高二数学平面向量总结PPT优秀课件
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平面向量全章小结.ppt
分别满足 AP 3AB, PM 3AB
求点P和点M的坐标
P(－10，7) M(2，1)
19. 已知向量a=(1，5)，b=(－3，2)，求a在b 方向上的正射影的数量。
| a | cos a,b a b 7 13 | b | 13
20. 已知两点A，B的坐标为(5，0)，(0，5)， 直线OP垂直于直线AB于点P，求点P的坐标
P(5 , 5) 22
x=3, y=－2 7. 已知向量i⊥j，|i|=|j|=1，a=4i－j，b=i+2j， c=2i－3j，计算：a·a+3(a·b)－2(b·c)+1。
32
8. 已知向量r的模和它相对于x轴正方向的转 角θ ，求向量r的坐标。
(1) |r|=16，θ =60°； (8,8 3)
(2) |r|=26，θ =45°； (3) |r|=80，θ =120°；
< a，b >=90° |a+b|= 2 5 , |a－b|= 2 5 <(a+b)，a>=45 °
4. 已知△ABC，点O是△ABC的重心（三条
中线的交点），求证： OA OB OC 0
A
O
B
C
D
5. 在△ABC中，引中线AD、BE、CF，求证：
AD BE CF 0
A
F
E
B
C
D
6.给定一个基底{i，j}，且a=4i+j，b=3j， c=12i－3j，如果c=xa+yb，求x，y.
AB AD __D__B___.
(3) 如果向量a= 2 b，则向量a与b的关系
3
是 共线 。
(4) AB AC CB BA = 3AB .
求点P和点M的坐标
P(－10，7) M(2，1)
19. 已知向量a=(1，5)，b=(－3，2)，求a在b 方向上的正射影的数量。
| a | cos a,b a b 7 13 | b | 13
20. 已知两点A，B的坐标为(5，0)，(0，5)， 直线OP垂直于直线AB于点P，求点P的坐标
P(5 , 5) 22
x=3, y=－2 7. 已知向量i⊥j，|i|=|j|=1，a=4i－j，b=i+2j， c=2i－3j，计算：a·a+3(a·b)－2(b·c)+1。
32
8. 已知向量r的模和它相对于x轴正方向的转 角θ ，求向量r的坐标。
(1) |r|=16，θ =60°； (8,8 3)
(2) |r|=26，θ =45°； (3) |r|=80，θ =120°；
< a，b >=90° |a+b|= 2 5 , |a－b|= 2 5 <(a+b)，a>=45 °
4. 已知△ABC，点O是△ABC的重心（三条
中线的交点），求证： OA OB OC 0
A
O
B
C
D
5. 在△ABC中，引中线AD、BE、CF，求证：
AD BE CF 0
A
F
E
B
C
D
6.给定一个基底{i，j}，且a=4i+j，b=3j， c=12i－3j，如果c=xa+yb，求x，y.
AB AD __D__B___.
(3) 如果向量a= 2 b，则向量a与b的关系
3
是 共线 。
(4) AB AC CB BA = 3AB .
课件高中数学人教A版必修：平面向量的基本定理及坐标表示PPT课件_优秀版
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，则对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y使得
a3=．xi利+y用j•，向量解思想：证明a点=共2线i的+方3法j=. (2,3),
c=-2e1-3e2=(-2,-3)，
b=-2i+3j=(-2,3) （1）两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．
4 平面向量共线的坐标表示
若三点A(1,1)，B(2,-4)，C(x,-9)共线，求x的值.
当 =0 时，a与b同向；
b=-2e1+3e2=(-2,3)，
别求出它们的直角坐标.
即 别(求x1出,y它•1)们= 的当(直x2角,y坐2)=，标.0时，a与b同向；当=180时，a与b反向.
已知2a+b=(-4,3)，a-2b=(3,4)，求向量a、b的坐标.
必修4
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2021年11月23日星期二
小结 • 1． 平面向量基本定理；
• 2． 平面向量的正交分解；
• 3． 平面向量的坐标表示.
必修4
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2021年11月23日星期二
必修4
作业
• 习题2.3 A组 1，B组3
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2021年11月23日星期二
2.3.3平面向量的坐 标运算
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2021年11月23日星期二
• a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)
=(x1+x2)i+(y1+y2)j
=(x1+x2,y1+y2). • 同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2)， • a=(x1i+y1j)=x1i+y1j=(x1, y1)， • 已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，
a3=．xi利+y用j•，向量解思想：证明a点=共2线i的+方3法j=. (2,3),
c=-2e1-3e2=(-2,-3)，
b=-2i+3j=(-2,3) （1）两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．
4 平面向量共线的坐标表示
若三点A(1,1)，B(2,-4)，C(x,-9)共线，求x的值.
