直线与双曲线地相交弦问答
实用标准文档大全直线与双曲线的相交弦问题直线与双曲线相交的弦长公式①221212()()AB x x y y =-+-（两点之间的距离） ②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ③221121222111(1)[()4]AB y y y y y y kk=+-=+⋅+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长例1、 过双曲线1322=-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6π的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2∆的面积（2F 为双曲线的右焦点）。
1、求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长；2、过双曲线14491622=-y x 的右焦点作倾斜角为3π的弦AB ，求弦长AB ；3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22154x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程；4、过双曲线122=-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3π的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB（2）△AB F 1∆的周长（2F 为双曲线的右焦点）二、已知弦长求双曲线方程5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程．6、已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．例2、 已知双曲线方程为3322=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3322=-y x .问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．7、已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为213的双曲线经过点(6,6)P（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。
试证明你的结论。
题型三：9、设双曲线()01:222>=-a y ax C 与直线1:=+y x l 相交于不同的点A 、B.⑴求双曲线C 的离心率e 的取值范围；⑵设直线l 与y 轴的交点为P ，且PB PA 125=，求a 的值。
解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0 ① 由题设条件知，⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 21－a 2>0，解得0<a<2且a ≠1， 又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，∵0<a<2且a ≠1，∴e>62且e ≠ 2.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0,1)． ∵PA →＝512PB →， ∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．∴x 1＝512x 2，∵x 1、x 2是方程①的两根，且1－a 2≠0， ∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2， 消去x 2得，－2a 21－a 2＝28960， ∵a>0，∴a ＝1713.10. 已知双曲线的焦点为()0,1c F -，()0,2c F ，过2F 且斜率为53的直线交双曲线于P 、Q 两点，若OQ OP ⊥ (其中O 为原点），4=PQ ，求双曲线方程。
11. 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、、成等差数列，且BF u u u r 与FA uu u r同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431b a b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率52e =． （Ⅱ）过F 直线方程为()ay x c b=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立，将2a b =，5c b =代入，化简有2215852104x x b b -+= 222121212411()4a a x x x x x x b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-=++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦将数值代入，有2232528454155b b ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。
12、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3)在双曲线上． (1) 求双曲线的方程；(2) 若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且0=⋅OQ OP .求1|OP |2＋1|OQ |2的值． 解： (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2，双曲线方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，即3x 2－y 2＝3a 2.∵点M (5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a 2.∴a 2＝4.∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立x 24－y 212＝1，得22222123123x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∴|OP |2＝x 2＋y 2＝12k 2＋13－k 2. 则OQ 的方程为y ＝－1kx ， 同理有|OQ |2＝22112113k k⎛⎫+ ⎪⎝⎭-＝12k 2＋13k 2－1， ∴1|OP |2＋1|OQ |2＝3－k 2＋3k 2－112k 2＋1＝2＋2k 212k 2＋1＝16. 13．(2012上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积； (2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ；(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．解：(1)双曲线C 1：22112x y -=，左顶点A 22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，渐近线方程为：y ＝±2x . 过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为222y x =+⎭，即y ＝2x ＋1. 解方程组221y x y x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，得2412y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明：设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ，∵直线PQ 与已知圆相切，∴|b |2＝1，即b 2＝2.由2221y x b x y =+⎧⎨-=⎩得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则1221221x x b x x b+=⎧⎨=--⎩ 又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，∴OP OQ ⋅u u u r u u u r＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx (显然2k >)， 则直线OM 的方程为y ＝－1k x . 由2241y kx x y =⎧⎨+=⎩得22222144x k ky k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩∴|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1. 设O 到直线MN 的距离为d . ∵(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2， ∴1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值．五、能力提升1．若不论k 为何值，直线y=k(x-2)+b 与双曲线122=-y x 总有公共点，则b 的取值范围是（ ）(A) ()3,3- (B)]3,3[- (C) ()2,2- (D) []2,2-2．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线l 有（ ） (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条3．过点⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b P ,1的直线l 与双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（ ）(A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或44. 已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为ο45的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）(A) (1，2] (B)（1，2) (C) [2，+∞) (D) (2，+∞)6．直线2:+=kx y l 与双曲线6:22=-y x C 的右支交于不同两点，则k 的取值范围是 ．7. 已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．8. 设直线13:-=x y l 与双曲线于()0,012222>>=-b a by a x 相交于A 、B 两点，且弦AB 中点的横坐标为21． (1)求22ba 的值；(2)求双曲线离心率．9. 已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率21+>e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得1PF 是P 到l 的距离d 与2PF 的等比中项？。
高中数学理科2-1A 知识讲解 直线与双曲线的位置关系理
(2)∵双曲线 的焦点为(±2 ，0)，∴设所求双曲线方程为： ，
又点(3 ，2)在双曲线上，∴ ，解得a2＝12或30(舍去)，
∴所求双曲线方程为 .
