陕西省渭南市大荔县2020届高三4月模拟考试数学(理)试卷

数学（理）
本试卷满分150分，考试时间120分钟。

选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合
{}
{}
31,062≤≤=≤--∈=x x N x x Z x M ，则=⋂N M （ ）
A. [1，3）
B. [1，3]
C. {1，2}
D. {1，2，3}
2.若复数)3(2i i z +=，则的共轭复数z =（ ） A.i 26-
B.i 62--
C. i 62+-
D. i 26+-
3.若向量()3,2=a ，()3,x b =，且)2(b a a -⋅=3，则实数的值为（ ）
A.21-
B.21
C. -2
D. 2
4.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系b
kx e y +=
（ 2.718
e = 为自然对数的底数，b k ,为常数），若该食品在 0℃的保鲜时间是192小时，
在 22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时. A. 22
B. 23
C. 33
D. 24
5.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）
A. 32
B. 33
C. 34
D. 35
6.设R b a ∈,，若b a >，则
A.
b
a >
B. b a 1
1<
C. 22b a >
D.b
a 33>
7.平面∥平面β，点∈C A ,βα∈D B ,,，则直线AC ∥直线BD 的充要条件是（ ）
数学（理） 共6页 第2页
A.AB ∥CD
B.AD ∥CB
C.AB 与CD 相交
D.D C B A ,,,四点共面 8.抛物线x y 42=的焦点是椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的一个焦点，且它们的交点M 到的距离为35
，则的值为（ )
A. 4
B. 2
C.31
D.91
9.设函数)
22sin(32cos )(x x x f ++=π
，则下列结论错误的是（ ）
A.π2-为)(x f 的一个周期
B.)(x f y = 的图像关于直线
2π
=
x 对称
C.)(x f 的一个零点为
4π
=
x D.)(x f 的最大值为2
10.已知
542cos ),4,0(=∈a a π，则)
4(sin 2π
+a （ ） A.51
B.52
C.53
D.54
11.已知以双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b y a x C 的右焦点为圆心，以为半径的圆与直线x
a b
y =
交于B A ,两点，若a AB 2=，求双曲线C 的离心率为（ ）
A. 2
B.3
C.
2
D.26
12.定义域为的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，且当(]1,0∈x 时，
x x x f -=2
)(，则当[]1,2--∈x 时，)(x f 的最小值为（ ）
数学（理） 共6页 第1页
A.161-
B.81-
C.41
D. 0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如表）， 零件数个 10 20
30 40 50 加工时间(min)y
62
75
81
89
由最小二乘法求得回归直线方程546.0ˆ
+=x y .由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为 .
14.已知函数)(x f 是定义在上的奇函数,当0<x 时,x
x f 21)(-=,则)(x f 的解析式
是 .
15.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．已知7,5,3===c b a ，则ABC ∆的面积为 ．
16.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不能割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程.比如在表达式
++
+11
11
1 中“
”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程
)0(1
1>=+
x x x
求
得
2
51+=
x ，类似上述过程，则
2323++= .
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）已知正项数列{}n a 满足2
2
1++=n n n a a a ,且9,131==a a 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设
n
a b n n 2+=,求数列
{}n b 的前4项和4S 。

18.（12分）如图，四棱锥ABCD P -中，AB ∥CD ,
2
,,2
=⊥=
∠AB BD PA BCD π
，
1====BC CD PD PA .
（1）求证：平面⊥PAD 平面ABCD ； （2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.
19.（12分）为推进“千村百镇计划”,2018年4月某新能源公司开展“电动莆田 绿色出行”活动，首批投放200台P 型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月．试用到期后，为了解男女试用者对P 型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为100分）．最后该公司共收回600份评分表，现从中随机抽取40份（其中男、女的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：
（1）求40个样本数据的中位数；
（2）已知40个样本数据的平均数80=a ，记与的最大值为M ．该公司规定样本中试用者
的“认定类型”：评分不小于M 的为“满意型”，评分小于M 的为“需改进型”． ①请根据40个样本数据，完成下面22⨯列联表：
根据22⨯列联表判断能否有%99的把握认为“认定类型”与性别有关？
②为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别用分层抽样的方法，从中抽取8人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这8人中随机抽取3人进行二次试用，记这3人中男性人数为X ，求X 的分布列及数学期望.
附公式:
))()()(()(2
2
d c b a d b c a bc ad n K
++++- 20()
P K K ≥
0.05 0.01 0.005 0.001 0
K
3.841
6.635
7.879
10.828
20.（12分）已知椭圆12:2
22=+y a x C 过点)1,2(P ．
（1）求椭圆C 的方程，并求其离心率；
（2）过点作轴的垂线l ，设点为第四象限内一点且在椭圆C 上（点不在直线l 上），点关于l 的对称点为A '，直线P A '与C 交于另一点．设O 为原点，判断直线AB 与直线OP 的位置
关系，并说明理由．
21.（12分）已知函数
n
x
x
x
f1)
1
(
)
(-
=
，x
k
x
x
g-
=
)
(
.
（1）证明：函数
)
(x
f的极小值点为1；
（2）若函数
)
(
)
(x
g
x
f
y-
=在[)
+∞
,1
有两个零点，证明:8
17
1<
≤k
.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（10分）22.（10分）在直角坐标系xoy中，曲线
1
C
的参数方程为:⎩
⎨
⎧
=
+
=
α
α
sin
5
cos
5
1
y
x
(为
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参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为
)
(4
R ∈=
ρπ
θ .
（1）求1C 的极坐标方程；
（2）若直线2C 与曲线1C 相交于N M ,两点，求MN
.
23.（10分）已知函数
2
1)(--++-=x a x x x f .
（1）当1=a 时，求不等式0)(>x f 的解集； （2）设1->a ，且存在[)
1,0a x -∈，使得
)(0≤x f ，求的取值范围.。