双直线二次曲线系方程的几个应用实例
二次曲线的性质及应用
二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班刘谦益傅明睿陈霖指导教师：王学红摘要二次曲线与我们的生活密切相关，它们的性质在生产、生活中被广泛应用。
本小组成员在此次研究性学习活动中对二次曲线的性质进行了一系列探讨，从二次曲线的定义入手，就二次曲线的方程、光学性质及应用等方面展开说明。
AbstractConics are closely related to our living. Their characters have been widely applied in the producing and our living. The members of our team carried out a series of discussions with the characters of the conics at the research-based learning activities. Starting with the definition of conics, we illuminated with the equation, the optical properties and the application areas of the conics.二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班 刘谦益 傅明睿 陈霖指导教师：王学红一、绪论在我们的生活中，二次曲线无处不在。
车轮滚滚，留下一路红尘；烈日炎炎，照亮亘古乾坤。
这些都给我们留下圆的形象。
构筑了五彩世界的圆，就是最简单的二次曲线——x 2+y 2=r 2从椭圆方程说起当我们在纸上钉两个图钉，（它们的间距为2c ），将一根长为l 的绳子分别各系在一个图钉上，用笔绷紧绳子绕一圈，就画出了一个椭圆——因为椭圆上任意一点到两焦点的距离和相等，而且不难得出这个椭圆长轴a= ,短轴b=,我们把它放在直角坐标系中，设F 1（c,0），F 2（-c,0），可知椭圆上任意一点p(x,y)满足PF 1+PF 2=l=2a 。
双曲函数的应用实例
双曲函数的应用实例双曲函数是一类熟知的函数，它由双曲正弦函数与双曲余弦函数构成，通常表示为sinh(x)与cosh(x)。
在数学中，双曲函数的应用非常广泛，尤其是在物理、工程和金融等领域中，它有着重要的作用。
下面将分别介绍几个双曲函数的应用实例。
一、弧长与曲线长度在平面直角坐标系中，曲线的弧长和曲线长度是非常重要的概念，可以通过双曲函数来计算。
具体来说，我们设曲线的方程为y=f(x)，其中，x的取值范围为[a,b]，则曲线的弧长可以表示为：L = ∫[a,b] √(1+f'(x)^2) dx其中，f'(x)是曲线在x点的切线斜率。
通过双曲函数sinh(x)可以简化上式，因为它的导数是cosh(x)，即sinh'(x) = cosh(x)，因此曲线的弧长可以写成：L = ∫[a,b] √(1+sinh'(x)^2) dx= ∫[a,b] √(1+cosh^2(x)) dx= ∫[a,b] sinh(x) dx另外，我们还可以用指数函数来表示曲线的长度，它与弧长的差别在于多乘一个系数2π，即曲线长度可以表示为：L = 2π ∫[a,b] √(1+f'(x)^2) dx同样地，通过sinh(x)函数，曲线长度可以简化为：L = 2π ∫[a,b] sinh(x) dx二、椭球面积在空间几何中，椭球是一类广泛存在的曲面形式，其面积可以用双曲函数表示。
对于一个椭球，如果它的长半轴和短半轴分别是a和b，那么它的面积可以表示为：S = 4πab ∫[0,π/2] (1 - e^2sin^2(θ))1/2 dθ其中，e是椭圆的离心率，可以表示为：e = √(1 - b^2/a^2)而θ是极角，取值范围为[0,π/2]。
通过变换，我们可以把上面的积分转化为双曲函数的形式，即：S = 4πab ∫[0,∞) (1 + (b/a)^2sinh^2(τ))^1/2 dτ通过换元法，我们可以把上式转化为：S = 4πab ∫[0,1] (1 - x^2)^-1/2(1 - (1-e^2)x^2)^1/2 dx这个式子实际上就是一个椭圆的面积公式，其中，x = sinh(τ) / sinh(x_max)，以及x_max = arcsinh(b/a)。
高中数学解二次曲线方程的常用技巧和注意事项
高中数学解二次曲线方程的常用技巧和注意事项在高中数学学习中，解二次曲线方程是一个重要的内容。
掌握解二次曲线方程的常用技巧和注意事项，不仅可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，还可以提高解题的效率和准确度。
本文将介绍一些常用的解二次曲线方程的技巧和需要注意的事项，并通过具体的题目进行举例，帮助读者更好地理解和掌握。
一、一元二次方程的解法在解二次曲线方程时，首先要确定方程中未知数的个数。
