工程数学复变函数答案(第四版)西交大第六章 共形映射答案
复变函数课后习题答案(全)
精心整理页脚内容习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)i i i --（3）131i i i--（4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-，（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---，因此，31Re , Im 1010z z =-=，（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-，（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re 1, Im 3z z =-=，2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+（3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin2sin cos 222i i θθθθθ-+=+精心整理页脚内容3． 求下列各式的值： （1）5(3)i -（2）100100(1)(1)i i ++-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5）3i （6）1i +解：（1）5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- （5）3i 3cossin22i ππ=+（6）1i +2(cossin )44i ππ=+ 4． 设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，5． 解下列方程： （1）5()1z i +=（2）440 (0)z a a +=>解：（1）51,z i +=由此2551k i z i ei π=-=-，(0,1,2,3,4)k =（2）4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：精心整理页脚内容(1), (1), (1), (1)2222a a a a i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,zx iy =+则2x y z x y+≤≤+证明：首先，显然有22z x y x y =+≤+；其次，因222,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+从而222x y z x y +=+≥。
复变函数与积分变换答案-第6章共形映射
第六章 共形映射习题详解1、（1）21,2则'=+=w z w z ；伸缩率()22'==w i i ，旋转角()2'=A r g wi π；伸缩率()22'-=-=w i i ，旋转角()2'-=-Argw i π；（2）4=w z，则34'=w z ，伸缩率(1)4'=w ，旋转角()10'=Argw ；伸缩率()()()3(1)41421882'+=+=+=-=w i ii i i ()314'+=Argw i π。
2、21365,66,16w z z w z z '=--=-->部分被放大了，116z -<部分被缩小了。
3、43,41,w z z w z '=+=+具有伸缩率与旋转角不变性。
4、（1）1232,,1===-z z i z 分别映射成1233,1,0,w i w w =-=-=由30+32121::10111得+---+==++----w i i z zw i w z i i z； （2）123,1,0=∞==z z z 分别映射成1230,1,,w w w ==-=∞由-01111::11101得==-+--w w w z z； （3）1232,0,1===z z z 分别映射成1231,1,,w w w =-==∞由112121::110101得+--==----w z w w z z； （4）1230,,2===-z z i z 分别映射成1233,,1,w i w i w ===由3130206::1232得------==------w i i z z iw w i i z i i iz 。
5、由分式的分子与分母同乘以（或除以）非零复数后这些值不变化得：把系数,,,a b c d 加以整合有1ad bc -=。
6、（1）设(),az b f z cz d +=+由0()(0)0,()10,1,0()a b a i bf f i i i c d c i d ⋅+⋅-+=-=-==-⋅+⋅-+得解之0,2ab c d ===，故2();11122z z f z z z ==++（2）设(),az b f z cz d +=+由1(0)1,()(42)5==+f f i i ，得 ()0()11,420()5⋅+⋅+==+⋅+⋅+a b a i b i c d c i d ，解之()()11,(42)()424255=+=++=-++⎡⎤⎣⎦b d ai d i ci d d c i c d 05420,154222=⎧=+=⎧⎧⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨=-=-=-⎩⎩⎪⎩a a c d a d d c d c c d故 2()22==--+d f z dzz d 。
复变函数第六章共形映射习题
所求映射为w 2z 1. 2 z
24
例3 求一个分式线性映射w f (z)它将圆z 2 1 映成圆 w 2i 2 ，且满足条件
f (2) i,arg f (2) 0.
解
令z 2 ,
w
2
2i
w1 ,
w1 g( ),
1 w1 g( ) w1 1,
u2 v2 e2C2 ,v utanC1. 由于过原点的直线与以原点为心的圆正交，
故命题得证.
[证毕]
30
例6 试将如图所示的区域映射到上半平面.
解
取分式线性映射w1
z z
i i
,
将切点i映射为w1 ,并将
z i映射为w1 0.
y i
•
O
1x
由分式线性映射的保圆性知：
一、重点与难点
重点：分式线性变换及其映射特点 难点：分式线性变换与初等函数相结合，求一
些简单区域之间的映射
2
二、内容提要
f (z) 的几何意义 共形映射
一一对应性 保角性 保圆性
保对称性
分式线性映射
分 式 线 性 映 射 的 确 定
对 确 定 区 域 的 映 射
几个初等 函数构成
的映射
幂指 函数 数函
称为分式线性映射. 任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的 分式映射复合而成:
(1)平移映射 w z b;
(2)旋转与相似映射w az; (3)反演映射 w 1 .
z
9
分式线性映射的性质 1）分式线性映射在扩充复平面上一一对应. 2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性.
