(仅供参考)线性代数与解析几何-课后答案-(代万基-廉庆荣)第6章习题答案

5. 证法 1：由 AB O ，得 r(A) r(B) k r(AB) 0 ， r(A) r(B) k.
因为 A 和 B 都是非零矩阵，所以 r(A) 1, r(B) 1. 因而 r(A) k 且 r(B) k . 证法 2：由 AB O 可知，B 的列向量都是方程组 Ax 0 的解。因为 B 是非零矩阵， 所以方程组 Ax 0 有非零解， r(A) k .
0
0 0
1 3
0 a2 1
a 1 0 0 0
1 0
0 a2 1
a 1
3a 3
0 1 a 1
0
0 0 a 1
a
1
1 1 1
0
1 1 1
0
0 1 0
a 1
0
1
0
0 0 a 1 a 1
0 0 a 1
a 1
a 1
0 0 a2 1 3a 3
0 0 0 a2 4a 3
当 a 1 且 a 3 时，无解；当 a 1 时，有无穷多个解；当 a 3 时，有唯一解。
2. Ax 0 的两个不同的基础解系之间是等价的。 3.m×n 型方程组 Ax b 有解时，自由未知数的个数等于 n r(A) .
因为A, b 中无关行向量（即方程组 Ax b 中无关方程）的个数为 r(A) 个，对方程
组 Ax b 化简，最后剩下 r(A) 个方程，一个方程能确定一个未知数，多出 n r(A) 个未
思考题 6-1
1）正确。
x1 x2 0
x1 x2 1
2）不正确。
Ax
b
有可能无解，例如，
x1
x2
0
有唯一解，但
x1
x2
2
无
3x1 x2 0
3x1 x2 1
解。
3）正确。因为 m r A r(A,b) m ，r(A,b) r A ，所以 Ax b 一定有解.
4）正确。因为 r A m n ，所以 Ax 0 有非零解.
6. 证法 1：由 r(Amn ) m 可知,存在可逆矩阵 P 和 Q ，使得
PAQ Em,O ，
PAQ
Em O
Em
,
O
Em O
Em
，
AQ
Em O
P1
，
AQ
Em O
P
E
令
B
Q
Em O
P
，则
B
是秩为
m
的
n×m
矩阵，
AB
E
.
证法 2:要证存在矩阵 B 使 AB E ，只需证明方程组 Ax ei (i 1, 2, ,n ) 是有解
两式相减，得
b s1a1 s2a2 snan,
(l1 s1)a1 (l2 s2 )a2 (ln sn )an 0 .
由于向量组 a1,a2, ,an 线性无关，因此
li si 0 (i 1,2, , n) ，即 li si (i 1,2, , n).
故向量 b 由 a1,a2, ,an 线性表示的表达式是唯一的。
x1
4 x2
a2 x3
0
x1 x 2 x 3 0
x1
2
x
2
ax
3 0
x1
4
x
2
a
2
x
3 0
是有解的。
x1 2x 2 x 3 a 1
1 1 1 0
1 1 1
0
A,b 1
1
2 4
a a2
0
0
0
0
1 3
a 1 a2 1
0
0
1 2 1 a 1
0 1 0 a 1
1 1 1 0 1 1 1
习题 6-1
1.（1） k 0 或 k 1
（2） k 2
2.（1）当 k 0 且 k 2 时，有唯一解；当 k 0 或 k 2 时，无解；当 k 2 时，有
无穷多个解。
（2）当 k 1且 k 2 时，有唯一解；当 k 2 时，无解；当 k 1时，有无穷多个
解。
（3）当 a 0 且 a b 时，有唯一解；当 a 0 时，无解；当 a b 0 时，有无穷多个
2 0
，基础解系为
1
,
2
Biblioteka Baidu
。
1 0
0
1
0
1
（2）注：将该方程组化简，得 2x4x10x2 x3 0 ，让 x1, x2 为自由未知数。
1 0
1 0
通解为
k1
0
2
k2
1
1
，基础解系为 0
,
1
。
2 1
0
0
0
0
1
1
(3) 通解为 k 2 ，基础解系为 2 。
1
1
的。
因为 m r A r(A,ei ) m ， r(A,ei ) r A ，所以 Ax ei 一定有解。
设 bi 是方程组 Ax ei 的解，并令 B b1, b2, , bn ，则 B 是秩为 m 的 n×m 矩阵，
且 AB E .
7. 证：充分性 设
b l1a1 l2a2 lnan ,
知数，所以自由未知数的个数等于 n r(A) .
4.一般不唯一。按例 6-5 中的方法选择自由未知数的好处是：很好地利用了前面的化简 结果 ，这样做能使后面的计算简便易行。
1 1
1.该方程组的基础解系为 2 , 3 1 0
0
1
习题 6-2
2 1
2 1
2.（1）通解为
k1
1 1
k2
cnan 0 .
b (k1 c1)a 1 (k 2 c 2)a 2 n(k n c a)n .
（2）
因为 c1, c2, , cn 不全为零，所以上式与（1）不同，这与 b 由 a1,a2, ,an 线性表示的
表达式唯一矛盾，故向量组 a1,a2, ,an 线性无关.
思考题 6-2
1.一般不唯一。
0
0
2 1 5
3 5 2
3.（1）通解为
k1
1 0
k2
0 1
0
；
1
（2）通解为
k1
2 1
k2
4 0
3
0
；
0
1
0
0
1
0
2 4 1
（3）通解为
k1
1 1
k2
3 0
1
.
0
0
1
0
4.解：因为 v1, v2, v3 为方程组 Ax 0 的基础解系，所以 v1, v2, v3 是方程组 Ax 0 的 解，线性无关，且 Ax 0 的基础解系含 3 个向量。
必要性 设向量 b 由向量 a1,a2, ,an 线性表示的表达式唯一，并设
b k1a1 k2a2 knan.
（1）
下面用反证法来证向量组 a1,a2, ,an 线性无关.
设 a1,a2, ,an 线性相关，则存在不全为零的数 c1, c2, , cn 使得
c1a1 c2a2
将（1）和（2）相加，得
解。
（4）当 k 1且 k 2 时，无解；当 k 1时，有唯一解；当 k 2 时，有无穷多个
解。
3. 当 k 2 时，向量 b 能由向量组 a1,a2,a3 线性表示。
x1 x2 x3 0
4.解：方程组
x1
2 x2
ax3
0
与方程 x1 2x2 x3 a 1 有公共解，就是方程组