2018版高中数学选修1-1课件：1章末复习课 精品
人教A版高中数学选修1-1课件1、2章末.pptx
[点评] 利用圆锥曲线的定义直接求出相关点的轨迹， 是常考的题型．
求曲线方程的基本方法有：直接法和间接法．常见的 求曲线方程的方法有：直接法、定义法、代入法、参数法 以及求弦的中点轨迹时常用的“设而不求”法．这里仍需 强调的是不管用什么方法求轨迹方程，都要注意检验所求 的方程与曲线是否等价，多余的点要舍去，缺少的点要补 上.
∴AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y－y0＝－1k(x－x0)． 令 y＝0，得 xG＝x0＋ky0＝－2k22k＋2 1＋2k2k＋2 1 ＝－2k2k＋2 1＝－12＋4k21＋2， ∵k≠0，∴－12<xG<0， ∴点 G 横坐标的取值范围为－12，0.
[点评] 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥 曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合 思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中 点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不 求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热 点题型．
[例3] 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，
椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B
不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求
证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
[解析]
(1)
由
题Hale Waihona Puke 意即ae(λ－a2 1)2＋(λba2)2＝1， 所以(1－e2λ)2＋1－λ2e2＝1，
即 e4－2(1－λ)e2＋(1－λ)2＝0， 解得 e2＝1－λ，即 λ＝1－e2.
2018版高中数学北师大版选修1-1课件：第四章 导数应用
2.求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值， 最小的一个值为最小值. 特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取 得；②当 f(x) 在 (a ， b) 内只有一个极值点时，若在这一点处 f(x) 有极大 (小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大 ( 小)值， 这里(a，b)也可以 是(－∞，＋∞).
第四章 导数应用
章末复习提升
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主干梳理 思想构建
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要点归纳
主干梳理
1.判断函数的单调性
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解
决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来
判断函数的单调区间；
(2)注意在某一区间内 f′(x) ＞0(或f′(x)＜0) 是函数f(x) 在该区间上为增
3 单调递增 －2
22 单调递减 27
解析答案
解
a a f′(x)＝x－ x ，因为 x＝2 是一个极值点，所以 2－2＝0，则 a＝4.
4 x＋2x－2 此时 f′(x)＝x－ x ＝ x
因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，
＋∞)，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，则a＝4.
解析答案
1 2 2 3 (3)求证：当 x>1 时，2x ＋ln x<3x .
证明 2 3 1 2 1 2 设 g(x)＝3x －2x －ln x， 则 g′(x)＝2x －x－ x， 因为当 x＞1 时， g′(x)
2018学年高中数学选修1-1课件：3.3.1 函数的单调性与导数 精品
5.与参数有关的函数单调性问题 [典例] 已知函数 f(x)＝x3－ax－1.讨论 f(x)的单调性．
[解] f′(x)＝3x2－a. ①当 a≤0 时，f′(x)≥0， 所以 f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0 得 x＝± 33a； 当 x＞ 33a或 x＜－ 33a时，f′(x)＞0； 当－ 33a＜x＜ 33a时，f′(x)＜0.
同理，令 f′(x)<0，得23π<x<43π. ∴该函数的单调递增区间为0，23π，43π，2π； 单调递减区间为23π，43π. (2)函数的定义域为(0，＋∞)， 其导函数为 f′(x)＝2－1x. 令 2－1x>0，解得 x>12；令 2－1x<0，解得 0<x<12， ∴该函数的单调递增区间为12，＋∞，单调递减区间为0，12.
求函数的单调区间
[例 3] 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝12x＋sin x，x∈(0,2π)； (2)f(x)＝2x－ln x.
[解] (1)∵f′(x)＝12＋cos x， ∴令 f′(x)>0，得12＋cos x>0， 即 cos x>－12. 又∵x∈(0,2π)，∴0<x<23π 或43π<x<2π.
