无穷级数单元测试题答案知识分享
无穷级数习题课含解答
无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。
第十二章无穷级数A同步测试卷(最新整理)
1 1 1 1
2
23
『方法技巧』 本题考查等比（几何）级数求和及级数的性质.
『特别提醒』 等比级数的和为 a1 ( q 1) ，一定记住分子为第一项. 1 q
7. 解
lim un1 u n
n
lim n
2n1
n 1 (3)n1
x 2 n 1
2n
n (3)n
x 2 n 1
lim n
2n (3)n 2n1 (3)n1
x2
1 lim
( 2)n 1 3
x2 x2
3 n ( 2)n1 1
3
3
5
由比值审敛法知：当 x2 1，即 x 3 时，级数收敛；当 x2 1 ，即 x 3 时，
3
3
级数发散，因此级数的收敛半径为 R 3 .
『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法及其特殊性.由比值审敛法
判断级数 un 收敛时，原级数 un 绝对收敛；而级数 un 发散时，原级数
2 a2
n an )
S(1) a
a (1 1 )2
a (a 1)2
a
『方法技巧』 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个
利用分式的性质，将
f
(x)
12 5x 6 5x x2
化为标准形式 1 1 (
x)
1 1 x
.
6
15. 解
所求极限实际上是级数
n1
n an
的和，所以考虑幂级数
nx n
n1
.
令
S(x)
x
n1
nxn1
x[
n1
xn ]
x( x 1
) x
x (1 x)2
高等数学第八章无穷级数习题解析
难题解析8－14.(3)1sin6nnm m S π==∑ 112(21)(21)2sin 2sin sin cos cos 1212121212n nnm m m m m S πππππ==-+⎡⎤⋅==-⎢⎥⎣⎦∑∑ (21)coscos1212m ππ+=-11n S =5.(5)2lim 0n n u e→∞=≠ 5.(6) 1lim 08n n u →∞=≠ 6.(1) 12n pnn n n p S S u u u ++++-=+++1111()12311111()()1231p n n n n p p n n n n p n p ⎧----⎪++++⎪≤⎨⎪-----⎪++++-+⎩为偶数为偶数即对任何自然数p ，有11n pnS S n +-<+ 6.(2) 12n pnn n n p S S u u u ++++-=+++1211112222n n n p n+++≤+++< 对任何自然数p 成立. 6.(3) 111111cos cos cos1122n pnS S n n n n n p n p +-=+--++++++ 11111cos cos 2122p n n n p n p >⋅+-->++++ 不妨取p n =，即2011cos 24nnn S S n n ε->>=+ 6.(4) 111131323331n u n n n n =+->++++ 12n p n n n n p S S u u u ++++-=+++1113437331331pn n n p n p >+++>++++++ 不妨取p n =，即01617nn p n S S n ε+->>=+ 8－2(A)1.(3)lim 1n n n→∞→∞== 4.(5) 22332321()1lim lim()111n n n n n n n n →∞→∞+++==+ 4.(6)2cos 3022n n n n n n a π<≤=,112n n →∞==<4.(8) 21lim11n n n n a a +→∞→∞==< 8－2(B)1.(1) 13lim12n n n a a +→∞=>1.(2) 119n =<1.(3) lim n n n b ba a→∞==, 当b a >时，级数发散； b a <时，级数收敛； b a =时，不能确定.1.(5)当1a >时，11()1nnn u a a =<+，级数收敛； 1a =时，1lim 02n n u →∞=≠，级数发散； 01a <<时，lim 10n n u →∞=≠，级数发散.1.(6) lim 1n n naa n →∞==+ 当1a >时，级数发散01a <<时，级数收敛；1a =时，11lim 011nn n u e n →∞⎛⎫ ⎪==≠ ⎪ ⎪+⎝⎭，级数发散. 1.(7) 1limlim 1(1)n n n n n u a au en+→∞→∞==+ 当a e >时，级数发散0a e <<时，级数收敛；a e =时，因为数列1(1)n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭单调上升，所以1(1)n e n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭单调下降， 即1n n u u +>，级数发散. 1.(8)22110()(23)q qn n n=++ 当12q >时，级数收敛，12q ≤时，级数发散。
无穷级数习题答案
无穷级数习题答案无穷级数是数学中一个非常重要的概念，它在数学分析、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
无穷级数的求和问题一直是学生们在学习过程中面临的难题。
在这篇文章中，我将给出一些常见无穷级数习题的答案，并尝试解释其中的一些思路和技巧。
首先，让我们来看一个经典的无穷级数：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 这个级数被称为几何级数，它的通项为1/2的n次方。
我们的目标是求出这个级数的和。
要解决这个问题，我们可以使用一个重要的公式，即几何级数的求和公式。
根据这个公式，当公比小于1时，几何级数的和等于首项除以（1减公比）。
在这个例子中，首项是1，公比是1/2，因此这个级数的和等于1除以（1减1/2），即2。
所以，这个级数的和是2。
接下来，让我们考虑另一个无穷级数：1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... 这个级数的通项是1除以（2n-1）。
我们的目标是求出这个级数的和。
这个级数是一个调和级数的变形。
调和级数是指形如1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...的级数。
调和级数是发散的，也就是说它的和是无穷大。
但是，当我们去掉其中的偶数项时，级数的和会发生变化。
要解决这个问题，我们可以使用一个技巧，即将级数中的每一项乘以一个适当的因子。
在这个例子中，我们将每一项乘以2，得到2/1 + 2/3 + 2/5 + 2/7 + ... 这个级数的和等于2乘以（1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...）。
这个级数是一个调和级数，它的和是无穷大。
因此，原始级数的和也是无穷大。
除了几何级数和调和级数，还有许多其他类型的无穷级数。
其中一个常见的类型是幂级数，形如a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...的级数。
幂级数在微积分中有广泛的应用。
让我们考虑一个幂级数的例子：1 + x + x^2 + x^3 + ... 这个级数的通项是x的n次方。
我们的目标是找到这个级数的和。
高数各章综合测试题与答案
第十一章 无穷级数测试题一、单项选择题一、单项选择题 1、若幂级数1(1)nn n a x ¥=+å在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然( ) (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散;(D) 收敛性不定.2、下列级数条件收敛的是(). (A) 1(1);210nn nn ¥=-+å (B) 131(1);n n n-¥=-å(C) 111(1)();2nn n ¥-=-å(D) 113(1).n n n¥-=-å3、若数项级数1nn a¥=å收敛于S ，则级数()121nn n n aa a ¥++=++=å() (A) 1;S a + (B) 2;S a + (C) 12;S a a +-(D) 21.S a a +- 4、设a 为正常数，则级数21sin 3n na n n ¥=éù-êúëûå( ). (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与a 有关. 5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,n n S x b n x x ¥==-¥<<+¥å，其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==ò，则1()2S -等于() (A) 1;2- (B) 1;4- (C) 1;4(D) 12.二、填空题二、填空题 1、 设14nn u¥==å，则111()22n n n u ¥=-=å() 2、 设()111n n n a x ¥+=-å的收敛域为[)2,4-，则级数()11nn n na x ¥=+å的收敛区间为() 3、 设32,10(),01x f x x x -<ì=í<î≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于( ) 4、 设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ¥=++å则3b =()5、级数()1(1)221!n n n n ¥=-+å的和为( ) 三、计算与应用题三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ¥=-×å的收敛域的收敛域2、求()21112n n n ¥=-×å的和的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)0n f +4、求2012!nn n n x n ¥=+å的和函数的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n x n n f x f x x -¢=+，n 为正整数，且e (1)nf n=，求函数项级数()1n n f x ¥=å的和函数.6、 设有方程10nx nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ，并证明当1a >时，级数1n n x a¥=å收敛. 四、证明题四、证明题设π4tan d nn a x x =ò（1） 求()211n n n a a n ¥+=+å （2） 试证：对任意常数0l >，级数1n n a nl¥=å收敛收敛提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n¥+=+=å.因为211n na an ++=+,所以111n a n n <<+,1111nn n a n n l l ¥¥+==<åå第十一章 无穷级数测试题答案与提示一、1、A ；2、D ；3、B ；4、C ；5、B. 二、二、1、1；2、()4,2-；3、32；4、2π3；5、cos1sin1-. 三、三、1、答案：[)0,6.2、答案：53ln 284-提示：原式为级数()211n n x n¥=-å的和函数在12x =点的值. 而()22221121211nn nn n n x x xn n n ¥¥¥====--+-ååå,分别求出2121n n x n ¥=-å和2121n n x n ¥=+å的和函数即可.3、答案：11(1)211(),,122n n n n f x xx n +¥+=--éö=Î-÷ê+ëøå()1(1)(1)20!1n nn f nn ++--=×+. 提示:()()()2()ln 12ln 12ln 1f x x xx x =--=-++4、答案：222011e 1,2!42x n n n n x x x x n ¥=æö+=++--¥<<+¥ç÷èøå 提示：()2011112!1!2!2n nn n n n n n nx x x n n n ¥¥¥===+æöæö=+ç÷ç÷-èøèøååå， 而()1011e ,e 1!!xn x n nn x x x n n ¥¥====-åå5、答案：()()[)1e ln 1,1,1xn n f x x x ¥==--Î-å提示：先解一阶线性微分方程，求出特解为()e xn x f x n=()111e e x xn n n n x x f x n n ¥¥¥=====ååå，记1()n x S x n¥==å，则可得()ln(1)S x x =--6、提示:设()1n n f x x nx =+-,则()()0,0n f x x ¢>>,故()n f x 在()0,+¥内最多有一个正根.