【人教版】八年级下数学《勾股定理》单元训练(含答案)

勾股定理专项训练专训1．巧用勾股定理求最短路径的长名师点金:求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题;第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中,然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形,将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．用计算法求平面中最短问题1.如图,学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B,为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______＿_步路(假设２步为1 m),却踩伤了花草.(第1题）2.小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题:如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石Ａ坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设ＡＢ＝80 kｍ，BC=20 km,∠ＡBＣ=1２０°.请你帮助小明解决以下问题：(１)求A，C之间的距离.（参考数据21≈4.６)（２)若客车的平均速度是60 km／h,市内的公共汽车的平均速度为４０km/h,“武黄城际列车”的平均速度为180 kｍ／h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由.(不计候车时间)(第2题)用平移法求平面中最短问题3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是５0 cm，3０c ｍ,10 cm,A和Ｂ是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只壁虎,它想到B点去吃可口的食物,请你想一想，这只壁虎从Ａ点出发,沿着台阶面爬到Ｂ点，至少需爬( )A．13 cm B．40 ｃｍＣ．130 cm D．169 ｃm(第3题)(第4题)4．如图,已知∠B＝∠Ｃ＝∠D=∠E＝90°,且AB=CD=3，ＢC＝4,DE=EF=2,则AＦ的长是__＿＿＿___．用对称法求平面中最短问题5．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E,AＥ=3,ＥB＝1，在ＡC上有一点P,使EＰ＋BP最短，求EP＋BP的最短长度.（第5题）6.高速公路的同一侧有A、Ｂ两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为AA′=２km,ＢB′＝4 km,A′B′=8 kｍ.要在高速公路上Ａ′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小.求这个最短距离．(第6题)用展开法求立体图形中最短问题类型1圆柱中的最短问题(第7题)7.如图，已知圆柱体底面圆的半径为＼f(2，π),高为2，ＡＢ，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发,沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是＿_＿＿＿___(结果保留根号).类型２圆锥中的最短问题8．已知：如图,观察图形回答下面的问题:(１)此图形的名称为_____＿__．(２)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿ＡS剪开,铺在桌面上,则它的侧面展开图是一个＿______＿.(3）如果点C是SＡ的中点,在A处有一只蜗牛,在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行,你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗?(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为９0°，请你求出蜗牛爬行的最短路程.(第8题)类型3正方体中的最短问题９.如图，一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C处.1(１)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.