高中数学函数定义域练习题
人教版高中数学必修一知识点与典型习题——第二部分-函数(含答案)
2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一 第二部分 函数1、函数的定义域、值域2、判断相同函数3、分段函数4、奇偶性5、单调性1．定义域 值域（最值） 1．函数()()3log 3f x x =++的定义域为____________________ 2．函数22()log (23)f x x x 的定义域是（ ）(A) [3,1] (B) (3,1) (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞3．2()23,(1,3]f x x x x =-+∈-的值域为____________________ 4．若函数21()2f x x x a =-+的定义域和值域均为[1,](1)b b >，求a 、b 的值．2．函数相等步骤：1、看定义域是否相等； 2、看对应关系（解析式）能否化简到相同1．下列哪组是相同函数？2(1)(),()x f x x g x x ==(2)()()f x x g x ==,2(3)()2lg ,()lg f x x g x x ==(4)(),()f x x g x ==3．分段函数基本思路：分段讨论 （1）求值问题1．24(),(5)(1)4xx f x f f x x ⎧<==⎨-≥⎩已知函数则_______________ 2．设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则=))3((f f ______________（2）解方程1．2log ,11(),()1,12x x f x f x x x >⎧==⎨-≤⎩已知函数则的解为_________________2．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = .（3）解不等式1．21,0(),()1,0x f x f x x x x ⎧>⎪=>⎨⎪≤⎩已知函数则的解集为__________________2．2log ,0(),()023,0x x f x f x x x >⎧=>⎨+≤⎩已知函数则的解集为__________________（4）作图、求取值范围（最值）1．24-x ,0()2,012,0x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩已知函数．（1）作()f x 的图象；（2）求2(1)f a +，((3))f f 的值；（3）当43x -≤＜，求()f x 的取值集合（5）应用题（列式、求最值）1．为方便旅客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)， （1）求函数f(x)的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？4．函数的单调性（1）根据图像判断函数的单调性——单调递增：图像上升 单调递减：图像下降 1．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．ln(2)y x =+ B．y =．1()2xy = D ．1y x x=+2．下列函数中，在其定义域内为减函数的是（ ）A ．3y x =- B ．12y x = C ．2y x = D ．2log y x =（2）证明函数的单调性步骤——取值、作差12()()f x f x -、变形、定号、下结论 1．已知函数11()(0,0)f x a x a x=->>． (1)求证：()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数；(2)若()f x 在1[,2]2上的值域是1[,2]2，求a 的值．（3）利用函数的单调性求参数的范围1．2()2(1)2(2]f x x a x =+-+-∞在，上是减函数，则a 的范围是________2．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．)2,0( D ．)2,813[3．讨论函数223f(x)x ax =-+在(2,2)-内的单调性（4）利用函数的单调性解不等式1．()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围是（ ） A ． (,1)-∞ B ． 2(,1)3 C ．2(,)3+∞ D ． (1,)+∞ 2．2()[1,1](1)(1)f x f m f m m --<-若是定义在上的增函数，且，求的范围（5）奇偶性、单调性的综合1．奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值7，则它在[-3,-1]上是____函数，有最___值___. 2．212()(11)()125ax b f x f x +=-=+函数是，上的奇函数，且． （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义法证明()f x 在(1,1)-上递增；（3）解不等式(1)()0f t f t -+>．3．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且()()()xf f x f y y=-（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．5．函数的奇偶性（1）根据图像判断函数的奇偶性奇函数：关于原点对称；偶函数：关于y 轴对称 例：判断下列函数的奇偶性① y=x ³ ② y=|x|（2）根据定义判断函数的奇偶性一看定义域是否关于原点对称；二看()f x -与()f x 的关系1．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +是偶函数 D ．)()(x g x f -是奇函数 2．已知函数()log (1)log (1)(01)a a f x x x a a =+-->≠且 （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明。
高中数学《函数定义域值域》专题复习
求函数定义域和值域专题1 知识点拨一、函数的定义域及求法1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；3、正切函数：x ≠kπ+ π/2 ,k∈Z；4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；5、复合函数定义域的求法：取交集及分类讨论；6、抽象函数定义域的求法；二、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。
例1：求函数f(x)=211xx-+的定义域．三、含偶次根式的函数注意（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.例2 ：求函数y ＝3-ax （a 为不等于0的常数）的定义域.四、复合型函数注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.例3：求函数y ＝23-x ＋30323-+x x ）（的定义域．练习1、求下列函数的定义域。
⑴y=xx -||1 ⑵y=3102++x x （3）y=||11x - （4）y=2121---x x （5）2143)(2-+--=x x x x f五、抽象函数1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
高中数学试卷 代数——函数概念练习题
高中数学试卷 代数——函数概念练习题一、单选题1．自2019年1月1日起，我国个人所得税税额根据应纳税所得额､税率和速算扣除数确定，计算公式为：个人所得税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60000元.部分税率与速算扣除数见下表：若某人全年综合所得收入额为249600元，专项扣除占综合所得收入额的20%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的个人所得税应该是（ ） A ．5712元B ．8232元C ．11712元D ．33000元2．下列函数是奇函数的是（ ）A ．y=x ﹣1B ．y=2x 2﹣3C ．y=x 3D ．y =x(x−1)x−13．已知幂函数 f(x)=x α 的图象经过点 (2,√22) ，则 f(16)= （ ）A ．4B ．-4C ．14D ．−144．已知幂函数 y =f(x) 的图像经过点 (2,4) ，则 f(√2) 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知 f(x)={x −10(x ≥3)f(x +2)(x <3)，则 f(2) 的值为 ()A ．-6B ．-8C ．6D ．86．下列函数中，在 (0,+∞) 单调递减，且是偶函数的是（ ）A ．y =2x 2B ．y =3xC ．y =−2x +1D ．y =(12)|x|7．下列函数中与函数 y =x 相等的函数是（ ）A ．y =(√x)2B ．y =√x 2C ．y =x 2xD ．y =(√x 3)38．已知函数f （x ）的图象恒过点（1，1），则函数f （x ﹣3）的图象恒过（ ）A ．（4，1）B ．（﹣3，1）C ．（1，﹣3）D ．（1，4）9．f(x)=x1−cosx 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数 f(x)=x 2−2x 在区间 [−1,t] 上的最大值为3，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(1,3]B ．[1,3]C ．[−1,3]D ．（-1,3]11．若函数 f(x)=x 2+2(a −1)x +2 在区间 (−∞,4] 内递减，那么实数 a 的取值范围是（ ） A ．a ≤−3B ．a ≥−3C ．a ≤5D ．a ≥312．已知符号函数 sgn x ={1，x >0，0，x =0，−1，x <0.f(x) 是 R 上的增函数， g(x)=f(x)−f(ax) (a >1) ，则（ ） A ．sgn[g(x)]=sgnx B ．sgn[g(x)]=−sgnx C ．sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D ．sgn[g(x)]=−sgn[f(x)]13．已知f （x ）=x 2e x （e 为自然对数的底），若存在唯一的x 0∈[﹣1，1]，使得f （x 0）=m 在m∈[t ﹣2，t]上恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[1，e] B ．（1+ 1e ，e]C ．（2，e]D ．（2+ 1e，e]14．已知函数 f(x) = √2x −1 ，则g （x ）=f （2x-1）+ 1x−2的定义域为（ ）A ．[32,+∞)B ．[32,2)∪(2,+∞)C ．[34,2)∪(2,+∞)D ．（﹣∞，2）∈（2，+∞）15．若a 、b 是方程x +lgx =4，x +10x=4的解，函数f (x )={x 2+(a +b )x +2，x ≤02，x >0，则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．416．定义在R 上的函数 f(x) 满足 f(−x)+f(x)=0，f(x)=f(2−x) ；且当 x ∈[0，1] 时，f(x)=x 3−x 2+x ．则方程 7f(x)−x +2=0 所有的根之和为（ ） A ．14B ．12C ．10D ．817．已知函数 f(x) 满足：对任意的 x ∈R ，f(x)+f(5−x)=−1 ，若函数 y =f(x) 与 y =1−x2x−5 图像的交点为 (x i ，y i )(i =1.2，….，n) ，则 ∑(x i +y i )nn=1的值为（ ） A ．0 B ．n C ．2n D ．3n二、填空题18．已知函数 f(x) 的周期为4，且当 x ∈[−2，2] 时， f(x)=2−x 2 ，则 f(9)= . 19．函数 f(x)=√2−xln(x+1)的定义域为 .20．已知函数 f(x) 满足 f(x +y)=f(x)+f(y)−3 ，且 f(4)=5 ，则 f(2)= . 21．函数y=12x−1的定义域为 ． 22．已知f(x ＋1)＝x 2＋2x ＋4，则f(x)的最小值为 . 23．若函数f(x)满足f(x)=2lnx −xf ′(2)，则f ′(2)= .24．已知函数 f(x)=3x 2+6x +1 ，且 f ′(x 0)=0 ，则 x 0= . 25．已知 f(x)=e πx sinπx ，则 f ′(12)=26．已知函数 f(x)=|x −1|+|x|+|x +1| ，且 f(a 2−3a +2)=f(a −1) ，则 f(x) 的最小值为 ；满足条件的所有 a 的值为 ． 27．若函数 f(x)={2x−1+1,x >11−(12)x−1,x <1, ，则 f(a)+f(2−a)= ．28．设函数 f(x)(x ∈R) 满足 f(−x)=f(x)，f(x)=f(2−x) ，且当 x ∈[0，1] 时 f(x)=x 3 ，又函数 g(x)=|xcos(πx)| ，则函数 ℎ(x)=g(x)−f(x) 在 [−12，32] 上的零点个数为 .29．