而(0)10,(1)0nn f f n =-<=>,所以有唯一正根0x .由方程10n x nx +-=知,110nx x nn-<=<,故当1a > 时，级数1nn x a ¥=å收敛.四、提示：()()2111n n a a nn n ++=+，()2111n n n a a n¥+=+=å.因为211n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+,1111nn n a n nl l ¥¥+==<åå第十章 曲线积分与曲面积分测试题一、单项选择题一、单项选择题1、已知()()2d d x ay x y y x y +++为某二元函数的全微分，则a 等于( ) (A) 1;- (B) 0; (C) 1;(D) 2. 2、设闭曲线c 为1x y +=的正向，则曲线积分d d cy x x yx y-++ò的值等于() (A) 0; (B) 2; (C) 4; (D) 6. 3、设S 为封闭柱面()22203x y az +=≤≤，其向外的单位法向量为{}c o s ,c o s,c o s n a b g =，则()cos cos cos d x y z s a b g S++òò等于( ) (A) 29π;a (B) 26π;;a (C) 23π;a(D) 0. 4、设曲线c 为22220x y z a x y z ì++=í++=î，则d c x s ò等于( ) (A) 23;a (B) 0; (C) 2;a(D) 213a . 5、设S 为下半球222z a x y =---的上侧，W 是由S 和0z =所围成的空间闭区域，则d d z x y åòò不等于()(A) d ;v W -òòò(B) 2π220d d aa r r r q -òò;(C) 2π22d d ;aa r r r q--òò(D) ()d d z x y x y å++òò.二、填空题二、填空题1、设c 是圆周222x y a +=，则()2d cx y s -=ò() 2、设质点在力()()32F y x i y x j =++-的作用下沿椭圆2244x y +=的逆时针方向运动一周，则F 所做的功等于() 3、设S 是平面6x y z ++=被圆柱面221x y +=所截下的部分，则d z s åòò等于() 4、设S 是球面2221x y z ++=的外侧，则()23222d d xy z xy zS++òò等于() 5、设22()d ()d 1cxf x y x f x yx -++ò与路径无关，其中()f x ¢连续且(0)0f =，则()f x =( ) 三、计算与应用题三、计算与应用题 1、求()()xysin d cos d LI e y b x y x e y ax y éù=-++-ëûò，其中,a b 为正常数，L 为从点()2,0A a 沿曲线22y ax x =-到点()0,0O 的弧.2、计算2d LI y s =ò，其中L 为圆周22220x y z a x y z ì++=í++=î.3、在变力F y z i z x j x y =++的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a bc++=上第一卦挂线的点(),,M x h z ，问,,x h z 取何值时，力F 所做的功W 最大？并求出W 最大值.4、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分，点(),,P x y z S Î，π为S 在点P 处的切平面，(),,x y z r 为点()0,0,0O 到平面π的距离，求()d ,,Sz s x y z r òò.5、求d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y S=++òò，其中S 为曲面()221014y z xx =--≤≤的上侧.6、设对于半空间0x >内任意光滑有向闭曲面S ，都有，，都有，2()d d ()d d e d d 0x Sxf x y z xyf x z x z x y --=òò，其中函数()f x 在()0,+¥内具有连续的一阶导数，且0lim ()1x f x +®=，求()f x . 答案：()e ()e 1xxf x x=-提示：由题设和高斯公式得提示：由题设和高斯公式得220()d d ()d d e d d ()()()e d xxSxf x y z xyf x z x z x y xf x f x xf x v W¢éù=--=±+--ëûòòòòò由S 的任意性，知2()()()e 0xxf x f x xf x ¢+--=，解此微分方程即可.四、证明题四、证明题 已知平面区域(){},0π,0πD x y x x =≤≤≤≤，L 为D 的正向边界，试证：的正向边界，试证：（1）sin sin sin sine d e d e d e d y x y xLLx y y x x y y x ---=-òò；（2）2sin sin 5πe d e d 2y x Lx y y x --ò≤第十章 曲线积分与曲面积分测试题答案与提示一、一、1、D ；2、C ；3、A ；4、B ；5、B. 二、二、1、3πa -；2、4π-；3、63π；4、4π3；5、211x +.三、三、1、答案：23ππ222I a b a æö=+-ç÷èø. 提示：添加从()0,0O 沿0y =到点()2,0A a 的有向直线段1L ，然后用格林公式. 2、答案：32π3I a =. 提示：利用变量“对等性”22231d d d d 3L L L LI y s x s z s a s ====òòòò.3、答案：,,333a b c x h z ===m a x 39W a b c =.提示：直线段:,,OM x t y t z t x h z ===，t 从0变到1，功W 为120d d d 3dOM W yz x zx y xy z t t xhz xhz =++==òò 再求W xhz =在条件2222221x y z a b c++=下的最大值即可.4、答案：、答案：()3d π,,2Szs x y z r =òò.提示：曲面S 在点(),,P x y z 处的法向量为{},,2x y z ，切平面方程为：022xyX Y zZ ++=， 点()0,0,0O 到平面π的距离()12222,,44x yx y z zr -æö=++ç÷èø.5、答案：d d 2d d 3d d πI xz y z zy z x xy x y S=++=òò.提示：添加曲面1S 为平面xoy 上被椭圆()221014y x x +=≤≤所围的下侧，在S 和1S 所围封闭曲面上用高斯公式. 注意到在1d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y S =++òò的积分等于3d d Dxy x y òò为0.6、提示：、提示：（1） 左边=()ππsinsinsin sin 0π0πed πed πe +e d yxx xy x x ---=òòò，同理，，同理，右边=()πsin sin 0πe+e d xx xx -ò（2） 由（1）得s i n s i n ed ed yxLx y y x --ò=()πsin sin 0πe+ed x xx -ò，而由sin ex 和sin ex-泰勒展开式知道式知道()π20π2sin d x x +ò≤()πsin sin 0πe +e d x x x -ò，而()π2205π2sin d π2x x +=ò.第九章 重积分测试题一、选择题一、选择题1、若区域D 是xoy 平面上以(1,1)，(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限中的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +=òò(). (A) 12cos sin D x ydxdy òò;(B) 2cos sin Dx ydxdy òò(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +òò(D) 0 2、设(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+òò，其中D 是xoy 平面上由20,y y x ==和1x =所围区域，则(,)f x y 等于().(A) xy ;(B) 2xy ; (C) 1xy + ; (D) 18xy +3、设2222222123cos d d ,cos()d d ,cos()d d ,DDDI x y x y I x y x y I x y x y =+=+=+òòòòòò其中(){}22,1D x y xy =≤+，则(). (A) 321I I I >>;(B) 123I I I >>; (C) 213I I I >> ; (D) 312I I I >> 4、设空间闭区域W 由2221x y z ++≤及z 0≤确定，1W 为W 在第一挂限的部分，则( ). (A) 1d 4d x v x v WW =òòòòòò; (B)1d 4d y v y v WW =òòòòòò;(C)1d 4d z v z v WW =òòòòòò; (D) 1d 4d xyz v xyz v WW =òòòòòò5、设空间闭区域(){}2222,,2z x y zx y x yW =-≤≤+-，d I z v W=òòò，则下列将I化为累次积分中不正确的是( ). (A) 222π120d d d r r I r r z z q -=òòò; (B) π2π224000d d cos sin d I q j r j r j r =×òòò; (C) 12221πd π(2)d I z z z z z =+-òò;(D) 22222112004d d d y x y x yI x y z z --++=òòò二、填空题二、填空题1、设区域D 为222x y R +≤，则2222d d D x y I x y a b æö=+ç÷èøòò的值等于() 2、设(){}22,1D x y xy=≤+，则2221lim ln(1)d d πx y r Dex y x yr-®++òò的值等于() 3、积分222d e d yx I x y -=òò的值等于() 4、积分2222222()d x y z R I f x y z v ++=++òòò≤可化为定积分0()d Rx x j ò，则()x j 等于() 5、积分22221()d x y z I ax by v ++=+òòò≤的值等于() 三、计算与应用题三、计算与应用题 1、求()22d d DI x y y x y =++òò，其中D 是由圆224x y +=和22(1)1x y ++=所围的平面区域.2、求{}22max,ed d x y DI x y =òò，其中(){},1,1D x y x y =≤≤≤≤00.3、计算22()d I x y z v W =++òòò，其中W 由曲线220y zx ì=í=î绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面与平面4z =所围的立体.4、计算()d I x z v W=+òòò，W 由22x y z +=及224x y z --=确定.5、计算112111224d e d d e d yyyyx x y I y x y x =+òòòò.6、设有一高度为()h t （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130cm 的雪堆全部融化需多少小时？的雪堆全部融化需多少小时？四、证明题四、证明题设函数()f x 在[]0,1上连续，并设1()d f x x A =ò，证明11201d ()()d 2xI x f x f y y A ==òò.第九章 重积分测试题答案与提示一、一、1、A ；2、D ；3、A ；4、C ；5、B. 二、二、1、22222πR 4x y a b æö+ç÷èø；2、1；3、()411e 2--；4、224π()x f x ；5、()224π+15a b . 三、三、 1、答案：()163π-29I =.提示:将D 看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性，利用极坐标计算便可. 2、答案：e 1I =-提示：为确定{}22max ,x y ，必须将D 分成两个区域，再考虑到积分次序的选取问题即可. 3、答案：256π3I =提示:旋转曲面的方程为222x y z +=,用柱面坐标计算22π2242002d d ()d r I r r r z z q =+òòò即可.4、答案：π8I =. 