西安交通大学复变函数考试题及解答3

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西安交通大学复变函数7月试卷A含答案

复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)一.填空(各3分)1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点；3. 23z ；4. 0 ；5. 0 ；6. e1；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[21++-+++-ωπδωπδωωj j 。

二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错；5.正确；6.错； 7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。

三(8分) 解: 1)在2||1<<z11000111111()()(()())()21222n n n n n n n n z z f z z z z z z z z +∞∞∞+====-=--=-+--∑∑∑-----4分2) 在1|2|z <-<∞2111111()(1)(1)(1)122122(2)(2)(1)2n n n f z z z z z z z z ∞+==+=+=+---+----+-∑--4分四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故]2,54[Re 25422i z z e s i dx x x e izix +-++=++⎰∞+∞-π --------3分)2sin 2(cos 54))2((lim 222i ez z e i z i iz i z -=+++--=+-→ππ --------6分故 2cos 254Re 254cos 222edx x x e dx x x x ix π=++=++⎰⎰∞+∞-∞+∞- ---------8分五.(8分) 解: 22371()()Cf z d z ξξξξ++'=-⎰ -------3分由于1+i 在3||=z 所围的圆域内, 故i Ci d i i f +='++=+-++=+'⎰1222|)173(2))1((173)1(ξξξπξξξξ)136(2i +-=π -------8分六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到λλππθ--=za za i e e ez f )( (映射不唯一,写出任何一个都算对)七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换:13)(3))0()(()0()0()(`2+=--+'--s s Y y s sY y sy s Y s 代入初始条件,得32113)(2-+++=s s s s Y --------4分)1)(3(1)1)(3)(1(3-++-++=s s s s s 381185143++-++-=s s s 故, tt t e e e t y 3818543)(--++-= ---------8分(用留数做也可以)复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)一.填空(各3分)1.3ln 2i k e+-π ；2. 三级极点；3. 23z ； 4. 0 ；5. 0 ；6.e1；7. 1cos 1sin - ；8. 0 ；9. 0 ； 10. 0。

复变函数考试题及答案

复变函数考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 复数z=1+i的模长为（）。

A. 1B. √2C. 2D. √3答案：B2. 若复数z满足|z|=1，则z的辐角（）。

A. 0B. πC. 2πD. 无法确定答案：D3. 函数f(z)=z^2在z=0处的导数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 4答案：A4. 函数f(z)=1/z在z=0处的极限为（）。

A. 0B. 1C. ∞D. 不存在答案：C5. 函数f(z)=e^z的实部和虚部分别为（）。

A. cos(z), sin(z)B. sin(z), cos(z)C. cos(z), cos(z)D. sin(z), sin(z)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）6. 复数z=3+4i的共轭复数为______。

答案：3-4i7. 函数f(z)=z^3的导数为______。

答案：3z^28. 函数f(z)=1/(z-1)的极点为______。

答案：z=19. 函数f(z)=e^(z)的导数为______。

答案：e^(z)10. 函数f(z)=sin(z)的导数为______。

答案：cos(z)三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算复数z=2+3i的模长和辐角。

答案：模长|z|=√(2^2+3^2)=√13，辐角arg(z)=arctan(3/2)。

12. 计算函数f(z)=z^2/(z-1)在z=2处的值。

答案：f(2)=2^2/(2-1)=4。

13. 计算函数f(z)=e^(z)在z=i处的值。

答案：f(i)=e^(i)=cos(1)+isin(1)。

四、证明题（每题10分，共30分）14. 证明函数f(z)=z^2在z=0处可导，并求导数。

答案：函数f(z)=z^2在z=0处可导，导数为f'(z)=2z，所以f'(0)=0。

15. 证明函数f(z)=1/z在z=0处不可导。

答案：函数f(z)=1/z在z=0处不可导，因为当z趋近于0时，f(z)的极限不存在。

复变函数考试样题

成绩
西安交通大学考试题
课程复变函数（样题）
系别考试日期年月日
专业班号
姓名学号期中期末
一、判断题下列概念或命题是否正确[1~10](每小题2分，共20分数．
2.函数sinz，cosz都是上的无界函数．
3.区域D上的函数f(z)是解析的充要条件是f(z)在D上是可微的．
13.在割去原点及负实轴的z平面上，f(z)是多值函数z1/3的一个单值解析分
支，f(i) =i．求f(i)．
共2页第1页
14.计算|z– 1 | = 2(z2+ ez)/(z3– 2z2+z)dz．
15.设f(z) = (y2–x2) +iv(x,y)是整函数，f(0) =i，求f(z)．
16.求函数f(z) =z/sinz的奇点，并指出奇点类型．
20.下面给出的命题P是否正确？若正确，证明之；若不正确，举出反例．
命题P：设函数f(z)在区域D内连续．若对D内的任一周线C都有Cf(z)dz= 0，则f(z)在区域D内解析．
21.设f(z)在D= {z| 0 < |za| <R}内解析且有界．证明：limzaf(z)存在．
22.设f(z)是整函数且不恒为常数，且limzf(z)/z2= 0．证明：f(z)是单叶的．
17.求幂级数n0(n2+ 1)/n! ·zn的收敛半径，并在收敛圆内求和函数．
18.求|z– 1 | = 1z1/4dz．其中z1/4取11/4=i的那一支．
三、解答题[19~23，要求写出详细步骤](每小题8分，共40分)
19.求函数f(z) = 1/(2 –z)(i+z)在三个不同的圆环域上的Laurent展式．这三个圆环域分别是：0 < |z| < 1，1 < |z| < 2，以及2 < |z| < +．