【总结升华】根据焦点所在轴的位置合理的设出方程是求双曲Fra bibliotek方程的基本步骤。
举一反三：
【变式1】设双曲线焦点在x轴上，两条渐近线为y＝± x，则该双曲线的离心率为()
举一反三：
【变式1】过原点的直线l与双曲线 =－1交于两点，则直线l的斜率取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【变式2】直线y=x+3与曲线－ x·|x|+ y2=1的交点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
例3.过点 与双曲线 有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
若 即 ，
①Δ＞0 直线和双曲线相交 直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0 直线和双曲线相切 直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0 直线和双曲线相离 直线和双曲线相离，无公共点．
直线与双曲线的相交弦
设直线 交双曲线 于点 两点，则
= =
同理可得
这里 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
,
双曲线的中点弦问题
【思路点拨】
显然采用过P点的直线方程与双曲线方程 联立的方法，但要注意直线斜率不存在的情况要先判断。
【解析】若直线的斜率不存在时，则 ，此时仅有一个交点 ，满足条件；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为 则 ，
，∴ ，
，
当 时，方程无解，不满足条件；
当 时， 方程有一解，满足条件；
当 时，令 ，化简得： 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条 和 。
圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题【八大题型】新高考用(原卷版)—25年新高考数学一轮复习
圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题【八大题型】【题型1 椭圆的弦长问题】 (2)【题型2 双曲线的弦长问题】 (3)【题型3 抛物线的弦长问题】 (4)【题型4 长度及其最值（范围）问题】 (5)【题型5 长度之和问题】 (6)【题型6 长度之差问题】 (7)【题型7 长度之商问题】 (8)【题型8 长度之积问题】 (9)1、圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，弦长问题与长度和、差、商、积问题是考查的重要方向，以选择题或填空题的形式考查时，难度不大；以解答题的形式考查时，有时会与向量、数列等知识结合考查，难度较大；联立直线与圆锥曲线方程并灵活运用弦长公式是解决此类问题的关键，复习时要加强此类问题的训练.【知识点1 圆锥曲线中的弦长问题】1．椭圆的弦长问题(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点，2．双曲线的弦长问题(1)弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长(2)解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.(3)处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.(4)双曲线的通径：过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y3．抛物线的弦长问题设直线与抛物线交于A,B两点，则|AB|AB(k为直线的斜率，k≠0).4．弦长公式的两种形式(1)若A,B是直线y=kx+m与圆锥曲线的两个交点，且由两方程联立后消去y，得到一元二次方程(2)若A,B是直线x=my+n与圆锥曲线的两个交点，且由两方程联立后消去x，得到一元二次方程【题型1 椭圆的弦长问题】【例1】（2024·云南昆明·模拟预测）已知直线l是圆C：x2+y2=1的切线，且l与椭圆E：x23+y2=1交于A，B两点，则|AB|的最大值为（）A．2B C D．1【变式1-1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆C:x24+y2=1，过原点O且倾斜角为π4的直线交椭圆于A,B两点，则|AB|=（）A B C D【变式1-2】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的面积为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若倾斜角为π4的直线l 与C 相交于两个不同的点A,B ，求|AB |的最大值．【变式1-3】（2024·河北衡水·一模）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过.F 1,F 2分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A ､B 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)求|AB |的范围.【题型2 双曲线的弦长问题】【例2】（2024·北京·模拟预测）已知双曲线C:y 2―x 23=1的两个焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线与双曲线C的同一支交于A ，B 两点，且|BF 1|=2|AF 1|，则线段AB 的长度为（ ）A ．94B ．9C ．274D ．6【变式2-1】（2024·山东·模拟预测）过双曲线x 2―y 2=2的左焦点作直线l ，与双曲线交于A,B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【变式2-2】（2024·海南·模拟预测）已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0，b >0)的实轴长为在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点P 且斜率为C 的另一个交点为Q ，求|PQ |.【变式2-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(b >a >1)的左、右焦点分别为F 1、F 2，两条渐近线的夹角为60∘，y 0是双曲线上一点，且△MF 1F 2的面积为(1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且坐标原点O 在以PQ 为直径的圆上，求|PQ |的最小值.【题型3 抛物线的弦长问题】【例3】（2024·河南开封·一模）已知O 为坐标原点，过抛物线C:y 2=8x 焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，若|AF|=|AO|，则|AB|=（ ）A ．5B ．9C ．10D ．18【变式3-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，准线与x 轴交于点M ，直线l 过其焦点F 且与C 交于A ， B 两点，若直线AM |AB|=（ ）A B C ．4D ．5【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知点P(a,b)(a>0,b>0)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，记O为坐标原点，|OP|=3，以P为圆心，|OP|为半径的圆与抛物线C的准线相切．2(1)求抛物线C的方程；(2)记抛物线C的焦点为F，过点F作直线l与直线PF垂直，交抛物线C于A，B两点，求弦AB的长．【变式3-3】（2024·广西·模拟预测）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程；(2)若P为直线l:x=―2上的一动点，过P作抛物线C的切线PA,PB,A,B为切点，直线AB与l交于点M，过F作AB 的垂线交l于点N，当|MN|最小时.求|AB|.【题型4 长度及其最值（范围）问题】【例4】（23-24高三上·湖北武汉·开学考试）设双曲线E1x2―y23=1的左右焦点为F1，F2，左顶点为A，点M是双曲线E在第一象限中内的一点，直线MF1交双曲线E的左支于点N，若NA//MF2，则|MF2|=（）A．74B．52C．83D．114【变式4-1】（2024·吉林·模拟预测）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若△AOF+1，则|AF|=（）A．B．C．D．【变式4-2】（23-24高三下·河南周口·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，一动圆过点F(1,0)且与直线x=―1相切，设该动圆的圆心C的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)设P为Γ在第一象限内的一个动点，过P作曲线Γ的切线l1，直线l2过点P且与l1垂直，l2与Γ的另外一个交点为Q，求|PQ|的最小值．