当 =0 时，a与b同向；
b=-2e1+3e2=(-2,3)，
别求出它们的直角坐标.
即 别(求x1出,y它•1)们= 的当(直x2角,y坐2)=，标.0时，a与b同向；当=180时，a与b反向.
已知2a+b=(-4,3)，a-2b=(3,4)，求向量a、b的坐标.
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小结 • 1． 平面向量基本定理；
• 2． 平面向量的正交分解；
• 3． 平面向量的坐标表示.
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作业
• 习题2.3 A组 1，B组3
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2.3.3平面向量的坐 标运算
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• a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)
=(x1+x2)i+(y1+y2)j
=(x1+x2,y1+y2). • 同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2)， • a=(x1i+y1j)=x1i+y1j=(x1, y1)， • 已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，
平面向量ppt课件
AB
A 4cm B
T
有向线段要素：起点、大小、方向.
方向、大概路程
2、定义：既有大小又有方向的量叫向量. 要素：大小、方向
3、向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）. 4、向量的表示法：
几何表示法： 用有向线段表示 .
符号表示法： AB或a、b 记作： AB 、a 、b
思考：
1、如图四边形ABCD和四边形EFGH分别是平行四边形和
问题 1.将定点A平移5cm，你能唯一确定点A平移后的
位置吗？ 没有给定平移方向
2.将定点A沿北偏东60°的方向平移，你能唯一 确定点A平移后的位置吗？ 没有给定平移距离
3.将定点A沿北偏东60°的方向平移5cm，你能 唯一确定点A平移后的位置吗？
给定了方向和大小
60o
A
A1 5cm
1、规定了方向的线段叫做 有向线段.
梯形，在梯形中EF∥GH。图中有向线段都表示向量，它
们的起点和终点分别是所在四边形的顶点。
D
C
H
G
A
BE
F
⑴用符号表示各个向量；
⑵每个四边形对边上的两个向量，它们的方向是相同
还是相反？它们的长度是否相等？
D
C
H
G
A
BE
F
方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。
AB = DC
方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量。
A
D
B
E
C
平面向量 向量的定义 既有大小又有方向的量叫向量
要素：大小、方向
几何表示法：用有向线段表示 向量的表示
字母表示法：AB或 a 、b 、c
向量的长度（模） 向量的大小
平面向量优秀课件
(6)若a b，则 | a | = | b |
(7)若 | a | = | b |，则a b
作图题
已知△ABC和点P，如图，以点P为起点，分 别画有向线段表示下列向量：
（1）与AB相等的向量；
（2）与BC互为相反向量的向量； （3）与AC互为相反向量的向量；
向量
内容小结
定义
几何表示法
表示
向量的有 关概念
符号表示法 向量的长度
向量间的 关系
相等向量
互为相反 向量
平行向量
简答题 如图所示，四边形ABCD是正方形，图中有 向线段都表示向量。
（1）所有与AB相等的向量； （2）所有与AD互为相反向量的向量； （3）所有的平行向量
22.7(2) 平面向量
概念
向量：既有大小、又有方向的量
思考：下列哪些量是向量：
（1）温度 （2）重力 （3）时间
概念
向量的长度（向量的模）：向量的大小 思考：向量能比较大小吗？ 向量的模能比较大小吗？
向量的表示方法
图中向量可表示为：有向线段 AB ，
B
其中 A为始点，B为终点.
