高校力学经典课件-理论力学II-泛函变分
力学中的泛函分析和变分原理第八讲
如果对于某个������0 , 使得������ ������0 = ������0 ������0 有非零解，则称������0 为������的固有值，������0 称
为相应������0 的固有元素，显然固有值属于谱。
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不动点
设������为Banach空间，ℱ 为由������到������的算子，且������ ℱ ⋂������ ℱ 非空，如果点 ������ ∗ ∈ ������, 满足ℱ ������ ∗ = ������ ∗ , 则称������ ∗ 为算子ℱ的不动点，或者说不动点������ ∗ 是算 子方程������ = ℱ ������ 的解。
3
§4.2 某些空间的共轭
力学中的共轭空间
令������和������是应力和应变空间，线弹性体应变能是 1 ������ = 2 间的共轭空间。 物体的总势能： Π= 对 ������������������ , ������������ ∈ ������ × ������∗ 是对 1 2 ������������������ ������ ������������ ������������ − ������������������ ������������ ������������
称算子 ������ 强收敛于������. ������
→ 0, 则
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逆算子
设有算子������: ������ → ������, 如果对于每一个������ ∈ ������ ������ 均有唯一的������ ∈ ������ ������ 与之对 应， 使得������ ������ = ������, 则称算子������是一对一的(或单射的)，这些确定了一个由 ������到������的算子，称为������的逆算子，记为������ −1 . 定理：线性算子������是一对一的充分必要条件是其零空间只含零元素。
2+弹性力学、泛函、变分等基本知识
2013-7-31 有限元法预备知识
σ
来表
7
2.1 弹性力学基本知识 [ 位 移 ]
z
z
x
x
x
E
(6)
y
y
式中，E为弹性模量。弹性体在x方 向的伸长还伴随有侧向收缩，即在y 和z方向的单位缩短可表示为：
x
z
0 x
图 1-7
y
x x y ， z (7) E E
式中，μ 为泊松比。 上述两个方程可用于简单和压缩。
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有限元法预备知识
x y z xy yz zx 0
有 u 0，v 0，w 0，u v 0，v w 0，w u 0 x y z y z z x x y
积分得
式中，u0、v0、w0、 x、 y、 z、为积分常数，即刚体位移。
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有限元法预备知识
4
2.1 弹性力学基本知识 [ 应力的概念 ]
•正应力 为了表明这个正应力的作用面和 作用方向，加上一个角码，例如， 正应力σx是作用在垂直于x轴的面 上同时也沿着x轴方向作用的。 •剪应力 加上两个角码，前一个角 码表明作用面垂直于哪一个坐 标轴，后一个角码表明作用方 向沿着哪一个坐标轴。例如， 剪应力τxy是作用在垂直于x轴 的面上而沿着y轴方向作用的。
由
F 0 ，得
x
x
xy
Gx
x
Gy
yx
变分原理基础_讲义
变分原理基础罗建辉2009年夏季1 能量原理能量原理是以能量形式表述的力学定律。
概括地说，在所有满足一定的约束条件的可能状态中，真实状态应使其能量取极值或驻值。
本课程讨论结构力学、弹性力学、薄板的能量原理，只讨论线性平衡问题。
2 弹性系统真实平衡状态的能量特征举例从能量角度看，弹性系统的真实平衡状态具有如下的能量特征：即与其他可能状态相比，真实状态的能量为极值或驻值。
对这一能量特征举几个简例。
例0—1. 弹簧系统真实平衡状态的能量特征图0—1 所示为一弹簧下端挂一重物。
弹簧的刚度系数为k ，重物的重力为P 。
用∆表示位移，当弹簧系统处于平衡状态时，求得位移∆的真解为kP =∆=∆0)(真解 (1)真解的能量特征是弹簧系统的势能p ∏为极小。
现检验如下：∆-∆=∏P k p221 (2)式(2)右边第一项是弹簧的应变能，第二项是重力P 的势能。
系统势能p ∏是位移∆的二次式。
由式(2)得221()22pP Pk kk∏=∆--(3)现考察真解的能量特征。
显然，真解(1)使势能p ∏取极小值。
换一个角度，求p ∏的一阶及二阶导数，得Pk d d p-∆=∆∏ (4)22>=∆∏k d d p(5)将真解(1)代入式(4)，得0=∆∏d d p，故知势能p∏为驻值。
根据式(5)，又知势能p∏变分原理广义变分原理单变量形式多变量形式为极小值。
例0—2 超静定梁真实平衡状态的能量特征图0—2a 所示为一超静定梁，取图0—2b 所示静定梁为其基本结构。
根据平衡条件，基本结构的弯矩可表示为PMX M M +=11 (6)其中p M 是在荷载作用下基本结构的弯矩，1M 是在单位多余力11=X 作用下基本结构的弯矩，1X 是任意值。
式(6)同时也是超静定梁满足平衡条件的可能弯矩，由于1X 是任意参数，因此超静定梁的可能弯矩尚未唯一确定。
