直线与双曲线地相交弦问答

实用标准文档大全直线与双曲线的相交弦问题直线与双曲线相交的弦长公式①221212()()AB x x y y =-+-（两点之间的距离） ②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ③221121222111(1)[()4]AB y y y y y y kk=+-=+⋅+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长例1、 过双曲线1322=-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6π的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2∆的面积（2F 为双曲线的右焦点）。

1、求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长；2、过双曲线14491622=-y x 的右焦点作倾斜角为3π的弦AB ，求弦长AB ；3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22154x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程；4、过双曲线122=-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3π的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB（2）△AB F 1∆的周长（2F 为双曲线的右焦点）二、已知弦长求双曲线方程5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程．6、已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．例2、 已知双曲线方程为3322=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3322=-y x .问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．7、已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为213的双曲线经过点(6,6)P（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。

试证明你的结论。

题型三：9、设双曲线()01:222>=-a y ax C 与直线1:=+y x l 相交于不同的点A 、B.⑴求双曲线C 的离心率e 的取值范围；⑵设直线l 与y 轴的交点为P ，且PB PA 125=，求a 的值。

解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0 ① 由题设条件知，⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 21－a 2>0，解得0<a<2且a ≠1， 又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，∵0<a<2且a ≠1，∴e>62且e ≠ 2.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0,1)． ∵PA →＝512PB →， ∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．∴x 1＝512x 2，∵x 1、x 2是方程①的两根，且1－a 2≠0， ∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2， 消去x 2得，－2a 21－a 2＝28960， ∵a>0，∴a ＝1713.10. 已知双曲线的焦点为()0,1c F -，()0,2c F ，过2F 且斜率为53的直线交双曲线于P 、Q 两点，若OQ OP ⊥ (其中O 为原点），4=PQ ，求双曲线方程。

11. 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、、成等差数列，且BF u u u r 与FA uu u r同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431b a b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率52e =． （Ⅱ）过F 直线方程为()ay x c b=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立，将2a b =，5c b =代入，化简有2215852104x x b b -+= 222121212411()4a a x x x x x x b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-=++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦将数值代入，有2232528454155b b ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。

12、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3)在双曲线上． (1) 求双曲线的方程；(2) 若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且0=⋅OQ OP .求1|OP |2＋1|OQ |2的值． 解： (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2，双曲线方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，即3x 2－y 2＝3a 2.∵点M (5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a 2.∴a 2＝4.∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立x 24－y 212＝1，得22222123123x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∴|OP |2＝x 2＋y 2＝12k 2＋13－k 2. 则OQ 的方程为y ＝－1kx ， 同理有|OQ |2＝22112113k k⎛⎫+ ⎪⎝⎭-＝12k 2＋13k 2－1， ∴1|OP |2＋1|OQ |2＝3－k 2＋3k 2－112k 2＋1＝2＋2k 212k 2＋1＝16. 13．(2012上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积； (2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ；(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．解：(1)双曲线C 1：22112x y -=，左顶点A 22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，渐近线方程为：y ＝±2x . 过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为222y x =+⎭，即y ＝2x ＋1. 解方程组221y x y x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，得2412y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明：设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ，∵直线PQ 与已知圆相切，∴|b |2＝1，即b 2＝2.由2221y x b x y =+⎧⎨-=⎩得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则1221221x x b x x b+=⎧⎨=--⎩ 又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，∴OP OQ ⋅u u u r u u u r＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx (显然2k >)， 则直线OM 的方程为y ＝－1k x . 由2241y kx x y =⎧⎨+=⎩得22222144x k ky k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩∴|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1. 设O 到直线MN 的距离为d . ∵(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2， ∴1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值．五、能力提升1．若不论k 为何值，直线y=k(x-2)+b 与双曲线122=-y x 总有公共点，则b 的取值范围是（ ）(A) ()3,3- (B)]3,3[- (C) ()2,2- (D) []2,2-2．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线l 有（ ） (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条3．过点⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b P ,1的直线l 与双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（ ）(A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或44. 已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为ο45的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）(A) (1，2] (B)（1，2) (C) [2，+∞) (D) (2，+∞)6．直线2:+=kx y l 与双曲线6:22=-y x C 的右支交于不同两点，则k 的取值范围是 ．7. 已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．8. 设直线13:-=x y l 与双曲线于()0,012222>>=-b a by a x 相交于A 、B 两点，且弦AB 中点的横坐标为21． (1)求22ba 的值；(2)求双曲线离心率．9. 已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率21+>e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得1PF 是P 到l 的距离d 与2PF 的等比中项？。