提示:d 0x v W=òòò,ππ122400d 4d d cos sin d z v q j r j r j r W=×òòòòòò.5、答案：3e e 82I =-. 提示：交换积分次序. 6、答案：100t =小时小时提示：先利用三重积分求出雪堆的体积222()31()()2πd d d ()4h t x y h t h t zV zx y h t éù+-ëû==òòò≤； 再求出雪堆的侧面积2222221()21313ππ1d d ()12xy x y h t S z z x y h t +=++=òò≤；由题意d 0.9d V S t=-，所以d ()13d 10h t t =-，解出()h t 并令其等于0，则可得结果.四、提示：交换积分次序，四、提示：交换积分次序，并利用11111d ()()d d ()()d d ()()d 2yxy f x f y x x f x f y y xf x f y y ==òòòòòò.第八章 多元函数微分法及应用测试题一、选择题一、选择题1、已知函数()f x 在[]1,1-上连续,那么sin cos ()x y f t dt x ¶=¶ò(). (A)(sin )(cos )f x f y - (B)(sin )cos (cos )sin f x x f y y - (C) (sin )cos f x x ; (D) (cos )sin f y y2、在矩形域00:,D x x y y d d -<-<内，(,)(,)0x y f x y f x y =º是(,)f x y c º（常数）的（的（）. (A) 充要条件；充要条件； (B)充分条件；充分条件； (C) 必要条件; (D).既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件 3、若函数(,)f x y 在区域D 内的二阶偏导数都存在，则（内的二阶偏导数都存在，则（） （A ） (,)(,)xy yx f x y f x y =在D 内成立；内成立； （B ）(,),(,)x yf x y f x y 在D 内连续； （C ） (,)f x y 在D 内可微分；内可微分； （D ）以上结论都不对）以上结论都不对 4、42002lim 3x y xyx y ®®+的值为（ ） (A)¥ ； (B) 不存在；不存在； (C) 23；(D) 0. 5、设有三元函数ln e 1xzxy z y -+=，据隐函数存在定理，存在点()0,1,1的一个邻域，在此邻域内该方程（）. （A ）只能确定一个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =；（B ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),y y x z =； （C ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),x x y z =； （D ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =.二、填空题二、填空题1、设(,)cos()(1)arctan2xy x f x y e x y yp=+-,则(1,1)x f 的值为（ ）. 2、设(,)f x y 具有连续偏导数，且(1,1)1,(1,1),(x yf f a f b ¢¢===，令[]{}(),,(,)x f x f x f x x j =，则(1)j ¢的值为（ ）. 3、设2(,,)xf x y z e yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f ¢-=（ ）.4、曲线222320x y z x y z ì++=í-+=î在点()1,1,1M 处的切线方程为（ ）.5、函数22223326u x y z xy x y z =++++--在点()0,0,0O 处沿（ ）方向的方向导数最大？）方向的方向导数最大？ 三、三、 计算和应用题计算和应用题 1、设()()3222cos d 1sin 3d axy y x x by x x y y-+++为某一函数(,)f x y 的全微分，求a 和b 的值的值2、设()()ky x g y x y x f z +++-=,，g f ,具有二阶连续偏导数，且0º/¢¢g ，如果222222242fy z y x z x z ¢¢=¶¶+¶¶¶+¶¶，求常数k 的值. 3、在椭球2222221x y z a b c++=内嵌入一中心在原点的长方体,问长宽高各是多少时长方体的体积最大?4、设(,)y g x z =，而z 是由方程(,)0f x z xy -=所确定的,x y 的函数，求d d zx5、设),(y x f 有二阶连续偏导数, ),(),(22y x e f y x g xy+=, 且))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值取得极值, ,判断此极值是极大值还是极小值极大值还是极小值, , 并求出此极值并求出此极值. .6、设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为(){}22,75D x y xy xy =≤+-，小山的高度函数为22(,)75h x y x y xy =--+（1） 设()000,M x y 为区域D 上一点，问(,)h x y 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为00(,)g x y ，试写出00(,)g x y 的表达式.（2） 现利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，试确定攀登起点的位置. 四、证明题四、证明题设(,)F u v 可微，试证曲面(,)0x a y b F z c z c--=--上任一点处的切平面都通过定点上任一点处的切平面都通过定点. .第八章 多元函数微分法及应用测试题答案与提示一、一、1、C ；2、A ；3、D ；4、B ；5、D.二、二、1、πe 2-；2、23(1)a b b b +++；3、1；4、111101x y z ---==-；5、326ogradu i j k =--. 三、三、1、答案：2,2a b ==-.提示：提示：利用xy yx f f ¢¢¢¢=这一条件. 2、答案：1k =-.提示: g f f xz ¢+¢+¢=¶¶21，g k f f yz ¢+¢+¢-=¶¶21，g f f f x z ¢¢+¢¢+¢¢+¢¢=¶¶221211222，g k f f f yz ¢¢+¢¢+¢¢-¢¢=¶¶2221211222， g k f f y x z ¢¢+¢¢+¢¢-=¶¶¶22112，()g k k f y z y x z xz ¢¢+++¢¢=¶¶+¶¶¶+¶¶222222222142， 又因为0º/¢¢g ，所以0212=++k k ，1-=k .3、答案：232323,,333a b c .提示：设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为(),,x y z ，则求体积8V xyz =在条件2222221x y z a b c ++=下的极值就可. 4、答案：1221122d d f yf xf g z xf xfg ¢¢¢¢++=¢¢¢-.5、答案：故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.提示：由全微分的定义知提示：由全微分的定义知0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-=¢=¢yx f f x f y e f g xy x 221×¢+×¢=¢ y f x e f g xy y 221×¢+×¢=¢ 0)0,0(=¢x g 0)0,0(=¢y g 2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xyxy xy xy x ¢+×¢¢+×¢¢+×¢+×¢¢+×¢¢=¢¢ x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xy xy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211×¢¢+×¢¢++×¢+×¢¢+×¢¢=¢¢ 2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e f g xy xy xy xy y ¢+×¢¢+×¢¢+×¢+×¢¢+×¢¢=¢¢ A=2)0,1(2)0,0(22-=¢=¢¢f g x 1)0,1()0,0(1-=¢=¢¢=f g B xy2)0,1(2)0,0(22-=¢=¢¢=f g C y032>=-B AC , 且0<A , 故0)0,1()0,0(==f g 是极大值. 6、答案: ()()22220000000000(,)22558g x y y x x y x y x y =-+-=+-攀登起点的位置: ()()125,5,5,5M M --.提示提示: : 沿梯度方向的方向导数最大沿梯度方向的方向导数最大,,方向导数的最大值即为梯度的模方向导数的最大值即为梯度的模. . 然后再求(,)g x y 在条件22750x y xy --+=下的极大值点就可下的极大值点就可. . 四、答案四、答案: :通过定点(),,M a b c . 第六章 微分方程测试题一、选择题一、选择题1、设()y f x =是240y y y ¢¢¢-+=的解,若0()0f x >且0()0f x ¢=,则在0x 点()f x ( ). (A) 取极大值; (B) 取极小值; (C) 在0x 某邻域内单增; (D) 在0x 某邻域内单减.2、微分方程2448xy y y e¢¢¢-+=的一个特解应具有形式的一个特解应具有形式( ) (,,,a b c d 为常数). (A) 2;xce (B) 22;xdx e (C) 2;xcxe (D) 22().x bx cx e + 3、微分方程21sin y y x x ¢¢+=++的特解形式可设为(). (A) (A) *2(sin ecos );y ax bx c x d x x =++++ (B) *2(sin ecos );y x ax bx c d x x =++++ (C) *2sin ;y ax bx c d x =+++(D) *2ecos .y ax bx c x =+++ 4、设线性无关的函数123,,y y y 都是非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x ¢¢¢++=的解，12,c c 是任意常数，则该方程的通解为(). (A) (A) 11223;c y c y y ++ (B) ()1122123;c y c y c c y +-+ (C) ()11221231;c y c y c c y +---(D) ()11221231.c y c y c c y ++--5、方程0xy y ¢+=满足(1)2y =的特解为(). (A) 21;xy = (B) 22;x y = (C) 2;xy = (D) 1.xy = 二、填空题二、填空题1、已知微分方程23e xy y y -¢¢¢--=有一个特解1e 4x y x *-=-,则其通解为(). 2、以12e ,ex xy y x --==为特解的二阶常系数齐次微分方程是(). 3、若连续函数()f x 满足()()e xf t f x dt =ò，则()f x 等于(). 4、已知函数()y y x =在任意点x 处的增量21y x y xa D D =++，其中a 是比x D (0)x D ®高阶的无穷小，且(0)πy =，则(1)y 等于(). 5、2e xy y y x ¢¢¢++=的通解为(). 三、计算和应用题三、计算和应用题1、 设2e (1)e xxy x =++是二阶常系数线性微分方程e xy y y a b g ¢¢¢++=的一个特解，求该微分方程的通解. 2、 设函数()y y x =在(),-¥+¥内具有二阶导数，且()0,y x x y ¢¹=是()y y x =的反函数.