【变式4-3】（2024·河北张家口·三模）已知点F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1(―c,0)的直线l（斜率不为0）交椭圆C于P，Q两点，当直线l的斜率不存在时，|PQ|=3c．(1)求椭圆C的离心率；(2)若点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，且△PAB面积的最大值为PA与直线QB相交于点M，求|OM|的取值范围．【题型5 长度之和问题】【例5】（2024·河北承德·二模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点到右焦点的距离是3，且C的离心率是12，过左焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点，过左焦点且与直线l垂直的直线l′与椭圆交于M,N两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求|AB|+|MN|的取值范围.【变式5-1】（23-24高三上·陕西西安·开学考试）已知点F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，点P(1,2)，Q(0,1)，且|PF|=|QF|.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若正方形ABCD的顶点A、B在直线l:x―y+2=0上，顶点C、D在抛物线C上，求|FC|+|FD|.【变式5-2】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知抛物线P:y2=2px(0<p<5)上一点Q的纵坐标为4，点Q到焦点F的距离为5，过点F做两条互相垂直的弦AB、CD．(1)求抛物线P的方程．(2)求|AB|+|CD|的最小值．【变式5-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，上､下顶点分别为A1,A2，四边形A1F1A2F2的面积为且有一个内角为π3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若以线段F1F2为直径的圆与椭圆C无公共点，过点A(1,3)的直线与椭圆C交于P,Q两点（点P在点Q的上方），线段PQ上存在点M，使得|AP||AQ|=|MP||MQ|，求|MF1|+|MF2|的最小值.【题型6 长度之差问题】【例6】（24-25高三上·全国·阶段练习）设椭圆C：x24+y23=1的右焦点为F，动点P在椭圆C上，点A是直线4x―5y―12=0上的动点，则|PA|―|PF|的最小值为（）A．―B C4D．4【变式6-1】（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线E:x2m ―y23=1(m>0)的离心率为2，右焦点为F，动点P在双曲线右支上，点A(0,2)，则|―|PA|最大值为（）A B―2C．D．2【变式6-2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知点P是双曲线x29―y216=1右支上的一点，点M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x―5)2+y2=1上的点，求|PM|―|PN|的最大值．【变式6-3】（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线y2=2px(p>0)的准线过点(―2,3)，(1)求抛物线的标准方程;(2)若角α为锐角，以角α为倾斜角的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，作线段AB的垂直平分线l交x轴于点P，证明:|FP|―|FP|cos2α为定值，并求此定值.【题型7 长度之商问题】【例7】（2024·四川绵阳·A(2,0)的直线l与拋物线C:y2=2px(p>0)交于点M，N（M在第一象限），且当直线l的倾斜角为π时，|MN|=4(1)求抛物线的方程；(2)若B(3,0)，延长MB交抛物线C于点P，延长PN交x轴于点Q，求|QN|的值.|QP|【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线l:y=kx+m(m2=k2+1,k≠0)和椭圆T:x23+y2=1．(1)证明：l与T恒有两个交点；(2)若A,B为l与T的两个交点，过原点且垂直于l的直线交T于C,D两点，求|CD||AB|的最小值．【变式7-2】（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线M:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A(―2,3)在双曲线M上，且|AF1|+|AF2|=8．(1)求双曲线M的方程；(2)记∠F1AF2的平分线所在的直线为直线l，证明：双曲线M上存在相异两点B,C关于直线l对称，并求出|AE||BC|（E为BC的中点）的值．【变式7-3】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知过点(0,2)的直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点，抛物线在点A处的切线为l1，在B点处的切线为l2，直线l1与直线l2交于点M，当直线l的倾斜角为450时，|AB|=(1)求抛物线C的方程；(2)设线段AB的中点为N，求|AB||MN|的取值范围．【题型8 长度之积问题】【例8】（2024·江苏南通·模拟预测）已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，焦距为4，C上一点P满足cos∠F1F2P=―△PF1F2的面积为(1)求C的方程；(2)过C的渐近线上一点T作直线l与C相交于点M，N，求|TM|⋅|TN|的最小值．【变式8-1】（2024·陕西安康·三模）已知M(1,2)为抛物线C:y2=2px上一点．(1)求抛物线C的准线方程；(2)过点T(0,1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线MA与MB的倾斜角互补，求|TA|⋅|TB|的值．【变式8-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直线l与椭圆C:x24+y2=1交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=1，其中O为坐标原点.(1)证明：x21+x22和y21+y22均为定值；(2)设线段PQ的中点为M，求|OM|⋅|PQ|的最大值.【变式8-3】（2024·江西·一模）已知双曲线C:x2a2―y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线的倾斜角为π3，C的右焦点F到该渐近线的距离为(1)求C的方程；(2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆O:x2+y2=a2交于与A，B不重合的M，N两点.（ⅰ）求直线AB斜率的取值范围；（ⅱ）求|AB|⋅|MN|的取值范围.一、单选题1．（2024·河北秦皇岛·二模）已知A，B为椭圆C：x29+y25=1上两个不同的点（直线AB与y轴不平行），F为C的右焦点，且|AF|+|BF|=4，若线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则|FP|=（）A．43B．53C．54D．322．（2024·新疆·C：y2=x的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦PQ与弦MN的交点恰好为F，且PQ⊥MN，则1|PQ|+1|MN|=（）A B．1C D．23．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，圆O:x2+y2=a2.若过F1的直线分别交C的左、右两支于A，B两点，且圆O与F1B相切，C的离心率为3,F1到C的渐近线的距离为|AB|=（）A．327B．307C．207D．1674．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是C的左、右焦点，且△F1AB P为C上的任意一点，则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为（）A．[1,2]B．C．D．[1,4]5．（2024·全国·模拟预测）如图，已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线右支上一点，且F 2P 的延长线交y 轴于点A ，且F 1P ⋅F 2P =0，△APF 1的内切圆半径为4，△PF 1F 2的面积为9，则|AF 2||PF 2|=（ ）A ．18B ．32C ．50D ．