数学物理方法第三版答案
数学物理方程第三版第一章答案(全)
数学物理方程第三版答案第一章． 波动方程§1 方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程()⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。
现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。
在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ令0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。
由虎克定律，张力),(t x T 等于),()(),(t x u x E t x T x =其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu () 若=)(x s 常量，则得22)(tu x ∂∂ρ=))((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x ux E t l T ∂∂=)(),(|lx =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方程第三版(谷超豪)答案
2u
t 2 u
xa
t0
a2 2u x 2
(x)
u xat0 (x).
(0) (0)
数学物理方程答案
解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)
令 x-at=0 得 (x) =F（0）+G（2x）
令 x+at=0 得 (x) =F（2x）+G(0)
所以 且
F(x)= ( x ) -G(0). 2
于是得 所以
CLa2 1 0
2CLt CR LGt 0 CLt CR LGt GRt 0
1 CL
a2
u t ut
a2 2
CR
LG
a2 CRLG t
u t c0e 2
数学物理方程答案
代入以上方程组中最后一个方程，得
CL a4 CR LG2 a2 CR LG2 GR 0
的通解可以写成
u Fx at Gx at
hx
其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
t 0 : u x, u x.
t
解：令 h xu v 则
h x u u v ,h x2 u h xu v
x
x
x
x
[(h x)2 u (u v) (h x) u (h x)2 u (h x)(u 2v )
G（x）= ( x ) -F(0). 2
F（0）+G(0)=(0) (0).
所以
u(x,t)= ( x at ) + ( x at ) -(0).
2
2
即为古尔沙问题的解。
4．对非齐次波动方程的初值问题
证明：
2u
t
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()000000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z zz z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)
高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第一章 复数与复变函数（1）1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。
解：121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。
证明：1230;zz ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。
1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。
即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
.17.证明：三角形内角和等于π。
证明：有复数的性质得：3213213arg;arg ;arg ;z z z z z z αβγ---=== 21z z z z -•-arg(1)2;k αβγπ∴++=-+0;k ∴=;αβγπ∴++=第一章 复数与复变函数（2）7.试解方程()4400z a a +=>。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1u x ∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v v x y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*000lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i ze zθ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z z z z ∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()332222220,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩，332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方程第三版 谷超豪 答案
x, y,t 有
二阶连续偏导数。且
u
(t 2
x2
y
2
)
3 2
t
t
2u
(t 2
x2
y
2
)
3 2
3(t 2
x2
y
2
)
5 2
t2
t 2
(t 2
x2
y
2
)
3 2
(2t 2
x2
y2)
u
(t 2
x2
y
2
)
3 2
x
x