(1)(1)试将()x x y =所满足的微分方程()322d d sin 0d d x x y x y y æö++=ç÷èø变换为()y y x =所满足的微分方程;(2)(2)求变换后的微分方程满足条件3(0)0,(0)2y y ¢==的解.3、已知22123e e ,e e ,e e e x x x x x x x y x y x y x --=+=+=+-都是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，试求此微分方程分方程的解，试求此微分方程4、 已知连续函数()f x 满足320()()d e 3xx tf x f t =+ò，求()f x .5、 已知连续函数()f x 满足()100()()d e2()d xxf x x u f u u x f xu u +-=+òò，求()f x .6、设函数()f x 在[)1,+¥上连续恒正，若曲线()y f x =，直线()1,1x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2π()(1)3t f t f éù-ëû，试求()y f x =所满足的微分方程，并求该方程满足2(2)9f =的特解.四、证明题四、证明题证明方程()y y f x ¢¢+=（其中()f x 连续）的通解为连续）的通解为()120cos sin ()sin d xy c x c x f t x t t =++-ò，其中为任意常数，其中为任意常数.. 第六章 微分方程测试题答案与提示一、一、1、A ；2、B ；3、A ；4、D ；5、C. 二、 1、3121ee e 4xxxc c x --+-；2、20y y y ¢¢¢++=；3、ln(1)x +；4、π4πe ；5、()()121e 1e 4x xy c c x x -=++-.三、三、1、答案：2212e e e (1)e x x xx c c x ++++. 提示：将2e(1)e xxy x =++代入原方程，比较同类项系数，求出,,a b g 的值，然后再去求解微分方程.2、答案、答案: (1): (1)sin y y x ¢¢-=; (2) 1e e sin 2x x y x -=--.3、答案、答案: :2e 2e x x y y y x ¢¢¢--=-.提示:21312e ,=e xxy y y y --=-是对应齐次微分方程的特解,从而可得出对应齐次微分方程为20y y y ¢¢¢--=, 设非齐次线性微分方程为2()y y y f x ¢¢¢--=,再将其中任意个非齐次特解代入,得出()e 2e x x f x x =-.4、答案、答案: : 32()3e 2e x x f x =-.5、答案、答案: : 21()12e 2xf x xx æö=++ç÷èø. 提示：作代换xu t =，则12()d 2()dt xx f xu u f t =òò.6、答案、答案:: 3()1x f x x =+. 提示：依题意可得：221π()(1)π()d 3tt f t f f x x éù-=ëûò，然后两边求导.四、略四、略. . 第五章 定积分及应用测试题一、选择题一、选择题1、设()f x 连续，0()d ,0,0stI tf tx x t s =>>ò，则I 的值是(). （A ） 依赖于s 和t ； （B ）是一个常数；）是一个常数； （C ）不依赖于s 但依赖于t ； （D ）依赖于s 但不依赖于t . 2、下列积分中,等于零的是( ). (A)12212cos ln(1)d x x x -+ò(B) 233(1)e d x x x -+ò(C) 4222sin cos d 1x xx x p p-+ò(C) 2121(1)d x x x --+ò3、设在[],a b 上()0,()0,()0f x f x f x ¢¢¢><>， 令()[]()1231()d ,(),()()2ba S f x x S fb b a S f a f b b a ==-=+-ò，则().(A) 321S S S >>;(B) 312S S S >>; (C) 213S S S >> ; (D) 132S S S >>. 4、已知sin πd 2x x x +¥=ò，则220sin d x x x +¥ò的值等于( ). (A) π;2(B) π; (C) 2π;4(D) π-1. 5、设()f x 在0处可导，且(0)0f =，则极限02()dt limxx f x t x ®-ò的值等于(). (A)不存在；不存在； (B) 0; (C) (0);f ¢ (D) 1(0).2f ¢ 二、填空题二、填空题1、设()f x 连续，310()dt x f t x -=ò，则(7)f 等于(). 2、定积分3π43π4(1arctan )1cos 2d x x x -++ò的值为(). 3、定积分11()e d xx x x -+ò的值为(). 4、若积分(21)d 4aax x --=-ò,则常数a 的值等于(). 5、曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的面积值等于( ). 三、计算和应用题三、计算和应用题1、已知(π)1f =，且[]0()()sin d 3f x f x x x p ¢¢+=ò，求(0)f .2、计算21212(e e )d 11xxx x x x --+++-ò3、设2π20sin ()d 12cos tf x t x t x =++ò，求(1)(0)f f4、 计算π320sin d sin cos x x x x+ò.5、设3e e()ln ()d xf x x f x x =+ò，求()f x .6、设()f x 可导，(0)1f =，且[]1()()d f x xf xt t +ò与x 无关，求()f x .四、证明题四、证明题设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内()0f x ¢>，证明存在唯一的(),a b x Î使曲线()y f x =和(),y f x a x ==所围面积1S 是()y f x =和(),y f x b x ==所围面积2S 的3倍.第五章 定积分及应用测试题答案与提示一、一、1、D ；2、C ；3、B ；4、A ；5、D. 二、二、 1、112；2、422-；3、2；4、2；5、3712.三、三、1、答案：(0)2f =. 提示：用分部积分提示：用分部积分. .2、答案：4π-.提示：利用奇偶对称性提示：利用奇偶对称性. . 3、答案：、答案：1. 1.提示：分别求出(0)f 和(1)f 的值即可. 4、答案：()1π14-. 提示：πππ33332220sin cos 1sin cos d d d sin cos sin cos 2sin cos x x x x x x x x xx xx x+==+++òòò.5、答案：ln 4()x f x x x=-. 6、答案：()e xf x -=.提示：令()[]11()()d ()()d ()()d xF x f x xf xt t f x x f xt t f x xf u u =+=+=+òòò，由()0F x ¢=得()()0f x f x ¢+=，所以e ()0x f x ¢éù=ëû. 四、提示：()()()10,,()()d tt a b S t t a f t f x x "Î=--ò，()()2()d ,bt S t f x x b t =--ò令()()12()3t S t S t j =-，用零点定理和单调性证明即可.第一章综合测试题一、单项选择题一、单项选择题1、()f x 当0x x ®时的左极限和右极限都存在且相等是0lim ()x x f x ®存在的()条件. (A) 充分; (B) 必要; (C) 充要; (D) 无关. 2、设22212lim()n n n n n®¥+++= ( ). (A) 22212lim lim lim 0n n n nn n n®¥®¥®¥+++=; (B) ¥;(C) 21+2+1lim 2n n n ®¥+=;(D) 极限不存在. 3、设()=232x xf x +-，则当0x ®，有，有( ). (A) ()f x 与x 是等价无穷小; (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小; (C) ()f x 是比x 高阶的无穷小;(D) ()f x 是比x 低阶的无穷小. 4、设11e 1()e 1xxf x -=+，则0x =是()f x 的(). (A) 可去间断点; (B) 跳跃间断点; (C) 第二类间断点;(D) 连续点.5、方程410x x --=至少有一个根的区间是( ).(A) 1(0,)2; (B) 1(,1)2; (C) (1,2); (D) (2,3).二、填空题二、填空题7、 若2211()3f x x xx+=++，则()f x =()． 8、 已知函数2(cos ), 0() , 0x x x f x a x -ì¹ï=í=ïî在0x =连续，则a = ( )． 9、 lim(3)1=n n n n ®¥+--()．10、 设2013sin coslim(1cos )(e 1)xx x x xx ®+=+-( )． 5、已知25lim 232n a bn n ®¥++=-，则a =( )，b = ( )．三、计算与应用题三、计算与应用题1、设0,0(), 0x f x x x ì=í>î≤，20, 0(), 0x g x x x ì=í->î≤，求函数项级数[()]f f x ，[()],g g x [()],[()]f g x g f x .2、设21sin ,0(),0x x f x x a x x ì>ï=íï+î≤，要使()f x 在(,)-¥+¥内连续，应当怎样选择数a ？ 3、设11e , 0()ln(1),10x x f x x x -ìï>=íï+-<î≤，求()f x 的间断点，并说明间断点所属类型．的间断点，并说明间断点所属类型． 4、计算极限tan π2lim(sin )xx x ®．5、计算极限123lim()21x x x x +®¥++6、设()f x 的定义域是[0,1]，求函数11()()22f x f x ++-的定义域.四、证明题四、证明题证明方程sin 10x x ++=在开区间ππ(,)22-内至少有一个根.第一章综合测试题答案与提示一、一、1、C ；2、C ；3、B ；4、B ；5、C. 二、二、1、21x +；2、1；3、32；4、32；5、任意常数，6. 三、三、1、答案：[()] = (),f f x f x[()]0,g g x = [()]0,f g x =[()]()g f x g x =. 2、答案：0a =．3、答案： 0x =是第一类间断点，1x =是第二类间断点．是第二类间断点．4、答案：、答案： 1．5、答案：e .6、答案: 12x =.四、提示：利用零点定理．四、提示：利用零点定理．第二章综合测试题一、单项选择题一、单项选择题1、若 e , 0()sin 2, 0axx f x b x x ì<=í+î≥在0x =处可导，则a b 、的值应为( ). (A) 2,1a b ==; (B) 1,2a b ==; (C) 2,1a b =-=;(D)2,1a b ==-. 2、设222, 1() 1 , 1x x x f x x ì-+>=íî≤ (). (A)不连续; (B)连续，但不可导; (C)连续，且有一阶导数; (D) 有任意阶导数 3、若()f x 为(,)l l -内的可导奇函数，则()f x ¢ (). (A) 必为(,)l l -内的奇函数; (B) 必为(,)l l -内的偶函数;(C) 必为(,)l l -内的非奇非偶函数; (D) 在(,)l l -内，可能为奇函数，也可能为偶函数. 4、()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x D ®-D -=D( ). (A) 02()f x ¢; (B)0()f x ¢-; (C) 0()f x ¢;(D) 0()f x ¢-.5、设()sin cos 2x f x x =+，则(15)(π)f = (). (A) 0; (B) 15112+; (C) 1-; (D) 1512-.二、填空题二、填空题 11、()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的（连续的（ 充分充分）条件，()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的（可微的（ ）条件．）条件．12、 设()(1)(2)() (2)f x x x x x n n =+++≥，则(0)f ¢=( )． 13、 设()f x 为可微函数，则当0x D ®时，在点x 处的d y y D -是关于x D 的()无穷小.14、 已知(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+ìí=-î，则3π4d d t x y== ( 1- )，223π4d d t x y == ( ) ． 15、 设函数()y f x =由方程23ln()sin x y x y x +=+确定，则d d yx= ( )． 三、计算与应用题三、计算与应用题1、讨论函数1sin , 0 0 , 0x x y x x ì¹ï=íï=î在0x =处的连续性和可导性. 2、已知22e 1,0() 1 ,0x x f x x x ì-ï¹=íï=î，求 ()f x ¢. 