如果方程中只有一个未知数，我们称之为一元二次方程。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。
以因式分解法为例，我们来看一个具体的例子：求解方程$x^2-5x+6=0$。
首先，我们观察方程中的系数，发现$a=1$，$b=-5$，$c=6$。
然后，我们寻找两个数，使得它们的和等于$b$，乘积等于$c$。
在这个例子中，我们可以找到两个数2和3，满足条件。
因此，我们可以将方程进行因式分解：$(x-2)(x-3)=0$。
根据乘法零原理，我们知道当两个数的乘积等于0时，至少有一个数等于0。
因此，我们可以得到两个解：$x=2$和$x=3$。
二、二元二次方程的解法除了一元二次方程，高中数学中还会遇到二元二次方程。
解二元二次方程的常用方法有代数法和图形法。
以代数法为例，我们来看一个具体的例子：求解方程组$\begin{cases}x^2+y^2=25\\x-y=3\end{cases}$。
首先，我们可以将第二个方程变形为$x=y+3$，然后将其代入第一个方程中，得到$(y+3)^2+y^2=25$。
展开并整理后，我们可以得到$2y^2+6y-16=0$。
接下来，我们可以使用一元二次方程的解法，求解这个二次方程。
解得$y=-4$或$y=2$。
将这两个解分别代入$x=y+3$，得到$x=-1$和$x=5$。
因此，方程组的解为$(-1,-4)$和$(5,2)$。
三、注意事项在解二次曲线方程时，还需要注意一些细节和特殊情况。
1. 方程的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，判别式$D=b^2-4ac$可以告诉我们方程的解的性质。
二次曲线的性质及应用
二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班刘谦益傅明睿陈霖指导教师：王学红摘要二次曲线与我们的生活密切相关，它们的性质在生产、生活中被广泛应用。
本小组成员在此次研究性学习活动中对二次曲线的性质进行了一系列探讨，从二次曲线的定义入手，就二次曲线的方程、光学性质及应用等方面展开说明。
AbstractConics are closely related to our living. Their characters have been widely applied in the producing and our living. The members of our team carried out a series of discussions with the characters of the conics at the research-based learning activities. Starting with the definition of conics, we illuminated with the equation, the optical properties and the application areas of the conics.二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班 刘谦益 傅明睿 陈霖指导教师：王学红一、绪论在我们的生活中，二次曲线无处不在。
车轮滚滚，留下一路红尘；烈日炎炎，照亮亘古乾坤。
这些都给我们留下圆的形象。
构筑了五彩世界的圆，就是最简单的二次曲线——x 2+y 2=r 2从椭圆方程说起当我们在纸上钉两个图钉，（它们的间距为2c ），将一根长为l 的绳子分别各系在一个图钉上，用笔绷紧绳子绕一圈，就画出了一个椭圆——因为椭圆上任意一点到两焦点的距离和相等，而且不难得出这个椭圆长轴a= ,短轴b=,我们把它放在直角坐标系中，设F 1（c,0），F 2（-c,0），可知椭圆上任意一点p(x,y)满足PF 1+PF 2=l=2a 。
用直线方程构造的二次曲线方程
用直线方程构造的二次曲线方程【摘要】本文介绍了如何利用直线方程构造二次曲线方程，首先阐述了直线方程与二次曲线方程的关系，然后详细讲解了利用直线方程的方法来构造二次曲线方程，并通过实例分析展示了具体操作步骤。
接着讨论了直线方程构造二次曲线方程在实际应用领域中的潜力，以及其优势与局限性。
最后总结了直线方程构造二次曲线方程的重要性，展望了未来研究方向，并强调了这一研究的意义。
通过本文的研究，读者将更加深入了解直线方程如何在构造二次曲线方程中发挥作用，为相关领域的进一步研究提供了有益的参考。
【关键词】直线方程、二次曲线方程、构造、关系、方法、实例分析、应用领域、优势、局限性、重要性、发展、研究意义。
1. 引言1.1 介绍直线方程构造二次曲线方程的背景直线方程构造二次曲线方程的背景首先要回顾一下直线方程和二次曲线方程的定义。
直线方程通常表示为y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。
而二次曲线方程则可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是系数。
直线方程与二次曲线方程之间存在着密切的联系。