课时跟踪检测见课时达标检测(十六)
解析：令 f′(x)＝1－2cos x＞0， 则 cos x＜12，又 x∈(0，π)， 解得π3＜x＜π， 所以函数的单调递增区间为π3，π. 答案：π3，π
5．讨论下列函数的单调性： (1)y＝x3－x； (2)y＝ex＋e－x(x∈[0，＋∞))． 解：(1)y＝x3－x， y′＝3x2－1＝3x＋ 33x－ 33. ∵当 x＜－ 33或 x＞ 33时，y′＞0，
2018高中数学选修1-1课件：3-3-1 函数的单调性与导数
如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或 (a,0) 内导数的绝对值较大，图象 “陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞， a) 内 导 数 的 绝 对 值 较 小 ， 图 象 “平缓”.
梳理
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么 函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡 峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.
答案 解析
命题角度2 由导函数图象确定原函数图象
例2
已知y ＝f′(x) 的图象如图所示，则y ＝ f(x) 的
图象最有可能是如图所示的 答案 解析
反思与感 悟
通过观察导函数图象，确定导数值正负所在区间，也就确定
了原函数的增减区间；根据导函数图象的变化，可确定原函 数的增减快慢.
跟踪训练 2
已知 y ＝ xf′(x) 的图象如图所
题型探究
类型一 原函数和导函数图象之间的关系
命题角度1 根据原函数图象确定导函数图象
例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的
图象可能是图中的答案
解析
反思与感 悟
对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区 间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导 数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象.
引申探究 试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间 解答.
f(x)＝kx－ln x 的定义域为(0，＋∞)， 1 f′(x)＝k－x， 当 k≤0 时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)； 1 1 当 k>0 时，函数的单调递增区间为(k，＋∞)，单调递减区间为(0，k).
反思与感 悟
(1) 讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等 式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行 讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准. (2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：章末复习提升1
1.要注意全称命题、特称命题的自然语言之间的转换.2.正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”.3.有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分.4.常用“都是”表示全称肯定，它的特称否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的特称肯定可用“至少有一个是”来表示.5.在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混.6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若p，则q”，其否命题形式为“若綈p，则綈q”，其命题的否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式再判断.1.转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化. 例1 判断下列命题的真假.(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形； (2)若x ∉A ∩B ，则x ∉A 且x ∉B ； (3)若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |.解 (1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真.(2)该命题的逆否命题：“若x ∈A 或x ∈B ，则x ∈A ∩B ”，它为假命题，故原命题为假. (3)该命题的逆否命题：“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它为假命题，故原命题为假. 跟踪训练1 下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2(其中r >0)； (2)p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1.解 (1)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b2，所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b2＝r 成立，说明圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故p 是q 的充要条件. (2) 綈q ：x ＝－1且y ＝－1，綈p ：x ＋y ＝－2.∵綈q ⇒綈p ，而綈p ⇏綈q ，∴綈q 是綈p 的充分不必要条件，从而，p 是q 的充分不必要条件.例2 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0.又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎨⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3). (2) 綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q 且綈q ⇏綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}， 则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2].跟踪训练2 命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>a ，命题q ：a 2－4>0，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围.解 若p 为真命题，则a <1；若q 为真命题，则a 2>4，即a >2或a <－2. 由已知条件知：p 与q 一真一假，当p 为真，q 为假时有：⎩⎪⎨⎪⎧a <1，－2≤a ≤2，所以－2≤a <1，当q 为真，p 为假时有：⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >2或a <－2，所以a >2，综上所述，－2≤a <1或a >2.2.分类讨论思想分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一，分类讨论的关键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行分类求解，常用逻辑用语这章所涉及的不等式大多是含有字母参数的，对这类含参数的问题要进行分类讨论，讨论时要做到不重复、不遗漏.