西安交大西工大考研备考工程数学复变函数前四章测试题及答案

《工程数学二复变函数前四章》试卷一、选择题1、设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是[ ] (A) i +-43 (B) i +43 (C) i -43 (D) i --432、设)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是[ ] (A) 若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 (B) 若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 (C) 若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是常数 (D) 若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数3、设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则()⎰+cdz iy x 2＝[ ](A) i 6561- (B) i 6561+- (C) i 6561-- (D) i 6561+4、设级数i211e n n n π∞=∑的收敛性为（）.（A ）通项不趋于0 （B ）通项趋于0，发散（C ）绝对收敛（D ）条件收敛 5、设幂级数21(34i)nnn z ∞=+∑的收敛半径为（）.（A ）5 （B ）15 （C（D二、填空题（每空3分，共15分） 1、设5=z ，43π=-)arg(i z ，则z ＝________。

2、方程01=--z e 的全部解为________________。

3、设幂函数()f z α取ln ()e f z α的分支，则极限ilim(1)n n n→∞+=_______________。

. 4、幂级数1n n nz ∞=∑的和函数为______。

5、设2201ln(1)d zn n n C z ζζζ∞=-=∑⎰，则=3C ______。

三、计算积分 1、⎰=++1242z z z dz2、()⎰=-13z zdz a z e ，其中a 为1≠a 的任何复数3、dz z z e c z⎰-2)1(，其中C 为正向圆周：2=||z ；四设2222yx yx i y x y x z f +-+++=)(，指出)(z f 的解析区域，并求出其导数。

西安交通大学复变函数与积分变换试卷B卷及参考答案

解：显然满足，，的分式线性映射 .
可把变成角形域；
而可将该角形域变成上半平面；
而可将变成单位圆盘；
故它们的复合映射
即为满足要求的一个映射.
四、（10分）用留数计算广义积分 .
解：有理函数的分母次数=分子次数+4，且该函数在在实轴上无奇点，而在上半平面仅有两个奇点，；故
=
五、（10分）用Laplace变换解微分方程的初值问题：
由，得，而，
故象曲线为；或
.
11、解：[ ]= ，[ ]= ，
所以
=[ ] +[ ]= +
共4页第2页
12、解：[ ]= ，由Laplace变换的微分性质,
L[ ]= ，
所以
L[ ]= ；
L[ ]= .
二、解：在圆环域上的Laurent级数为
；
在圆环域上的Laurent级数为
三、解：显然满足，，的分式线性映射 .
成绩
西安交通大学考试题
课程复变函数与积分变换(B卷)
系别考试日期2006年1月日
专业班号
姓名学号期中期末
一、解答下列各题（每小题5分，共60分）
1、设是实数，函数在复平面解析，求 .
1、解：Cauchy-Riemann方程，，，解出
， .
2、求，并指出其主值.
解：
；其中；
其主值为 .
3、计算，其中，方向为正向.
2、解：用Cauchy积分公式，
.
4、计算，其中，方向为正向.
解：用高阶导数公式，
5、判别级数的收敛性.
解：，
和的收敛性分别与和的相同，由高等数学中的Leibniz判别法，后两个级数收敛，故前两个也收敛，所以

复变函数试题及答案

二．判断题（每题3分，共30分）1．n z z z f =)(在0=z 解析。

【】2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。

【】 3．z e z f =)(是周期函数。

【】4．每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。

【】 5．设级数∑∞=0n nc收敛，而||0∑∞=n nc发散，则∑∞=0n n n z c 的收敛半径为1。

【】 6． 1tan()z能在圆环域)0(||0+∞<<<<R R z 展开成洛朗级数。

【】 7． n 为大于1的正整数, Ln Ln nz n z =成立。

【】8．如果函数)(z f =ω在0z 解析，那末映射)(z f =ω在0z 具有保角性。

【】 9．如果u 是D 内的调和函数,则yu i x u f ∂∂-∂∂=是D 内的解析函数。

【】10．212233||||221112|2(1)1z z z z dz dz i i z z z z ππ======--⎰⎰。

【】三．（8分）y e v pxsin =为调和函数，求p 的值，并求出解析函数iv u z f +=)(。

四．（8分）求())2)(1(--=z z zz f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的洛朗展开式。