始点 A和终点 B间的距离表示向量
（2）在直线平行的概念中，平行与重合 是两个互不相容的概念，即互相重合的两 条直线不能作为互相平行的直线，互相平 行的两条直线一定不重合。
▪ 书本练习2
过关大考验
★
判断题
★★
简答题
★ ★★
作图题
判断题
（1）平行向量的方向一定相同； （2）不相等的向量一定不平行； （3）若两个向量在同一直线上，则这两个 向量一定是平行向量； （4）相等向量一定是平行向量； （5）平行向量一定是相等向量；
相等向量、相反向量和平行向量
(7)若 | a | = | b |，则a b
作图题
已知△ABC和点P，如图，以点P为起点，分 别画有向线段表示下列向量：
（1）与AB相等的向量；
（2）与BC互为相反向量的向量； （3）与AC互为相反向量的向量；
向量
内容小结
定义
几何表示法
表示
向量的有 关概念
符号表示法 向量的长度
向量间的 关系
相等向量
互为相反 向量
平行向量
简答题 如图所示，四边形ABCD是正方形，图中有 向线段都表示向量。
（1）所有与AB相等的向量； （2）所有与AD互为相反向量的向量； （3）所有的平行向量
22.7(2) 平面向量
概念
向量：既有大小、又有方向的量
思考：下列哪些量是向量：
（1）温度 （2）重力 （3）时间
概念
向量的长度（向量的模）：向量的大小 思考：向量能比较大小吗？ 向量的模能比较大小吗？
向量的表示方法
图中向量可表示为：有向线段 AB ，
B
其中 A为始点，B为终点.
始点 A和终点 B间的距离表示向量
（2）在直线平行的概念中，平行与重合 是两个互不相容的概念，即互相重合的两 条直线不能作为互相平行的直线，互相平 行的两条直线一定不重合。
▪ 书本练习2
过关大考验
★
判断题
★★
简答题
★ ★★
作图题
判断题
（1）平行向量的方向一定相同； （2）不相等的向量一定不平行； （3）若两个向量在同一直线上，则这两个 向量一定是平行向量； （4）相等向量一定是平行向量； （5）平行向量一定是相等向量；
相等向量、相反向量和平行向量
6.1平面向量的概念课件共34张PPT
探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2
高二数学平面向量基本定理精品PPT课件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
M
A
a
B
MA AC 1 (a b) 1 a 1 b
2
22
MD 1 DB 1 a 1 b
2
22
课堂练习
变式探究：
OP
2 3
a＋
1 3
b
P
OP （1－t）a＋tb
例2.设e1,e2是不共线的非零向量，
且a = e1 - 2e2,b = e1 + 3e2 （1）证明：a,b可以作为一组基底；
（2）以a,b为基底，求向量c= 3e1 - e2的分解式；
(1)证明：设a =λb( R)， 则e1 - 2e2 =(e1 + 3e2 )，由e1，e2不共线得
=1 3 =-2
=1 =-
2 3
所以不存在，故a,b不共线，可以作为一组基底。
(2)解:设c = m a+ nb(m,n R)得
3e1 - e2 m(e1 - 2e2 ) n(e1 + 3e2 )
ab
B
b [0°，180°]
O aA
例1. 已知： ABCD的两条对角线相交于点M，
试一试：请同学们自选基底 表示向量MA和MD.
D
C
M
A
B
例1. 已知： ABCD的两条对角线相交于点M，
且 AB = a ,AD = b ,用 a ,b 表示 MA和 MD
分析：为了求MA和MD， D
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
M
A
a
B
MA AC 1 (a b) 1 a 1 b
2
22
MD 1 DB 1 a 1 b
2
22
课堂练习
变式探究：
OP
2 3
a＋
1 3
b
P
OP （1－t）a＋tb
例2.设e1,e2是不共线的非零向量，
且a = e1 - 2e2,b = e1 + 3e2 （1）证明：a,b可以作为一组基底；
（2）以a,b为基底，求向量c= 3e1 - e2的分解式；
(1)证明：设a =λb( R)， 则e1 - 2e2 =(e1 + 3e2 )，由e1，e2不共线得
=1 3 =-2
=1 =-
2 3
所以不存在，故a,b不共线，可以作为一组基底。
(2)解:设c = m a+ nb(m,n R)得
3e1 - e2 m(e1 - 2e2 ) n(e1 + 3e2 )
ab
B
b [0°，180°]
O aA
例1. 已知： ABCD的两条对角线相交于点M，
试一试：请同学们自选基底 表示向量MA和MD.