(第9题)类型4长方体中的最短问题1０.如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm,８cm,30 cm,在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃,求小虫爬行的最短路程．(第10题)专训2.巧用勾股定理解折叠问题名师点金:折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合,解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：（１)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2）在图形中找到一个直角三角形,然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有ｘ的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题.巧用全等法求折叠中线段的长1．(中考·泰安)如图①是一直角三角形纸片,∠Ａ＝3０°,BC=4 cｍ，将其折叠,使点C落在斜边上的点Ｃ′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DＥ折叠,使点A落在ＤC′的延长线上的点A′处,如图③,则折痕ＤE的长为（ )(第１题)A.错误!cm B．２错误!cmC.2错误!cmＤ.3 cｍ巧用对称法求折叠中图形的面积2．如图所示,将长方形ABCＤ沿直线BＤ折叠,使点C落在点C′处,BC′交AD于E,ＡD＝8，AB＝4,求△BED的面积．（第２题)巧用方程思想求折叠中线段的长3.如图,在边长为6的正方形ＡBCD中，Ｅ是边ＣD的中点,将△ＡDE沿AＥ对折至△AFE,延长ＥF交BC于点G，连接ＡG.（１)求证:△ＡBG≌△ＡFG;(2）求BＧ的长．(第3题）巧用折叠探究线段之间的数量关系4.如图，将长方形ＡBCD沿直线EF折叠,使点C与点Ａ重合，折痕交AD于点E,交ＢＣ于点F，连接CE.(１)求证：AE=AF＝CE=CF；(２)设ＡE=ａ,ED=b，DC=c，请写出一个ａ，ｂ,c三者之间的数量关系式.（第4题)专训3.利用勾股定理解题的7种常见题型名师点金：勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾股定理可以解与直角三角形有关的计算问题,证明含有平方关系的几何问题,作长为n（ｎ为正整数)的线段，解决实际应用问题及专训一、专训二中的最短问题、折叠问题等,在解决过程中往往利用勾股定理列方程(组)，有时需要通过作辅助线来构造直角三角形,化斜为直来解决问题．利用勾股定理求线段长1.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ＡＢＣ=90°，点D为ＡC边的中点,过D点作ＤＥ⊥DF,交AB于Ｅ，交BC于F,若AE＝4,FC=3,求EF的长.(第1题）利用勾股定理作长为错误!的线段2.已知线段ａ,作长为错误!a的线段时,只要分别以长为和的线段为直角边作直角三角形,则这个直角三角形的斜边长就为错误!ａ．利用勾股定理证明线段相等３．如图，在四边形ＡBFC中,∠ABC＝90°，CD⊥ＡD，AＤ2=2AB２－CD２.求证:AB=BC.(第3题)利用勾股定理证明线段之间的平方关系4．如图,∠Ｃ＝90°，AM=CM,MP⊥AB于点P.求证：BP2＝BＣ2+AP2.(第4题)利用勾股定理解非直角三角形问题5.如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=14，ＡC＝10.求BC的长.（第５题)利用勾股定理解实际生活中的应用６．在某段限速公路ＢC上(公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 ｋm/ｈ错误!，并在离该公路100 ｍ处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A位于y轴上,测速路段BC在x轴上,点B 在点A的北偏西６0°方向上，点Ｃ在点A的北偏东45°方向上．另外一条公路在y轴上,AＯ为其中的一段．（1）求点Ｂ和点Ｃ的坐标；(2）一辆汽车从点B匀速行驶到点Ｃ所用的时间是15 s,通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速.(参考数据:＼ｒ(3)≈1.