行程问题-二次相遇问题讲义2
解析汇报行程问题—“多次相遇”
解析行程问题—“屡次相遇〞行程问题是行测数学运算中必考题型。
同时也是相对较难解决的一种题型。
而路程=速度×时间是行程问题中最根本公式。
这个根本公式中暗含着的正反比关系也是考生在复习过程中需要重点注意的地方。
正因如此，比例思想是我们解决行程问题的常用方法。
其次，数形结合也是不可或缺的工具。
即对于行程问题，最主要的是根据题干信息画出行程图，理清路程、速度、时间三者之间的关系，进而解题。
行程问题实际上还包含很多小的模块，比如：简单的相遇和追与、屡次相遇问题、流水行船、时钟问题、牛吃草问题等等。
在此，中公教育专家宋丽娜将对于比拟难以掌握的屡次相遇问题详细的阐述下其中蕴含的原理、公式与考题。
(1)最根本的屡次相遇问题是指两人同时从不同的地点同时相向而行，在第一次相遇后没停，继续向前走到打对方终点后返回再次相遇，如此循环往返的过程是屡次相遇问题。
根本模型如下：从出发开始到等等依次类推到第n次相遇。
在此运动过程中，根本规律如下：(1)从出发开始，到第n次相遇：每一次相遇会比前一次夺走2个全程;即：路程和具有的特点是1：2：2：2：……，含义是第一次走1个全程，第二次开始都增加2个全程;(2)由于二者在运动过程中，速度和是不变的，故每次相遇所用时间和路程和成正比，假如设第一次相遇的时间为t，如此第一次到第二次所用时间为2t，依次类推，每次相遇所用的时间关系也为1：2;2：2……，含义是第一次相遇用时间t，第二次开始相遇时间都会增加2t的时间;(3)各自所走路程也满足这个关系。
设第一次相遇甲走路程为S0，如此从第二次相遇开始甲走的路程会增加2S0，即关系式仍为1：2：2：2……。
例题1：甲从A地、乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离A地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，如此A、B两地相距多少千米?【答案】D。
解析：直线屡次相遇问题。
第一次相遇时，两人走的总路程为A、B之间的路程，即1个AB全程。
两次相遇行程问题的基本解法知识讲解
两次相遇行程问题的基本解法两次相遇行程问题的基本解法例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。
两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是：240－60＝180（千米）例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解］根据题意可画出线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。
两车同时出发同时停止，共行了3个全程。
说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝24O（千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米，所以A、B 两地间的路程就是：（24O＋6O）÷2＝150（千米）可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。
寻找最佳的解题方法有些题目，如果从不同的角度去分析，就会得到不同的解题方法，也就是说从多个角度去想就会有多种解法。
这样做可以使思维更开阔，也能从中找到最佳的解题方法。
下面的题目就可以用三种方法来解。
例某建筑工地，第一天用6辆汽车运沙子，共运96吨，第二天用同样的汽车12辆运沙子，第二天比第一天多运多少吨？解法一：先求一辆汽车一天运沙子的吨数，再求12辆汽车一天运沙子的吨数，减去第一天运的吨数，就得到第二天比第一天多运的吨数。
小学五年级奥数专题讲座25行程问题(二)
第25讲行程问题（二）本讲重点讲相遇问题和追及问题。
在这两个问题中，路程、时间、速度的关系表现为：在实际问题中，总是已知路程、时间、速度中的两个，求另一个。
例1甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。
两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地。
求A，B两地的距离。
分析与解：先画示意图如下：图中C点为相遇地点。
因为从C点到B点，甲车行3时，所以C，B两地的距离为40×3=120（千米）。
这120千米乙车行了120÷60=2（时），说明相遇时两车已各行驶了2时，所以A，B两地的距离是（40+60）×2=200（千米）。
例2小明每天早晨按时从家出发上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行，小明每分钟行60米，李大爷每分钟行40米，他们每天都在同一时刻相遇。
有一天小明提前出门，因此比平时早9分钟与李大爷相遇，这天小明比平时提前多少分钟出门？分析与解：因为提前9分钟相遇，说明李大爷出门时，小明已经比平时多走了两人9分钟合走的路，即多走了（60+40）×9=900（米），所以小明比平时早出门900÷60=15（分）。
例3小刚在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用18秒。
已知火车全长342米，求火车的速度。
分析与解：在上图中，A是小刚与火车相遇地点，B是小刚与火车离开地点。
由题意知，18秒小刚从A走到B，火车头从A走到C，因为C到B正好是火车的长度，所以18秒小刚与火车共行了342米，推知小刚与火车的速度和是342÷18=19（米/秒），从而求出火车的速度为19-2=17（米/秒）。
例4 铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路，公路上一辆拖拉机正以20千米/时的速度行驶。
这时，一列火车以56千米/时的速度从后面开过来，火车从车头到车尾经过拖拉机身旁用了37秒。
小学数学四年级 行程问题(二)相遇问题 PPT+答案
【分析】已知两人的路程和以及相遇时间，可求出两人的速度和。又已知两人 的速度差，利用和差问题方法求解。
速度和：2100÷15=140（米/分钟） 旭旭速度：（140-24）÷2=58（米/分钟） 答：旭旭的速度是58米/分钟.