实际上，通过直线方程构造二次曲线方程是一种常见的数学方法，可以帮助我们更好地理解曲线的形状和性质。
通过直线方程的研究，我们可以推导出相应的二次曲线方程，从而更深入地探讨曲线的特征和行为。
在数学和工程领域，直线方程构造二次曲线方程的方法被广泛应用。
在图像处理和模式识别中，我们常常需要通过直线方程构造二次曲线方程来拟合数据点，从而实现图像的分析和识别。
直线方程构造二次曲线方程还可以用于解决最优化和拟合等问题。
直线方程构造二次曲线方程是一项重要的数学技术，具有广泛的应用价值。
通过研究直线方程构造二次曲线方程的方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，为解决实际问题提供有力的支持。
1.2 阐明文章的研究目的本文的研究目的是阐明直线方程构造二次曲线方程的方法和原理，探讨这种方法在数学和科学领域中的应用及其重要性。
过两曲线交点的曲线系方程及应用
过两曲线交点的曲线系方程及应用浙江曾安雄高中数学第二册(上)(修订试验本)的第88页B 组第4题是： 两条曲线的方程是f 1(x ，y )＝0和f 2(x ，y )＝0，它们的交点是P (x 0，y 0)，求证方程：f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0的曲线也经过点P (λ是任意实数)．本题证明较易，在此略．它揭示了“过两曲线交点的曲线系方程(不含曲线f 2(x ，y ))”，在解决过两曲线交点问题极其简捷，下面举例说明．一、求直线方程例1 求经过两条曲线x 2＋y 2＋3x －y ＝0和3x 2＋3y 2＋2x ＋y ＝0交点的直线的方程．解：过两已知曲线的交点的曲线系方程是： (x 2＋y 2＋3x －y )＋λ(3x 2＋3y 2＋2x ＋y )＝0整理，得(3λ＋1)x 2＋(3λ＋1)y 2＋(2λ＋3)x ＋(λ－1)y ＝0． 令3λ＋1=0，即λ＝-31，故所求的直线为 7x －4y ＝0． 二、求定点坐标例2求证：不论m 取何实数，方程(3m ＋4)x ＋(5－2m )y ＋7m －6＝0所表示的曲线必经过一个定点，并求这一定点的坐标．解：由原方程整理，得(4x ＋5y －6)＋m (3x －2y ＋7)＝0令45603270x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩故知定点应是(－1，2)． 三、求圆的方程例3求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点，并且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．解：过两圆交点的曲线系为(x 2＋y 2＋6x －4)＋λ( x 2＋y 2＋6y －28)＝0，整理得 (1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋6x ＋6λy －4－28λ＝0 ①圆心为33,11λλλ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭(λ≠－1)，由题意知在直线x －y －4＝0上，即31λ-+＋31λλ+－4＝0，解得λ＝－7．代入①知所求的圆方程是 x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0． 四、证明相关问题例4 证明椭圆22205x y +＝1与双曲线22123x y -＝1的交点在同一个圆上． 证明：由椭圆22205x y +＝1即为x 2＋4y 2－20＝0，双曲线22123x y -＝1即x 2－4y 2－12＝0，故过椭圆及双曲线的交点的所有曲线(不含f 2(x ，y )＝0)的方程为(x 2＋4y 2－20)＋λ(x 2－4y 2－12)＝0即(1＋λ)x 2＋(4－4λ)y 2－20－12λ＝0 ① 令1＋λ＝4－4λ≠0，得λ＝35，代入①得x 2＋y 2＝17 这说明椭圆与双曲线的交点在同一个圆x 2＋y 2＝17上．运用曲线系解曲线方程问题张宽锁在《解析几何》中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时未知数多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，有没有一些更简便的方法解决这些问题呢？本文就此谈谈曲线系方程的应用。
高中数学选择性必修一课件：3.2.3双曲线的方程与性质的应用
课后提能训练
解：(1)由已知可设双曲线E的方程为 ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
c＝2， 则a42－b92＝1，
c2＝a2＋b2，
解得ba22＝＝31，，
所以双曲线E的方程为x2－y32＝1.
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
(2)当直线l斜率不存在时，显然不合题意， 所以可设直线l方程为y＝kx＋1.