例3 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围. 解 方法一 由题意知，p 和q 有且只有一个为真.p 为真时，0＜a ＜1；∵y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同交点，∴Δ＝(2a －3)2－4＞0，得a ＜12或a ＞52，即q 为真时，0<a ＜12或a＞52. (1)当p 为真，且q 为假时，a ∈(0,1)∩([12，1)∪(1，52])，即a ∈[12，1).(2)当p 为假，且q 为真时，a ∈(1，＋∞)∩[(0，12)∪(52，＋∞)]，即a ∈(52，＋∞).综上，a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞).方法二 ∵A ＝{a |p (a )}＝{a |0<a <1}，B ＝{a |q (a )}＝{a |0<a <12或a >52}，∴p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈(A ∪B )且a ∉(A ∩B )， 故a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞).跟踪训练3 命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)的定义域为R ；命题q ：函数g (x )＝x ＋ax －2在(2，＋∞)上是增函数.如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围. 解 当p 为真命题时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4－4a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >1，∴a >1. 当q 为真命题时，g (x )＝x －2＋2＋a x －2＝1＋a ＋2x －2在(2，＋∞)上是增函数，∴a ＋2<0，即a <－2.∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， ∴p 与q 一真一假，∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).3.数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要条件的判定上.例4 设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件是_____. 答案 0<m <1解析 作出函数f (x )＝|log 2x |的图象如图所示，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，2m ＋1>1，故0<m <1即为f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件.故填0<m <1.跟踪训练4 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A.(0，12)B.(12，1) C.(1,2) D.(2，＋∞)答案 B解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为(12，1).4.反证法反证法是一种间接证法，它回避了从正面直接证明命题，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论.从逻辑角度看，命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则綈q ”，由此进行推理，如果产生矛盾，那么就说明“若p ，则綈q ”为假，从而可以得出“若p ，则q ”为真，达到证明的目的.反证法是高中数学解题的一种基本方法.例5 如果a ，b ，c ，d 为实数，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证a ，b ，c ，d 中至少有一个负数.证明 假设a ，b ，c ，d 中至少有一个负数不成立，则a ，b ，c ，d 都为非负数，即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0.因为a ＋b ＝1，c ＋d ＝1， 所以(a ＋b )(c ＋d )＝1， 即(ac ＋bd )＋(bc ＋ad )＝1.因为a ，b ，c ，d 均为非负数，于是bc ＋ad ≥0， 故由上式可以知道ac ＋bd ≤1， 这与已知条件的ac ＋bd >1矛盾，所以假设不成立，故a ，b ，c ，d 中至少有一个负数.跟踪训练5 用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半. 已知：在△ABC 中，∠BAC >90°，D 是BC 边上的中点， 求证：AD <12BC (如图所示).证明 假设AD ≥12BC .①若AD ＝12BC ，由平面几何知识“如果三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这条边所对的角为直角”知∠BAC ＝90°，与题设矛盾.所以AD ≠12BC .②若AD >12BC ，因为BD ＝DC ＝12BC ，所以在△ABD 中，AD >BD ，从而∠B >∠BAD ，同理∠C >∠CAD . 所以∠B ＋∠C >∠BAD ＋∠CAD ， 即∠B ＋∠C >∠BAC .因为∠B ＋∠C ＝180°－∠BAC ， 所以180°－∠BAC >∠BAC .故∠BAC <90°，与题设矛盾.由①②知AD <12BC .1.对于命题的判断问题，在考试中往往涉及多个知识点综合进行考查.考查知识点涉及逻辑联结词、三角函数、不等式、立体几何等诸多内容，得到命题者的青睐.该部分的考查重点有两个：(1)是综合其他知识，考查一些简单命题真假的判断；(2)是考查命题四种形式之间的关系.体现了考纲对“命题、充分条件、三角函数的有界性、不等式的性质以及空间线面关系等”的要求.解决此类问题的关键是灵活根据题干和选项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题，对于较难判断的问题，可以转化为它的逆否命题来解决.2.充分条件、必要条件和充要条件是对命题进行研究和考查的重要途径.通过对命题条件和结论的分析，考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解.3.正确理解逻辑联结词的含义，准确把握含有三个逻辑联结词的命题的判断方法，熟记规律：已知命题p 、q ，只要有一个命题为假，p ∧q 就为假；只要有一个为真，p ∨q 就为真，綈p 与p 真假相对.另外注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆.4.解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面：一是准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆；二是要掌握判断全称命题与特称命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明特称命题为真.。
2018-2019学年人教B版选修1-1 3.2.3 导数的四则运算法则 课件(共30张PPT)
gx≠0
除以分母的平方
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 f(x)＝a2＋2ax＋x2，则 f′(a)＝2a＋2x.( × ) (2)f1x′＝－f[′fxx]2(f(x)≠0)．( √ )
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1．对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限个可导函数的和或差，
所以[f(x)g(x)]＝f′(x)·g′(x)不成立．
问题 5：gfxx′＝gf′′xx成立吗？
提示：不成立，因为gfxx′＝x13′＝－3x－4，而gf′′xx＝－x12·21x＝－21x3.