货车各行驶了多少千米？
【分析】货车耽误2小时，则客车单独走了2小时，剩下的路程为两车同时走的路程和。
然后利用路程和与速度和求相遇时间。两车各自的路程利用速度×时间求解。
第1关 基本相遇问题 A-2 两个县城相距20 千米，甲、乙二人同时从两城出发，相向而行，甲
每小时行驶6千米，乙每小时行驶4 千米，几小时后两人相遇？
【分析】 已知两人路程和及速度，求相遇时间。
相遇时间：20÷（6+4）=2（小时） 答：2小时后两人相遇.
第1关 基本相遇问题 B-1 甲、乙两车从相距800 千米的两地同时出发，相向而行，甲车每小时
乙车在途中停了3 小时，然后继续行进，再过2 小时两车相遇，两地
间的铁路长多少千米？
【分析】采用整体思考方式，在相遇之前，甲车单独行驶3小时，甲乙又共同
行驶了3小时，全长则包含甲单独走的以及两人共同走的路程。
甲3小时路程：51×3=153（千米） 同行时间：1+2=3（小时） 甲乙路程和：（51+45）×3=288（千米） 全长：153+288=441（千米） 答：两地间的铁路长441千米.
相遇时间：（43-15）÷（3+4）=4（小时） 答：甲出发4小时后与B-2 甲、乙两座城市相距610 千米，货车和客车从两城同时出发，相向而
六年级奥数行程问题专题：二次相遇行程问题的要点及解题技巧
六年级奥数专题：二次相遇行程问题的要点及解题技巧一、概念：两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动,随着时间的发展,必然面对面地相遇,这类问题叫做相遇问题。
二、特点：它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。
小学数学教材中的行程问题,一般是指相遇问题。
三、类型：相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程,求相遇时间,求速度。
四、三者的基本关系及公式：它们的基本关系式如下：总路程=（甲速+乙速）×相遇时间相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度奥数行程：二次相遇例题及答案（一）答题思路点拨：甲从A地出发,乙从B地出发相向而行,两人在C地相遇,相遇后甲继续走到B地后返回,乙继续走到A地后返回,第二次在D地相遇。
一般知道AC和AD的距离,主要抓住第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。
例1。
甲乙两车同时从A、B两地相向而行,在距B地54千米处相遇,它们各自到达对方车站后立即返回,在距A地42千米处相遇。
请问A、B两地相距多少千米？A。
120 B。
100 C。
90 D。
80【解答】A。
解析：设两地相距x千米,由题可知,第一次相遇两车共走了x,第二次相遇两车共走了2x,由于速度不变,所以,第一次相遇到第二次相遇走的路程分别为第一次相遇的二倍,即54×2=x-54+42,得出x=120。
例2。
两汽车同时从A、B两地相向而行,在离A城52千米处相遇,到达对方城市后立即以原速沿原路返回,在离A城44千米处相遇。
两城市相距（）千米A。
200 B。
150 C。
120 D。
100【解答】D。
解析：第一次相遇时两车共走一个全程,第二次相遇时两车共走了两个全程,从A城出发的汽车在第二次相遇时走了52×2=104千米,从B城出发的汽车走了52+44=94千米,故两城间距离为（104+96）÷2=100千米。
绕圈问题：例3。
在一个圆形跑道上,甲从A点、乙从B点同时出发反向而行,8分钟后两人相遇,再过6分钟甲到B点,又过10分钟两人再次相遇,则甲环行一周需要（）？A．24分钟B．26分钟C．28分钟D．30分钟【解答】C。
奥数讲义二、行程问题
行程问题（一）专题简析：行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。
其互逆关系可用乘、除法计算，方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种：（1）相遇问题；（2）相离问题；（3）追及问题。
行程问题的主要数量关系是：距离=速度×时间。
它大致分为以下三种情况：（1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和（2）相背而行：相背距离=速度和×时间。
（3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。
追及时间=追及距离÷速度差在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。
追及距离=速度差×时间。
解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。
例题1：两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的工地。
甲车比乙车早到8分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米。
甲车行完全程用了多少小时？解答本题的关键是正确理解“已知甲车比乙车早刀8分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米”。
这句话的实质就是：“乙48分钟行了24千米”。
可以先求乙的速度，然后根据路程求时间。
也可以先求出全程165千米是24千米的多少倍，再求甲行完全程要用多少小时。