数学物理方程答案
2u
x
x
x
x
x
2x
又
h x 2u 2v
t 2 t 2
代入原方程，得
h x 2v 1 h x 2v
x 2 a 2
t 2
即
2v 1 2v
x 2 a 2 t 2
由波动方程通解表达式得
vx,t Fx at Gx at
（2） 在 x 轴区间[ x1, x 2 ]上所给的初始条件唯一地确定区间[ x1, x2 ]的决定区
域中解的数值。
证：（1） 非齐次方程初值问题的解为
u(x,t)= 1 [(x at) (x at)] 1
xat
()d
2
2a xat
1 t
+
xa(t )
2u
t 2 u
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数学物理方法第三版答案【篇一：数学物理方法试卷答案】xt>一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ b ） a．微分方程和边界条件. b. 微分方程和初始条件. c．微分方程和初始边界条件. d. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ d）a．存在性和唯一性. b. 唯一性和稳定性. c. 存在性和稳定性. d. 存在性、唯一性和稳定性.??2u?0,?3．牛曼内问题 ??u 有解的必要条件是（ c）??n?f??a．f?0.b．u??0.c．?fds?0. d．?uds?0.???x(x)??x(x)?0,0?x?l4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题??x(0)?x(l)?0的解是（ b ）n?n??n???n??x ).b．( ?x ). a．( ??,cos?,sinllll????(2n?1)?(2n?1)??(2n?1)???(2n?1)??x ).d．( ?x ). c．( ??,cos?,sin2l2l2l2l????22225．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ d ）a．uxx?4uxy?5uyy?ux?2uy?0. b．uxx?4uxy?4uyy?0.c．x2uxx?2xyuxy?y2uyy?xyux?y2uy?0. d．uxx?3uxy?2uyy?0.二、填空题（每题4分，共20分）??2u?2u?2?2?0, 0?x??, t?0?t?x??1．求定解问题?ux?0?2sint, ux????2sint, t?0的解是(2sintcosx).??ut?0?0, utt?0?2cosx, 0?x????2．对于如下的二阶线性偏微分方程a(x,y)uxx?2b(x,y)uxy?c(x,y)uyy?dux?euy?fu?0其特征方程为( a(x,y)(dy)2?2b(x,y)dxdy?c(x,y)(dx)2?0). 3．二阶常微分方程y(x)?或0).4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ ln1（）.r1 ），三维拉普拉斯方程的基本解为r113y(x)?(?2)y(x)?0的任一特解y?（ jx44x1(x) 3225．已知j1(x)?222sinx, j1(x)?cosx，利用bessel函数递推公式求??x?x23j3(x)?（221221dsinx(sinx?cosx)??x()()）. ?xx?xdxx三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题2??2u2?u??t2?a?x2?0, 0?x?l, t?0??u??u?0, ?0, t?0 ??xx?l??xx?0?u?x, utt?0?0, 0?x?l.?t?0?解：第一步：分离变量(4分) 设u(x,t)?x(x)t(t)，代入方程可得x(x)t(x)x(x)t(t)?ax(x)t(t)??2x(x)at(x)2此式中，左端是关于x的函数，右端是关于t的函数。
因此，左端和右端相等，就必须等于一个与x,t无关的常数。
设为??，则有x(x)t (x)x(x)?a2t(x)?????t(t)??a2??t(t)?0,??x(x)??x(x)?0.将u(x,t)代入边界条件得x(0)t(t)?x(l)t(t)?0,从而可得特征值问题x(x)??x(x)?0x(0)?x(l)?0,第二步：求解特征值问题 1) 若??0，方程的通解形式为x(x)?ae?x?be??x由定解条件知a?0,b?0，从而x(x)?0，不符合要求。
2) 若??0，方程的通解形式为x(x)?ax?b由边界条件知a?0,，从而x(x)?b。
3) 若??0，方程的通解形式为 x(x)?acos?x?bsin?x代入边界条件得??b?0,?b?0,???asinl?0?????(n?l)2, n?1,2,3,... 从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数????n?(n?)2, n?0,1,2,3?l,... ???xn(x)?ancosn?lx, n?1,2,3,...分)(4第三步：求特解，并叠加出一般解 (3分) 求解了特征值问题后，将每特征值?n代入函数t(t)满足的方程可得出相应的解tt)?cd0(0?0ttn?n? n(t)?cncoslat?dnsinlat, n?1,2,3,...因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的一般解u(x,t)?c0?d0t???(cn?ncosn?1lat?dn?n?nsinlat)coslx, 第四步：确定叠加系数由初始条件可知?cn?0??cncosn?1lx?x?d0??dn?annn?1lcos?lx?0可得cl0?2cnn?2ln2?2[(?1)?1],n?1,2,3?dn?0,n?0,1,2,?故原方程的解为2ln?at2??coscosn?22[(?1)n?1]lxn?1n?l??l4l(2n?1)?at(2n?1)?2??coscosxn?0(2n?1)2?2ll.分)(4四、（10分）用行波法求解下列问题???2u?2u?2?3u?2?2?x?y2?0, y?0, ???x???, ??x?y??u ?u?y?0?3x2, ?y?0,???x???.y?0解：其特征方程为(dy)2?2dxdy?3(dx)2?0 由此可得特征线方程为 3x?y?cx?y?d因此作变换????3x?y,???x?y从而可得?2u????＝0 从而有u(x,y)?f(3x?y)?g(x?y)由初始条件可得f(3x)?g(x)?3x2?f(3x)?g(x)?0所以有f(3x)?3g(x)?c，从而可得9x2f(3x)?4?c2g(x)?3x4?c故而可知u(x,y)?f(3x?y)?g(x?y)?3x2?y2。