D
C
M
A
B
例1. 已知： ABCD的两条对角线相交于点M，
且 AB = a ,AD = b ,用 a ,b 表示 MA和 MD
分析：为了求MA和MD， D
数学人教A版(2019)必修二6.1平面向量的概念(共21张ppt)
人教A版高一数学必修第二册第六单元
《6.1 平面向量的概念》
人教A版高中数学必修二第六章第一节
核心素养目标
•
1.语言建构与运用：使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基
本概念，能正确进行平面向量的儿何表示。
•
2.思维发展与提升：让学生经历类比方法学习向量及其儿何表示的过程，体验
对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
（2）与向量 的模一定相等的向量有________个，
，，，，
分别是________________________；
2
（3）与向量相等的向量有________个，
，
分别是_______________________．
任务探究十五
课堂小结
概念：把有大小又有方向的量统称为向量
①有向线段三要素：起点、方向、长度。
②表示有向线段时，起点在前，终点在后。
AB
线段AB的长度也叫做
有向线段 AB 的长度，
记作|
|
AB
任务探究六
向量的表示
➢ 通常用有向线段来表示向量
➢ 有向线段的长度| AB |表示向量的大小
➢ 有向线段 AB 的方向表示向量的方向
注：印刷用黑体a，b，c，…
书写时用 a、
问题引入
1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什
么？
2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方
向的量，你还能举出一些这样的量吗？
3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫
做矢量。
在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的
量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫
数量。
任务探究一
《6.1 平面向量的概念》
人教A版高中数学必修二第六章第一节
核心素养目标
•
1.语言建构与运用：使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基
本概念，能正确进行平面向量的儿何表示。
•
2.思维发展与提升：让学生经历类比方法学习向量及其儿何表示的过程，体验
对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
（2）与向量 的模一定相等的向量有________个，
，，，，
分别是________________________；
2
（3）与向量相等的向量有________个，
，
分别是_______________________．
任务探究十五
课堂小结
概念：把有大小又有方向的量统称为向量
①有向线段三要素：起点、方向、长度。
②表示有向线段时，起点在前，终点在后。
AB
线段AB的长度也叫做
有向线段 AB 的长度，
记作|
|
AB
任务探究六
向量的表示
➢ 通常用有向线段来表示向量
➢ 有向线段的长度| AB |表示向量的大小
➢ 有向线段 AB 的方向表示向量的方向
注：印刷用黑体a，b，c，…
书写时用 a、
问题引入
1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什
么？
2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方
向的量，你还能举出一些这样的量吗？
3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫
做矢量。
在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的
量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫
数量。
任务探究一
平面向量的概念PPT课件
04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
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Y1+Y
2
2
平移公式
如果点P(x,y)按向量a(h,k)平移
至P’(x’,y’)，则有 X’=x+h Y’=y+k
正.余弦定理
正弦定理
a sinA
=
b sinB
=
c sinC
=2R
余弦定理
a2 = b2+ c 2 -2bccosA
b2 = c 2+ a2 -2cacosB
c 2 = a2+ b2-2abcosC
2）垂直的充要条件
a⊥b
a . b =0
- =0 X1 Y2
X2 Y1
=0 + X1 X2 Y1 Y2
线段定比分点公式
设P(x,y), P1(x1,y1), P2(x2,y2) 且P分有向
线段P1 P2所成比为λ ，则有
X=
X1+λx
1+λ
2
y=
Y1+λY
1+λ
2
中点坐标公式:
X=
X1+x2 2
y=
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档 , Y1- Y2)
实数和向量的积
1）定义 表示： λa
2）运算律 λ(μ a)=(λ μ) a
(λ+ μ) a = λ a + μa λ( a + b )= λ a+ μ a 3）坐标运算 a =(x,y)
λa = (λx, λy)
向量的数量积
1)定义 a . b = a b cosθ
2)运算律
a. b = b . a （λ a ）b = a（λ b ）= λ（ a . b ） （a +b）c = a . c + b . c
3）坐标运算
a =（ X1, Y1)
b = ( X2 , Y2 )
a . b = X1 X2 + Y1 Y2
平行与垂直的充要条件 1）平行充要条件
ab
a =λ b
1.向量内容可分为哪几个部分? 2.每一部分有哪些内容?
知识网络
空平间面 向量
向量有关概念 向量的定义 单位向量及零向量
向量的运算
基本应用
运算法则 平行与垂直的充要条件
坐标表示
线段定比分点公式
相等向量
运算律
直线的方向向量
平行向量和共线向量 性质与结论
距离、夹角、 三点共线
向量的加法
1）加法法则
b b
a
2)运算律
a
a +b = b + a （交换律）
（a +b）+ c = a+ (b+ c ) （结合律）
3）坐标运算
a =（ X1, Y1)
b= (X2 , Y ) 2
a +b =
(X1+ X2 ,
Y1+ Y
2
)
向量的减法
1）减法法则 b
2）坐标运算
a
a =（ X1, Y)1
b = (X2 , Y2)