函数y =[x]称为高斯函数，[x]表示不超过，x 的最大整数，如[0.9]=0，[ln99]=1.已知数列{a n }满足a 3=3，且a n =n(a n+1−a n )，若b n =[lna n ]，则数列{b n }的2022项和为 .30．已知函数f （x ）=x 2+2bx ，g （x ）=|x ﹣1|，若对任意x 1，x 2∈[0，2]，当x 1＜x 2时都有f （x 1）﹣f（x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），则实数b 的最小值为 ．31．已知f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f （6）=1．f （x ）﹣f （y ）=f （ x y ）（x ＞0，y ＞0）．则不等式f （x+3）＜f （ 1x ）+2的解集是 ．32．已知函数 f(x)=1x +1x+1+1x+2 ，由 f(x −1)=1x−1+1x +1x+1是奇函数，可得函数 f(x) 的图象关于点 (−1,0) 对称，类比这一结论，可得函数 g(x)=x+2x+1+x+3x+2+⋯+x+7x+6的图象关于点 对称.33．已知 f(x) 满足 f(x)+1=1f(x+1)， 当 x ∈[0，1] 时， f(x)=x. 若函数 g(x)=f(x)−mx −m 在 (−1，1] 内有2个零点，则实数 m 的取值范围是 .34．已知圆O 的方程为x 2+y 2=1，P 是圆C ：(x −2)2+y 2=16上一点，过P 作圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 ．三、解答题35．已知直线 l 过点 P(−1,2) ．（1）若直线 l 在两坐标轴上截距和为零，求 l 方程；（2）设直线 l 的斜率 k >0 ，直线 l 与两坐标轴交点分别为 A 、 B ，求 ΔAOB 面积最小值．36．如图，把长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆的半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的解析式，并写出它的定义域.37．求函数y= lg(x+1)x−1的定义域．38．已知函数 f(x)=√3sin(x +π6)−sin(x −π3) .（∈）求 f(π6) 的值；（∈）若 x ∈[0,2π] ，求 f(x) 的单调递减区间.39．已知f （x ）=x 2﹣2x+3，g （x ）=log 2（x 2﹣2x+3），且两函数定义域均为[0，3）．（1）画函数f （x ）在定义域内的图象，并求f （x ）值域； （2）求函数g （x ）的值域．40．已知函数f （x ）=x 2+（a+2）x+b 满足f （﹣1）=﹣2（1）若方程f （x ）=2x 有唯一的解；求实数a ，b 的值；（2）若函数f （x ）在区间[﹣2，2]上不是单调函数，求实数a 的取值范围．41．设函数f （x ）=ln （2x ﹣m ）的定义域为集合A ，函数g （x ）= √3−x ﹣1√x−1的定义域为集合B ．（∈）若B∈A ，求实数m 的取值范围； （∈）若A∩B=∈，求实数m 的取值范围．42．设f （x ）=﹣ 1x +ln 1+x 1−x．（1）求函数的定义域；（2）判断函数f （x ）的奇偶性； （3）讨论函数f （x ）的单调性．43．若函数 f(x) 对定义域中任意x 均满足 f(x)+f(2a −x)=2b ，则称函数 y =f(x) 的图象关于点 (a ，b) 对称．（1）已知函数 f(x)=x 2+mx+m x的图象关于点 (0，1) 对称，求实数m 的值；（2）已知函数 g(x) 在 (−∞，0)∪(0，+∞) 上的图象关于点 (0，1) 对称，且当 x ∈(0，+∞) 时， g(x)=x 2+ax +1 ，求函数 g(x) 在 (−∞，0) 上的解析式；（3）在（1）（2）的条件下，当 t >0 时，若对任意实数 x ∈(−∞，0) ，恒有 g(x)<f(t) 成立，求实数a 的取值范围．44．已知定理：“实数m ，n 为常数，若函数h （x ）满足h （m+x ）+h （m ﹣x ）=2n ，则函数y=h（x ）的图象关于点（m ，n ）成中心对称”．（1）已知函数f （x ）= x 2x−1的图象关于点（1，b ）成中心对称，求实数b 的值；（2）已知函数g （x ）满足g （2+x ）+g （﹣x ）=4，当x∈[0，2]时，都有g （x ）≤3成立，且当x∈[0，1]时，g （x ）=2k （x ﹣1）+1，求实数k 的取值范围．45．已知函数 f(x)=x 2−2ax +2 ， x ∈[−2,3] ．（1）当 a =−2 时，求函数 f(x) 的最大值和最小值． （2）求 y =f(x) 在区间 [−2,3] 上的最小值．46．如图，已知底角为45°角的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为2√2cm ，当一条垂直于底边BC （垂足为F ）的直线l 把梯形ABCD 分成两部分，令BF=x ，求左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出图象．47．已知函数 f(x) 满足 f(x)=f ′(1)2e 2x−2+x 2−2f(0)x ， g(x)=f(x 2)−14x 2+(1−a)x +a ， x ∈R .（1）求函数 f(x) 的解析式； （2）求函数 g(x) 的单调区间；（3）当 a ≥2 且 x ≥1 时，求证： |ex −lnx|<|e x−1+a −lnx| . 48．已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≥0 时， f(x)=x 2e x ．（1）求 f(x) 的解析式．（2）证明： f(x) 在 R 上单调递增．（3）若对任意的 x ∈R ，不等式 f(ax 2−3x −1)+f(5−ax)+ax 2−(3+a)x +4>0 恒成立，求实数a 的取值范围．49．已知函数 f(x)=lnx −x 2+ax(a ∈R) .（1）若 f(x)≤0 恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数 f(x) 的极值点为 x 0 ，当 a 变化时，点 (x 0,f(x 0)) 构成曲线 M ，证明：过原点的任意直线 y =kx 与曲线M 有且仅有一个公共点.50．已知函数 f(x)=e x +ae −x 是偶函数，其中e 是自然对数的底数.（1）求a 的值；（2）若关于x 的不等式 f(x)+me −x −1−m ⩾0 在 (0,+∞) 上恒成立，求实数m 的取值范围.答案解析部分1．【答案】A【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】【解答】由题意可知，应纳税所得额为：249600(1−20%)−52800−60000−4560= 82320元，又82320∈(36000,144000]，所以税率为10%，所以个人所得税税额为：82320×10%−2520=5712元，故答案为：A.【分析】先计算全年应纳税所得额，再判断应纳税所得额所发分组，再根据税率计算即可。
2020-2021学年高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》测试卷及答案解析
17．已知函数f（x）＝x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．
（Ⅰ）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．
18．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2 在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k．
（Ⅰ）求m的值；
5．函数f（x） ，x∈[3，+∞）的值域是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数y 的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0， ]B．（0， ）C．[0， ]D．[0， ）
7．已知函数f（2x﹣1）＝4x+3（x∈R），若f（a）＝15，则实数a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．幂函数的图象经过点 ，若0＜a＜b＜1，则下列各式正确的是（ ）
2020-2021学年高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．函数 的定义域为（ ）
A．（﹣1，2]B．[2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）
【解答】解：函数 ，
令 0，得x﹣2≥0，
解得x≥2，
所以f（x）的定义域为[2，+∞）．
（2）求证：函数f（x）在区间（﹣1，x0]上单调递减．
21．已知函数f（x） ，求：
（1）f（1），f（﹣3）的值；
（2）求f（a+1）的值．
22．已知函数f（x）在定义域R内为偶函数，并且x≥0时解析式为f（x）＝2x2﹣4x+7．求：
（1）x＜0时的解析式；
高中数学：函数的单调性、奇偶性、最值问题练习及答案
高中数学：函数的单调性、奇偶性、最值问题练习及答案1.已知奇函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且不等式>0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，则下列不等式中，正确的是（）A.f（－5）>f（3）B.f（－5）<f（3）C.f（－3）>f（－5）D.f（－3）<f（－5）2.设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则（）A.f（－x1）>f（－x2）B.f（－x1）＝f（－x2）C.f（－x1）<f（－x2）D.f（－x1）与f（－x2）的大小不确定3.已知函数f（x）是奇函数，且在（－∞，＋∞）上为增函数，若x，y满足等式f（2x2－4x）＋f（y）＝0，则4x＋y的最大值是（）A.10B.－6C.8D.94.已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），且方程f（x）＝x无实根.现有四个说法：①若a>0，则不等式f（f （x））>x对一切x∈R成立；②若a<0，则必存在实数x0使不等式f（f（x0））>x0成立；③方程f（f（x））＝x一定没有实数根；④若a＋b＋c＝0，则不等式f（f（x））<x对一切x∈R成立.其中说法正确的个数是（）A.1B.2C.3D.45.区间[a，b]和[－b，－a]关于原点对称.（1）若f（x）为奇函数，且在[a，b]上有最大值M，则f（x）在[－b，－a]上有最________值________. （2）若f（x）为奇函数，f（x）＋2在[a，b]上有最大值M，则f（x）＋2在[－b，－a]上有最________值________.6.设定义在（－1,1）上的奇函数f（x）在[0,1）上单调递增，且有f（1－m）＋f＜0，求实数m的取值范围.7.已知定义在R上的奇函数f（x），当x>0时，f（x）＝－x2＋2x.（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.8.定义在R上的函数y＝f（x），f（0）≠0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a，b∈R，有f（a＋b）＝f（a）f（b）.（1）求证：f（0）＝1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）>0；（3）求证：f（x）是R上的增函数.9.若f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且对一切x，y>0，满足f（）＝f（x）－f（y）.（1）求f（1）的值；（2）若f（6）＝1，解不等式f（x＋3）－f（）<2.10.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（mn）＝f（m）＋f（n）（m，n>0），且当x>1时，f（x）>0. （1）求f（1）的值；（2）求证f＝f（m）－f（n）；（3）求证f（x）在（0，＋∞）上是增函数；（4）若f（2）＝1，解不等式f（x＋2）－f（2x）>2；（5）比较f的大小.11.若函数f（x）的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）成立.（1）试判断f（x）的奇偶性；（2）若f（8）＝4，求f（－）的值.12.已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的x，y∈R，有f（x·y）＝xf（y）＋yf（x）. （1）求f（0），f（1）的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论.13.