3、设()(e )e x f x y f =且()f x ¢存在，求d dyx . 4、设7777xy x =++，求微分2d x y =.5、用对数求导法计算函数452(3)(1)x x y x +×-=+的导数的导数6、求函数2cos y x =的n 阶导数. 四、证明题四、证明题设)(x f 在),(+¥-¥内有定义，且,(,)x y "Î-¥+¥，恒有()()()f x y f x f y +=×，()1()f x xg x =+，其中0lim ()1x g x ®=，证明()f x 在),(+¥-¥内处处可导.第二章综合测试题答案与提示一、一、1、A ；2、C ；3、B ；4、D ；5、B ． 二、二、1、充要；2、!n ；3、高阶；4、823πa -；5、1．三、三、1、答案：连续不可导.2、答案：223(22)e 2, 0() 0 ,0x x x f x x x ì-+ï¹¢=íï=î． 3、答案：()d e [(e )e (e )()]d f x x x xy f f f x x ¢¢=+.4、答案：67211d [7ln 7()]d 7xy xx x-=+-；7227d (ln 7)d 144x y x ==-×．5、答案：452(3)145[](1)2(2)31x x y x x x x +×-¢=×+-++-+.6、答案: ()1π2cos(2)2n n n yx -=+.四、提示: ,(,)x y "Î-¥+¥，有()[()1]()()y f x f x f x x g x =-=××，()limlim ()()().x x y f x f x g x f x x®®D ¢==×=D第三章综合测试题一、单项选择题一、单项选择题1、下列函数在[1,e]上满足拉格朗日定理条件的是上满足拉格朗日定理条件的是( ). (A) ln(ln )x ; (B) ln x ; (C) 1ln x;(D) ln(2)x -. 2、设00()()0f x f x ¢¢¢== ，0()0f x ¢¢¢>，则(). (A) 0()f x ¢是()f x ¢的极大值;(B) 0()f x 是()f x 的极大值; (C)0()f x 是()f x 的极小值;(D) 00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点。
无穷级数测试题
无穷级数测试题一、单项选择（每小题2分，共20分） 1、级数∑+∞=1n n u 收敛的必要条件是（ ）。
A 、0lim =+∞→n n SB 、0lim =+∞→n n uC 、1lim 1<++∞→n n n u u D 、1lim 1>++∞→nn n u u2、若级数∑+∞=1n n u 发散，则下列级数一定发散的是（ ）。
A 、∑+∞=+15n n u B 、∑+∞=1n n au （a 为某常数） C 、∑+∞=-1)5(n n u D 、∑+∞=-1)1(n n nu3、下列级数收敛的是（ ）。
A 、∑+∞=-211n n B 、∑+∞=-2211n n C 、∑+∞=-21n n n D 、∑+∞=-2311n n 4.下列无穷级数中，发散的无穷级数为（ ）A.()∑∞=+111n n nB. ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13101n n C. ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+121101n n n D. ∑∞=+1132n n n5．设正项级数∑∞=1n n u 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ）A ．∑∞=+1100n n uB ．∑∞=++11)(n n n u uC ．∑∞=1)3(n n uD ．∑∞=+1)1(n n u6、级数∑∞=0n n n x a 在3=x 处收敛，则∑∞=-0)2(n n n a （ ）。
A 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、无法判别敛散性7、已知∑+∞=1n nn x a （,...2,10=≠n a n ，）的收敛域为)1,1(-，则∑+∞=+1)1(n n n x a 的收敛域为（ ）。
A. )1,1(-B. )2,0(C. )0,2(-D. )2,2(-8、幂级数∑∞=0!2n nn x 的和函数为（ ） A. x e 2 B. x e 2- C. x e 2- D. x e 29、将函数x e -展开成x 的幂级数为（ ）。
A 、∑+∞=0!n nn x B 、∑+∞=-0!n n n x C 、∑+∞=-0!)(n n n x D 、∑+∞=1!n n n x10、将函数x +21展开成x 的幂级数为（ ）。
无穷级数习题及解答
无穷级数例题选解1．判别下列级数的敛散性：2．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？（1）；（2）；（3）。
3．求幂级数的收敛区间。
4．证明级数当时绝对收敛，当时发散。
5．在区间内求幂级数的和函数6．求级数的和。
7．把展开成的幂级数，并求级数的和8．设（）证明1）存在； 2）级数收敛。
9．设，1）求的值；2）试证：对任意的常数，级数收敛。
10．设正项数列单调减少，且发散，试问是否收敛？并说明理由。
11．已知，计算。
12．计算。
参考答案：1．解：（1），而收敛，由比较审敛法知收敛。
（2），而发散，由比较审敛法的极限形式知发散。
（3），，由比值审敛法知收敛。
（4），，由根值审敛法知收敛。
2．解：（1）对于级数，由，知级数绝对收敛，易知条件收敛，故条件收敛。
（2），由，知级数收敛，故绝对收敛。
（3）记，，而发散，故发散，令，，当时，，故在区间内单调增加，由此可知，又，故收敛，但非绝对收敛，即为条件收敛。
3．解：收敛半径为，当时，得级数，发散；当时，得交错级数，收敛。
所求收敛区间为。
4．证：收敛半径，当时幂级数绝对收敛，当时幂级数发散，当时，得级数，，，因单调增加，且，故，于是得，由此，故级数发散。
5．解：设（），，，，（）。
6．解：设（），则，其中，（）。
设，则，于是，从而（）。
因此。
7．解：（），（），因在点处连续，而在点处收敛，从而（）。
于是。
8．证：1）因，，故是单调减少有下界的数列，所以存在。
2）由（1）知，记，因存在，故存在，所以收敛，由比较审敛法知收敛。
9．证：1）因为，，所以。
2）因为，所以，由知收敛，从而收敛。
10．解：级数收敛。
理由：由于正项数列单调减少有下界，故存在，记，则。
若，则由莱布尼兹定理知收敛，与题设矛盾，故。
因为，由根值审敛法知级数收敛。
11．解：由（），得。
12．解：由，得，于是，从而。
无穷级数部分难题解答
级数部分难题参考答案1. （书中P364,第1题）研究下列级数的敛散性（说出收敛或发散的理由）： (1).)0(1>∑∞=a a n n；(2). 11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑；(3).()()113231n n n ∞=-+∑；(4).1sinn n nπ∞=∑；(5).()1112n n n n ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑；(6).()111.n n n n ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ 【解】(1).因为10n =≠，所以1n ∞=发散；(2). 记 ()n n n u n ln 1ln 11ln -+=⎪⎭⎫⎝⎛+=(,...2,1=n )则()()()[]n n u u u s n n ln 1ln ..._2ln 3ln 1ln 2ln ...21-++-+-=+++= ()()1ln 1ln 1ln +=-+=n n因为 ()lim lim ln 1n n n s n →∞→∞=+=∞，所以11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散.(3). 记⎪⎭⎫⎝⎛+--=13123131n n u n (,...2,1=n )则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=131231...714141131n n s n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=131131n (,...2,1=n )因为 1lim ,3n n s →∞=，所以()()113231n n n ∞=-+∑收敛，且和为13.(4).因为lim sin0n n nππ→∞=≠，所以∑∞=1sinn nn π发散；(5).因为112n n ∞=∑收敛，且()11nn n ∞=-∑也收敛，故()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+1121n n n n 收敛;(6). 因为11n n∞=∑发散，而()11nn n∞=-∑收敛，故()111n n n n ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑发散.2. （书中P364,第2题）证明级数12nn n∞=∑收敛，并求出它的和. 【解】设 n n n n n n u u u s 221...232221...13221+-++++=+++=- ① 则 122221...232212--+-++++=n n n nn s ②②—①，得：n n n nn n n n n n s 22122211211221...21211112--=---=-++++=-- 因为 11l i m l i m 2 2.22n n n n n n s -→∞→∞⎛⎫=--=⎪⎝⎭所以12nn n∞=∑收敛，且和为2. 3. （书中P374,第1题）判别下列级数的敛散性（并为你的结论简要说明理由）：(1).121n n n ∞=+∑；(2).2111n nn∞=++∑；(3). 321645n n n n n ∞=++-+∑；(4). 211n n ∞=⎛ ⎝∑； (5).()∑∞=+1211n n n ；(6)∑∞=+-132sin 121n n n ；(7). ∑∞=12log n n n；(8). ∑∞=13sin2n nn π；(9). ∑∞=1!n n nn ；(10).()()21!2!n n n ∞=∑；(11).11n n -∞=-；(12).()11nn ∞=-∑；(13).()()()1121!!12!n nn n n -∞=--∑；(14). (1sin .n ∞=∑【解】(1). 因为1lim 0212n n n →∞=≠+，所以121n nn ∞=+∑发散；(2). 因为211lim11n nn n →∞+=+，且11n n ∞=∑发散，所以2111n n n ∞=++∑发散； (3).因为32261lim 145n n n n n n →∞+=+-+，且211n n ∞=∑收敛，所以321645n n n n n ∞=++-+∑收敛； (4).因为211n n∞=∑收敛，且1n ∞=211n n ∞=⎛ ⎝∑发散； (5)因为1n =，且3121n n∞=∑收敛，所以()∑∞=+1211n n n 收敛(6).2323232111lim lim lim 1.121sin 221sin 1.cos 2n nn n n n n nn n n →∞→∞→∞===-+-+- (6). 因为32261lim 1,45n n n n n n →∞+=+-+且211n n ∞=∑收敛，故∑∞=+-++123546n n n n n 收敛； (7).因为322log 1lim lim 0n n x nnn →∞===，且3121n n∞=∑收敛，故∑∞=12log n n n 收敛； (8).因为22lim 2sinlim 2.3333nn n n nnn n πππ→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且123nn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，故 ∑∞=13sin2n nnπ收敛；(9).记n n n n u !=(,...2,1=n )，因为()()111!11!lim lim lim 1,111n n n n n n n nn u n n u en n ++→∞→∞→∞+===<+⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以∑∞=1!n nnn 收敛； (10). 