解法一：乙车速度：24÷48×60=30（千米/小时）甲行完全程的时间：165÷30—4860=4.7（小时）解法二：48×（165÷24）—48=282（分钟）=4.7（小时）答：甲车行完全程用了4.7小时。
练习1：1、甲、乙两地之间的距离是420千米。
两辆汽车同时从甲地开往乙地。
第一辆每小时行42千米，第二辆汽车每小时行28千米。
第一辆汽车到乙地立即返回。
两辆汽车从开出到相遇共用多少小时？2、A、B两地相距900千米，甲车由A地到B地需15小时，乙车由B地到A地需10小时。
两车同时从两地开出，相遇时甲车距B地还有多少千米？3、甲、乙两辆汽车早上8点钟分别从A、B两城同时相向而行。
小学数学 行程问题之多次相遇问题(二) PPT带详细答案
这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约 开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈 佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况． 从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中 用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇 到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子 夜． 如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮 船．
全程：45×（3+4）=315（米）
相遇时间：315÷（4-3）=315（秒）
答：如果同向而行，315秒后两人再次相遇。
练习1 周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米， 周老师每分钟走65米。已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同 时背向而行。在他们第10次相遇后，王老师再走多少米就回到出发点？
练习5 A、 B 两地相距1000 米，甲从 A地、乙从 B 地同时出发，在 A、 B 两 地间往返锻炼．乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行 60米．在 30 分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距 B 地最近(从后面追上也算作相遇)？ 最近距离是多少？
解答：甲、乙的运行图如上，图中实现表示甲，虚线表示乙，两条线的交点表示两 人相遇．在 30 分钟内，两人共行了 (150 60) 30 6300 米，相当于 6 个全程又 300 米，由图可知，第 3次相遇时距离 A地最近，此时两人共走了 3 个全程，即 1000 ×3 =3000千米，用时3000÷（150+60）=100/7分钟，甲行了 60×100/7=6000/7米， 相遇地点距离 B 地1000-6000/7 143米．
小五奥数行程问题(二)相遇问题2
课堂小结
课堂小测验
1. 甲村与乙村要挖一条长580米的水渠，甲村比乙村每天多挖两米，
于是乙村先开工5天，然后甲村再动工与乙村一起挖。
从开始到完成共用了35天，那么乙村每天挖 米。
2. 小玲和小明同时从学校出发，跑向距离学校1200米的公园，到公园后再跑回来。
小玲每分钟跑300
米；小明去时每分钟跑200米，回来时每分钟跑400米，结果是（ ）
A.两人同时到校
B.小玲先回到学校
C.小明先回到学校
D.无法判断
3.一列慢车在上午9点钟以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，另一列快车在上午9点30分以每小时56千米的速度也由甲城开往乙城，铁路部门规定，有相同方向前进的两列火车之间相距不能小于8千米。
问这列慢车最迟在什么时候停车让快车超过？
每天告诉自己一次,“我真的很不错”。
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甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:2,他们第一次相遇后甲的速度提高了20﹪，乙的速度提高了30﹪，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地的距离是多少千米？
解析：因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为3:2相遇后，甲、乙两人的速度比为〔3×（1+20﹪）〕：〔2×（1+30﹪）〕=3. 6:2.6= 18:13到达B地时，即甲又行
一条船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度为每小时9千米，平时逆行与顺行所用的时间比为2:1。
一天因为下暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了10小时，甲、乙两港相距多少千米？
解析：平时逆行与顺行所用的时间比为2:1，设水流的速度为x，则9+x=2（9-x），x =3。
那么下暴雨时，水流的速度是3×2=6（千米），顺水速度就是9+6=15（千米），逆水速度就是9-6=3（千米）。
逆行与顺行
35甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续前
进，小强走到丙站立即返回，经过乙站300米时又追上小明，问：甲、乙两站的距离是多少米？
先画图如下：
分析与解：结合上图，我们可以把上述运动分为两个阶段来考察：
①第一阶段--从出发到二人相遇：
小强走的路程=一个甲、乙距离+100米，
小明走的路程=一个甲、乙距离-100米。
②第二阶段--从他们相遇到小强追上小明，小强走的路程=2个甲、乙距离-100米+300米=2个甲、乙距离+200米，小明走的路程=100+300=400（米）。
从小强在两个阶段所走的路程可以看出：小强在第二阶段所走的路是第一阶段的2倍，所以，小明第二阶段所走的路也是第一阶段的2倍，即第一阶段应走400÷2＝200（米），从而可求出甲、乙之间的距离为200＋100=300（米）。
36、甲、乙二人同时从A地去280千米外的B地，两人同时出发，甲先乘车到达某一地点后改为步行，车沿原路返回接乙，结果两人同时到达B地。
已知甲、乙二人步行的速度是5
千米/小时，汽车的速度是每小时55千米。
问甲下车的地点距B还有多少千米？
【分析】：甲、乙二人走的路程均分为步行、乘车两部分，两人速度相等，这说明，二人乘车的路程和步行的路程分别相等．由于二人步行的速度为每小时5千米，乘车的速度为每小时55千米，所以，在相同的时间里，乘车所走的路程是步行所走路程的11倍．
【解】：注意到乘车速度是人的11倍，那么相同时间下走的距离也是步行的11倍
由于甲乙同时到达因此两人步行的距离相同，把这个距离看做1份
可以设甲在c下车，车回去在d接上了乙
因此AD=BC AC+CD=11AD=11份，所以2AC=12份。
故AC是6份全长AB就是7份=28 0千米
所以一份是40千米
甲、乙之间的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回甲港需13小时，问船速和水速各为每小时多少千米？答案：从甲到乙顺水速度：234÷9＝26（千米/小时）。
从乙到甲逆水速度：234÷13＝18（千米/小时）。
船速是：（26+18）÷2=22（千米/小时）。
水速是：（26-18）÷2＝4（千米/小时）。
两港相距560千米，甲船往返两港需105小时，逆流航行比顺流航行多用了35小时。
乙船的静水速度是甲船的静水速度的2倍，那么乙船往返两港需要多少小时？
【解】：先求出甲船往返航行的时间分别是：小时，小时。
再求出甲船逆水速度每小时千米，顺水速度每小时千米，因此甲船在静水中的速度是每小时千米，水流的速度是每小时千米，乙船在静水中的速度是每小时千米，所以乙船往返一次所需要的时间是小时。
甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时。
现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？
分析与解：要求帆船往返两港的时间，就要先求出水速。
由题意可以知道，轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是35小时与5小时，用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间.并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度。
在此基础上再用和差问题解法求出水速。
解：轮船逆流航行的时间：（35+5）÷2=20（小时），顺流航行的时间：（35－5）÷2=15（小时），轮船逆流速度：360÷20=18（千米/小时），顺流速度：360÷15=24（千米/小时），
水速：（24-18）÷2=3（千米/小时），帆船的顺流速度：12＋3＝15（千米/小时），帆船的逆水速度：12-3=9（千米/小时），帆船往返两港所用时间：
360÷15＋360÷9＝24+40=64（小时）。
答：机帆船往返两港要64小时。
某船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10小时，逆水而上需用15小时。
由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需9小时，那么逆水而行需要几小时？
分析与解：本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出。
但是由于暴雨的影响，水速发生变化，要求船逆水而行要几小时，必须要先求出水速增加后的逆水速度。
解：船在静水中的速度是：（180÷10+180÷15）÷2=15（千米/小时）。
暴雨前水流的速度是：（180÷10-180÷15）÷2=3（千米/小时）。
暴雨后水流的速度是：180÷9-15=5（千米/小时）。
暴雨后船逆水而上需用的时间为：180÷（15-5）=18（小时）。
答：逆水而上需要18小时。
乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路，用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时？
分析与解：乙船顺水速度：120÷2=60（千米/小时）.乙船逆水速度：120÷4=30（千米/小时）。
水流速度：（60-30）÷2＝15（千米/小时）.甲船顺水速度：12O÷3＝4O（千米/小时）。
甲船逆水速度：40-2×15=10（千米/小时）.甲船逆水航行时间：120÷10=12（小时）。
甲船返回原地比去时多用时间：12-3=9（小时）。