已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）<0，又f（1）＝－2.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求证：f（x）是R上的减函数；（3）求f（x）在区间[－3,3]上的值域；（4）若对任意x∈R，不等式f（ax2）－2f（x）<f（x）＋4恒成立，求a的取值范围.14.设f（x）是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a，b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，都有>0.（1）若a>b，试比较f（a）与f（b）的大小；（2）解不等式f（x－）<f（x－）；（3）如果g（x）＝f（x－c）和h（x）＝f（x－c2）这两个函数的定义域的交集是空集，求c的取值范围.15.已知函数f（x）是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f（1）＝1，若对于任意的m，n∈[－1,1]有>0. （1）判断函数的单调性（不要求证明）；（2）解不等式f<f（1－x）；（3）若f（x）≤－2at＋2对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围.16.已知函数f（x）＝x－.（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明函数f（x）在区间[1，＋∞）上为增函数；（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于，求a的取值范围.17.已知函数f（x）＝x2＋2.（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；（3）求函数f（x）在区间（－1,2]上的最大值和最小值.18.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b均为实数），x∈R，F（x）＝（1）若f（－1）＝0，且函数f（x）的值域为[0，＋∞），求F（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，当x∈[－2,2]时，g（x）＝f（x）－kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设mn<0，m＋n>0，a>0，且f（x）为偶函数，判断F（m）＋F（n）是否大于零，并说明理由.19.已知函数f（x）＝－（常数a>0）.（1）设m·n>0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；（2）设0<m<n，且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n－m的最大值.20.已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝－x2＋ax.（1）若a＝－2，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）为R上的单调减函数，①求a的取值范围；②若对任意实数m，f（m－1）＋f（m2＋t）<0恒成立，求实数t的取值范围.21.已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3.（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[3a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[－1,1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围.22.已知f（x）是定义在[－1,1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有>0成立. （1）判断f（x）在[－1,1]上的单调性；（2）解不等式f（x＋）<f（）；（3）若f（x）≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围.答案1.已知奇函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且不等式>0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，则下列不等式中，正确的是（）A.f（－5）>f（3）B.f（－5）<f（3）C.f（－3）>f（－5）D.f（－3）<f（－5）【答案】C【解析】设0<x1<x2，则x1－x2<0，由>0，得f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数，∴f（x）在（－∞，0）上也是增函数，∴由－3>－5，可得f（－3）>f（－5）.2.设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则（）A.f（－x1）>f（－x2）B.f（－x1）＝f（－x2）C.f（－x1）<f（－x2）D.f（－x1）与f（－x2）的大小不确定【答案】A【解析】∵x1<0，x1＋x2>0，∴x2>－x1>0，又f（x）在（0，＋∞）上是减函数，∴f（x2）<f（－x1），∵f（x）是偶函数，∴f（－x2）＝f（x2）<f（－x1）.3.已知函数f（x）是奇函数，且在（－∞，＋∞）上为增函数，若x，y满足等式f（2x2－4x）＋f（y）＝0，则4x＋y的最大值是（）A.10B.－6C.8D.9【答案】C【解析】∵奇函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，∴f（2x2－4x）＝－f（y）＝f（－y），∴2x2－4x＝－y，∴4x＋y＝4x－2x2＋4x＝－2（x－2）2＋8≤8，故选C.4.已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），且方程f（x）＝x无实根.现有四个说法：①若a>0，则不等式f（f （x））>x对一切x∈R成立；②若a<0，则必存在实数x0使不等式f（f（x0））>x0成立；③方程f（f（x））＝x一定没有实数根；④若a＋b＋c＝0，则不等式f（f（x））<x对一切x∈R成立.其中说法正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】∵方程f（x）＝x无实根，∴f（x）－x>0或f（x）－x<0.∵a>0，∴f（x）－x>0对一切x∈R成立，∴f（x）>x，用f（x）代替x，∴f（f（x））>f（x）>x，∴说法①正确；同理若a<0，则有f（f（x））<x，∴说法②错误；说法③正确；∵a＋b＋c＝0，∴f（1）－1<0，∴必然归为a<0，有f（f（x））<x，∴说法④正确.故选C.填空5.区间[a，b]和[－b，－a]关于原点对称.（1）若f（x）为奇函数，且在[a，b]上有最大值M，则f（x）在[－b，－a]上有最________值________. （2）若f（x）为奇函数，f（x）＋2在[a，b]上有最大值M，则f（x）＋2在[－b，－a]上有最________值________.【答案】（1）小－M（2）小－M＋4【解析】（1）设x∈[－b，－a]，则－x∈[a，b]，∴f（－x）≤M且存在x0∈[a，b]，使f（x0）＝M.∵f（x）为奇函数，∴－f（x）≤M，f（x）≥－M，且存在－x0∈[－b，－a]，使f（－x0）＝－M.∴f（x）在[－b，－a]上有最小值－M.（2）由（1）知，f（x）在[a，b]上有最大值M－2时，f（x）在[－b，－a]上有最小值－M＋2.∴f（x）＋2在[－b，－a]上有最小值－M＋4.解答6.设定义在（－1，1）上的奇函数f（x）在[0，1）上单调递增，且有f（1－m）＋f＜0，求实数m的取值范围.【答案】由于函数f（x）的定义域为（－1，1），则有解得0＜m＜.又f（1－m）＋f＜0，所以f（1－m）＜－f.而函数f（x）为奇函数，则有f（1－m）＜f.因为函数f（x）是奇函数，且在[0，1）上单调递增，所以函数f（x）在定义域（－1，1）上单调递增，则有1－m＜2m－，解得m＞，故实数m的取值范围为.7.已知定义在R上的奇函数f（x），当x>0时，f（x）＝－x2＋2x.（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.【答案】（1）设x<0，则－x>0，f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x.又f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x）.于是当x<0时f（x）＝x2＋2x，又因为f（x）为奇函数，所以f（0）＝0，所以f（x）＝（2）要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，结合f（x）的图象知所以1<a≤3，故实数a的取值范围是（1，3].8.定义在R上的函数y＝f（x），f（0）≠0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a，b∈R，有f（a＋b）＝f（a）f（b）.（1）求证：f（0）＝1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）>0；（3）求证：f（x）是R上的增函数.【答案】（1）令a＝b＝0，则f（0）＝[f（0）]2，∵f（0）≠0，∴f（0）＝1.（2）令a＝x，b＝－x，则f（0）＝f（x）f（－x），∴f（－x）＝.由已知当x>0时，f（x）>1>0，则当x<0时，－x>0，f（－x）>0，∴f（－x）＝>0，又当x＝0时，f（0）＝1>0，∴对任意x∈R，f（x）>0.（3）任取x2>x1，则f（x2）>0，f（x1）>0，x2－x1>0，∴＝（（x 2）·f（－x1）＝f（x2－x1）>1，∴f（x2）>f（x1），∴f（x）在R上是增函数.9.若f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且对一切x，y>0，满足f（）＝f（x）－f（y）.（1）求f（1）的值；（2）若f（6）＝1，解不等式f（x＋3）－f（）<2.【答案】（1）在f（）＝f（x）－f（y）中，令x＝y＝1，则有f（1）＝f（1）－f（1），∴f（1）＝0.（2）∵f（6）＝1，∴f（x＋3）－f（）<2＝f（6）＋f（6），∴f（3x＋9）－f（6）<f（6）.即f（）<f（6）.∵f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，∴解得－3<x<9，即不等式的解集为（－3，9）.10.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（mn）＝f（m）＋f（n）（m，n>0），且当x>1时，f（x）>0. （1）求f（1）的值；（2）求证f＝f（m）－f（n）；（3）求证f（x）在（0，＋∞）上是增函数；（4）若f（2）＝1，解不等式f（x＋2）－f（2x）>2；（5）比较f与的大小.【答案】（1）令m＝n＝1，由条件得f（1）＝f（1）＋f（1），∴f（1）＝0.（2）f（m）＝f（·n）＝f（）＋f（n），即f（）＝f（m）－f（n）.（3）任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1<x2，则>1.由（2）得f（x2）－f（x1）＝f（）>0，即f（x2）>f（x1）.∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数.（4）由于f（2）＝1，∴2＝f（2）＋f（2）＝f（4），∴f（x＋2）－f（2x）>2⇒f（x＋2）>f（2x）＋f（4）⇒f（x＋2）>f（8x）.又f（x）在（0，＋∞）上为增函数，∴解得0<x<.故不等式f（x＋2）－f（2x）>2的解集为{x|0<x<}.（5）∵f（mn）＝f（m）＋f（n），∴＝f（mn），f（）＝[f（）＋f（）]＝f[（）2]，∵（）2－mn＝（）2≥0，∴（）2≥mn（当且仅当m＝n时取等号），又f（x）在（0，＋∞）上是增函数，∴f[（）2]≥f（mn）.∴f（）≥11.若函数f（x）的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）成立.（1）试判断f（x）的奇偶性；（2）若f（8）＝4，求f（－）的值.【答案】（1）在f（x＋y）＝f（x）＋f（y）中，令x＝y＝0，得f（0＋0）＝f（0）＋f（0），∴f（0）＝0.再令y＝－x，得f（x－x）＝f（x）＋f（－x），即f（x）＋f（－x）＝0，∴f（－x）＝－f（x），故f （x）为奇函数.（2）令y＝x，由条件f（x＋y）＝f（x）＋f（y），得f（2x）＝2f（x）.由此可得f（8）＝2·f（4）＝2·2f（2）＝2·2·2f（1）＝24·f＝4，∴f＝，∴f＝－f＝－.12.