五．（8分）计算积分dx x x x⎰∞+∞-++54cos 22。

六．（8分）设⎰-++=Cd zz f ξξξξ173)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+。

七．（8分）求将带形区域})Im(0|{a z z <<映射成单位圆的共形映射。

复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)一.填空(各3分)1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点；3. 23z ；4. 0 ；5. 0 ；6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[21++-+++-ωπδωπδωωj j 。

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一. 填空（每题3分，共30分）
1． i3＝

2． 0z＝0是函数51cos)(zzzf的
（说出类型，如果是极点，则要说明阶数）
3. iyxyyixxzf322333)(,则()fz＝

4. ]0,sin1[Rezzs
5. 函数sinwz在4z处的转动角为

6. 幂级数0)(cosnnzin的收敛半径为R=____________
7. dzzz10sin
8．设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则dzzeCz21
9．
函数14zzzf在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________

10． 23||22)4)(1(zzzdz
二．判断题（每题3分，共30分）
1．nzzzf)(在0z解析。【】
2．)(zf在0z点可微，则)(zf在0z解析。【】
3．zezf)(是周期函数。【】
4．每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】

5．设级数0nnc收敛，而||0nnc发散，则0nnnzc的收敛半径为1。【】

6． 1tan()z能在圆环域)0(||0RRz展开成洛朗级数。【】
7． n为大于1的正整数, LnLnnznz成立。【】
8．如果函数)(zf在0z解析，那末映射)(zf在0z具有保角性。【】

9．如果u是D内的调和函数,则yuixuf是D内的解析函数。【】
10．212233||||221112|2(1)1zzzzdzdziizzzz。【】
三．（8分）yevpxsin为调和函数，求p的值，并求出解析函数ivuzf)(。
四．（8分）求)2)(1(zzzzf在圆环域21z和21z内的洛朗展开式。
五．（8分）计算积分dxxxx54cos22。
六．（8分）设Cdzzf173)(2，其中C为圆周3||z的正向，求(1)fi。
七．（8分）求将带形区域})Im(0|{azz映射成单位圆的共形映射。
复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)
一.填空(各3分)

1.3ln2ike； 2. 三级极点；3. 23z ；4. 0 ；5. 0 ；6. e1 ；7. 322)1(26ss ；8. 0；

9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[21jj。
二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错；5.正确；6.错； 7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。
三(8分) 解: 1)在2||1z
11000111111()()(()())()21222nnnnnnnnzzfzzzzzzzz










-----4分

2) 在1|2|z

20111111()(1)(1)(1)122122(2)(2)(1)2nnnfzzzzzzzz









--4

分
四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面
有一个一级极点 -2+i, 故

]2,54[Re25422izzesidxxxeizix







--------3分

)2sin2(cos54))2((lim222iezzeiziiziz




--------6分

故 2cos254Re254cos222edxxxedxxxxix ---------8分
五.(8分) 解: 22371()()Cfzdz -------3分
由于1+i在3||z所围的圆域内, 故
iCidiif1
2
2

2
|)173(2))1((173)1(






)136(2i

-------8分

六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到








zazaie

ezf)(
(映射不唯一,写出任何一个都算对)

七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换:
13)(3))0()(()0()0()(`2s
sYyssYysysYs

代入初始条件,得32113)(2ssssY --------4分
)1)(3(1)1)(3)(1(3sssss
381185143sss

故, ttteeety3818543)( ---------8分(用留数做也可以)
复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)
一.填空(各3分)1.3ln2ike ；2. 三级极点；3. 23z； 4. 0 ；5. 0 ；6. e1 ；7.
1cos1sin
；8. 0 ；9. 0 ； 10. 0。

二.判断1.错；2.错；3.正确；4. 错；5.正确；6.错；7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。
三.(8分) 解:因为yevpxsin是调和函数,则有

02222
yvx

v
,即 0sin)1(sinsin22yepyeyeppxpxpx 故1p---------2分

1) 当 1p时, yevxsin, 由C-R方程,
yeyvxuxcos



, 则)(cos),(ygyeyxux, 又由

yexvygyeyuxxsin)(sin



，故 0)(yg, 所以cyg)( 。

则 cezfz)( ----------3分
2) 当 1p时, yevxsin, 由C-R方程,

yeyvxuxcos



, 则)(cos),(ygyeyxux, 又由

yexvygyeyuxxsin)(sin




，故 0)(yg, 所以cyg)( 。

则 cezfz)(
四(8分) 解: 1)在2||1z
11000111111()()(()())()21222nnnnnnnnzzfzzzzzzzz