记()()!2!2n n u n =(,...2,1=n ) 因为()()()()()()()()()22211!1!1lim limlim 1,2!21!22214n n n n nn n n un n u n n +→∞→∞→∞++===<+++所以()()21!2!n n n ∞=∑收敛；（11).记()xn x u n +=1(,...2,1=n )则显然{}n u 单减；又，lim 0.n n n u→∞==所以，由莱布尼兹判别法知()111n n -∞=-∑收敛.另一方面，再考察()111|1|n n n -∞∞==-=∑的敛散性.因为lim 1,n n n n u →∞→∞===且1n ∞=所以，1n ∞=发散.总之，()111n n -∞=-∑条件收敛.(12).令1,....)n u n == 令()[)100,f x x =∈+∞. 则()()100,.100f x x x '==∈+∞+因此，当100x ≥时，()0.f x '<所以 ，当100n ≥时，有()()11(100)n n f n f n u u n +≥+⇒≥≥， 即当100n ≥时{}n u单减；又，lim 0.1100.n n n u n →∞→∞==+所以，由莱布尼兹判别法知()1001nn ∞=-∑收敛.再由收敛级数的性质，在级数前面加上有限多项不改变级数的敛散性，知原级数()11100nn n ∞=-+∑也收敛.另一方面，再考察()11|1|100100nn n n n ∞∞==-=++∑∑的敛散性.因为100lim lim 1,n n n n u →∞→∞+==且1n ∞=1100n n ∞=+∑发散.总之，()11nn ∞=-∑条件收敛.（13）.().a 该级数是交错级数. 记()()!2!!12n n u n n -=(,...2,1=n )注意 ()()()()()n n n n n n u n n 2...6.4.2)12...(5.3.1!!2!!12!2!!12-=-=-=(,...2,1=n )因为122121<++=+n n u u n n ，所以{}n u 单减； 又根据瓦里斯公式，有()()()()21!!21!!lim lim lim 0.2!2!n n n n n n n n u n n →∞→∞→∞⎧⎫⎡--⎪====⎨⎢⎪⎣⎩ 所以由莱布尼兹判别法知()()()1121!!12!n nn n n -∞=--∑收敛. ().b 再考察()()()()()11121!!21!!|1|2!2!n nn n n n n n n -∞∞==---=∑∑的敛散性. 仍由瓦里斯公式，有()()21!!lim lim 2!n n n n n u n →∞→∞⎡-==⎢⎣1n ∞=发散， 故()()121!!2!nn n n ∞=-∑发散.（或者因为()()()()()()21!!21!!21!!11.2!2!!22!!22n n n n n u n n n n n ---===≥-，故()()121!!2!nn n n ∞=-∑的发散）.总之，()()()1121!!12!n n n n n ∞-=--∑条件收敛.(14).(1sin .n ∞=∑(sin)sin n n ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦())()21sin 1nn n π⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦. 原级数可化为()211nn ∞=-∑因为2202n n a ππ==<，所以，,N ∃当n N >时，202π<<，故当N n >时20.>故原级数可看作交错级数.().a 记na n a u n ++=222sinπ(,...2,1=n )因为221.n n u u +=>=且2lim 0n n n u →∞→∞==，所以，()211nn ∞=-∑收敛.().b 再考察()2211|1|nn n ∞∞==-=∑∑.因为2222n n a nπ→∞==，所以，21n ∞=∑∑∞=11n n同敛、散，故()21|1|nn ∞=-∑发散；总之，(1sin n ∞=∑条件收敛.4．（书中P374,第2题）关于参数x ，讨论下列级数的敛、散性（收敛时，指出是绝对收敛还是条件收敛）(1).1nn x ∞=∑；(2). 21nn x n∞=∑；(3).1!nn x n ∞=∑；(4). ()1!nn n x∞=∑.【解】(1).记()n n x x u =(,...2,1=n )（一）当0=x 时，级数显然收敛，且为绝对收敛；（二）当0≠x 时，()()()11limlim ||||n n n n n nu x x x x u x x ρ++→∞→∞=== （1）当1||<x 时，原级数绝对收敛； （2）当1||>x 时，原级数发散；（3）当1||=x 时，又分两种小情况来讨论： （i ）1-=x 时，原级数变成()11nn ∞=-∑发散；（ii ）1=x 时，原级数变成11n ∞=∑发散.(2).记()2nx x u nn =(,...2,1=n )（一）当0=x 时，级数显然收敛，且为绝对收敛；（二）当0≠x 时，()()()1lim||n n nu x x x u x ρ+→∞== （1）当1||<x 时，原级数绝对收敛； （2）当1||>x 时，原级数发散；（3）当1||=x 时，又分两种小情况来讨论： （i ）1-=x 时，原级数变成()2111nn n∞=-∑绝对收敛； （ii ）1=x 时，原级数变成211n n ∞=∑绝对收敛. (3).记()!n x x u nn =(,...2,1=n )（一）当0=x 时，级数显然收敛，且为绝对收敛；（二）当0≠x 时，因为对于任何0≠x ，都有()()()1lim01n n n u x x u x ρ+→∞==<，故对于任何0≠x ，1!nn x n ∞=∑绝对收敛.(4).记()n n x n x u !=(,...2,1=n )（一）当0=x 时，级数显然收敛，且为绝对收敛； （二）当0≠x 时，因为对于任何0≠x ，都有()()()()1limlim 1n n n n u x x n x u x ρ+→∞→∞==+=+∞， 故对于任何0≠x ，()1!n n n x ∞=∑发散.5．（书中P374,第3题）若级数21nn a ∞=∑和21nn b ∞=∑都收敛，证明：级数1n n n a b ∞=∑和()21n n n a b ∞=+∑也都收敛.【证明】（一）因为()2212n n n n a b a b ≤+，而21n n a ∞=∑和21n n b ∞=∑都收敛，故1n n n a b ∞=∑绝对收敛.（二）因为21nn a ∞=∑和21nn b ∞=∑，及12n n n a b ∞=∑都收敛，故()2212n n n n n a a b b ∞=++∑也收敛，即()21n n n a b ∞=+∑也都收敛.6．（书中P374,第4题）证明：若有极限lim 0,n n nu l →∞=>则级数1n n u ∞=∑发散.【证明】根据极限的保号性，存在正整数N ，当n N ≥时，有 0,n nu >从而当n N ≥时，有 0,n u >故可视1n n u ∞=∑为正项级数.再由题设条件l i m l i m 01nn n n u nu l n→∞→∞==>及级数11n n ∞=∑发散，知1n n u ∞=∑发散.（在级数前面加上有限多项不改变级数的敛散性）7．（书中P374,第5题）研究下列级数的敛散性：(1).1sin p n n π∞=∑；(2). 11ln 1pn n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑；(3). ()21ln pn nn ∞=∑【解】（1）.因为1lim sin1pp n n n π→∞=，所以1sin p n n π∞=∑与11p n n∞=∑同敛散.故 当1p >时，1sinpn n π∞=∑收敛；而当1p ≤时，1sinpn n π∞=∑发散.（2）.因为11lim ln 11p p n n n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以11ln 1p n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑与11p n n∞=∑同敛散.故 当1p >时，1sinpn nπ∞=∑收敛；而当1p ≤时，1sinpn nπ∞=∑发散.（3）.记()()11,2,.ln n pu n n n == 显然1+>n n u u (,...2,1=n )且()()21111111122ln 2ln 22ln 2k kkppp pk k k k k k u k k ∞∞∞∞=======∑∑∑∑是p -级数. 由书中第365页例2（柯西定理）知，级数()21ln pn n n ∞=∑与p -级数111ln 2p pk k ∞=∑同敛散.故当1p >时，()21ln pn n n ∞=∑收敛；当1p ≤时，()21ln pn n n ∞=∑发散.8. （书中P382,第1题）求下列各幂级数的收敛区间：(1).∑∞=12n n nn x ；(2).1nn ∞=；(3). ()()212!!n n n x n ∞=∑；(4). 11112n n x n ∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑ ； (5). ()nn x n n ∑∞=++111ln ；(6).()211!12n n n n n x ∞-=-∑；(7).()()123nnn x n∞=--∑；(8). ()()1321.nn nn x n ∞=+-+∑【解】(1). 记nn n a 21=(,...2,1=n )().a ()111121lim ||lim ,122n n n n n nn a a n ρ++→∞→∞+===所以，2R =； ().b 在端点()112,1nn x n∞==-⇒-∑收敛； 在端点112,n x n∞==⇒∑，发散.总之，∑∞=12n n nn x 的收敛区间为[)2,2.-(2). 记na n 1=(,...2,1=n )().a 1lim ||1,n n n na a ρ+→∞→∞===所以，1R =； ().b 在端点()11,1nn x ∞==-⇒-∑在端点11,n x ∞==⇒，发散.总之，1nn ∞=[)1,1.- (3). 记()()2!!2n n a n =(,...2,1=n ) ().a ()()()()()()()212222!1!2221lim ||lim lim 4,2!1!n n n n n n n n n a n a n n ρ+→∞→∞→∞++⎡⎤++⎣⎦====+ 所以，1.4R =().b 在端点()()()()()()2112!21!!11,11.442!!!nn n n n n n x n n ∞∞==-⎛⎫=-⇒-=- ⎪⎝⎭∑∑(其中()()()()()()()()()()()22222222!2!2!2!2!14!!.22!!!.22!nn n n n n n n n n n n n n ⎛⎫==== ⎪⎝⎭⎡⎤⎣⎦()()()()()()21!!2!!21!!.2!!2!!2!!n n nn n n --==) 记()()!!2!!12n n u n -=(,...2,1=n )因为()()()()121!!2!!21.122!!21!!22n n n n u n u n n n +++==<+-+， 所以{}n u 单减； 又根据瓦里斯公式，有()()()()21!!21!!lim lim lim 0.2!!2!n n n n n n n u n n →∞→∞→∞⎧⎫⎡--⎪====⎨⎢⎪⎣⎩ 在端点()()()()2112!21!!11,.442!!!nn n n n x n n ∞∞==-⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭∑∑仍根据瓦里斯公式，有()()21!!limlim 2!n n n n n u n →∞→∞⎡-==⎢⎣且1n ∞=发散，故()()121!!2!!n n n ∞=-∑发散. 总之，()()212!!n n n x n ∞=∑的收敛区间为11,.44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ (4). 