146．（23-24高二上·河南商丘·阶段练习）设双曲线x 2a 2―y 2=1的左、右焦点为F 1、F 2，渐近线方程为y =±12x ，过F 1直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则|AF 2|+|BF 2|的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．14D ．1527．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线C:y 2=6x 的焦点为F ，O 为坐标原点，倾斜角为θ的直线l 过点F 且与C 交于M ，N 两点，若△OMN 的面积为 ）A ．sin θ=12B ．|MN |=24C ．以MF 为直径的圆与y 轴仅有1个交点D ．|MF ||NF |=或|MF ||NF |=8．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆E:x 29+y 25=1的左焦点为F ，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 垂直于x 轴，则|AB |=154B ．|AB |∈,6C ．若|AB |=5，则直线lD ．若|AF |=2|BF |，则|AB |=1039．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知直线y =―x +1经过椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点Q ，且与E 在第四象限交于点P,E 的左、右焦点分别为F 1,F 2，则（ ）A ．E 离心率为12B ．△PQF 1的周长为C ．以PF 1为直径的圆过点QD ．|PQ|=10．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C:x 23―y 2=1的右焦点为F ，动点M,N 在直线l:x =32上，且FM ⊥FN ，线段FM 交C 于点P ，过P 作l 的垂线，垂足为R ，则（ ）A ．△FMN 的面积S ≥12B ．|PR ||PF |=C ．|MR |⋅|HN |=|FH |⋅|PR |D ．|MP |⋅|NF ||MN |⋅|PF |为定值11．（2024·福建龙岩·三模）已知抛物线C:y 2=2px(p >0)与圆O:x 2+y 2=20交于A ，B 两点，且|AB|=8.过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 是抛物线C 上异于顶点的任意一点，点Q 是抛物线C 的准线与坐标轴的交点，则（ ）A ．若MF =3FN ，则直线l 的斜率为±．|MF|+4|NF|的最小值为18C ．∠MON 为钝角D ．点P 与点F 的横坐标相同时，|PF||PQ|最小三、填空题12．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知P 为双曲线C:x 24―y 2=1的右支上一点，点A,B 分别在C 的两条渐近线上，O 为坐标原点，若四边形OAPB 为平行四边形，且|PA |=1，则|PB |= ，13．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 是圆(x ―2)2+y 2=1的圆心，过点F 的直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D ，则|AB |+|CD |的取值范围为 ．14．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，点F 为C 的一个焦点，点A,B 为C 的两个顶点，若|FA |=3，|FB |=2，则|AB |的可能值中的最大值为 ．15．（2024·安徽·一模）已知双曲线C：x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2.且经过点(2,3).(1)求C的方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且OA⋅OB=0（点O为坐标原点），求|AB|的取值范围.16．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右顶点分别为A1,A2，左､右焦点分别为F1,F2,M是椭圆C上一点，MF2⊥F1F2,|MA1|=MA2的斜率为―32.(1)求椭圆C的方程；(2)若过右焦点F2的直线与椭圆C交于点P,Q，直线A1P,A2Q交于点N，求当|A1P||PN|=12时，|PF2|的值.17．（2024·海南海口·二模）已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线与x轴的交点为E(―1,0)，C的焦点为F.经过点E的直线l与C分别交于A，B两点.(1)设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2=0；(2)记△ABF与△BEF的面积分别为S1，S2，若S1=3S2，求|AF|+|BF|.18．（2024·新疆·一模）已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，离心率为2，M是C上一点，且MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为12.(1)求C的方程;(2)过F2的直线l与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明：1|OP|2―2|AB|为定值.19．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，且|F1F2|=2，过点F2作两条直线l1,l2，直线l1与C交于A,B两点，△F1AB的周长为(1)求C的方程；(2)若△F1AB的面积为43，求l1的方程；(3)若l2与C交于M,N两点，且l1的斜率是l2的斜率的2倍，求|MN|―|AB|的最大值．。
高考数学 知识点考点解析含答案 知识讲解_直线与双曲线的位置关系(文)_提高
直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质371712一、复习】 要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2焦点在y 轴上的双曲线的标准方程 双曲线双曲线的定义与标准方程 双曲线的几何性质 直线与双曲线的位置关系 双曲线的综合问题双曲线的弦问题双曲线离心率及渐近线问题22221(0,0)y a x b b a -=>>22221(0,0)x a y b ba -=>>说明：焦点是F1(0，-c)、F2(0，c)，其中c2=a2-b2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.要点二、双曲线的几何性质标准方程22221x ya b-=(0,0)a b>>22221y xa b-=(0,0)a b>>图形性质焦点1(,0)F c-，2(,0)F c1(0,)F c-，2(0,)F c焦距2212||2()F F c c a b==+2212||2()F F c c a b==+范围{}x x a x a≤-≥或，y R∈{}y y a y a≤-≥或，x R∈对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(,0)a±(0,)a±轴实轴长=a2，虚轴长=2b离心率(1)ce ea=>渐近线方程xaby±=ay xb=±要点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a =±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交与一点； 若2220,b a k -≠即bk a≠±，①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1） 利用定义转化 （2） 利用双曲线的几何性质 （3） 转化为函数求最值 【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例1.设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，其中c ＝a 2＋b 2，求双曲线的离心率．【解析】由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2， 又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝1＋52，即双曲线的离心率为1＋52.【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。
直线与圆锥曲线相交弦问题ppt课件
10
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中点弦问题
变式3：过点Q(4, 2)作一直线交双曲线x2 y2 1于A，B两点， 3
并使Q为AB中点，求直线AB的斜率.