为了确定1X 的真解，还必须应用变形协调条件)(1111=∆+p X 真解δ (7)式中⎰=∆dxEI M M pp 11 (8)⎰=dxEIM 2111δ试验证真解的能量特征是梁的余能c ∏为极小值，余能c ∏的表示式为dxMX M EIdx EIMpc ⎰⎰+==∏2112)(212 (9)余能c ∏是1X 的二次函数，由式(9)得11111122211221212211112221111111111(2)21[2]21[2]21[()]2p c p p p p p p p p M X M M X M dxEIM dx M M dx M dx X X EIEI EIM dx X X EIM dx X EIδδδδ∏=++=++=+∆+=+∆-∆+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(10)由式(10)可知变形协调条件(7)使余能c ∏取极小值。
变分原理
1.1 变分的基本概念
① 泛函的概念 函数论：自变量、函数 变分原理：自变函数、泛函
举例1：平面上两个给定点： P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2） 连接该两点的曲线的长度L
显然连接P1、P2的曲线有无数条 Y
设: 曲线方程 Y=Y（X） P2
P1 显然：曲线方程不同对应不同的长度L， X
如何理解函数的微小变化那？ 有两条同类的曲线y= y (x)， y1= y 1(x) 自变函数的微小改变指：
y= y (x)和 y1= y 1(x)对有定义的一切x值 y (x)和 y 1(x)之间差的模很小，即两条曲线 纵坐标之间很接近。
y (x) -y 1(x) 很小时，我们称其为 零阶接近。
不定积分
A
y
xB
1 A2
A、B待定参数有边界条件给出。
y1 y( x1 ), y2 y( x2 )
y-y1 y-y2 x-x1 x-x2
直线方程
F 1 y'2
此时， 2
x2 x1
2 2
F y'
y'
2
dx=
x2 x1
2
1 y'2 2 y'
y'2 dx
x2
x2
Π = F ( x , y, y')dx
x1
在边界条件： y( x1 ) y1 ; y( x2 ) y2
一阶变分
x2 F
F
δΠ
x1
y
δy
y'
δy' dx
泛函求极值的条件
0
转化为：
F y
d dx
F y'
第二章 泛函极值及变分法(补充内容)
第二章 泛函极值及变分法（补充内容）2.1 变分的基本概念2.1.1 泛函和变分泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x )，变量J 有一值与之对应，或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立，则我们称变量J 是函数y (x )的泛函，记为J [y (x )]。
例1：如果表示两固定端点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )间的曲线长度J （图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到：dx dx dy J BAx x ⎰+=2)/(1 （2.1.1）显然，对于不同的曲线y (x )，对应于不同的长度J ，即J 是函数y (x )的函数，J =J [y (x )]。
图2.1.1 两点间任一曲线的长度例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。
设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。
图2.1.2 最速降线问题选取一个表示曲线的函数y (x )，设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动，则其运动速度为：dsv dt ==其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是：dt =设重力加速度为g ，则gy v 2=。
因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2，那么质点从P 1到P 2所用时间便为：1[()]x x J y x =⎰211/2211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ⎧⎫'+=⎨⎬-⎩⎭⎰（2.1.2）则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。
回顾函数的微分：对于函数的微分有两种定义： 一种是通常的定义，即函数的增量：),()()()(x x x x A x y x x y y ∆+∆=-∆+=∆ρ （2.1.3） 其中A （x ）与∆x 无关，且有∆x →0时ρ（x ,∆x ）→0，于是就称函数y (x )是可微的，其线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=∆=∆，函数的微分就是函数增量的主部。
实变函数与泛函分析课件
巴拿赫空间的性质
巴拿赫空间与连续线性映射
连续线性映射
连续线性映射的定义
连续线性映射的性质
线性算子的谱理论
03 空间上的算子与变换
有界线性算子
有界线性算子的定义：在某空 间上有界且线性
重要性质：有界线性算子可以 扩展为全空间上的有界线性算
子
谱定理：有界线性算子的谱分 解定理
空间上的算子与变换部分的习题与解答
01
02
总结词：空间上的算子 与变换部分主要涉及线 性算子、有界算子、 紧 算子等不同类型的算子 的定义、性质和计算方 法，以及空间上的变换 和约化定理的应用。