已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的x，y∈R，有f（x·y）＝xf（y）＋yf（x）. （1）求f（0），f（1）的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论.【答案】（1）∵f（x·y）＝xf（y）＋yf（x），令x＝y＝0，得f（0）＝0＋0＝0，即f（0）＝0.令x＝y＝1，得f（1）＝1·f（1）＋1·f（1），∴f（1）＝0.（2）∵f（1）＝f[（－1）·（－1）]＝（－1）f（－1）＋（－1）f（－1）＝0，∴f（－1）＝0.对任意的x∈R，f（－x）＝f[（－1）·x]＝（－1）f（x）＋xf（－1）＝－f（x），∴f（x）是奇函数.13.已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）<0，又f（1）＝－2.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求证：f（x）是R上的减函数；（3）求f（x）在区间[－3，3]上的值域；（4）若对任意x∈R，不等式f（ax2）－2f（x）<f（x）＋4恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）取x＝y＝0，则f（0＋0）＝2f（0），∴f（0）＝0.取y＝－x，则f（x－x）＝f（x）＋f（－x），∴f（－x）＝－f（x）对任意x∈R恒成立，∴f（x）为奇函数.（2）任取x1，x2∈（－∞，＋∞），且x1<x2，则x2－x1>0，f（x2）＋f（－x1）＝f（x2－x1）<0，∴f（x2）<－f（－x1）.又f（x）为奇函数，∴f（x1）>f（x2），∴f（x）是R上的减函数.（3）由（2）知f（x）在R上为减函数，∴对任意x∈[－3，3]，恒有f（3）≤f（x）≤f（－3），∵f（3）＝f（2）＋f（1）＝f（1）＋f（1）＋f（1）＝－2×3＝－6，∴f（－3）＝－f（3）＝6，f（x）在[－3，3]上的值域为[－6，6].（4）f（x）为奇函数，整理原式得f（ax2）＋f（－2x）<f（x）＋f（－2），则f（ax2－2x）<f（x－2），∵f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数，∴ax2－2x>x－2，当a＝0时，－2x>x－2在R上不是恒成立，与题意矛盾；当a>0时，ax2－2x－x＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a<0，即a>；当a<0时，ax2－3x＋2>0在R上不是恒成立，不合题意.综上所述，a的取值范围为（，＋∞）.14.设f（x）是定义在[－1，1]上的奇函数，且对任意a，b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，都有>0.（1）若a>b，试比较f（a）与f（b）的大小；（2）解不等式f（x－）<f（x－）；（3）如果g（x）＝f（x－c）和h（x）＝f（x－c2）这两个函数的定义域的交集是空集，求c的取值范围. 【答案】（1）任取－1≤x 1<x2≤1，则f（x2）－f（x1）＝f（x2）＋f（－x1）＝·（x2－x1）>0，∴f（x2）>f（x1），∴f（x）在[－1，1]上是增函数.∵a，b∈[－1，1]，且a>b，∴f（a）>f（b）.（2）∵f（x）是[－1，1]上的增函数，∴由不等式f（x－）<f（x－）得解得∴－≤x≤，∴原不等式的解集是{x|－≤x≤}.（3）设函数g（x），h（x）的定义域分别是P和Q，则P＝{x|－1≤x－c≤1}＝{x|c－1≤x≤c＋1}，Q＝{x|－1≤x－c2≤1}＝{x|c2－1≤x≤c2＋1}于是P∩Q＝∅的条件是c－1＞c2＋1（无解），或c＋1＜c2－1，即c2－c－2＞0，解得c＞2或c＜－1.故c的取值范围是{c|c＞2或c＜－1}.15.已知函数f（x）是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若对于任意的m，n∈[－1，1]有>0. （1）判断函数的单调性（不要求证明）；（2）解不等式f<f（1－x）；（3）若f（x）≤－2at＋2对于任意的x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）函数f（x）在区间[－1，1]上是增函数.（2）由（1）知函数f（x）在区间[－1，1]上是增函数，由f<f（1－x），得解得0≤x<.所以不等式f<f（1－x）的解集为.（3）因为函数f（x）在区间[－1，1]上是增函数，且f（1）＝1，要使得对于任意的x∈[－1，1]，a∈[－1，1]都有f（x）≤－2at＋2恒成立，只需对任意的a∈[－1，1]，－2at＋2≥1恒成立.令y＝－2at＋1，此时y可以看作a的一次函数，且在a∈[－1，1]时，y≥0恒成立.因此只需解得－≤t≤，所以实数t的取值范围为.16.已知函数f（x）＝x－.（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明函数f（x）在区间[1，＋∞）上为增函数；（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于，求a的取值范围. 【答案】（1）函数f（x）＝x－是奇函数，∵函数f（x）＝x－的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在x轴上关于原点对称，且f（－x）＝－x－＝－（x－）＝－f（x），∴函数f（x）＝x－是奇函数.（2）证明设任意实数x1，x2∈[1，＋∞），且x1<x2，则f（x1）－f（x2）＝（x1－）－（x2－）＝，∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>0，x1x2＋1>0，∴<0，∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），∴函数f（x）在区间[1，＋∞）上为增函数.（3）∵[2，a]⊆[1，＋∞），∴函数f（x）在区间[2，a]上也为增函数.∴f（x）max＝f（a）＝a－，f（x）min＝f（2）＝，若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于，则a－＋≥－，∴a≥4，∴a的取值范围是[4，＋∞）.17.已知函数f（x）＝x2＋2.（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；（3）求函数f（x）在区间（－1，2]上的最大值和最小值.【答案】（1）定义域为R，值域为{y|y≥2}.（2）因为f（x）定义域关于原点对称，且f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数；在区间（0，＋∞）上单调递增，在区间（－∞，0]上单调递减.（3）f（x）的对称轴为x＝0，f（x）min＝f（0）＝2，f（－1）＝3，f（2）＝6，所以f（x）max＝6.18.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b均为实数），x∈R，F（x）＝（1）若f（－1）＝0，且函数f（x）的值域为[0，＋∞），求F（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，当x∈[－2，2]时，g（x）＝f（x）－kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设mn<0，m＋n>0，a>0，且f（x）为偶函数，判断F（m）＋F（n）是否大于零，并说明理由. 【答案】（1）∵若f（－1）＝0，∴a－b＋1＝0，①又∵函数f（x）的值域为[0，＋∞），∴a≠0.由y＝a（x＋）2＋，知＝0，即4a－b2＝0.②解①②，得a＝1，b＝2.∴f（x）＝x2＋2x＋1＝（x＋1）2.∴F（x）＝（2）由（1）得g（x）＝f（x）－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋（2－k）x＋1＝（x＋）2＋1－. 又∵当x∈[－2，2]时，g（x）＝f（x）－kx是单调函数.∴≤－2或≥2，即k≤－2或k≥6，故实数k的取值范围为（－∞，－2]∪[6，＋∞）.（3）大于零，理由如下：∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝ax2＋1，∴F（x）＝不妨设m>n，则n<0.由m＋n>0，得m>－n>0，∴|m|>|－n|，又a>0，∴F（m）＋F（n）＝f（m）－f（n）＝（am2＋1）－（an2＋1）＝a（m2－n2）>0，∴F（m）＋F（n）大于零.19.已知函数f（x）＝－（常数a>0）.（1）设m·n>0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；（2）设0<m<n，且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n－m的最大值.【答案】（1）证略；（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，f（x）的定义域、值域都是[m，n]⇔f（m）＝m，f（n）＝n，即m，n是方程f（x）＝x的两个根，即方程－＝x有两个正根.整理得a2x2－（2a2＋a）x＋1＝0，所以n－m＝＝，令＝t（t>0），n－m＝＝，所以当t＝时，n－m最大值为.20.已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝－x2＋ax.（1）若a＝－2，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）为R上的单调减函数，①求a的取值范围；②若对任意实数m，f（m－1）＋f（m2＋t）<0恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）当x<0时，－x>0，又∵f（x）为奇函数，且a＝－2，∴当x<0时，f（x）＝－f（－x）＝x2－2x，∴f（x）＝（2）①当a≤0时，对称轴x＝≤0，∴f（x）＝－x2＋ax在[0，＋∞）上单调递减，由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，∴f（x）在（－∞，0）上单调递减，又在（－∞，0）上f（x）>0，在（0，＋∞）上f（x）<0，∴当a≤0时，f（x）为R上的单调减函数.当a>0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，不合题意.∴函数f（x）为单调减函数时，a的取值范围为a≤0.②∵f（m－1）＋f（m2＋t）<0，∴f（m－1）<－f（m2＋t），又∵f（x）是奇函数，∴f（m－1）<f（－t－m2），又∵f（x）为R上的单调减函数，∴m－1>－t－m2恒成立，∴t>－m2－m＋1＝－2＋对任意实数m恒成立，∴t>.即t的取值范围是.21.已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3.（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[3a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[－1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围. 【答案】（1）由已知，得函数f（x）图象的对称轴为直线x＝1，可设f（x）＝a（x－1）2＋1，由f（0）＝3，得a＝2，故f（x）＝2x2－4x＋3.（2）要使函数f（x）在区间[3a，a＋1]上不单调，则3a<1<a＋1，解得0<a<.（3）由已知y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，得2x2－4x＋3>2x＋2m＋1恒成立，化简得x2－3x＋1－m>0恒成立，其中－1≤x≤1.设g（x）＝x2－3x＋1－m，则只要g（x）min>0即可，而g（x）min ＝g（1）＝－1－m，由－1－m>0，得m<－1.22.已知f（x）是定义在[－1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有>0成立.（1）判断f（x）在[－1，1]上的单调性；（2）解不等式f（x＋）<f（）；（3）若f（x）≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）任取x1，x2∈[－1，1]，且x1<x2，则－x2∈[－1，1].∵f（x）为奇函数，∴f（x 1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝·（x1－x2）.由已知得>0，又x1－x2<0，∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），∴f（x）在[－1，1]上单调递增.（2）∵f（x）在[－1，1]上单调递增，∴结合不等式的性质及二次函数的图象，得－≤x＜－1.故原不等式的解集为{x|－≤x＜－1}.（3）∵f（1）＝1，且f（x）在[－1，1]上单调递增，∴在[－1，1]上，f（x）≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1，1]成立.设g（a）＝－2m·a＋m2，①若m＝0，则g（a）＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.②若m≠0，则g（a）为关于a的一次函数，若g（a）≥0对a∈[－1，1]恒成立，必须有g（－1）≥0，且g（1）≥0，即结合相应各函数图象，得m≤－2或m≥2.综上所述，实数m的取值范围是（－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞）.。