解：设直线L与双曲线交于点A(x1,y1) , B(x2,y2 )
｛ 把A,B两点代入得
x12
y12 3
1
x22
y22 3
1
(x2
x1)(x2
x1)
(
y2
y1)( 3
8
26
5
5
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课堂小结
1. 弦长公式 AB 1 k 2 x2 x1
1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
求弦长，面积，直线的斜率
2. 中点弦问题 — —点差法（设而不求）
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课后作业
单考单招第二轮复习用 书P88-90
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中点弦问题
例题2：已知点Q(4,2)是直线被抛物线y2 8x所截得的 线段的中点，求直线L的方程.
解：设直线L的斜率为k，则直线方程为y-2=k(x-4)
｛y k(x 4) 2
y2 8x
ky2 8y 32k 16 0
y1 y2
8 k
=4
k 2
直线L的方程为2x y 6 0
1
课题引入
4.904秒刷新三阶魔方世界纪录
方法
2
弦长问题
例1：直线y
求 AB.
2 x与椭圆x2 y2 1相交于A，B两点， 2
3
4
5
弦长问题
变式1：直线y 2 x 1与椭圆x2 y2 1相交于A，B两点， 2
(1) 求 AB ；（2）O为原点，求SOAB.
｛ 解：
y 2x 1 x2 y2 1
直线与双曲线归纳小结
直线与双曲线归纳小结：1．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元最终归结为讨论一元二次方程根的情况， 有时借助图形的几何性质更为方便.需要注意的是当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线有且只有一个交点．2．涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题，主要有这样几个方面：相交弦的长，有弦长公式|AB |=21k +|x 2－x 1|＝2212))(11(y y k -+；弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）．一．填空题1．过点（0，1），斜率为5的直线与双曲线122=-m y x 只有一个公共点，则=m 2. 直线123+=x y 与曲线92y 42x -=1的公共点个数为 3. 已知双曲线x 2－32y ＝1，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为4. 双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是5. 过原点与双曲线 3x 2-4y 2=-12 交于两点的直线斜率的取值范围是二．解答题1.已知直线y=kx-1与双曲线x 2-y 2=4,试讨论实数k 的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点 (2)有两个公共点(3)只有一个公共点 (4)交于异支两点 (5)与左支交于两点2.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条弦AB，求直线AB的方程。
3.已知双曲线C：2x2-y2=2与点P（1，2），求过点P的直线L的斜率k的取值范围(1)使L与C有两个公共点，一个公共点，没有公共点(2)是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P(3)若点Q的坐标为（1，1），试判断以点Q为中点的弦是否存在。
双曲线的几何性质及应用
第2课时 双曲线的几何性质及应用 学习目标 1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解弦长问题．知识点一 直线与双曲线的位置关系思考 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？答案 不能．梳理 设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，② 把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)． Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．知识点二 弦长公式若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].(1)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)(2)过点A (1,0)作直线l 与双曲线x 2－y 2＝1只有一个公共点，这样的直线可作2条．(×)(3)直线l ：y ＝x 与双曲线C ：2x 2－y 2＝2有两个公共点．(√)类型一 直线与双曲线位置关系例1 已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试确定满足下列条件的实数k 的取值范围．(1)直线l 与双曲线有两个不同的公共点；(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l 与双曲线没有公共点．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，y ＝k (x －1)，消去y ， 得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0.(*)当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)(－k 2－4)＝4×(4－3k 2)．(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＞0，1－k 2≠0，得－233＜k ＜233且k ≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解， 即直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2＝0，1－k 2≠0，得k ＝±233， 此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点，当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x ＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点．故当k ＝±233或±1时， 直线与双曲线有且只有一个公共点．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＜0，1－k 2≠0，得k ＜－233或k ＞233， 此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．反思与感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(3)注意对直线l 的斜率是否存在进行讨论．跟踪训练1 已知双曲线x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率k .考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.当4－k 2＝0时，k ＝±2，l 与双曲线的渐近线平行，l 与双曲线只有一个公共点；当4－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝52. 综上，k ＝52或k ＝±2或k 不存在．类型二 弦长公式及中点弦问题例2 过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1作倾斜角为π6的弦AB ，求|AB |的长． 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积解 易得双曲线的左焦点F 1(－2,0)，∴直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)， 与双曲线方程联立，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 反思与感悟 解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围问题．跟踪训练2 设A ，B 为双曲线x 2－y 22＝1上的两点，线段AB 的中点为M (1,2)．求： (1)直线AB 的方程；(2)△OAB 的面积(O 为坐标原点)．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积解 (1)显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1，消去y ， 整理得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2，解得k ＝1.当k ＝1时，满足Δ＞0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1.(2)由(1)得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－3，∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×4＋12＝4 2.又O 到直线AB 的距离d ＝12＝22， ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×42×22＝2. 类型三 直线与双曲线位置关系的综合问题例3 直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A ，B .(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的其他问题解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0，①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，故⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)＞0，－2k k 2－2＞0，2k 2－2＞0，解得k 的取值范围为－2＜k ＜－ 2.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由①式，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1x 2＝2k 2－2.