７）（第６题)利用勾股定理探究动点问题7．如图,在Rt△AＢC中，∠ACＢ＝90°，AＢ=5 cm,AC＝3 ｃｍ,动点P从点B出发沿射线BC以１cｍ/s的速度移动,设运动的时间为t秒.（１)求BC边的长;(2）当△ＡＢP为直角三角形时,借助图①求t的值；(３）当△AＢＰ为等腰三角形时,借助图②求t的值.(第7题)答案专训11．4（第2题)2.解:(1）如图，过点C作ＡB的垂线，交AB的延长线于点E.∵∠ＡBＣ=１2０°,∴∠BＣE＝3０°.在Rt△CBE中，∵BC=２0 km,∴BE＝１0 ｋｍ.由勾股定理可得CE=10 3 km.在Rｔ△ACＥ中,∵AC2＝ＡE2+CE2＝(AB+BE）2+ＣE2＝8 10０＋300＝8 400, ∴AＣ=202１≈20×4.6=９2(km）.（2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车需时间ｔ1=错误!＝1错误!(h)，乘“武黄城际列车”需时间t2≈＼f(92，180)＋204０=１19０(h)．∵1错误!>1错误!，∴选择乘“武黄城际列车”．(第３题）3.C点拨：将台阶面展开，连接AB，如图,线段ＡB即为壁虎所爬的最短路线.因为BＣ＝30×3＋１0×３＝12０(ｃm),AC=５0 cm,在Ｒｔ△ABC中，根据勾股定理,得AB2=ＡC2+BC2=16 90０,所以AＢ＝130 ｃm.所以壁虎至少爬行13０cm.4．1０５.解：如图,连接BＤ交AC于O，连接ED与AＣ交于点P，连接BP.（第5题)易知BD⊥AC,且BO=OD，∴ＢP=ＰＤ，则BP+ＥP=ＥD，此时最短．∵AE=３,AD=1＋3=4,由勾股定理得ED２=ＡＥ2+AD2=32+4２＝2５＝52,∴ED=BP＋EP＝５.6．解:如图，作点B关于MＮ的对称点C,连接AC交MN于点P，则点P即为所建的出口.此时A、B两城镇到出口Ｐ的距离之和最小,最短距离为AC的长.作AD⊥BＢ′于点D,在Rt△AＤC中,AD＝A′B′=8 km,DC＝６km.∴ＡＣ＝＼r（AD2＋DC2)=10 km，∴这个最短距离为10 ｋm.(第６题）７.2２点拨:将圆柱体的侧面沿ＡD剪开并铺平得长方形AＡ′Ｄ′D,连接ＡC,如图．线段ＡC就是小虫爬行的最短路线.根据题意得AB=＼f(2，π）×2π×错误!=2．在Ｒt△ABＣ中,由勾股定理,得AC2＝AＢ2＋ＢC2=22＋２２＝８，∴AC＝8=2错误!．(第７题)8．解:(1）圆锥(２)扇形(3)把此立体图形的侧面展开,如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线.(4)在Rｔ△ASＣ中，由勾股定理,得AC2＝102＋52＝125，∴AＣ＝＼r(125)＝5错误!．故蜗牛爬行的最短路程为5 5.(第8题)（第9题)9．解：（１)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的ＡC′1和AC1.(２)如图，ＡC′１=＼r(4２+(4+4）2)＝4错误!．ＡＣ１=(4＋4)2+42=4 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4＼ｒ(5). 10．解：分为三种情况:(1)如图①,连接EC，在Rt△EBC中，EB＝12+８＝20（cm)，BＣ=12×30＝1５(cm).由勾股定理，得EＣ=20２+１5２=25(cm）.(２)如图②,连接EC.根据勾股定理同理可求ＣE=错误!cｍ>２5 cm.(3)如图③,连接EＣ.根据勾股定理同理可求CE＝错误!=错误!(ｃm)＞２５cm．综上可知，小虫爬行的最短路程是25 ｃｍ.(第10题)专训2１．A2．解:由题意易知AD∥BＣ，∴∠2=∠3.∵△BＣ′D与△BＣD关于直线BD对称,∴∠1＝∠２.∴∠1=∠3.∴EＢ=ED．设EB=x，则EＤ＝x，ＡE＝ＡD－EＤ＝８－x.在Rt△ABE中，AＢ2+AＥ2＝ＢE2，∴4２＋(8－ｘ)２=x2.∴x=5.=＼f(1,2)ＤE·ＡB＝错误!×5×4＝1０．∴ＤＥ＝5.∴S△BED解题策略:解决此题的关键是证得ＥD=EB，然后在Rt△AＢＥ中,由ＢE2＝AB2＋AＥ2，利用勾股定理列出方程即可求解.3．(1）证明：在正方形AＢCD中，AＤ＝AＢ,∠D=∠Ｂ=90°.∵将△ADＥ沿ＡE对折至△AFＥ，∴AＤ=AF,DE＝EF，∠D=∠ＡＦE＝9０°.∴ＡＢ＝ＡF,∠Ｂ=∠ＡFG=90°.又∵ＡG=AG，∴Rt△ABＧ≌Rｔ△ＡFG(HL）．(2)解：∵△AＢG≌△AFG，∴BG=FＧ.设BG＝FG=ｘ，则GＣ＝６－ｘ，∵E为CＤ的中点，∴ＣE=DE＝EF＝3，∴EG＝3+x．∴在Rｔ△CＥG中,32+（6－x）２＝(3＋x)2，解得ｘ=2.