详细描述
03
04
05
1. 线性算子的定义和性 2. 有界算子和紧算子的 质，包括线性算子的有 定义和性质，以及在各 界性、紧性、谱性质等， 种空间中的存在性和构 以及在各种空间（例如， 造方法。 Hilbert空间、Banach 空间等）中的应用。
映射与变换
序关系
介绍映射的概念及基本性质，如一一映射、 满射、单射等。
讨论集合中的序关系，如偏序、全序、反 对称序等，以及相关的概念如最大元、最 小元、上界、下界等。
实数函数
01
函数的定义
介绍函数的概念及基本性质，如定 义域、值域、单调性等。
函数的极限
介绍函数极限的定义、性质及其计 算方法。
03
02
03
线性空间
01
数乘性质
02
中间元素性质
03
正交性
内积空间与Hilbert空间
内积空间的定义
1
内积空间的定义
2
正交性
3
内积空间与Hilbert空间
理论力学完整ppt课件
主讲 王卫东
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2
绪
论
一、理论力学的研究对象和内容 二、理论力学发展简史 三、学习理论力学的目的 四、理论力学的研究方法
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3
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真汽 车 碰 撞 仿
4
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5
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6
一、理论力学的研究对象和内容
理论力学——研究物体机械运动规律的科学。
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都江堰
岷江上的大型引水枢纽工程，也是现有世界上历史最长的无坝 引水工程。始建于公元前256～前251年。
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赵州桥(安济桥)
591～599年，跨度37.4米,采用拱高只有7米的浅拱-敞肩拱，
敞肩拱的运用为世界桥梁史上的首创，并有“世界桥梁鼻祖”
的美誉。
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3 随着科学技术的发展，交叉学科的地位也越来越 重要。力学与其它学科的渗透形成了生物力学、爆 炸力学、物理力学等边缘学科，这就需要我们有坚 实的理论力学基础。
4 培养分析问题、解决问题的方法。
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四、理论力学的研究方法
是从实践出发，经过抽象化、综合、归纳、建立 公理，再应用数学演绎和逻辑推理而得到定理和结论， 形成理论体系，然后再通过实践来验证理论的正确性。
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张衡与地动仪
东汉时期，中国发生地震的次数是比较多的，为了测定地
震方位，及时地挽救人民的生命财产，公元126年，张衡在第二
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
次担任太史令之后， 就注意掌握收集地震的情报和记录，经过
多年的潜心研究，终于在公元132年(东汉顺帝阳嘉元年)，发明
泛函极值与变分法
泛函极值与变分法7.2 泛函极值与变分法变分法是解决泛函极值的基本方法。
1. 泛函TJFxtutttSxT,，[(),(),]d[()]例指标的值 ,t0utttT(),[,],依xt()、是函数的函数,泛函 0xt()和ut()作为泛函的“自变量”，称为泛函的宗量例7.1 最短弧长问题:Axyx(,())Bxyx(,())yyx,()设过和 1122第 1 页共 27 页y B(x,y(x))22,若连续可微，则 yx()y(x)x22Jyx,，1d，(7.5) ,x1,A(x,y(x))11是的泛函. yx()ox图 7.12. 泛函极值yxY(){},,函数集设 JJyx,(())，若有，使 yY,,JyJy()min(),,JyJy()max(),,或，yY,yY,则称泛函J有极小值或极大值。
第 2 页共 27 页3. 变分 ,函数的微分宗量变分: 在处的增量,yxyxyx()()(),, yx() yx()yx()yx(),yxyxyx()()(),,OxOx第 3 页共 27 页泛函增量: ,JJyxJyx,,[()][()] ,，,JyxyxJyx[()()][()],泛函变分:若,,,JLyxyxryxyx,，[(),()][(),()],式中:Lyxyx[(),()],是,yx()的线性连续泛函，即LyxkyxkLyxyx[(),()][(),()],,,,,ryxyx[(),()],是,yx()的高阶无穷小项，则称泛函J是可微的，Lyxyx[(),()],而称为泛函的变分，第 4 页共 27 页记为。
,,JLyxyx,[(),()]引理7.1 若泛函可微，则变分,,,JJyxayx()(),，. ,,a,a,0证,,JJyxayx()(),，,lim ,,a,0a,aa,0Lyxayxryxayx[(),()][(),()],,,， limlimaa,,00aa第 5 页共 27 页aLyxyxryxayx[(),()][(),()],,,，limlim()yx,aa,,00aayx() ,。