数学物理方法综合试题及答案

复变函数与积分变换 综合试题（一）

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ）

A ． Im 0z =

B ．Re z π=

C ．0z =

D ．argz π= 2．复数3(cos

,sin )55z i ππ

=--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44

3(cos ,sin )55i ππ

D ．44

3(cos ,sin )55

i ππ--

3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分

⎰c z dz

||等于（ ）

A ．0

B ．2πi

C ．2π

D ．－2π

4．设函数()0z

f z e d ζ

ζζ=⎰，则()f z 等于（ ）

A ．1++z z e ze

B ．1-+z z e ze

C ．1-+-z z e ze

D ．1+-z z e ze 解答：

5．1z =-是函数

4

1)

(z z

cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4

z π

<<

保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）

A ．4411z w z +=-

B ．44-11z w z =+

C ．44z i w z i -=+

D ．44z i

w z i +=-

7. 线性变换[]i i z z i z a

e z i z i z a

θω---=

=-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1

C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0

D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1

8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x

v x y e y y x y =+，则(,)u x y =

（ ）

A.(cos sin )y

e y y x y -) B.(cos sin )x

e x y x y - C.(cos sin )x e y y y y -

D.(cos sin )x

e x y y y -

(cos sin )sin (cos sin cos )x x x v

e y y x y e y x v

e y y y x y y

∂=++∂∂=-+∂[][]

cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin (1)

x x x iy iy iy

z w u v v v i i z x x y x

e y y y x y iy y ix y i y e y i y x y ix y iy y y y e e xe iye e z ∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂=-++++=++++-⎡⎤=++⎣⎦

=+

()()()()cos sin cos sin sin cos z x iy x x w ze x iy e e x iy y i y e x y y y i x y y y u iv

+==+=++=-++=+⎡⎤⎣⎦

()cos sin x u e x y y y =-

9.()1

(2)(1)

f z z z =

--在021z <-< 的罗朗展开式是（）

A.∑

∞

=-0

1n n

n

z )( B.

∑

∞

=-0

21

n n z )z (

C.∑∞

=-0

2n n

)

z ( D .

10

(1)

(2)n

n n z ∞

-=--∑

10.3

20

cos z z dz ⎰

=（ ）

A.

2

1

sin9 B.

2

1

cos9 C.cos9 D.sin9

二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．方程Ln 3

z i π

=

的解为_________________________。

12．幂极数

1!n

n

n n z n

∞

=∑的收敛半径为________________________。 13．设100

(1)

z i =+，则Imz ＝______________________。

()()1z z z z ze e ze z e z

∂

=+=+∂

14．设C 为正向圆周|z|=1，则

1()c z dz z +⎰=___________________________。

15．设C 为正向圆周 2ζ=，sin 3()-c

f z d z

π

ζ

ζζ=⎰，其中2z <，则

'(1)f =___________________。

16．函数()5

111

[1]1

(1)

f z z z z =

+++

++在点z=0处的留数为__________________。 三、计算题(本大题共8小题，共52分)

17. 计算积分22

(-)(3)z

c e I dz z i z i π=+⎰的值，其中C 为正向圆周|z-1|=3。

18. 函数1

()(1)n f z z -=- (n 为正整数)在何处求导？并求其导数

19.求22

2-u x xy y =+的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1. 20.计算积分||c z z

I dz z +=

⎰的值，其中C 为正向圆周|z|=2.

21.试求函数f(z)=

2

-0

z

e d ζζ⎰

在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.

22.求出

1()z z

f z e

+

=在所有孤立奇点处的留数.

23.求级数1

1

(1)

n n n nz ∞

-=-⋅∑的和函数.

24.函数33

6

6sin (6)z z z +-在0z =点为零，用级数展开法指出该零点的级.

四、综合题(下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分)

25．利用留数求积分420

cos

109

x

I dx

x x +∞

++⎰

＝

的值

26．设Z 平面上的区域为||-|D z i z i +><：

（1）11()w f z =把D 映射成W 1平面上的角形域113

arg 4

4

D w π

π<：＜；

(2) 121()w f w =把D1映射成W2平面上的第一象限220arg 2

D w π

<：＜;

（3）32()w f w =把D 2映射成W 平面的上半平面：Imw>0; （4）(z)w f =把D 映射成G 。