高中数学 函数的定义 范例例题
下一题
主题 3 合成函数
例题 4 合成函数
若 f（x）＝2x－1，g（x）＝x2－x，试求：
(1)（f。g）（1）。
(2)（g。f）（1）。
(3)（f。g）（x）。
(4)（g。f）（x）。
解■ (1)（f。g）(1)＝f（g(1)） ＝f（0）＝－1 (2)（g。f）(1)＝g（f (1)）＝g（1）＝0 (3)（f。g）(x)＝f（g(x)） ＝2（x2－x）－1＝2x2－2x－1 (4)（g。f）(x)＝g（f (x)） ＝（2x－1）2－（2x－1）＝4x2－6x＋2
但 4x－x2 0 0 4x－x2 2 故值域为｛ y│y ℝ ，0 y 2 ｝
例题 2 函数的定义域与值域
试求下列各函数的定义域与值域：
(2) f (x)＝ x。 x
解■ (2)分式的分母必须不为 0
∴x＝\ 0，故定义域为｛ x│x ℝ ，x＝\ 0 ｝ ① 若 x 为正实数，则 f (x)＝ x ＝x＝1
xx ② 若 x 为负实数，则 f (x)＝ x ＝－x＝－1
xx ∴值域为｛－1 , 1 ｝
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主题 2 函数的四则运算
例题 3 函数的四则运算
已知 f（x）＝2x＋1， g（x）＝2x2＋3x＋1 ，试求下列各式： x－1
(1)（g＋f ）（x）。 (2)（g－f）（x）。
解■ f（x）的定义域为 ℝ，g（x）的定义域为｛ x│x ℝ，x ＝\1｝
上一题 下一题
主题 4 函数的图形
例题 5 函数的图形
绘出下列各函数的图形： (1) y＝ x－2 ＋1。
解■ (1) y＝ x－2 ＋1 的圖形為
y＝ x 的圖形向右平移 2 單位，向上平移1單位 故图形如右图所示
专题05 函数：定义域归类大全-2023学年高一数学培优练(人教A版2019第一册)(解析版)
专题5函数：定义域归类大全目录【题型一】开偶次方根函数定义域............................................................................................................................2【题型二】解绝对值函数不等式求定义域................................................................................................................3【题型三】抽象函数定义域1：(x)→f(g(x))型.........................................................................................................4【题型四】抽象函数定义域2：f(g(x))→f(x)型........................................................................................................6【题型五】抽象函数定义域3：f(g(x))→f(h （x ）)型..............................................................................................7【题型六】抽象函数定义域4：f(x)→f(g（x）)+f(h（x）).............................................................................8【题型七】抽相与具体函数混合型............................................................................................................................9【题型八】嵌入型（内外复合）函数型定义域......................................................................................................11【题型九】恒成立含参型..........................................................................................................................................12【题型十】对数函数定义域......................................................................................................................................14【题型十一】定义域：解指数函数不等式..............................................................................................................15【题型十二】正切函数定义域................................................................................................................................16【题型十三】解正弦函数不等式求定义域..............................................................................................................17【题型十四】解余弦函数不等式求定义域..............................................................................................................18【题型十五】求分段函数定义域..............................................................................................................................20【题型十六】实际应用题中的定义域应用..............................................................................................................21培优第一阶——基础过关练......................................................................................................................................23培优第二阶——能力提升练......................................................................................................................................26培优第三阶——培优拔尖练.. (30)综述：常考函数的定义域：1.()()00f x f x ⇒≠⎡⎤⎣⎦；②.()()10f x f x ⇒≠；③()0f x ⇒≥；④.()()log 0a f x f x ⇒>；⑤.()()tan ,2f x f x k k Z ππ⇒≠+∈；⑥.实际问题中，需根据实际问题限制范围.【题型一】开偶次方根函数定义域【典例分析】（2021·福建·厦门市海沧中学高一期中）函数()f x =的定义域为（）A ．[]0,3B ．[]1,3C ．[)3,+∞D ．(]1,3【答案】D【分析】根据二次根式的性质及二次不等式的解法即可得出结果.【详解】解：由题意可得()3010x x x ⎧-≥⎨->⎩，解得13x <≤.1.（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x =(,1]-∞，则实数a 的取值集合为（）A ．{1}B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞⋃+∞【答案】A【分析】求出函数的定义域，对比即可得出.【详解】由0a x -≥可得x a ≤，即()f x 的定义域为(,]a -∞，所以1a =，则实数a 的取值集合为{}1.故选：A.2.（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数31y x =的定义域是（）A ．(],1-∞B ．()()1,00,1-U C ．[)(]1,00,1- D ．(]0,1【答案】C【分析】函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩，求解即可【详解】由题，函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得[)(]1,00,1x ∈- .故选：C3.（2022·全国·高一专题练习）函数()0(1)f x x =-的定义域为（）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()2,11,3∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭C ．()2,11,3∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，以及零次幂的底数不等于0，建立不等式组，求解即可.【详解】解：由已知得32>010x x -⎧⎨-≠⎩，解得2>3x 且1x ≠，所以函数()0(1)f x x =-的定义域为()2,11,3∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭，故选：B.【题型二】解绝对值函数不等式求定义域【典例分析】.（2022·江苏·高一）函数y =）A ．()0,∞+B ．(),0∞-C ．()()0,11,+∞ D ．()()(),11,00,-∞-⋃-⋃+∞【答案】C【分析】根据0次幂的底数不等于0，偶次根式的被开方数非负，分母不等于0列不等式，解不等式即可求解.【详解】由题意可得：1000x x x x x ⎧-≠⎪+≥⎨⎪+≠⎩，解得：0x >且1x ≠，所以原函数的定义域为()()0,11,+∞ ，1.（2022·广东·广州六中高一期末）函数y ___________.【答案】[2,0)-【分析】利用根式、分式的性质求函数定义域即可.【详解】由解析式知：240||0x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，则220x x -≤≤⎧⎨<⎩，可得20x -≤<，∴函数的定义域为[2,0)-.故答案为：[2,0)-.2.（2021·江苏·常州市第二中学高一期中）函数()f x =________．【答案】13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦##1322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【分析】根据解析式的形式得到关于x 的不等式，解不等式后可得函数的定义域.【详解】解：由题设可得2120x --≥，即122x -≤，故2122x -≤-≤，所以1322x -≤≤，故答案为：13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.3.（2021·北京市第九中学高一期中）函数y =________．【答案】(,1][2,)-∞⋃+∞【分析】满足函数有意义的条件，即2310x --≥，解得定义域.【详解】由题知，2310x --≥，解得2x ≥或1x ≤，故函数的定义域为：(,1][2,)-∞⋃+∞故答案为：(,1][2,)-∞⋃+∞【题型三】抽象函数定义域1：(x)→f(g(x))型【典例分析】（2022·江西·修水中等专业学校模拟预测）已知函数()y f x =的定义域为[]1,5-，则函数()221y f x =-的定义域为（）A ．[]0,3B ．[]3.3-C ．[D ．[]3,0-【答案】C【分析】由题可知解21215x -≤-≤即可得答案.