工程数学(复变函数积分变换场论)59473
六
cw a
章 也是一个分式线性映射。
共
形 映
两个分式线性映射的复合仍是一个分式线性映射
射
吴新民
- 18 -
第二节 分式线性映射
二 分式线性映射的分解
分式线性映射可以表示为
第 六
w (b ad ) 1 a
章
c cz d c
共 因此分式线性映射可以分解下列三种特殊映射的复合
形 映 射
w z b,
点，且 f (z0 ) 0. 又设 C 是 z平面内任意一条通过 z0 的光滑有向曲线，
共 其参数方程为
形 映 射
z z(t), t
且 t 增大的方向为C 的正向，z0 z(t0 ), z(t0 ) 0. 这样
映射 w f (z)就将曲线C 映射成 w 平面通过w0 f (z0 )
共 形 映 射
w f (z0 ) 的伸缩率。 如果解析函数 w f (z) 在区 域 D 内每一点都有 f (z) 0, 那么映射w f (z) 为
D 上的共形映射。
吴新民
- 13 -
第一节 共形映射的概念
z
例 求映射w z2 e 2在点 z i 出的转动角和
伸缩率
第 六 章
解
w
zi
第六章 共形映射
第一节 共形映射的概念 第二节 分式线性映射 第三节 唯一决定分式线性映射的条件 第四节 几个初等函数所构成的映射
第一节 共形映射的概念
第一节 共形映射的概念
第
六 一 有向曲线的切线方向
章
共 形
二 解析函数的导数的几何意义
映
射
三 共形映射的概念
吴新民
-2-
第一节 共形映射的概念
解密版《复变函数与积分变换》(西安交大_第四版)课后答案
习题一解答1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。
（1）i 231+； （2）i13i i 1−−； （3）()()2i 5i 24i 3−+； （4）i 4i i 218+−解 （1）()()()2i 31312i 32i 32i 32i 31−=−+−=+ 所以133=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+i 231Re ，1322i 31Im −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+,()2i 31312i 31+=+，131********i 3122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+， k π2i 231arg i 231Arg +⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+",2,1,0,232arctan ±±=+−=k k π（2）()()()()i,25233i 321i i)(1i 1i 13i i i i i 13i i 1−=+−−−=+−+−−−=−− 所以,23i 13i i 1Re =⎭⎬⎫⎩⎨⎧−− 25i 13i i 1Im −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−25i 23i 13i i 1+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−，2342523i 13i i 122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−−， k π2i 1i 3i 1arg i 1i 3i 1Arg +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−− ",±,±,=,+−=210235arctan k k π.（3）()()()()()()()()()42i 7i 262i 2i 2i 5i 24i 32i 5i 24i 3−−=−−−+=−+ 13i 27226i 7−−=−−=所以()()272i 5i 24i 3Re −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+，()()132i 5i 24i 3Im −=⎭⎫⎩⎨⎧−+，w ww .k hd aw .c om课后答案网()()l3i 272i 5i 24i 3+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+()()22952i5i 24i 3=−+， ()()()()k ππk π2726arctan 22i 2i 52i 43arg i 2i 52i 43Arg +−=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+ ()",2,1,0,12726arctan±±=−+=k k π.（4）()()()()i i 141i i i 4i i 4i i 10410242218+−−−=+−=+−3i 1i 4i 1−=+−=所以{}{}3i 4i i Im 1,i 4i i Re 218218−=+−=+−3i 1i 4i i 218+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−，10|i 4i i |218=+−()()()2k π3i 1arg 2k πi 4i i arg i 4i i Arg 218218+−=++−=+−=.2,1,0,k 2k πarctan3"±±=+−2．如果等式()i 13i53y i 1x +=+−++成立，试求实数x , y 为何值。