假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ⎝⎛⎭⎫62，0，则F A ⊥FB ， ∴⎝⎛⎭⎫x 1－62⎝⎛⎭⎫x 2－62＋y 1y 2＝0， 即⎝⎛⎭⎫x 1－62⎝⎛⎭⎫x 2－62＋(kx 1＋1)·(kx 2＋1)＝0， (1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫k －62(x 1＋x 2)＋52＝0， ∴(1＋k 2)·2k 2－2＋⎝⎛⎭⎫k －62·2k 2－k 2＋52＝0， 化简得5k 2＋26k －6＝0， 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65(舍去)， 可知k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点． 反思与感悟 解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线位置关系进行求解．跟踪训练3 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B ，D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的其他问题 (1)解 依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32， ∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ，∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明 设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m ＞0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32， 又∵DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1，∴m ＝0(舍)或m ＝2，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72， M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1， ∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0，∴AD ⊥AB ，∴过A ，B ，D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径，∵点M 的横坐标为1，∴MA ⊥x 轴，∴过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切.1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．1考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的渐近线方程答案 A解析 ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F (4,0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F 到3x －y ＝0的距离为432＝2 3. 2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系答案 B3．直线y ＝x －1被双曲线2x 2－y 2＝3所截得的弦的中点坐标是( )A ．(1,2)B ．(－2，－1)C ．(－1，－2)D ．(2,1)考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系答案 C解析 将y ＝x －1代入2x 2－y 2＝3，得x 2＋2x －4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为x 1＋x 22＝－22＝－1，故选C. 4．过点A (3，－1)且被A 点平分的双曲线x 24－y 2＝1的弦所在的直线方程是________． 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的其他问题答案 3x ＋4y －5＝0解析 易知所求直线的斜率存在，设为k ，设该直线的方程为y ＋1＝k (x －3)，代入x 24－y 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程(1－4k 2)x 2＋(24k 2＋8k )x －36k 2－24k －8＝0，∴－24k 2＋8k 1－4k 2＝6，∴k ＝－34， ∴所求直线方程为3x ＋4y －5＝0.5．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则满足条件的直线l 有________条．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积答案 3解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x 2－y 22＝1，得y ＝±2， ∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k 2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2， |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k 2k 2－22－12k 2＋8k 2－2 ＝1＋k 2 16(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4， 解得k ＝±22.故满足条件的直线l 有3条．双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.一、选择题1．双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为( )A ．x 24－y 2＝1 B ．x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1 C ．x 2－y 24＝1或y 2－x 24＝1 D ．y 2－x 24＝1 考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 渐近线为条件求双曲线的方程答案 B2．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( ) A.3414 B.324 C.32 D.43考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9, 解得a ＝2，e ＝c a ＝32. 3．过双曲线x 2―y 2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积答案 D解析 设弦与双曲线交点为A ，B (A 点在B 点上方)，由AB ⊥x 轴且过右焦点，可得A ，B 两点横坐标为22，代入双曲线方程得A (22，2)，B (22，－2)，故|AB |＝4. 4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x ＝a 2c交于点M ，设其右焦点为F ，且点F 到渐近线的距离为d ，则( )A ．|MF |＞dB ．|MF |＜dC ．|MF |＝dD ．与a ，b 的值有关考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其它性质答案 C 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的标准方程答案 A解析 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 6．斜率为2的直线l 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(1，3)C ．(1，5)D ．(5，＋∞) 考点 双曲线的离心率与渐近线题点 双曲线离心率的取值范围答案 D7．设P 为双曲线C ：x 2－y 2＝1上一点，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，若cos ∠F 1PF 2＝13，则△PF 1F 2的外接圆半径为( ) A.94 B ．9 C.32D ．3 考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题答案 C解析 由题意知双曲线中a ＝1，b ＝1，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2 2.因为cos ∠F 1PF 2＝13，所以sin ∠F 1PF 2＝223. 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2R (R 为△PF 1F 2的外接圆半径)， 即22223＝2R ，解得R ＝32， 即△PF 1F 2的外接圆半径为32，故选C.二、填空题8．两个正数a ，b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝________.考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 133解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝5，ab ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2.又a ＞b ，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝13，∴e ＝c a ＝133. 9．已知双曲线C ：x 24－y 2m＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围 是________．考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 (4，＋∞)解析 ∵等轴双曲线的离心率为2，且双曲线C 的开口比等轴双曲线更开阔，∴双曲线C ：x 24－y 2m ＝1的离心率e ＞2，即4＋m 4＞2，∴m ＞4. 10．已知双曲线C 的离心率为3，焦点为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若|F 1A |＝3|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝________.