【详解】解：因为函数()y f x =的定义域为[]1,5-，所以，21215x -≤-≤，即203x ≤≤，解得x ≤≤所以，函数()221y f x =-的定义域为[故选：C基本规律已知()f x 的定义域为[,]a b ，求(())f g x 的定义域：解不等式()a g x b ≤≤即可得解【变式训练】1.（2022·全国·高一专题练习）已知()()013x f x x-=-，则()1f x +的定义域为（）A ．()(),11,3-∞⋃B ．()(),22,4-∞⋃C ．()(),00,2-∞ D ．(),2-∞【答案】C【分析】先求得()f x 的定义域，然后将1x +看作一个整体代入计算即可.【详解】由题可知：10330x x x -≠⎧⇒<⎨->⎩且1x ≠所以函数定义域为{3x x <且}1x ≠令13x +<且11x +≠，所以2x <且0x ≠所以()(),00,2x ∈-∞ ，所以()1f x +的定义域为()(),00,2-∞ 故选：C2.（2015·上海·闵行中学高一期中）已知函数()1y f x =+的定义域为[]23-，，则函数()21y f x =-的定义域为（）A ．502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[]14-，C ．5522⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．3722⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【答案】C【分析】先求1x +取值范围，再根据两函数关系得21x -取值范围，解得结果为所求定义域.【详解】因为函数()1y f x =+的定义域为[]23-，，所以1[1,4]x +∈-，因此55[1,4]02||51222x x x ∈-∴≤≤∴≤≤--即函数()21y f x =-的定义域为5522⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：C3.（2018·江西·南康中学高一期中）已知函数()f x 的定义域为[3,)+∞，则函数1(1)f x+的定义域为（）A ．4(,]3-∞B ．4(1,]3C ．1(0,]2D ．1(,]2-∞【答案】C【分析】由已知函数定义域，可得113x+≥，求解分式不等式得答案．【详解】解：∵函数()f x 的定义域为[3,)+∞，∴由113x +≥，得12x ≥，则102x <≤．∴函数1(1)f x +的定义域为1(0,]2．故选：C ．【题型四】抽象函数定义域2：f(g(x))→f(x)型【典例分析】（2023·全国·高一专题练习）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．【答案】(]1,2【分析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+，1y x x =- 在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x∴<≤-+，()12g x ∴<≤，f x ∴的定义域为(]1,21,21.（2019·陕西·渭南市尚德中学高一阶段练习）若函数(1)f x -的定义域为[1,2]-，那么函数()f x 中的x 的取值范围是________.【答案】[2,1]-【分析】根据函数(1)f x -的定义域求出()f x 的定义域即可．【详解】解： 函数(1)f x -的定义域为[1-，2]，即12x -≤≤211x ∴-≤-≤1[2x ∴-∈-，1]，故函数()f x 的定义域为[2,1]-，故答案为：[2,1]-.2.（2020·山西·太原五中高一阶段练习）若函数(21)f x -的定义域为[0,1]，则函数()f x 的定义域为（）A ．[1,0]-B ．[3,0]-C ．[0,1]D ．[1,1]-【答案】D【解析】由函数(21)f x -的定义域为[0,1]，可求出1211-≤-≤x ，令x 代替21x -，可得11x -≤≤，即可求出函数()f x 的定义域.【详解】因为函数(21)f x -的定义域为[0,1]，由01x ，得1211-≤-≤x ，所以()y f x =的定义域是[1,1]-，故选：D3.（2023·全国·高一专题练习）已知()21f x -的定义域为⎡⎣，则()f x 的定义域为（）A ．[]22-,B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．⎡⎣【答案】C【分析】由x ≤≤2x -.【详解】因为2(1)f x -的定义域为[，所以x ≤≤所以2112x -≤-≤，所以()f x 的定义域为[1,2]-．故选：C【题型五】抽象函数定义域3：f(g(x))→f(h （x ）)型【典例分析】（2022·全国·高一课时练习）函数()3=-y f x 的定义域为[]4,7，则()2y f x =的定义域为（）A ．()1,4B ．[]1,2C ．()()2,11,2--⋃D ．[][]2,11,2-- 【答案】D【分析】利用抽象函数的定义域解法结合一元二次不等式的解法即可求解.【详解】解：因为函数()3=-y f x 的定义域为[]4,7所以47x ≤≤即134x ≤-≤所以214x ≤≤解得：[][]2,11,2x ∈--⋃所以()2y f x =的定义域为[][]2,11,2-- 故选：D.1.（2021·辽宁·沈阳市第一中学高一期中）函数()1f x +的定义域为[]1,2-，则函数()2f x 的定义域为（）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】当[]1,2x ∈-得到[]1,13x +∈，根据123x ≤≤解得答案.【详解】函数()1f x +的定义域为[]1,2-，即[]1,2x ∈-，故[]0,2x ∈，[]1,13x +∈.123x ≤≤，解得13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：D.2.（2022·全国·高一课时练习）若函数()22f x -的定义域为[]1,3-，则函数()f x 的定义域为______；若函数()23f x -的定义域为[)1,3，则函数()13f x -的定义域为______.【答案】[]2,7-22,33⎛⎤-⎥⎝⎦【分析】根据抽象函数定义域求解即可.【详解】因为函数()22f x -的定义域为[]1,3-，即13x -≤≤，所以209x ≤≤，2227x -≤-≤，故函数()f x 的定义域为[]2,7-.因为函数()23f x -的定义域为[)1,3，即13x ≤<，所以1233x -≤-<，则函数()f x 的定义域为[)1,3-，令1133x -≤-<，得2233x -<≤，所以函数()13f x -的定义域为22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为:[]2,7-，22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦3.（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）(21)f x -的定义域为[0,1)，则(13)f x -的定义域为（）A ．(2,4]-B ．12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,6⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【分析】先由[0,1)x ∈，求出21x -的范围，可求出()f x 的定义域，而对于相同的对应关系，21x -的范围和13x -相同，从而可求出(13)f x -的定义域.【详解】因为01x ≤<，所以022x ≤<，所以1211x -≤-<，所以()f x 的定义域为[1,1)-，所以由1131x -≤-<，得203x <≤，所以(13)f x -的定义域为20,3⎛⎤⎥⎝⎦，故选：C 【题型六】抽象函数定义域4：f(x)→f(g（x）)+f(h（x）)【典例分析】（2021·全国·高一单元测试）已知函数()f x 的定义域为()0,1，若10,2c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()()()g x f x c f x c =++-的定义域为（）A ．(),1c c --B ．(),1c c -C ．()1,c c -D ．(),1c c +【答案】B【分析】由已知函数的定义域有0101x c x c <+<⎧⎨<-<⎩，即可求复合函数的定义域.【详解】由题意得：0101x c x c <+<⎧⎨<-<⎩，即11c x c c x c-<<-⎧⎨<<+⎩，又10,2c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1c x c <<-．故选：B1.（2021·安徽蚌埠·高一期末）已知函数()f x 的定义域是[]0,2，则函数()1122g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域是（）A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,2【答案】A【解析】根据函数定义域的性质进行求解即可.【详解】因为函数()f x 的定义域是[]0,2，所以有：102132122022x x x ⎧≤+≤⎪⎪⇒≤≤⎨⎪≤-≤⎪⎩.故选：A2.（2020·安徽·繁昌皖江中学高一期中）已知函数()f x 的定义域为[0,4]，求函数2(3)()y f x f x =++的定义域为（）A ．[2,1]--B ．[1,2]C ．[2,1]-D ．[1,2]-【答案】C【分析】根据抽象函数的定义域得到关于x 的不等式组，解出即可【详解】函数()f x 的定义域为[0,4]，所以函数2(3)()y f x f x =++的定义域满足：203404x x ≤+≤⎧⎨≤≤⎩解得3122x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，即21x -≤≤所以函数2(3)()y f x f x =++的定义域为[2,1]-故选：：C3.（2021·江西·黎川县第一中学高一阶段练习）若函数()y f x =的定义域是[0,1]，则函数()()(2)(01)F x f x a f x a a =+++<<的定义域是（）A ．1,22a a -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,12a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[,1]a a --D ．1,2a a -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】根据抽象函数定义域的求法列不等式组，解不等式组求得()F x 的定义域.【详解】依题意101102122a x a x a a a x a x ⎧-≤≤-⎧≤+≤⎪⎪⇒⎨⎨-≤+≤-≤≤⎪⎪⎩⎩，由于01a <<，所以111101222a a a a a -----=>⇒->，0222a a a a a ⎛⎫---=-<⇒-<- ⎪⎝⎭，所以由1122a x aa a x -≤≤-⎧⎪⎨--≤≤⎪⎩解得122a a x --≤≤.所以()F x 的定义域为1,22a a -⎡⎤-⎢⎣⎦.故选：A【题型七】抽相与具体函数混合型【典例分析】（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）已知函数()22f x -的定义域为{}|1x x <，则函数()211f x x --的定义域为（）A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．()(),11,0-∞--U D ．()(),11,1-∞-- 【答案】D【分析】先求出()f x 的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域.【详解】因为函数()22f x -的定义域为{}|1x x <，故220x -<，所以()f x 的定义域为(),0-∞，故函数()211f x x --中的x 需满足：21010x x -<⎧⎨-≠⎩，故1,1x x <≠-，故函数()211f x x --的定义域为()(),11,1-∞-- ，故选：D.1.（2021·河南·高一期中）已知函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，则y =是（）A ．[]2,5-B ．(]2,3-C ．[]1,3-D ．(]2,5-【答案】D【分析】根据给定复合函数求出()f x 的定义域，再列式求解作答.【详解】因函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，即()21f x -中[]2,3x ∈-，则21[5,5]x -∈-，因此，y =5520x x -≤≤⎧⎨+>⎩，解得25x -<≤，所以y =(]2,5-.故选：D2.（2022·全国·高一专题练习）设()f x 22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为．A ．（－4,0)∪（0,4)B ．（－4，－1)∪（1,4)C ．（－2，－1)∪（1,2)D ．