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导数的四则运算法则(f(x)，g(x)是可导函数)
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[例 3] 求过点(1，－1)与曲线 y＝x3－2x 相切的直线方程．
[精解详析] 设 P(x0，x30－2x0)为切点， 则切线斜率为 k＝y′|x＝x0＝3x20－2，
故切线方程为 y－(x30－2x0) ＝(3x20－2)(x－x0)． ①
又∵(1，－1)在切线上 ∴将 x＝1，y＝－1 代入①式得
－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)． 解得 x0＝1 或 x0＝－12.
故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y＋1＝－54(x－1)，
即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0.
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[一点通] 求曲线的切线方程有以下两种情况 (1)求曲线在点 P 处的切线方程． (2)求过点 P 与曲线相切的直线方程，这时点 P 不一定是切点，也不一定在曲线 上，求解步骤为：
－x 2.
人教A版高中数学选修1-1课件：第二章 章末复习(共55张PPT)
A ·数学 ·选修1-1
1 圆 锥 曲 线 的 定 义 是 推 导 标 准 方 程 和 几 何 性 质 的 基 础，也是解题的重要工具，灵活运用定义，可避免很多复杂 的计算，提高解题效率，因此在解决圆锥曲线的有关问题时， 要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重 要的解题策略.
2应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合、方程 等思想结合运用.
13
A ·数学 ·选修1-1
(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦 点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何 意义去解决．
总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用， 要注意灵活运用．
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A ·数学 ·选修1-1
例 1 已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，P(1， m)是抛物线 C 上的一点，且|PF|＝2.
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A ·数学 ·选修1-1
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题， 根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建 立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系， 使问题更形象、直观．
4．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线问题，是高考对圆锥曲线考查的重 点和难点，也是历年考查的热点，是每年高考试卷上都会出 现的一个知识点．直线与圆锥曲线问题包括两大类：①直线 与圆锥曲线位置关系的判定；②直线与圆锥曲线相交而产生 的弦长问题、中点问题、范围问题、最值问题等．
A·选修1-1
A ·数学 ·选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程 章末复习
2
A ·数学 ·选修1-1
知识系统整合
3
A ·数学 ·选修1-1
规律方法总结 1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性 质
2018学年高中数学选修1-1课件：3.3.1 单调性 精品
[小组合作型] 函数与其导函数图象之间的关系
(1)如图 3-3-1，设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，将 y＝f(x)和 y＝f′(x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是________(填序号).
图 3-3-1
(2)已知函数 y＝xf′(x)的图象如图 3-3-2(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数)，下 面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是________(填序号).
(2)由题图知，当 x＜－1 时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0， ∴当 x＜－1 时，函数 y＝f(x)单调递增；当－1＜x＜0 时，xf′(x)＞0，∴f′(x) ＜0， ∴当－1＜x＜0 时，函数 y＝f(x)单调递减；当 0＜x＜1 时，xf′(x)＜0，∴f′(x) ＜0， ∴当 0＜x＜1 时，函数 y＝f(x)单调递减；当 x＞1 时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0， ∴当 x＞1 时，y＝f(x)单调递增.综上可知，③是 y＝f(x)的大致图象.
1.可导函数 f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且 f′(x)在(a，b)的任何子集内都不恒等于 0.
2.已知 f(x)在区间 D 上单调，求 f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法.通 常将 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)的参数分离，转化为求函数的最值问题，从而求出参 数的取值范围.特别地，若 f′(x)为二次函数，可以由相应方程的根的判别式求出参 数的取值范围.
[再练一题] 1.f′(x)是 f(x)的导函数，若 f′(x)的图象如图 3-3-3 所示，则 f(x)的图象可能是 ________(填序号).