记na n 1...211+++=(,...2,1=n ) 根据等式 n n c n na ε++=+++=ln 1...211(,...2,1=n )得l i m n n a →∞=+∞，从而1lim0.n na →∞= ().a 因为1...211...211limlim1++++++++==∞→+∞→n n n a a n nn n ρ 11limlim11111001.11nn n n na a n n a →∞→∞====+⨯++++，所以， 1.R =().b 在端点()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⇒-=01...21111n n n x 因为+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∞→∞→n a n n n 1...211lim lim ，故()∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-∞→n n n 1...2111lim ，所以()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+++-01 (2)111n nn 发散； 同理，在端点∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⇒=01 (21)11n n x 也发散.(5). ().a ()()1ln 22lim ||lim 1,ln 11n n n nn an n a n ρ+→∞→∞++===++所以，1R =；().b 在端点()()1ln 11,11nn n x n ∞=+=-⇒-+∑收敛； 在端点()1ln 11,1n n x n ∞=+=⇒+∑，发散. 总之，()nn x n n ∑∞=++111ln 的收敛区间为()1,1.- (6).记()22!11n n n n a --=(,...2,1=n )因为()()()()222112111!1!212lim ||lim lim .lim 0,!!222n n n n n n n n n nnn n a n n a n ρ++++→∞→∞→∞→∞+++===== （21112n n n ∞+=+∑收敛，所以，211lim 0.2n n n +→∞+=） 所以，R =+∞； 故()211!12n n nn n x ∞-=-∑的收敛区间为(),.-∞+∞(7).令3,t x =-则原级数变为：()12nn n t n∞=-∑因为()()()112lim ||lim 2,21n n n n n n n aa n ρ++→∞→∞-===-+所以，11.2R ρ== 又当12t =时，级数变为：()111n n n ∞=-∑，收敛；当12t =-时，级数变为：11n n ∞=∑，发散，因此，当1122t -<≤时，()12nn n t n ∞=-∑收敛.故当115732222x x -<-≤⇒<≤时原级数收敛，所以()()123nnn x n∞=--∑为57,.22⎛⎤ ⎥⎝⎦(8).()()1321.nn nn x n ∞=+-+∑令1,t x =+则原级数变为：()132.nn nn t n ∞=+-∑因为()()111232323213lim ||limlim .3,112113nn nn n n n n n n na n na n ρ+++→∞→∞→∞⎛⎫-- ⎪+-+-⎝⎭====+⎛⎫++- ⎪⎝⎭所以，11.3R ρ== 又当13t =-时，级数变为：()()1132112133n n n n n n n n n ∞∞==⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫-=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑收敛； （两收敛级数之和仍然收敛.）而当13t =时，级数变为：()113211233n n n n n n n n ∞∞==⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑，发散； （一个收敛级数与另一个发散级数之和是发散的.）因此，当1133t -≤<时，()132nn n n t n ∞=+-∑收敛.故当114213333x x -≤+<⇒-≤< 时原级数收敛，所以()()1321nn nn x n ∞=+-+∑的收敛区间为42,.33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭9. （书中P383,第2题）求下列级数的和： (1).∑∞=++11414n n n x ；(2).()11.nn n n x ∞=+∑【解】(1).∑∞=++11414n n n x ；().a 记()1414+=+n x x u n n (,...2,1=n )，()()()14lim ||.n n nu x x x u x ρ+→∞== 如果()41x x ρ=<时，即1||<x 时，则∑∞=++11414n n n x 收敛；如果()41x x ρ=>时，即1||>x 时，则∑∞=++11414n n n x 发散；所以，R=1.又在端点()111,141n x n ∞==-⇒-+∑发散；又在端点111,41n x n ∞==⇒+∑发散.所以，∑∞=++11414n n n x 的收敛区间为()1,1.-.().b 设()()411,1,1.41n n x s x x n +∞==∈-+∑ 逐项求导后，有：()4144411.411n n n n x x s x x n x +∞∞=='⎛⎫'=== ⎪+-⎝⎭∑∑ 所以，()()()440001xxx s x s s x dx dx x '-==-⎰⎰111ln arctan .412x x x x +=+--故()s x 111ln arctan .412x x x x +=+--注意：其中()()().11ln lim lim 00=--==→→xx x s s x x (2). 记()()n n x n n x u 1+=(,...2,1=n )，()()()1lim||.n n n u x x x u x ρ+→∞==如果()1x x ρ=<时，即1||<x 时，则()11.n n n n x ∞=+∑收敛；如果()1x x ρ=>时，即1||>x 时，则()11.n n n n x ∞=+∑发散；所以，R=1.又在端点()()11,11nn x n n ∞==-⇒-+∑发散；又在端点()11,1n x n n ∞==⇒+∑发散.所以，()11.n n n n x ∞=+∑的收敛区间为()1,1.-.().b 设()()()11,1,1.n n s x n n x x ∞==+∈-∑逐项积分后，有：()()12111,1,1.xn n n n s x dx nxxnxx ∞∞+-====∈-∑∑⎰（1）记 ()()11,1,1.n n g x n x x ∞-==∈-∑ （2）则()()()2,1,1.xs x d x x g x x =∈-⎰（3） 又因为()01.1xnn xg x d x x x∞===-∑⎰（4） 所以，()()21.11x g x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭- （5） 故()()220.1xx s x d x x =-⎰所以， ()()()2232.11x xs x x x '⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭()1,1.x ∈- 10．（书中P383,第5题）求下列广义幂级数的收敛域：(1).()121nn x n∞=+∑；(2).()1ln nn x ∞=∑；(3). 21n n n x∞=∑；(4).111.211nn x n x ∞=-⎛⎫ ⎪++⎝⎭∑ 【解】(1).令21,t x =+则原级数变为：1nn t n ∞=∑因为1lim ||lim 1,1n n n na na n ρ+→∞→∞===+所以，1 1.R ρ== 又当1t =-时，级数变为：()111nn n∞=-∑收敛；而当1t =时，级数变为：11n n∞=∑，发散.因此，当11t -≤<时，1nn t n∞=∑收敛.故当121110x x -≤+<⇒-≤<时原级数收敛，所以()121nn x n∞=+∑的收敛域为[)1,0.-(2).令ln ,t x =则原级数变为：1n n t ∞=∑因为1lim ||lim 1,1n n n na na n ρ+→∞→∞===+所以，1 1.R ρ== 又当1t =-时，级数变为：()11n ∞=-∑发散；而当1t =时，级数变为：11n ∞=∑，发散.因此，当11t -<<时，1n n t ∞=∑收敛.故当11ln 1x e x e --<<⇒<<时原级数收敛，所以()121nn x n∞=+∑的收敛域为()1,.e e -(3). 21n n n x∞=∑；令1t x =则原级数变为：21n n n t ∞=∑因为()2121lim ||lim 1,n n n n n a a n ρ+→∞→∞+===所以，11.R ρ== 又当1t =-时，级数变为：()211n n ∞=-∑收敛；而当1t =时，级数变为：21n n ∞=∑，发散.因此，当11t -<<时，21n n n t ∞=∑收敛.故当1111x x-<<⇒-∞<<-或1.x <<+∞时原级数收敛，所以21n n n x∞=∑的收敛域为()(),11,.-∞-⋃+∞(4). 111.211nn x n x ∞=-⎛⎫⎪++⎝⎭∑令11x t x -=+则原级数变为：11.21nn t n ∞=+∑因为121lim ||lim 1,23n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+所以，1 1.R ρ== 又当1t =-时，级数变为：()11121nn n ∞=-+∑收敛； 而当1t =时，级数变为：1121n n ∞=+∑，发散.因此，当11t -≤<时，1121nn t n ∞=+∑收敛.故当11101x x x --≤<⇒>+ 时原级数收敛，所以111.211nn x n x ∞=-⎛⎫⎪++⎝⎭∑的收敛域为()0,.+∞11．（书中P389,第1题）利用基本展开式将下列函数展开成简单幂级数，并确定展开式成立的区间：(1).()()1112x x +-；(2). 2x x e e shx --=；(3). x 2sin ；(4). ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 11ln ；(5).(6).(7). arctan x ； (8). arcsin .x 【解】(1) ()()11212111...112312131231x x x x x x⎛⎫=+=+ ⎪+--+-+⎝⎭ .其中()100212111.22,.3123322n n n n n x x x x ∞∞+==⎛⎫==-<< ⎪-⎝⎭∑∑ ()()()001111.1,11.3133n n n n n x x x x ∞∞===-=--<<+∑∑ 所以()()()10111121,.112322nn n n x x x x ∞+=⎛⎫⎡⎤=+--<< ⎪⎣⎦+-⎝⎭∑ (2). 2xx e e shx --=；由 ()0,,.!nxn x e x n ∞==∈-∞+∞∑ 得 ()()01,,.!nnxn x ex n ∞-==-∈-∞+∞∑ 故 ()()1111.112222!x x nx x n n e e shx e e x n -∞-=-==-=--∑()()2101,,.21!k k x x k ∞+==∈-∞+∞+∑ ()()()()()2123.2sin .cos sin 2121!n nn x f x x x x n +∞='===-⇒+∑()()()()()()()()()21222100002011221!2221!n n xx n n n n n x x f x f f x dx dx n n n ++∞∞+==⎡⎤'=+=-=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰()()()222112,.22!n nn n x x n +∞+==--∞<<+∞+∑.(4).因为()()(]10ln 11,1,11n nn x x x n +∞=+=-∈-+∑，()()()()[)1100ln 111,1,111n n nn n x x x x n n ++∞∞==--=-=-∈-++∑∑. 故 ()()()()11001ln ln 1ln 111111n n n n n x x x x x x n n ++∞∞==-⎛⎫=--+=--- ⎪+++⎝⎭∑∑ ()()()12100112,11.121n k nn n x xx n k ++∞∞==⎡⎤=---=--<<⎣⎦++∑∑（5）()3221!322112121!212121!21111x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+=+...!121...12121...