考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题答案 33 解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 设A 为右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，且|F 2A |＝m ，由题意可得|F 1A |＝3m ，由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝2a ，解得m ＝a ，又e ＝c a ＝3， 可得c ＝3a .在△AF 1F 2中，|F 1A |＝3a ，|F 2A |＝a ，|F 1F 2|＝23a ，可得cos ∠AF 2F 1＝a 2＋12a 2－9a 22×a ×23a＝33. 11．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (2,1)，则直线l 的方程是_________________．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的其他问题答案 8x －y －15＝0解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可得x 21－y 214＝1，x 22－y 224＝1， 两式相减可得，(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0， 由M (2,1)为AB 的中点，得x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，可得直线AB 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝4×42＝8， 即直线AB 的方程为y －1＝8(x －2)，即8x －y －15＝0.将y ＝8x －15代入双曲线的方程x 2－y 24＝1， 可得60x 2－240x ＋229＝0，即有Δ＝2402－4×60×229＝240×11＞0，故直线l 的方程为8x －y －15＝0.三、解答题12．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，且过点(－3，42)．(1)求双曲线的方程；(2)若直线4x －y －6＝0与双曲线相交于A ，B 两点，求|AB |的值．考点 由双曲线的几何性质求方程题点 渐近线为条件求双曲线方程解 (1)设所求双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)， 把(－3,42)代入方程，得9－324＝λ，所以λ＝1， 所以所求双曲线的方程为x 2－y 24＝1. (2)直线方程4x －y －6＝0可变形为y ＝4x －6，把y ＝4x －6代入x 2－y 24＝1，得3x 2－12x ＋10＝0， 则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103， 所以|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ (1＋16)×⎝⎛⎭⎫42－4×103＝21023. 13．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、实虚轴求方程解 (1)由题意，知a ＝23，所以一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0， 所以|bc |b 2＋12＝3，所以b 2＝3， 所以双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程，消去y 得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，所以⎩⎨⎧ x0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3. 由OM →＋ON →＝tOD →，得(163，12)＝(43t,3t )，所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．四、探究与拓展14．已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2又分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则4e 21＋e 22的最小值为( )A.52 B ．4 C.92D ．9 考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题答案 C解析 由题意设焦距为2c ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，①由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，②又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，③①2＋②2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22，④将④代入③，得a 21＋a 22＝2c 2，∴4e 21＋e 22＝4c 2a 21＋c 2a 22＝4(a 21＋a 22)2a 21＋a 21＋a 222a 22＝52＋2a 22a 21＋a 212a 22≥52＋22a 22a 21·a 212a 22＝92， 当且仅当2a 22a 21＝a 212a 22，即a 21＝2a 22时，取等号，故选C. 15．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F (－2,0)．(1)求双曲线的方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F ，Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l的方程．考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、实虚轴求方程解 (1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有e ＝c a＝2，c ＝2，所以a ＝1，b ＝3，所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)因为直线l 与y 轴相交于点M 且过焦点F (－2,0)， 所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)， 令x ＝0，得M (0,2k )．因为|MQ →|＝2|QF →|且M ，Q ，F 共线于l ，所以MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →.当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ， 所以Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，23k ， 又因为点Q 在双曲线x 2－y 23＝1上， 所以169－4k 227＝1，所以k ＝±212， 所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)． 当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )，代入双曲线方程，得16－4k 23＝1，所以k ＝±352， 所以直线l 的方程为y ＝±352(x ＋2)． 综上，直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2)．。
高中数学直线与双曲线位置关系
一.点与双曲线的位置关系
点P(
x0
,
y0
)与
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的位置关系
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 上
x0 2 a2
y02 b2
1；
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 内
x0 2 a2
y02 b2
1；(含 焦点)
y
点P( x0 ,
y0 )在 双 曲 线 外
在 原 点
直线 三 两 条数 条 条
四条
不
两条 存
在
26
探究2:已知双曲线
x2 a2
by过22 点1P(m,n)能否
存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点，且点
P
是线段AB的中点？
是否
点的 位置
区
区
区
原 双曲 渐近
存在 方程
域域域
线上
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 点 线上 (除原点)
x2 a2
y2 b2
1
不 存 在
My
曲线C:y x2 1有一个交点
求实数k的取值范围
o
x
29
ex3.当k取不同实数时，讨论方程 kx2 y 2 4所表示的曲线类型．
k 0,直线y 2 k 0时，x2 y 2 1．
44 k k 1,表示圆 k 0且k 1表示椭圆 k 0表示双曲线
30
12
课堂练习
例过双曲线
x2 y2 1 的右焦点 36
F2倾, 斜角为 30的o
直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
高中数学 选修2-1 4.3.2直线与双曲线的位置关系
②相切一点: ③相 离:
△=0 △＜0
含
含
焦
含
焦 点
点
焦 点
区
区
区
域
域
域
内
外
内
P 4条
4条 P
当点P在双曲线上时，能 作3条直线与双曲线只有 一个公共点。
P
当点P在其中一条渐近线上 （中心除外）时，一条是 切线，一条是与另一条渐 近线平行，共 2条
P
当点P在含焦点区域 内时，两条是分别与 两条渐近线平行，共 2条。
1相减
x22 4
y2 2 2
1
y1 y2 x1 x2
1 2
x1 y1
x2 y2
1 2
xN yN
1
y
即 kCD 1，
l的方程为：y 1 x 1即y x 1
2
2
把y x 1 代入 x2 y 2 1得242 Nhomakorabea2
oM2..N 2
x
2
x2 2x 9 0其中 5 0 4
直线l 与双曲线没有交点与所设矛盾
练习:
1.过双曲线 x2
y2 3
1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲
4
线交于 A、B 两点，则|AB|= 3 2
练习 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
（1）过 M（1，1）的直线交双曲线于 A、B 两点，若 M 为弦 AB 的中点，
求直线 AB 的方程；
（2）是否存在直线l，使
N
以 N(1，12) 为弦的中点的直线不存在 .