【导学号：24830079】
2018学年高中数学选修1-1“同课异构”教学课件 3.3.3函数的最大小值与导数2 精品
3．情感、态度与价值观 经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的作 用，激发学生学习数学知识的积极性，树立学好数学的信心．
●重点、难点 重点：会求闭区间上连续函数可导的函数的最值． 难点：理解确定函数最值的方法． 本节课突破难点的关键是：理解方程 f′(x)＝0 的解，包含 有指定区间内全部可能的极值点．
(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a， f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)． 于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2. ∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2. ∵在(－1,3)上 f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增． 又由于 f(x)在[－2，－1]上单调递减， ∴f(2)和 f(－1)分别是 f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值． ∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数 f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.
【错因分析】 所求最大值 57 是在 x＝－2 时取得的，不 在所给区间(－2,2)上，故求解错误．
【防范措施】 在求解函数的最值时，一定要弄清所给区 间的范围，解题时，常会出现某些极值点不在所给区间中，而 误把该极值充当了最值的错误．
【正解】 y′＝－36＋6x＋12x2，令 y′＝0，即 12x2＋6x －36＝0，解得 x1＝32，x2＝－2(舍去)．
【自主解答】 (1)∵f(x)＝x3－3x2－9x＋5，x∈[－2,4]，
∴f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．
令 f′(x)＝0，得 x1＝－1，x2＝3. 当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x －2 (－2，－1) －1 (－1,3) 3 (3,4) 4
f′(x)
题目类型三、函数最值的综合应用问题 例 3、 已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝－23与 x＝1 处 都取得极值． (1)求 a、b 的值及函数 f(x)的单调区间； (2)若对 x∈[－1,2]，不等式 f(x)＜c2 恒成立，求 c 的取值范 围． 【思路探究】 (1)由已知条件如何求 a、b 的值并确定函数 f(x)的单调区间？(2)对 x∈[－1,2]，不等式 f(x)＜c2 恒成立应如何 进行转化？
2018版高中数学选修1-1学案：第一章 常用逻辑用语 章
1．要注意全称命题、存在性命题的自然语言之间的转换．2．正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”．3．有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分．4．常用“都是”表示全称肯定，它的存在否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的存在肯定可用“至少有一个是”来表示．5．在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼．证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混．6．否命题与命题的否定的区别．对于命题“若p，则q”，其否命题形式为“若綈p，则綈q”，其命题的否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论．有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式再判断．1．转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想．一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式．本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等．通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 例1 判断下列命题的真假．(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形； (2)若x ∉A ∩B ，则x ∉A 且x ∉B ； (3)若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |.解 (1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．(2)该命题的逆否命题：“若x ∈A 或x ∈B ，则x ∈A ∩B ”，它为假命题，故原命题为假． (3)该命题的逆否命题：“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它为假命题，故原命题为假． 跟踪训练1 下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切， q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2(其中r >0)； (2)p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1.解 (1)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b 2，所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b 2＝r 成立，说明圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故p 是q 的充要条件． (2) 綈q ：x ＝－1且y ＝－1，綈p ：x ＋y ＝－2.∵綈q ⇒綈p ，而綈p ⇏綈q ，∴綈q 是綈p 的充分不必要条件，从而，p 是q 的充分不必要条件．例2 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2) 綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q 且綈q ⇏綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}， 则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．跟踪训练2 命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>a ，命题q ：a 2－4>0，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．解 若p 为真命题，则a <1；若q 为真命题，则a 2>4，即a >2或a <－2. 由已知条件知：p 与q 一真一假，当p 为真，q 为假时有：⎩⎪⎨⎪⎧a <1，－2≤a ≤2，所以－2≤a <1，当q 为真，p 为假时有：⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >2或a <－2，所以a >2，综上所述，－2≤a <1或a >2. 2．