+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++n x n n ...232...232121!1...232121!312121!2121132+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n x n n x x x ()()()()...212!!32!11...2!!3!31121!211211133222+⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-++=-n n n x n n x x x ()()()()1223!!11.1122!!n nn n x x x n ∞-=-=++--≤≤∑（上述级数在端点处的敛散性请参考第3（13）题） （6）()3221!322112121!212121!211111x x x x x⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=+-...!121...12121...+⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-++n x n n ...212...2321!1...252321!312321!2121132+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=n x n n x x x ()()()()...212!!12!11...2!!5!3112!!3!2112111333222+⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-+-=-n n n x n n x x x ()()n n nnx n n ∑∞=--+=12!!12!111()()()()11!!2!!12111≤<---+=∑∞=x x n n n n n . （上述级数在端点处的敛散性请参考第3（13）题）()()()2217.11n nn f x x x ∞='==-⇒+∑()()()()[]()()()()dx x f dx x f f f x f f x f xn n n x ⎰∑⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+='+=-+=∞=002010000 =()()[].1,1,121120-∈+-+∞=∑x n x n n n.(8). ()()()()122222111122211!2!f x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤'==+-=+-+-⎣⎦()()...!121...12121...!3221 (121212)32+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+nx n n x()()nn nx n n 21!212...3.11∑∞=-+=()()n n x n n 21!!2!!121∑∞=-+=所以()()()()()()20121!!0012!!xx n n n f x f f x dx f x dx n ∞=⎡⎤-'=+=++⎢⎥⎣⎦∑⎰⎰()()21121!!,1 1.2!!21n n n x x x n n +∞=-=+-≤≤+∑12. （书中P390,第2题）将函数()()2ln 12f x x x =--： 展开成简单幂级数，并确定展开式成立的区间.【解】()()()()()()2ln 12ln 112ln 1ln 12.f x x x x x x x =--=+-=++-⎡⎤⎣⎦ 注意到()()(]10l n 11,1,11n nn x x x n +∞=+=-∈-+∑；()()()()111211ln 12112,,1122n n n n n n x x x x n n ++∞∞+==-⎡⎫-=-=-∈-⎪⎢++⎣⎭∑∑. 所以有()()()()1111100012112111nn n n nn n n n n x xf x x n n n +++∞∞∞++===--=-+-=+++∑∑∑，11,.22x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭13．（书中P390,第3题）按下面的要求，将函数()2132f x x x =++： （1） 展开成 简单幂级数（并指出收敛区间）；（2） 在点04x =-展开成泰勒级数（并指出收敛区间）. 【解】（1）.()()()21111321212f x x x x x x x ===-++++++其中 ()()011,1,1.1n n n x x x ∞==-∈-+∑ ()()()10011111.11,2,2.2222212n n n n n n n x x x x x ∞∞+==⎛⎫==-=-∈- ⎪+⎝⎭+∑∑ 所以()()()()1100011111122n n n n n n n n n n n f x x x x ∞∞∞++===⎛⎫=---=-- ⎪⎝⎭∑∑∑，()1,1.x ∈- （2）.()()()1111123424f x x x x x =-=-++-++-++ 又因为()()()1001111414,7,1.434333313n n n n n x x x x x ∞∞+==+⎛⎫=-=-=-+∈-- ⎪+-++⎝⎭-∑∑ ，()()()1001111414,6,2.24222212n n n n n x x x x ∞∞+==+⎛⎫=-=-=-+∈-- ⎪-++⎝⎭-∑∑ 所以，()()()110114,6,2.23n n n n f x x x ∞++=⎛⎫=-+∈-- ⎪⎝⎭∑ 14．（书中P390,第4题）把⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x e dx d x 1展开成简单幂级数，并由此证明等式求()0 1.1!n n n ∞==+∑ 【解】（一）因为(),,!11∞+∞-∈=-∑∞=x n x e n nx()∑∑∞=∞=-+==-011!1!1n nn n x n x n x x e . =()()().,!1!11110∞+∞-∈+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∞=-∞=x n nx n x x e dx d n n n n x （二）将1=x 代入（20）式，得：()().1111!1||1210=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+==∞=∑x x x x n x e x x e dx d n n。
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无穷级数单元测试题
答案
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2
第十二章 无穷级数单元测试题答案
一、判断题
1、对；2、对；3、错；4、对；5、对；6、对；7、对；8、错；
9、错；10、错
二、选择题
1、A 2、A 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B
三、填空题
1、2ln 2、收敛 3、5 4、33，1248，
,...3,1,21,...4,2,0,21)(k
k
kS
四、计算题
1、判断下列级数的收敛性
（1）1131arcsin)1(nnn
解：这是一个交错级数，
1arcsin31arcsin13lim13nnunnn，所以nu发散。
又由莱布尼茨判别法得
111arcsinarcsin33(1)nnuunn
并且1limlimarcsin03nnnun，满足交错级数收敛条件，
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3
故该交错级数条件收敛。
（2）11nnnn
解：limlim()[lim()]1011nnnnnnnnunn
不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。
(3)
)0,(,31211ba
bababa
解：另设级数1()nvnab
1111111(1)()23nnnvnababn
上式为1ab与一个调和级数相乘，故发散
又11()nnuvnabnab，
由比较审敛法可知，原级数发散。
(4)nn134232
解：1limlim10nnnnun
不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散
2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在
收敛区间上的和函数
（1） 753753xxxx
解：设357()357xxxfxx（补充条件1x，或求出R）
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4
逐项求导，得24621()11fxxxxx
（这是公比21qx的几何级数）
积分，得2001()()1xxfxfxdxdxx
=0111()211xdxxx=11ln21xx
即753753xxxx=11ln21xx
（2）433221432xxx
解：设234()122334xxxfx（补充条件1x，或求出R）
逐项求导，得23()123nxxxxfxn
再逐项求导，得21()1nfxxxx
积分一次，得001()()ln(1)1xxfxfxdxdxxx
再积分一次，得00()()ln(1)(1)xxfxfxdxxdx
= 0(1)ln(1)(1)ln(1)xxxxdx = 0(1)ln(1)(1)xxxdx
= (1)ln(1)xxx
即433221432xxx=(1)ln(1)xxx
（3）13951392xxx
解：设5913()5913xxxfx（补充条件1x，或求出R）
逐项求导，得448124()1xfxxxxx
（这是公比41qx的几何级数）
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5
积分，得4001()()(1)1xxfxfxdxdxx
= 220111()211xxdxxx= 111lnarctan412xxxx
即59135913xxx=111lnarctan412xxxx
3、将下列函数展开为x的幂级数，并指出其收敛半径
（1）xtdt041
解：411t是级数481441(1)nnttt之和
所以481444001(1(1))1xxnndttttdtt
=1591343111(1)591343nnxxxxxn
收敛半径141limlim143nnnnanRan
（2）)1ln(2xx
解：2222121[ln(1)](1)1211xxxxxxx
所以12222001ln(1)(1)1xxxxdxxdxx
=2222011111(1)(1)(1)122222[1()()]22!!xnnxxxdxn
=357212131352(2)!(1)()232452467(!)(21)2nnxxxnxxnn
收敛半径为1R
（3）xarcsin
解：122200arcsin(1)1xxdxxxdxx
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6
=242011111(1)(1)(1)122222[1()]22!!xnnxxxdxn
=357212131352(2)!()232452467(!)(21)2nxxxnxxnn
收敛半径为1R （arcsin,1yxx）
（4） xex3
解：因为 21112!!xnexxxn，
所以2111()()()2!!xnexxxn
=2111()2!!nxxxn
因此3()xfxxe=3211(1())2!!nxxxxn
=345311()2!!nxxxxn
=30(1)!nnnxn (,)x
4．将函数)0()(xxxf分别展开成正弦级数和余弦级数.
解：（1）先求正弦级数，，将()fx奇周期延拓
0na，只有nb，
02()sinnbfxnxdx=02()sinxnxdx
=0022sinsinnxdxxnxdx
=0022cos(cos)nxxdnxnn
=0022(cos1)[coscos]nxxnxnxdxnn
=222[(1)1](1)nnnnn
所以()fx展开成正弦级数为
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7
111()sin2sinnnnfxbnxnxn
在端点0x时，级数之和不能代表原函数，
x
时，级数之和能够代表原函数，所以(0,]x
（2）再求余弦函数，将()fx偶周期延拓
0nb，只有0a，na
2000221()[]2axdxxx=
02()cosnafxnxdx=02()cosxnxdx
=0022coscosnxdxxnxdx
=00221sin(sin)nxxdnxnn
=22(cos1)nn=22[1(1)]nn
=20,24,21(21)nmnmm
所以()fx展开成余弦级数为
0
1()cos2nnafxanx2141cos(21)2(21)nmxm
，[0,]x