∴ＢG=２.4．(1）证明：由题意知,AF＝CF,AE＝CＥ，∠ＡFE=∠CFE，又四边形ＡBCD 是长方形，故AＤ∥BＣ，∴∠ＡEF=∠CFＥ.∴∠AFE＝∠AＥＦ.∴ＡＥ＝AＦ=EＣ=CF.(2)解：由题意知，AE＝EC＝ａ，ED=ｂ，DC=ｃ，由∠D=９0°知,ＥD2＋DC２=CE2,即b2＋c2＝ａ2．专训3（第1题)1．解:如图,连接BD.∵等腰直角三角形AＢC中，点D为AC边的中点，∴BD⊥ＡC,BD平分∠ABＣ（等腰三角形三线合一)，∴∠ＡＢＤ=∠CＢD＝４5°，又易知∠C=４5°,∴∠ABD=∠ＣBD=∠Ｃ.∴BＤ=CD.∵DE⊥DF，BD⊥AC,∴∠FDC+∠BＤＦ＝∠EDB+∠BDF.∴∠FＤC＝∠EDＢ.在△EDB与△FDC中,错误!∴△EDB≌△FＤＣ(ＡSＡ）,∴BE＝FC=3.∴AB＝7,则BＣ＝7.∴BF=4.在Rt△EBF中，ＥF2＝BＥ2+BF２＝3２+42＝2５，∴EF＝5．２．2a;3a3．证明：∵ＣＤ⊥AD,∴∠ＡDC=90°,即△ADC是直角三角形.由勾股定理，得AＤ２＋ＣD2＝AC2.又∵ＡD2=2ＡB２－CD2，∴AD2+ＣＤ2=2AB2.∴AＣ2＝2AB2.∵∠ABC＝90°,∴△ABC是直角三角形．由勾股定理,得AB2+BC2=AC2，∴AＢ2+ＢC２＝2AＢ2，故BＣ2=AＢ２，即AB=BＣ.方法总结：当已知条件中有线段的平方关系时,应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤:①找出图中证明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的平方关系；③联系已知,等量代换，求之即可．(第4题）4.证明：如图,连接BＭ.∵PM⊥ＡB，∴△BMＰ和△ＡMＰ均为直角三角形.∴BP2＋PM2＝BM２,ＡP2+PM２＝AM2.同理可得BC２+ＣM２＝BＭ2.∴BP2+PM2=BＣ2+CM２.又∵CM=AM，∴CM2=AＭ2＝ＡP2＋PM2.∴BP2＋PM２＝ＢC2＋AP２＋ＰＭ２.∴BＰ２=ＢC２+AP２．(第5题)5．思路导引:过点A作ＡD⊥BC于D，图中出现两个直角三角形——Rt△ACD 和Rｔ△ABD，这两个直角三角形有一条公共边AＤ，借助这条公共边可建立起两个直角三角形之间的联系解:如图，过点A作AD⊥BＣ于点D.∴∠ADC=90°.又∵∠C＝６0°,∴∠CAＤ＝90°－∠C＝30°，∴CD＝＼ｆ(1,2)AＣ=５．∴在Rt△ＡCD中，AD＝＼r(AＣ2－ＣD2)=102－52＝5３.∴在Rt△ABD中,ＢD＝错误!＝１1.∴BC＝BD+CＤ＝11＋5=16.方法总结:利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法:作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件,采用推理或列方程的方法解决问题.６.思路导引：(1)要求点B和点C的坐标,只要分别求出ＯB和OC的长即可．(2)由（1）可知BC的长度,进而利用速度公式求得汽车在这段限速路上的速度，并与错误!比较即可.解：(1)在Ｒｔ△AOB中，∵∠BＡＯ=6０°,∴∠ＡBO＝３0°，∴OA＝＼f(１,2)AＢ．∵OA=１０0 m，∴AB=200 m.由勾股定理,得OB=AB2-OA2＝2002－10０2＝１０03(m）．在Rt△ＡＯC中,∵∠CAO=４５°，∴∠OCA＝∠OＡC＝４5°.∴OC=OA＝100 ｍ．∴Ｂ（－1００错误!，0)，C（10０,0).(2）∵BＣ=BO＋CＯ＝(100错误!+1０0)ｍ，错误!≈18＞错误!，∴这辆汽车超速了.7．解：(1)在Ｒｔ△ＡＢC中，BＣ２=ＡＢ2－ＡC2＝52－３2=16，∴BC=４cm.（２）由题意知ＢP＝ｔcm,①如图①，当∠APＢ为直角时,点P与点C重合，BＰ＝BC＝4 cm,即t＝4;②如图②,当∠BAP为直角时，BP＝t cm,ＣP=(t－４）cm，AC=３cｍ,在Ｒｔ△ACP中，ＡP2=32+(t-4)2,在Rｔ△BAP中，AB2＋AP2=BP2,即5２＋[３2+（t-4)２]＝t2，解得t＝错误!.故当△ABＰ为直角三角形时,t＝４或t＝＼f（25,4).(第7题（2）)(３)①如图①,当ＢP=AB时，ｔ=5；②如图②,当AＢ＝ＡP时,BP=２ＢＣ＝8 cm,t=8;(第７题(3)）③如图③，当ＢP＝AP时，AP＝ＢＰ=t cm，CP=｜t-４|ｃｍ，AC=3 cm，在Rｔ△AＣＰ中，ＡP2＝AC2+CＰ２，所以t2=32+(ｔ-4)2，解得t=错误!.综上所述：当△ABＰ为等腰三角形时，t＝5或t=8或t=错误!.。