分类讨论思想分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一，分类讨论的关键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行分类求解，常用逻辑用语这章所涉及的不等式大多是含有字母参数的，对这类含参数的问题要进行分类讨论，讨论时要做到不重复、不遗漏．例3 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围． 解 方法一 由题意知，p 和q 有且只有一个为真．p 为真时，0＜a ＜1；∵y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同交点，∴Δ＝(2a －3)2－4＞0，得a ＜12或a ＞52，即q 为真时，0<a ＜12或a ＞52.(1)当p 为真，且q 为假时，a ∈(0,1)∩([12，1)∪(1，52])，即a ∈[12，1)．(2)当p 为假，且q 为真时，a ∈(1，＋∞)∩[(0，12)∪(52，＋∞)]，即a ∈(52，＋∞)．综上，a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞)．方法二 ∵A ＝{a |p (a )}＝{a |0<a <1}，B ＝{a |q (a )}＝{a |0<a <12或a >52}，∴p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈(A ∪B )且a ∉(A ∩B )， 故a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞)．跟踪训练3 命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)的定义域为R ；命题q ：函数g (x )＝x ＋ax －2在(2，＋∞)上是增函数．如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围． 解 当p 为真命题时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4－4a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >1，∴a >1. 当q 为真命题时，g (x )＝x －2＋2＋a x －2＝1＋a ＋2x －2在(2，＋∞)上是增函数，∴a ＋2<0，即a <－2.∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， ∴p 与q 一真一假，∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 3．数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要条件的判定上．例4 设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件是________． 答案 0<m <1解析 作出函数f (x )＝|log 2x |的图象如图所示，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，2m ＋1>1，故0<m <1即为f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件．故填0<m <1.跟踪训练4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.答案 (3，＋∞)解析 如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |.当x ＞m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数.若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m ＜|m |. ∵m ＞0，∴m 2－3m ＞0，解得m ＞3.4．反证法反证法是一种间接证法，它回避了从正面直接证明命题，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论．从逻辑角度看，命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则綈q ”，由此进行推理，如果产生矛盾，那么就说明“若p ，则綈q ”为假，从而可以得出“若p ，则q ”为真，达到证明的目的．反证法是高中数学解题的一种基本方法．例5 如果a ，b ，c ，d 为实数，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证a ，b ，c ，d 中至少有一个负数．证明 假设a ，b ，c ，d 中至少有一个负数不成立，则a ，b ，c ，d 都为非负数，即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0.因为a ＋b ＝1，c ＋d ＝1， 所以(a ＋b )(c ＋d )＝1， 即(ac ＋bd )＋(bc ＋ad )＝1.因为a ，b ，c ，d 均为非负数，于是bc ＋ad ≥0， 故由上式可以知道ac ＋bd ≤1， 这与已知条件的ac ＋bd >1矛盾，所以假设不成立，故a ，b ，c ，d 中至少有一个负数．跟踪训练5 用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半． 已知：在△ABC 中，∠BAC >90°，D 是BC 边上的中点， 求证：AD <12BC (如图所示)．证明 假设AD ≥12BC .①若AD ＝12BC ，由平面几何知识“如果三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这条边所对的角为直角”知∠BAC ＝90°，与题设矛盾．所以AD ≠12BC .②若AD >12BC ，因为BD ＝DC ＝12BC ，所以在△ABD 中，AD >BD ， 从而∠B >∠BAD ，同理∠C >∠CAD . 所以∠B ＋∠C >∠BAD ＋∠CAD ， 即∠B ＋∠C >∠BAC .因为∠B ＋∠C ＝180°－∠BAC ， 所以180°－∠BAC >∠BAC . 故∠BAC <90°，与题设矛盾． 由①②知AD <12BC .1.对于命题的判断问题，在考试中往往涉及多个知识点综合进行考查．考查知识点涉及逻辑联结词、三角函数、不等式、立体几何等诸多内容，得到命题者的青睐．该部分的考查重点有两个：(1)是综合其他知识，考查一些简单命题真假的判断；(2)是考查命题四种形式之间的关系．体现了考纲对“命题、充分条件、三角函数的有界性、不等式的性质以及空间线面关系等”的要求．解决此类问题的关键是灵活根据题干和选项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题，对于较难判断的问题，可以转化为它的逆否命题来解决．2．充分条件、必要条件和充要条件是对命题进行研究和考查的重要途径．通过对命题条件和结论的分析，考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解．3．正确理解逻辑联结词的含义，准确把握含有三个逻辑联结词的命题的判断方法，熟记规律：已知命题p 、q ，只要有一个命题为假，p ∧q 就为假；只要有一个为真，p ∨q 就为真，綈p 与p 真假相对．另外注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆．4．解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面：一是准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆；二是要掌握判断全称命题与存在性命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明存在性命题为真．。