（－4，－2)∪（2,4)【答案】B【详解】试题分析：要使函数有意义，则2>02x x +-解得22x ∈-（，），22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有意义，须确保两个式子都要有意义，则222{222x x-<<-<<⇒4114x ∈--⋃（，）（，），故选B .考点：1.函数的定义域；2.简单不等式的解法.3.2021·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）若函数()1f x +的定义域为[]1,15-，则函数()2f x g x =）A ．[]1,4B ．(]1,4C ．[]1,14D ．(]1,14【答案】B【分析】首先根据函数()1f x +的定义域求出函数()y f x =的定义域，然后再列出()2f x g x =x 所满足的条件，从而可求出函数()2f x g x =.【详解】因为函数()1f x +的定义域为[]1,15-，所以115x -≤≤，所以0116x ≤+≤，所以函数()y f x =的定义域为[]0,16，所以要使函数()2f x g x =201610x x ⎧≤≤⎨->⎩，解得14x <≤，所以函数()2f x g x =(]1,4.故选：B ．【题型八】嵌入型（内外复合）函数型定义域【典例分析】（2021·全国·高一课时练习）已知()11f x x =+，则()()f f x 的定义域为（）A ．{}|2x x ≠-B ．{}|1x x ≠-C ．{1x x ≠-且}2x ≠-D ．{0x x ≠且}1x ≠-【答案】C【分析】利用分母不为0及复合函数的内层函数不等于0求解具体函数定义域【详解】因为1()1f x x =+，所以1x ≠-，又因为在(())f f x 中，()1f x ≠-，所以111x ≠-+，所以2x ≠-，所以(())f f x 的定义域为{1x x ≠-且}2x ≠-.故选：C1.（2020·江西省临川第二中学高一阶段练习）已知函数()f x 的定义域为(0,1]，()g 2x x =+，那么()()f g x 的定义域是（）A ．(2,3]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(2,1]--【答案】D【解析】本题首先可根据题意得出()01g x <≤，然后通过计算即可得出结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为(0,1]，()g 2x x =+，所以函数()()f g x 需要满足()01g x <≤，即021x <+≤，解得21x -<≤-，()()f g x 的定义域是(2,1]--，故选：D.2.（2020·全国·高一）设()11f x x-＝，则()f f x ⎡⎤⎣⎦＝________.【答案】1x x-(0x ≠，且1x ≠)【分析】将()f x 的解析表达式中的x 用()f x 替换，然后化简整理即得，注意根据原函数的定义域确定复合函数()()f f x 的定义域【详解】∵()11f x x=-，∴()()1111111111x 1x f f x x f x x x-⎡⎤===⎣⎦------＝.由于()11f x x =-中1x ≠，∴()f f x ⎡⎤⎣⎦中()1f x ≠，即111x≠-，∴0x ≠，且1x ≠，故答案为：1x x-(0x ≠，且1x ≠)【题型九】恒成立含参型【典例分析】（2022·全国·高一专题练习）若函数()f x =的定义域为R ，则a 的范围是（）A ．[0,4]B ．[0,4)C ．D ．(0,4)【答案】A【分析】根据给定条件，可得210ax ax ++≥，再分类讨论求解作答.【详解】依题意，R x ∀∈，210ax ax ++≥成立，当0a =时，10≥成立，即0a =，当0a ≠时，2Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得04a <≤，因此得04a ≤≤，所以a 的范围是[0,4].故选：A1.（2021·四川·遂宁中学高一阶段练习）已知函数()f x =的定义域是R ，则m的取值范围是（）A ．04m ≤<B ．01m ≤≤C ．4m ≥D ．04m ≤≤【答案】A【分析】对m 分0,0m m =≠两种情况讨论得解.【详解】解：由题得210mx mx ++≠的解集为R .当0m =时，10≠，符合题意；当0m ≠时，240,04m m m ∆=-<∴<<.综合得04m ≤<.故选：A2.（2022·全国·高一专题练习）已知y =的定义域是R ，则实数a 的取值范围是()A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．33,22⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭D．3322⎛-+ ⎝⎭【答案】D【分析】结合函数特征和已知条件可得到21(1)04ax a x +-+>解集为R ，当0a =时，可得到与已知条件矛盾；当0a ≠时，结合一元二次函数图像即可求解.【详解】由题意可知，21(1)04ax a x +-+>的解集为R ，①当0a =时，易知211(1)044ax a x x +-+=-+>，即14x <，这与21(1)04ax a x +-+>的解集为R 矛盾；②当0a ≠时，若要21(1)04ax a x +-+>的解集为R ，则只需21(1)4y ax a x =+-+图像开口向上，且与x 轴无交点，即判别式小于0，即20(1)0a a a >⎧⎨∆=--<⎩a <<综上所述，实数a的取值范围是33,22⎛+ ⎝⎭.故选：D.3.（2021·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高一阶段练习）若函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是（）A ．(0,4B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(]0,4【答案】B【分析】由题意可知224mx mx ++>0的解集为R ，分0m =，0m <，0m >三种情况讨论，即可求解.【详解】解：函数的定义域为R ，即不等式的解集224mx mx ++>0的解集为R 当0m =时，得到40>，显然不等式的解集为R ；当0m <时，二次函数224y mx mx =++开口向下，函数值y 不恒大于0，故不等式的解集不可能为R ；当0m >时，二次函数224y mx mx =++开口向上，由不等式的解集为R ，等到二次函数与x 轴没有交点，24160m m ∆=-<，解得04m <<；综上所述，实数m 的取值范围[)0,4.故选：B【题型十】对数函数定义域【典例分析】（2020·黑龙江哈尔滨·高一阶段练习（理））函数y =R ，则实数a 的取值范围是A ．[0,)+∞B ．[1,0)(0,)-⋃+∞C ．(,1)-∞-D ．[1,1)-【答案】A【详解】当0a =时，y =R ;当0a ≠时，函数的值域为R ，则221ax x +-的开口向上，且判别式大于等于零，即0{440a a >+≥，解得0a >.故实数a 的取值范围是[0,)+∞.故选：A.1.（2022·山东·枣庄市第三中学高一开学考试）已知函数()f x 的定义域为()0,1，则()12log 21y f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的定义域为___________.【答案】3,14⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据()f x 的定义域，求得()12log 21x -的取值范围，由此求得x 的取值范围，也即求得函数()12log 21y f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的定义域.【详解】由于函数()f x 的定义域为()0,1，所以()12log 2011x <-<，即()111222log log 21lo 112g x -<<，由于12log y x =在定义域上递减，所以12112x <-<，解得314x <<.所以函数()12log 21y f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的定义域为3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：3,14⎛⎫⎪⎝⎭2.（2021·山东省实验中学高一阶段练习）函数()f x =的定义域为___________.【答案】(]1,3##{|13}x x <≤【分析】由函数的解析式中含有二次根式和对数式，可由二次根式的被开方数非负及对数式的真数大于零联立不等式组，解之即可.需注意不等式的定义域须写成集合或区间形式.【详解】解：由题意可得，自变量x 须满足不等式组：41log (1)0210x x ⎧--≥⎪⎨⎪->⎩41log (1)210x x ⎧-≤⎪⇔⎨⎪->⎩1210x x -≤⎧⇔⎨->⎩13x ⇔<≤所以函数()f x ={|13}x x <≤.故答案为：{|13}x x <≤.3.（2019·黑龙江·哈九中高一阶段练习（文））已知集合{}10A x x =->，22log 1x B x y x ⎧⎫-==⎨⎬+⎩⎭，则()A B =R ð（）A ．[)0,1B ．()1,2C ．(]1,2D ．[)2,+∞【答案】C【分析】求出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义可求出集合()R A B ð.【详解】{}()101,A x x =->=+∞ ，()()222log 0,12,11x x B x y xx x ⎧⎫⎧⎫--===>=-∞-⋃+∞⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭，则[]1,2R B =-ð，因此，()(]1,2R A B = ð.故选：C.【题型十一】定义域：解指数函数不等式【典例分析】（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x =[)2,+∞，则=a _________．【答案】4【分析】由已知可得不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，可知2x =为方程20x a -=的根，即可求得实数a 的值.【详解】由题意可知，不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，则220a -=，解得4a =，当4a =时，由240x -≥，可得2242x ≥=，解得2x ≥，合乎题意.故答案为：4.1.（2023·全国·高一专题练习）已知函数()ln f x x =()2f x 的定义域为（）A ．()01，B ．()12，C ．(]04，D ．(]02，【答案】D【分析】通过求解f (x )的定义域，确定f (2x )的中2x 的范围，求出x 范围，就可确定f (2x )定义域【详解】要使函数()ln f x x =+01620xx >⎧⎨-≥⎩，解得04x <≤，()f x 的定义域为(]0,4，由024x <≤，解得02x <≤，()2f x 的定义域为(]0,2，故选D.2.（2022·全国·高一专题练习）函数()f x =___________.【答案】(,0]-∞【分析】根据具体函数的定义域求法，结合指数函数的单调性求解.【详解】解：由1102x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得011122⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，所以0x ≤，所以函数的定义域为(,0]-∞，故答案为：(,0]-∞3.（2022·全国·高一专题练习）函数y ________.【答案】(－∞，－2]∪[2，＋∞)【分析】根据开偶数次方根号里的数大于等于零，结合指数函数的单调性解之即可得解.【详解】由题意有22390x --≥，即22233x -≥，所以222x -≥，即24x ≥，所以2x ≥或2x -≤，故所求函数的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞).故答案为：(－∞，－2]∪[2，＋∞).【题型十二】正切函数定义域【典例分析】（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）函数()f x 的定义域为___________.【答案】|,Z 44x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【分析】根据开偶数次发，根号里的数大于等于零，解正切函数不等式即可得解.【详解】解：由21tan 0x -≥，有1tan 1x -≤≤，可得ππππ44k x k -+≤≤，k ∈Z ，所以函数()f x 的定义域为|,Z 44x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.故答案为：|,Z 44x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.1.（2022·云南昭通·高一期末）函数3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的定义域为___________.