2023大学_工程数学《复变函数》西安交通大学第四版课后答案下载
2023工程数学《复变函数》西安交通大学第四版课后答案下载工程数学《复变函数》内容简介第一章复数与复变函数第一节复数及其运算第二节复数的几何表示第三节复数的乘幂与方根第四节复平面上的点集第五节复变函数第六节复变函数的极限与连续性小结习题第二章解析函数第一节复变函数的导数第二节解析函数第三节初等函数小结习题第三章复变函数的积分第一节复变函数的积分第二节柯西积分定理第三节不定积分第四节柯西积分公式第五节调和函数小结习题第四章解析函数的级数表示第一节复数项级数第二节幂级数第三节泰勒级数第四节洛朗级数小结习题第五章留数定理及其应用第一节孤立奇点第二节留数定理第三节应用留数定理计算实积分第四节辐角原理小结习题第六章保形映射第一节复平面上的曲线及其简单性质第二节保形映射第三节几个初等函数构成的映射第四节分式线性映射第五节关于保形映射的例题第六节几个特殊的保形映射和一般性定理第七节保形映射的一个应用小结习题第七章傅立叶变换第一节傅立叶变换第二节傅立叶变换的性质小结习题第八章拉普拉斯变换第一节拉普拉斯变换第二节拉普拉斯变换的性质第三节拉普拉斯逆变换小结习题习题解答工程数学《复变函数》图书目录本书是根据复变函数课程教学基本要求编写的，全书共八章，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的'级数表示、留数定理及其应用、保形映射、傅立叶变换、拉普拉斯变换，每章末有小结，以帮助学生掌握要点;书后附有习题答案，供学生参考。
书中带“__”号内容，可供各专业选用。
西安交大工程数学复变函数第四版1.6
ux, y x , vx, y 0.
x2 y2
让z沿直线y kx趋于零，则有
lim u x, y lim x lim
x
x0
ykx
x0
ykx
x2 y2
x0
ykx
1 k2 x2
1
1 k2
lim ux, y不存在，lim f z不存在.
x0
z0
y0
[证法2]令z rcos i sin , 则f z r cos cos .
ux, y, vx, y在x0 , y0 处连续
定理四
1 f z, gz在z0处连续
f
z
g z ,
f
zgz,
f g
z z
g
z0
0在z0处连续.
2 h gz在z0处连续, w f h在h gz0 处连续
w f gz在z0处连续.
4
3 结论：
① 有理整函数(多项式) w Pz a0 a1z a2z2 anzn
对复平面内所有的z都是连续的.
②
有理分式函数
w
Pz Qz
[P(z),Q(z)为多项式]
对复平面内使分母不为零的点都是连续的.
③
函数
f
(z)
在曲线C上
z
0点处连续是指
lim
z z0
f (z)
f (z0 ) ,
zC
在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数f(z) ,
在曲线上是有界的，即 M 0, 使得当 z C 时，恒有
f z M.
5
课后习题：
7
x x0
x x0
y y0
y y0
定理二 lim f z A, lim gz B,
《复变函数与积分变换》(西安交大-第四版)课后答案解析
网 c ⎜⎝⎛i8 − 4i21 + i⎟⎠⎞ = 1+ 3i ，| i8 − 4i21 + i |= 10 案 . ( ) ( ) Arg i8 − 4i21 + i = arg i8 − 4i21 + i + 2kπ = arg(1− 3i)+ 2kπ
9．将下列坐标变换公式写成复数的形式：
1）平移公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 y1
+ +
a1, b1;
2）旋转公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 x1
cosα sin α
− +
y1 y1
sinα , cos α .
解：设 A = a1 + ib1 ， z1 = x1 + iy1 ， z = x + iy ，则有 1） z = z1 + A ；2） z = z1(cosα + i sinα ) = z1eiα 。
故 n = 4k, k = 0, ±1, ±2,"。
16．（1）求方程 z3 + 8 = 0 的所有根 （2）求微分方程 y'''+8y = 0 的一般解。
( )1
π i
(1+
2k
)
解 （1） z = −8 3 = 2e 3 ，k=0,1,2。
即原方程有如下三个解：
1 + i 3, −2, 1 − i 3 。
−
5π 6
⎞ ⎟⎠
+