小结：
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.设而不求(韦达定理、点差法)
1，12
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b若0222=-k a b 即ab k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若0222≠-k a b 即ab k ±≠， ))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点；0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点；0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y =kx +n ，圆锥曲线：F (x ,y )=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)， 且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。
设),(),,(2211y x B y x A ，则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x kAB -++= 若联立消去x 得y 的一元二次方程：)0(02≠=++a c by ay设),(),,(2211y x B y x A ，则2122124)(11||y y y y k AB -++= 焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。
【例1】过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
解析：若直线的斜率不存在时，则x =，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(y k x -=则5y kx =+-217x =， ∴22257(5725x kx -+-=⨯，222(257)72(5(57250k x kx --⨯-+--⨯=，当7k =时，方程无解，不满足条件；当7k =-时，21075⨯⨯=方程有一解，满足条件；当2257k ≠时，令222[14(54(257)[(5165]0k k ∆=-----=，化简得：k 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条x =10y x =+。
直线与双曲线的位置关系 种类相离;相切;相交(0个交点,一个交点,一个交点或两个交点
y2 3
1左、右焦点分别为F1, F2，
双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且
d,PF1, PF2成等比数列，试求点P(x0, y0 )的坐标.
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盼着爷能过来 可总得别到信儿 就经常到院门口看您是否过来 那去の次数多咯 别小心就受咯风 ”“您们那帮奴才就别晓得劝劝您家主子吗？任由着她受咯风都别管别顾？都是 怎么当の差事？皮痒咯还是怎么着？”“爷 奴婢知错咯 求爷看在奴婢还要服侍主子の份上 暂且饶过奴婢那壹次 别要责罚！”菊香还别待说完 早就吓得扑通壹声跪在咯地上 声 音中还带着哭腔 “早怎么别去知会爷 都耗到咯那会儿才说？”“回爷 主子是怕爷担心 壹直别让奴婢跟秦公公说 只是 今天那病又加重咯 才请咯太医 可是喝咯药也别见好 那 到咯夜里头 非但别见好 还又咳上咯 奴婢才别顾主子の命令 斗胆去请您 ”淑清病咯 对此他の心中很是愧疚 那些天壹直在照顾水清 没想到淑清都病咯两天咯 他都别晓得 若别 是菊香去怡然居找他 别晓得还要耽搁多久才能来看望她 虽然他现在壹门心思都在水清身上 但是淑清也是他の诸人 别要说他们以前曾经有过那么深の感情 就算是他们以前关系 壹般 只要是他の诸人 他也别能熟视无睹 别管别顾 他是她们の夫君 他有责任将她们照顾好 于是他转过头来 对淑清说道：“您也是 那么大人咯 怎么也别晓得照顾好自己？爷 要是过来 自然会差人提前传口信 秋日里风凉 您更是要当心 那些天您就好好在床上躺着养病 别要整日里胡思乱想 把身子养好咯才是正经事 ”“多谢爷 妾身那点儿小病别碍事 若别是病在床上起别咯身 定是会拦咯菊香 别让她去找您の ”“您瞧瞧您 说の那叫啥啊话 您病咯 爷能别来看您吗？菊香能来找爷 那就对咯！爷确实是要责罚她 恰恰就是因为 她找得太晚咯 若是早两天 也别至于让您病成那样 ”第壹卷 第898章 回去他说の是真心话 他确实是嫌菊香找他找得太晚咯！但是他只说咯半截话 假设菊香能早些找他 他能早 些劝慰淑清 她の病也别至于壹日重过壹日 另外假设她能早两天找他 而别是今天那各尴尬の日子 他也别至于对冰水清如此愧疚 他们才刚刚两各人步入正轨 足足耗咯十三天の时 间 才借着撕衣裳那各极为难得の玩笑契机开始两各人第二次の浓情蜜意 可是为啥啊偏偏竟是今天？水清好别容易发自内心地接纳咯他 别再拘谨羞涩 好别容易在他の耐心安抚之 下沉入梦乡 别再惊慌得彻夜难眠 为啥啊偏偏就是今天？他要从热被窝里被请来烟雨园 留给她壹各人如此别堪の局面去独自面对 偏偏水清又是壹各极为敏感之人 虽然走之前他 特意看咯她壹眼 晓得她没什么被吵醒 仍在安然地沉睡 可是他の心中特别没什么底 他别晓得她那是真正の没什么被吵醒 还是善解人意地在装睡 毕竟她以前装昏、装睡、装病企 图蒙骗他の别良记忆太多咯 在与水清渐入佳境之际就偏偏赶上淑清又病下咯 那样の无巧别成书令他顾此失彼 应接别暇 陷入咯极度の矛盾之中 淑清病咯 别陪她于情于理说别过 去 可是水清呢？已经下定决心要陪伴她成长の每壹天 那才短短の十三天 他怎么能够将她壹各人扔下管 特别是今晚 那各最敏感の时刻 而且他第壹各缺席の日子竟然是陪伴在另 外壹各诸人の身边 假设今天因为别の事情他歇在朗吟阁 倒是还能有效地减轻他の内疚与自责 可却偏偏是烟雨园……他要回去！仿佛是壹瞬间 他没什么任何理由就决定咯他要回 去 毕竟淑清只是轻微の风寒 已经经过太医の诊治 药也喝下咯 也没什么发烧 只是还有些咳嗽 应该没什么大碍 关于病情 他确实有足够の理由踏实下心来 于是 他开口说道： “好咯 下次身子有啥啊别舒服 早些禀报爷 别再拖得那么久 幸好那壹次只是小病 万壹拖得时间长咯 可就别好咯 ”说完 他转向咯菊香：“那壹次看在您及时禀报の份上 爷就 别追究您服侍主子别力の错处 下次再若如此 爷决别会轻饶 从现在开始 好生服侍您家主子 先别要出门咯 特别注意把窗子关严实咯 小凉风更容易闹大病 ”“回爷 奴婢壹定好 生服侍主子 再也别