激光原理与技术山西大学课件第四章

（4.1.2）
我们关心 P ( ) 的函数形式，因此引入谱线的线型函数
g%( ,o )
P(v) P
（4.1.3）
根据式（4.1.2）和式（4.1.3），有
g%(,o)dv1
归一化条件
（4.1.4）
线型函数在 o 时有最大值 g%(o ,o ) ，并在
vvo 2
时下降至最大值的一半，如图
%g ( , 0 )
% g( 0 , 0 )
%g ( 0 , 0 )
2
O
0
图4.1.2 增益曲线
由此定义的
称为谱线宽度 。
由于存在不同的物理机制引起谱线加宽，以下我们将分析这些物理过程并求出
g%( , o ) 的具体函数形式。
一、均匀加宽
如果每个发光原子都以整个线型发射，或者说每个发光原子对光谱线内任一 频率都有贡献，这种加宽称为均匀加宽。
g%(,o)
P(v) P
| x() |2
|
x() |2
d
[( )2 2
42(
0)2]
1
( )2
2
1
4 2 (
0)2
d
式中积分为一常数，令其为 A 。由归一化条件求得
A 1
于是可得
g% N(,o)(2)242(0)2
（4.1.5）
式中下标N表示自然加宽。
下面讨论阻尼系数 与原子在 E 2 能级上的自发辐射寿命 s
心频率附近一个很小的频率范围内，这就叫谱线加宽。
由于谱线加宽，原子自发辐射的功率不再都集中在一个单一频率上，而应表
示为频率的函数 P ( )，如下图所示。
P ( )
O
0
图4.1.1 自发辐射的频率分布
令中心频率为 o ，P ( ) 描述自发辐射总功率P按频率的分布，数学表示为
P P(v)dv
之间的关系。设在初始时刻 t 0 时能级 E 2 上有 n 2 0 个原子，
则自发辐射功率随时间的变化规律可写为
P (t) n 2 0|x (t)|2 n 2 0 x (t)x * (t)
所以
P(t)n20x0 2et
也可以写作
P(t) P0et
（4.1.6）
另一方面，从（1.2.4） 也可求出 E 2 能级上原子数随时间的变化规律。
第四章 电磁场和物质的共振相互作用
主要内容： 谱线加宽与线型函数；激光器速率方程（三能级，四能 级）；工作物质的增益系数（均匀加宽）；激光器的新进 展
§ 4.1自发辐射谱线加宽与线型函数 § 4.2 激光器速率方程（三能级，四能级） § 4.3 均匀加宽工作物质的增益系数 § 4.4 激光器的新进展：LD泵浦的固体激光器、光纤激光器
2.碰撞加宽
在气体物质中，大量原子（分子）处于无规热运动状态，当两个原子 相遇而处于足够接近的位置时（或原子与器壁相碰时），原子间的相互 作用足以改变其原来的运动状态。我们即认为两原子发生了“碰撞”。
在晶体中，虽然原子基本上是不动的，但每个原子也受到相邻原子的 偶极相互作用。因而一个原子也可能在无规的时刻由于这种相互作用 改变自己的运动状态，这时我们亦称之为“碰撞”。
dn2 dn21 n2
dt
dt
s
n2(t)n20et/s
由（4.1.1）求得自发辐射功率为
与（4.1.6） 相比较，有
P(t)
dn2(t)h
dt
n20A21et/s
h
P0 et/s
（4.1.7）
P(t) P0et
1 s
（4.1.8）
由（4.1.5）
g% N(,o)(2)242(0)2
知自然加宽具有洛仑兹线型，如图4.1.3所示。
% g N ( , 0 )
% gN (0,0)
%g N ( 0 , 0 )
2
O
图4.1.3
N
0
谱线自然加宽线型函数
当 0 时，有最大值
g% (0,0)4s
谱线宽度 N 为
自然线宽
N
1
2 s
将上式代入（4.1.5），自然加宽线型函数表示为
Nபைடு நூலகம்
g%N(,o)
(
2
0)2
(N
2
)2
（4.1.9） （4.1.10）
自然加宽，碰撞加宽及晶格振动加宽均属均匀加宽类型。
1. 自然加宽 在不受外界影响时，受激原子并非永远处于激发态，它们会自发地向低能态跃迁 (量子光学将揭示那是由真空能量的扰动引起的)，因此受激原子在激发态上具有 有限的寿命。这就造成了原子跃迁谱线的自然加宽，它的线型函数 可以在辐射的 经典理论基础上简单地求得。
根据经典模型，原子中作简谐振动的电子由于自发辐射而不断损耗能量 因而电子的振动服从阻尼振动规律：
t
x(t) x0e 2 ei0t
式中 0 20 ， 0 是原子作无阻尼简谐振动 的频率[即原子发光
的中心频率，相应于量子理论中的 (E2 E1)/h ]； 为阻尼系数。
上述阻尼振动不再是频率为
的0 单一频率简谐振动，这就是形成自然
加宽的原因。
对 x ( t ) 作傅立叶变换，可求得它的频谱：
x ()0 x (t)e i2 td t x 00 e 2 te i2 (0 )td t
x 0
2 i(0)2
由于辐射功率正比于电子振动振幅的平方，所以频率在 : d
区间内的自发辐射功率为
P()d |x()|2d
根据线型函数 定义式（4.1.3）可得
在晶体中，无辐射跃迁起因于原子和晶格振动相互作用，原子释放的内能 转化为声子能量。
因碰撞发生的随机性，我们只能从统计平均去研究。可设任一原子与
其他原子发生碰撞的平均时间间隔为
，它描述碰撞的频繁程度并
L
称为平均碰撞时间。
可以证明，这种平均长度为 L 的波列可以等效为振幅呈指数变化的
§ 4.1 自发辐射谱线加宽与线型函数
在第一章中提到自发辐射（原子自发跃迁发出的光波），那里我们认 为自发辐射是单色的，即辐射的全部功率都集中于一个单一频率
(E2E1)/h
由式（1.2.4）可求得单位体积物质内原子自发辐射功率为
Pddnt21hn2A21h
（4.1.1）
实际上由于各种因素的影响，自发辐射并不是单色的，而是分布在一个中
（1）激发态原子
与基态原子发生碰撞，使其 跃迁，自身则回到基态。
与其他原子发生弹性碰撞
横向弛豫过程
使自发辐射波列发生无规的相位突变
碰撞
碰撞
图4.1.4 碰撞过程使波列发生无规相位突变
相位突变所引起波列时间的缩短等效于原子寿命的缩短，引起谱线加宽。 （2）激发态原子也可以与其他原子或器壁发生非弹性碰撞而将自己的内能 变为其他原子的动能或给予器壁，而自己回到基态。与自发辐射一样，也会 引起激发态寿命的缩短。有别于产生辐射的跃迁，称之为无辐射跃迁。