以通过两个向量的夹角求得，体现了数学中的转化与化归思想．通过本节的学习进一步体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.【知识要点】1．两条异面直线所成的角设两条异面直线a，b所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝_______.2．直线和平面所成的角设直线和平面所成的角为θ，且直线的方向向量为a，平面的法向量为b，则sin θ＝_______3．二面角的平面角设二面角α—l—β的锐二面角大小为θ，且两个半平面的法向量分别为a，b，则cos θ＝_______.【问题探究】探究点一求两条异面直线所成的角问题1怎样求两条异面直线所成的角？问题2两条异面直线所成的角和两条异面直线的方向向量夹角有什么区别？例1如图所示，三棱柱OAB—O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．跟踪训练1长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．探究点二求直线和平面所成的角问题1直线和平面所成角的范围是什么？问题2直线与平面所成的角θ和直线方向向量a与平面法向量b的夹角有什么关系？例2如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．跟踪训练2如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．（1）求证：PB⊥DM；（2）求BD与平面ADMN所成的角．探究点三求二面角问题怎样利用向量法求两个平面所成的二面角的大小？例3在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角．跟踪训练3如图，已知四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，P A＝AB＝a，点M是PC的中点．（1）求BP与DM所成的角的大小；（2）求二面角M—DA—C的大小．例4甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处．从A，B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值．跟踪训练4已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与ACD 垂直，则B与D之间的距离为________【当堂检测】1．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于() A．30°B．150°C．30°或150°D．以上均错2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量，法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角() A．30°B．60°C．120°D．150°3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为()A．24B．23C．63D．324．二面角α—l—β中，平面α的一个法向量n1＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2，平面β的一个法向量n2＝⎝⎛⎭⎫0，12，2，则二面角α—l—β的大小为()A．120°B．150°C．30°或150°D．60°或120°5．P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝AC＝1，BC＝ 2.求二面角A—PB—C的余弦值．【课堂小结】利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系．习题课立体几何中的向量方法【学习要求】通过利用向量方法解决综合性较强的问题，进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用．【学法指导】结合例题的解题过程，对立体几何中的三种方法(综合法、向量法、坐标法)进行比较，进一步体会向量方法与坐标方法相结合的优越性.【知识要点】设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则 线线平行 l ∥m ⇔a ∥b ⇔_____________ 线面平行 l ∥α⇔________⇔________ 面面平行 α∥β⇔u ∥v ⇔______________ 线线垂直 l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔__________ 线面垂直 l ⊥α⇔a ∥u ⇔____________ 面面垂直 α⊥β⇔u ⊥v ⇔__________线线夹角 l ，m 的夹角为θ(0≤θ≤π2)，cos θ＝__________线面夹角 l ，α的夹角为θ(0≤θ≤π2)，sin θ＝__________面面夹角 α，β的夹角为θ (0≤θ≤π2)，cos θ＝__________【问题探究】题型一 立体几何中的综合性问题 例1 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， PD ＝DC ，点E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . （1）求证：P A ∥平面EDB ； （2）求证：PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小．跟踪训练1 如图所示，正方形ABCD 所在平面与四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB ＝AE ，F A ＝FE ，∠AEF ＝45°. （1）求证：EF ⊥平面BCE ；（2）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证：PM ∥平面BCE .题型二 立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题，在命题中多以解答题的一步出现，试题有一定的难度．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．例2 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2. （1）证明：AP ⊥BC .（2）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点． （1）求证：B 1E ⊥AD 1.（2）在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．（3）若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．【当堂检测】1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°， FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF . （1）求证：BD ⊥平面AED ；（2）求二面角F －BD －C 的余弦值． 2．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN?【课堂小结】1．解决立体几何问题一般有三种方法：综合法、向量法、坐标法．综合法以逻辑推理作为工具解决问题；向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题．一般情况下，我们遵循的原则是：以综合法为基础，以向量法为主导，以坐标法为中心．2．对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．章末复习课【知识网络】。
2021年高中数学3.1.1空间向量及其加减运算学案含解析人教A版选修2_1
3.1.1 空间向量及其加减运算[目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义．[重点] 空间向量加减运算及其几何意义．[难点] 向量加减运算由平面向空间的推广．知识点一空间向量的有关概念[填一填]1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度：向量的大小叫做向量的长度或模．4．几类特殊向量[答一答]1．向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量．2．如何理解零向量的方向？提示：由于零向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以理解为零向量不是没有方向，而是方向是任意的．3．你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量．(2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同．知识点二空间向量的加减运算[填一填][答一答]4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的．5．共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点出发的平行六面体的体对角线．1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．2．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．3．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算．类型一 空间向量的有关概念 【例1】 给出以下命题：①若a ，b 是空间向量，则|a |＝|b |是a ＝b 的必要不充分条件； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；⑥空间中任意两个单位向量必相等． 其中，正确的命题序号是________． 【分析】 用空间向量的有关概念进行判断．【解析】 以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．【答案】 ①②④⑤与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念.两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关.(1)把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( C )A ．一个圆B ．两个孤立的点C ．一个球面D ．以上均不正确(2)下列命题中正确的个数是( C ) ①如果a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |； ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若a ，b ，c 为非零向量，且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：(1)单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．(2)对于①：由单位向量的定义即得|a |＝|b |＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．类型二 空间向量的加减运算【例2】 如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→； (2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→.【解】 (1)∵BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋BC →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→， 又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12A ′B ′→＋12A ′D ′→＝12AD →＋12AB →＋AA ′→， 又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路即沿几何体的边选择途径，多个向量运算时，先观察分析“首尾相接”的向量，使之结合，使用减法时，把握“共起点，方向指向被减向量”.