3 3
，且右焦点为
F(2,0)，从而得到∠FON＝30°，所以直线MN的倾斜角为60°或120°.根据
双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN的方程为y＝ 3(x
－2)，分别与两条渐近线y＝
3 3
x和y＝－
3 3
x联立，求得M(3，
3 )，
N32，－ 23，所以|MN|＝
3－232＋ 3＋ 232＝3.
A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|. 提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况．
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
2．中点弦问题 与弦中点有关的问题主要用点差法、根与系数的关系解决．另外， 要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题 解决．
－
y2 b2
＝1⇒y＝±ba2
.对于过双曲线一个焦点的弦
长，如果弦是在同一支上，那么最短的弦是垂直于x轴的弦，长度为
2ab2；如果弦是跨两支，那么最短的弦为实轴2a.
过双曲线x2－y22＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点．
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
若l⊥x轴，则AB为通径，而通径长度
双曲线的几何性质及应用
第2课时 双曲线的几何性质及应用 学习目标 1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解弦长问题．知识点一 直线与双曲线的位置关系思考 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？答案 不能．梳理 设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，② 把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)． Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．知识点二 弦长公式若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].(1)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)(2)过点A (1,0)作直线l 与双曲线x 2－y 2＝1只有一个公共点，这样的直线可作2条．(×)(3)直线l ：y ＝x 与双曲线C ：2x 2－y 2＝2有两个公共点．(√)类型一 直线与双曲线位置关系例1 已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试确定满足下列条件的实数k 的取值范围．(1)直线l 与双曲线有两个不同的公共点；(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l 与双曲线没有公共点．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，y ＝k (x －1)，消去y ， 得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0.(*)当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)(－k 2－4)＝4×(4－3k 2)．(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＞0，1－k 2≠0，得－233＜k ＜233且k ≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解， 即直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2＝0，1－k 2≠0，得k ＝±233， 此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点，当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x ＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点．故当k ＝±233或±1时， 直线与双曲线有且只有一个公共点．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＜0，1－k 2≠0，得k ＜－233或k ＞233， 此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．反思与感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(3)注意对直线l 的斜率是否存在进行讨论．跟踪训练1 已知双曲线x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率k .考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.当4－k 2＝0时，k ＝±2，l 与双曲线的渐近线平行，l 与双曲线只有一个公共点；当4－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝52. 综上，k ＝52或k ＝±2或k 不存在．类型二 弦长公式及中点弦问题例2 过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1作倾斜角为π6的弦AB ，求|AB |的长． 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积解 易得双曲线的左焦点F 1(－2,0)，∴直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)， 与双曲线方程联立，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 反思与感悟 解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围问题．跟踪训练2 设A ，B 为双曲线x 2－y 22＝1上的两点，线段AB 的中点为M (1,2)．求： (1)直线AB 的方程；(2)△OAB 的面积(O 为坐标原点)．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积解 (1)显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1，消去y ， 整理得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2，解得k ＝1.当k ＝1时，满足Δ＞0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1.(2)由(1)得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－3，∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×4＋12＝4 2.又O 到直线AB 的距离d ＝12＝22， ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×42×22＝2. 类型三 直线与双曲线位置关系的综合问题例3 直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A ，B .(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的其他问题解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0，①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，故⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)＞0，－2k k 2－2＞0，2k 2－2＞0，解得k 的取值范围为－2＜k ＜－ 2.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由①式，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1x 2＝2k 2－2.假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ⎝⎛⎭⎫62，0，则F A ⊥FB ， ∴⎝⎛⎭⎫x 1－62⎝⎛⎭⎫x 2－62＋y 1y 2＝0， 即⎝⎛⎭⎫x 1－62⎝⎛⎭⎫x 2－62＋(kx 1＋1)·(kx 2＋1)＝0， (1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫k －62(x 1＋x 2)＋52＝0， ∴(1＋k 2)·2k 2－2＋⎝⎛⎭⎫k －62·2k 2－k 2＋52＝0， 化简得5k 2＋26k －6＝0， 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65(舍去)， 可知k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点． 反思与感悟 解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线位置关系进行求解．