【答案】5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【分析】先得到使函数有意义的关系式32,Z 42x k k πππ-≠+∈，求解即可.【详解】若使函数有意义，需满足：32,Z 42x k k πππ-≠+∈，解得5,Z 82k x k ππ≠+∈；故答案为：5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭2.（2022·全国·高一课时练习）函数tan(6)4y x π=+的定义域为________．【答案】{|,Z}624k x x k ππ≠+∈【分析】由6,Z 42x k k πππ+≠+∈，即得.【详解】由题意，要使函数tan(6)4y x π=+的解析式有意义，自变量x 须满足：6,Z 42x k k πππ+≠+∈，解得,Z 624k x k ππ≠+∈，故函数tan(6)4y x π=+的定义域为{|,Z}624k x x k ππ≠+∈，故答案为：{|,Z}624k x x k ππ≠+∈【题型十三】解正弦函数不等式求定义域【典例分析】（2022·北京八中高一期中）函数()2()lg 14sin f x x =-的定义域为________.【答案】,,66k k k Zππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭【分析】根据对数的真数大于0，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得：214sin 0x ->，所以sin 1122x <-<，所以,66k x k k Z ππππ-+<<+∈，函数()f x 的定义域为：,,66k k k Zππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭1.（2023·全国·高一专题练习）函数y =___________.【答案】5(2,2Z)66k k k ππππ++∈【分析】根据给定条件，列出不等式，解正弦不等式即可作答.【详解】依题意，1sin 02x ->，即1sin 2x >，解得522,Z 66k x k k ππππ+<<+∈，所以所求定义域为5(2,2Z)66k k k ππππ++∈.故答案为：5(2,2Z)66k k k ππππ++∈2.（2023·全国·高一专题练习）函数()f x =________________．【答案】(][]4,0,ππ-- 【分析】根据f(x )解析式列出不等式组，解不等式组即可得到定义域﹒【详解】()f x = 2sin 0160x x ⎧∴⎨->⎩ ，解得22,44k x k k Zx πππ+∈⎧⎨-<<⎩ ，对于22,k x k k Z πππ+∈ ，当0k =时，0x π ，当1k =时，23x ππ ，当1k =-时，2x ππ-- ，当2k =-时，43x ππ-- ，∴不等式组的解为：4x π-<- 或0.x π ()f x ∴的定义域为][(4,0,.ππ⎤--⋃⎦故答案为：][(4,0,.ππ⎤--⋃⎦3..（2023·全国·高一专题练习）函数()f x =的定义域为__________.【答案】5{|22,}44x k x k k Z ππππ-≤≤+∈【分析】由二次根式中被开方数非负，结合正弦函数性质可得．【详解】由题意10x ≥，sin 2x ≤，所以52244k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈．故答案为：5{|22,}44x k x k k Z ππππ-≤≤+∈．【题型十四】解余弦函数不等式求定义域【典例分析】（2022·陕西省安康中学高一期末）函数1()ln cos 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为_______________．【答案】ππ2π,2π,33⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭k k k Z【分析】由题可知，解不等式1cos 2x >即可得出原函数的定义域.【详解】对于函数1()ln cos 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，有1cos 02x ->，即1cos 2x >，解得()ππ2π2π33-<<+∈k x k k Z ，因此，函数1()ln cos 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为ππ2π2π,33x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .故答案为：ππ2π,2π,33⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭k k k Z .【提分秘籍】基本规律余弦函数定义域是全体实数，本身没有限制。
高中数学函数的概念、定义域、值域和图象练习题(带解析)
高中数学函数的概念、定义域、值域和图象练习题（带解析）数学必修1(苏教版)2．1函数的概念和图象2．1.1 函数的概念、定义域、值域和图象“神舟七号”载人航天飞船离地面的距离随时刻的变化而变化；上网费用随着上网的时刻变化而变化；近几十年来，出国旅行人数日益增多，考古学家推算古生物生活的年代……这些问题如何描述和研究呢？基础巩固1．下列各图中，不可能表示函数y＝f(x)的图象的是()答案：B2．下列四组中，f(x)与g(x)表示同一个函数的是()A．f(x)＝4x4，g(x)＝(4x)4B．f(x)＝x，g(x)＝3x3C．f(x)＝1，g(x)＝1x0，1x0D．f(x)＝x2－4x＋2，g(x)＝x－2解析：选项A、C、D中两个函数的定义域不相同．答案：B3．已知函数f(x)＝2x，x0，x＋1，x0，且f(a)＋f(1)＝0，则a＝()A．－3 B．－1C．1 D．3解析：当a0时，f(a)＋f(1)＝2a＋2＝0a＝－1，与a0矛盾；当a0时，f (a)＋f(1)＝a＋1＋2＝0a＝－3，适合题意．答案：A4．定义域在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为()A．[2a，a＋b] B．[0，b－a]C．[a，b] D．[－a，a＋b]答案：C5．已知f(x)＝x2，x0，fx＋1，x0，则f(2)＋f(－2)的值为()A．6 B．5C．4 D．2解析：f(2)＝22＝4，f(－2)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝f(－1＋1)＝f(0)＝f(0＋1)＝f(1)＝12＝1，f(2)＋f(－2)＝4＋1＝5.答案：B6．函数y＝x＋1x的定义域为________．解析：利用解不等式组的方法求解．要使函数有意义，需x＋10，x0，解得x－1，x0.原函数的定义域为{x|x－1且x0}．答案：{x|x－1且x0}7．函数f(x)＝11－2x的定义域是________解析：由1－2xx12.答案：xx128．已知f(x)＝3x＋2，x1，x2＋ax，x1.若f(f(0))＝4a，则实数a＝____ ____.解析：∵f(0)＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a.4＋2a＝4aa＝2.答案：29．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则f(x＋2)的定义域是_ _______，值域是________．解析：∵f(x)的定义域为[0,1]，0x＋21，－2－1.即f(x＋2)的定义域为[－2，－1]，值域仍旧为[1,2]．答案：[－2，－1][1,2]10．关于每一个实数x，设f(x)是y＝4x＋1，y＝x＋2和y＝－2x＋4三个函数中的最小值，则f(x)的最大值是________．解析：在同一坐标系中作出如下图象：图中实线部分为f(x)，则A的纵坐标为f(x)的最大值，答案：8311．方程x2－|x|＋a－1＝0有四个相异实根，求实数a的取值范畴．解析：原方程可化为x2－|x|－1＝－a，画出y＝x2－|x|－1的图象．∵x0时，y＝－54.x＜0时，y＝－54.由图象可知，只有当－54－1时，即a1，54时，方程才有四个相异实根．a的取值范畴是1，54.能力提升12．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x解析：∵|2x|＝2|x|，A满足；2x－|2x|＝2(x－|x|)B满足；－2x＝2(－x)，D满足；2x＋12(x＋1)；C不满足．答案：C13．(2021全国卷)已知f(x)的定义域为(－3,0)，则函数f(2x－1)的定义域为()A．(－1,1) B.－1，12C．(－1,0) D.12，1解析：∵f(x)的定义域(－3,0)，－32x－1－112.答案：B14．如左下图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入圆柱形桶中，H是圆锥形漏斗中液面下降的距离，则H与下降时刻t(分钟)的函数关系用图象表示只可能是()答案：B15．已知函数f(x)＝x21＋x2，那么f(1)＋f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋f(4)＋f 14＝______.解析：f(x)＝x21＋x2，f1x＝1x2＋1，f(1)＋f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋f(4)＋f14＝12＋1＋1＋1＝72.答案：7216．已知函数f(3x＋2)的定义域是(－2,1)，则函数f(x2)－fx＋23的定义域为________解析：∵f(3x＋2)的定义域为(－2,1)，－21，－43x＋25.－45，－4x＋235.－55.答案：(－5，5)17．已知a－12，0，函数f(x)的定义域是(0,1]，求g(x)＝f(x＋a)＋f(x －a)＋f(x)的定义域．解析：由题设得0x＋a1，0x－a1，01，即－a1－a，a1＋a，01，∵－120，012，11－a32，121.不等式组的解集为－a1＋a.g(x)的定义域为(－a,1＋a]．18．已知m，nN*，且f(m＋n)＝f(m)f(n)，f(1)＝2.求f2f1＋f3f2＋…＋f 2021f2021的值．解析：∵f(1)＝2，f(m＋n)＝f(m)f(n)(m，nN*)，关于任意xN*，有f(x)＝f(x－1＋1)＝f(x－1)f(1)＝2f(x－1)．“教书先生”可能是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当如何说也确实是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
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高中数学函数定义域练习
题
Last updated on the afternoon of January 3, 2021
高中数
学函数定义域练习题 1、x x f -=
1)(的定义域为. 2、23)(x x x f -=的定义域为.
3、函数261
x
x y --=的定义域为. 4、函数x
x y 43
+=的定义域为. 5、函数123++=
x x y 的定义域为. 6、0)1(3
2-+-+=x x x y 的定义域为. 7、213)(+++=
x x x f 的定义域为. 8、x y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=31的定义域为.
9、()()132
lg 13++-=x x
x x f 的定义域. 10、()1
log 1
2-=x x f 的定义域为. 11、()()x x x f 22ln -=的定义域为.
12、()()
1lg 1-=+x x f x 的定义域为.
13、()3121++-=
x x x f 的定义域. 14、2322+-=x x y 的定义域为.
15、函数()()214ln 1x x f x -+=
+的定义域为. 16、12)(+-=
x x x f 的定义域为. 17、()
12log 12)(---=x x x f 的定义域为.
复合函数定义域的求法 ✓ 要点：对于一个复合函数[])(x g f 来说，它的定义域一定是x 的取值范围而非)(x g 的取值范围. ✓ 常见考法：
（1）已知)(x f 的定义域，求复合函数[])(x g f 的定义域.
（2）已知[])(x g f 的定义域，求函数)(x f 的定义域.
（3）已知[])(x g f 的定义域，求函数[])(h x f 的定义域.
17、已知)(x f 的定义域为[]5,1-，求函数()53-x f 的定义域.
18、已知)(x f 的定义域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,21，求函数()x f 2log 的定义域. 19、已知()222+-x x f 的定义域为[]3,0，求)(x f 的定义域.
20、已知()[]1lg +x f 的定义域为[]9,0，求)(x f y =的定义域. 21、()1+=x f y 的定义域为[]3,2-，求)12(-=x f y 的定义域.。