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( D )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→.故选D. 类型三 有关向量的证明问题【例3】 求证：平行六面体的体对角线交于一点，并且在交点处互相平分． 【分析】 解决这个问题要充分利用课本上的一个结论，即平行六面体体对角线向量AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.【证明】 如下图，平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC ′→＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD ′→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋BB ′→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)，AN →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．由此可知O 、P 、M 、N 四点重合．故平行六面体的体对角线相交于一点，且在交点处互相平分．利用向量解决立体几何问题的一般思路是：将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行目标运算，再将运算结果转化为要解决的问题.如图，设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．解：如图，连结BG ，延长后交CD 于E ，由G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →.∵E 为CD 的中点， ∴BE →＝12BC →＋12BD →.∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)]＝13(AB →＋AC →＋AD →).1．判断下列命题中为真命题的是( A )A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等解析：|AB →|＝|BA →|，故选项A 对；选项B 应为球面；选项C ，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项D ，向量不相等有可能模相等．2．设A 、B 、C 为空间任意三点，则下列命题为假命题的是( C ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝BC →D.AB →＝－BA →3．如右图，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则BD ′→＝b－a ＋c ，A ′C →＝a ＋b －c .解析：BD ′→＝BD →＋DD ′→＝AD →－AB →＋AA ′→＝b －a ＋c ，A ′C →＝A ′A →＋AC →＝AB →＋AD →＋A ′A →＝a ＋b －c .4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是2AC →.5．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →；(2)∵E 、F 、G 分别为BC 、CD 、DB 的中点，∴GD →＝BG →，GF →＝12BC →＝EC →，∴AB →＋GD →＋EC →＝AB→＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.。
高中数学人教A版选修(2-1)3.1.2《空间向量的数乘运算》word导学案
3.1.2 空间向量的数乘运算【学习目标】理解空间向量共线、共面的充要条件 【自主学习】 1．共线向量与平面向量类似，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作b a //．当向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线位置关系如何？2．共线向量定理及其推论：类比平面向量共线定理，请写出空间向量共线定理.______________________________________________________________________. 请证明下面的推论：推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.由此可见，与利用平面向量判断三点共线一样，可以利用空间向量之间的关系判断空间三点共线.3． 共面向量:一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量. 探究:对空间任意两个不共线的向量b a ,，如果b y x p +=，那么p b α与，有什么位置关系？反过来，p b α与，有什么位置关系时，y x +=？由此得：共面向量定理 : 如果两个向量,不共线，那么向量与向量,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得y x +=α.4.回答课本88页的思考。
【典例分析】例1如图，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA,OB,OC,OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使,k ODOHOC OGOB OF OA OE ====求证：E,F,G,H 四点共面。
D【目标检测】已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M,N 分别在对角线BD,AE 上，且AE AN BD BM 31,31==.求证：MN//平面CDE证明：______________MN =______________= ______________= ______________= ______________= ______________=又与不共线，,,MN CD DE ∴共面.由于MN ⊄平面CDE ，所以________________.【总结提升】特别注意共面向量: 若,为不共线且同在平面α内，则与,共面的意义是p 在α内或//p α.。
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3.1.1 空间向量及其运算
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题
【难点】会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
一、自主学习
1.预习教材P 84～ P 86, 解决下列问题
复习1：平面向量基本概念：
具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三
种方法.
复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：
1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.
2. 实数与向量的积：
实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：
(1)|λa |＝ .
(2)当λ＞0时，λa 与b ；
当λ＜0时，λa 与b ；
当λ＝0时，λa ＝ .
3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？
加法交换律：a ＋b ＝b ＋a
加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）
数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb
2.导学提纲
1.空间向量中的零向量，单位向量，相等向量分别如何表示：__________、_________、_____________.
2.分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +- . a b
3.点C 在线段AB 上，且52
AC CB =,则AC = AB , BC = AB . 4.知识反思：可以发现平面向量和空间向量存在怎样的位置关系？
5.知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都
是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
二、典型例题
例1、（1）给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；
③在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，必有AC=11C A ;
④若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中假命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
（2） 化简下列各式： ⑴ AB BC CA ++ ; ⑵;AB MB BO OM +++ ⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC -- . ⑸ OA OC BO CO +++ ; ⑹ AB AD DC -- ;
⑺ NQ QP MN MP ++- .
例2. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
AB BC + ⑴； 'AB AD AA ++ ⑵； 1'2AB AD CC ++ ⑶ 1(')2
AB AD AA ++ ⑷．
变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB .
例3.在四面体ABCD 中，M 为BC 的中点，Q 为△BCD 的重心，设AB=b AC=c AD=d ，试用b ，c ，d 表示向量，、，，和。
三、当堂练习
1. 下列说法中正确的是（
）
A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;
B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;
C. 空间向量的减法满足结合律
;
D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC += .
2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简'''''AA A B A D ++ =
3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,
a b 是与a ，b
同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（
）
A. 00a b =
B. 00a b = 或00a b =-
C. 01a =
D. ∣0a ∣=∣
0b ∣
4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+ ,则四边形是（ ）
A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 平行四边形
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 零向量没有方向
B. 空间向量不可以平行移动
C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
6.在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N 分别为
BC ,B'C'
的中点，化简下列式子： ⑴ AM + BN ⑵'A N －'MC + 'BB
四、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
五、课后巩固
1.完成书86页练习
2.课本第97页A 组1题。