(2分)(2分) (2分) (2分)【篇二：数学物理方法习题解答(完整版)】>一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明rez在z平面上处处不可导。
证明：令rez?u?iv。
?rez?x，?u?x,v?0。
?u?x?1，?v?y?0，?u?x??v?y。
于是u与v在z平面上处处不满足c－r条件，所以rez在z平面上处处不可导。
2、试证f?z??z2仅在原点有导数。
z2证明：令f?z??u?iv。
???f?z???u?x?2x,????u?y?2y。
??v?x??v?y?x?y????????u?x?y,v?02222。
???。
?u?y?v?x?v?y在原点所以除原点以外，u,v不满足c－r条件。
而 ??,?????,??连续，且满足c－r条件，所以f?z?在原点可微。
?v???uf??0????i??x???x?z?z2x?0y?0??v?u????i??y?y??*?0。
x?0y?02或：f??0???limz?0limz??z2?lim??z??lim??x?i?y??0?z?0?x?0?y?0。
*?z?z?0?z?lim?zz??zz?z*?i2??z?0?lim(z??z?0*?z*?zz)???0z?0【当z?0,?z?rei?，?z?z?e与趋向有关，则上式中?z?z??z*?z?1】3、设?x3?y3?i(x3?y3)?22f(z)??x?y?0?z?0z=0，证明f?z?在原点满足c－r条件，但不可微。
证明：令f?z??u?x,y??iv?x,y?，则 ?x3?y3?u?x,y???x2?y2?0??x3?y3?v(x,y)??x2?y2?0?ux(0,0)?limx?y?0x?y=022，x?y?0x?y=0 2222。
u(x,0)?u(0,0) xu(0,y)?u(0,0) yx?0?limxx33x?0?1，uy(0,0)?lim y?0?lim?yy33x?0??1；vx(0,0)?lim v(x,0)?v(0,0) xv(0,y)?v(0,0) yx?0?limxx33x?0?1，vy(0,0)?lim y?0?lim33x?0?1。
??ux(0,0)?vy(0,0)??,??uy(0,0)??vx(0,0) ?f(z) 在原点上满足c－r条件。
33但limz?0f(z)?f(0)z?limx?y?i(x?y)(x?y)(x?iy)2233z?0。
令y沿y?kx趋于0，则limx?y?i(x?y)(x?y)(x?iy)223333z?0?1?k?i(1?k)(1?k)(1?ik)233?k?k?k?1?i(k?k?k?1)(k?1)224343依赖于k，?f(z)在原点不可导。
4、若复变函数f?z?在区域d上解析并满足下列条件之一，证明其在区域d上必为常数。
（1）f?z?在区域d上为实函数；（2）f*?z?在区域d上解析；（3）ref?z?在区域d上是常数。
证明：（1）令f(z)?u(x,y)?iv(x,y)。
由于f?z?在区域d上为实函数，所以在区域d上v(x,y)?0。
?f(z)在区域d上解析。
由c－r条件得???v?x?0。
?u?x??v?y?0，?u?y?在区域d上u(x,y)为常数。
从而f?z?在区域d上为常数。
（2）令f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，则f*(z)?u(x,y)?iv(x,y)。
??u?xf(z)在区域d上解析。
由c－r条件得。
（1）??v?y,???u?y???v?x又f*(z)在区域d上解析，由c－r条件得?u?x???v?y??,???u?y??v?x。
（2）联立（1）和（2），得?u?x??u?y??v?x??v?y?0。
?u,v在区域d上均为常数，从而f(z)在区域d上为常数。
f(z)?u?x,y?。
?u?x??u?y?0。
（3）令f?z??u?x,y??iv?x,y?，则re由题设知u?x,y?在区域d上为常数，?又由c－r条件得，在区域d上?v?x???u?y?0?,???v?y??u?x?0，于是v在区域d上为常数。
?u,v在区域d上均为常数，从而在区域d上f(z)为常数。
5、证明xy2不能成为z的一个解析函数的实部。
证明：令u?xy2，?u?x22??u?y22?0?2x?2x。
的一个解析函数的实从而它不能成为z?u 不满足拉普拉斯方程。
部。
6、若z?x?iy，试证：（1）sinz?sinxcoshy?icosxsinhy；（2）cosz?cosxcoshy?isinxsinhy；（3）sinz（4）cosz2＝sinx?sinhy2222；2?cosx?sinhy。
证明：（1）sinz?sin(x?iy)?sinxcos(iy)?cosxsin(iy)?cos(iy)?coshy,?sin(iy)?isinhy，?sinz?sinxcoshy?icosxsinhy。
（2）cosz?cos(x?iy)?cosxcos(iy)?sinxsin(iy)?cos(iy)?coshy,?sin(iy) ?isinhy，cosz?cosxcoshy?isinxsinhy。