跟踪训练3 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B ，D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的其他问题 (1)解 依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32， ∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ，∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明 设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m ＞0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32， 又∵DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1，∴m ＝0(舍)或m ＝2，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72， M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1， ∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0，∴AD ⊥AB ，∴过A ，B ，D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径，∵点M 的横坐标为1，∴MA ⊥x 轴，∴过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切.1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．1考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的渐近线方程答案 A解析 ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F (4,0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F 到3x －y ＝0的距离为432＝2 3. 2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系答案 B3．直线y ＝x －1被双曲线2x 2－y 2＝3所截得的弦的中点坐标是( )A ．(1,2)B ．(－2，－1)C ．(－1，－2)D ．(2,1)考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系答案 C解析 将y ＝x －1代入2x 2－y 2＝3，得x 2＋2x －4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为x 1＋x 22＝－22＝－1，故选C. 4．过点A (3，－1)且被A 点平分的双曲线x 24－y 2＝1的弦所在的直线方程是________． 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的其他问题答案 3x ＋4y －5＝0解析 易知所求直线的斜率存在，设为k ，设该直线的方程为y ＋1＝k (x －3)，代入x 24－y 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程(1－4k 2)x 2＋(24k 2＋8k )x －36k 2－24k －8＝0，∴－24k 2＋8k 1－4k 2＝6，∴k ＝－34， ∴所求直线方程为3x ＋4y －5＝0.5．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则满足条件的直线l 有________条．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积答案 3解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x 2－y 22＝1，得y ＝±2， ∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k 2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2， |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k 2k 2－22－12k 2＋8k 2－2 ＝1＋k 2 16(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4， 解得k ＝±22.故满足条件的直线l 有3条．双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.一、选择题1．双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为( )A ．x 24－y 2＝1 B ．x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1 C ．x 2－y 24＝1或y 2－x 24＝1 D ．y 2－x 24＝1 考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 渐近线为条件求双曲线的方程答案 B2．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( ) A.3414 B.324 C.32 D.43考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9, 解得a ＝2，e ＝c a ＝32. 3．过双曲线x 2―y 2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积答案 D解析 设弦与双曲线交点为A ，B (A 点在B 点上方)，由AB ⊥x 轴且过右焦点，可得A ，B 两点横坐标为22，代入双曲线方程得A (22，2)，B (22，－2)，故|AB |＝4. 4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x ＝a 2c交于点M ，设其右焦点为F ，且点F 到渐近线的距离为d ，则( )A ．|MF |＞dB ．|MF |＜dC ．|MF |＝dD ．与a ，b 的值有关考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其它性质答案 C 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的标准方程答案 A解析 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 6．斜率为2的直线l 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(1，3)C ．(1，5)D ．(5，＋∞) 考点 双曲线的离心率与渐近线题点 双曲线离心率的取值范围答案 D7．设P 为双曲线C ：x 2－y 2＝1上一点，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，若cos ∠F 1PF 2＝13，则△PF 1F 2的外接圆半径为( ) A.94 B ．9 C.32D ．3 考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题答案 C解析 由题意知双曲线中a ＝1，b ＝1，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2 2.因为cos ∠F 1PF 2＝13，所以sin ∠F 1PF 2＝223. 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2R (R 为△PF 1F 2的外接圆半径)， 即22223＝2R ，解得R ＝32， 即△PF 1F 2的外接圆半径为32，故选C.二、填空题8．两个正数a ，b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝________.考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 133解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝5，ab ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2.又a ＞b ，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝13，∴e ＝c a ＝133. 9．已知双曲线C ：x 24－y 2m＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围 是________．考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 (4，＋∞)解析 ∵等轴双曲线的离心率为2，且双曲线C 的开口比等轴双曲线更开阔，∴双曲线C ：x 24－y 2m ＝1的离心率e ＞2，即4＋m 4＞2，∴m ＞4. 10．已知双曲线C 的离心率为3，焦点为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若|F 1A |＝3|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝________.考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题答案 33 解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 设A 为右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，且|F 2A |＝m ，由题意可得|F 1A |＝3m ，由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝2a ，解得m ＝a ，又e ＝c a ＝3， 可得c ＝3a .在△AF 1F 2中，|F 1A |＝3a ，|F 2A |＝a ，|F 1F 2|＝23a ，可得cos ∠AF 2F 1＝a 2＋12a 2－9a 22×a ×23a＝33. 11．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (2,1)，则直线l 的方程是_________________．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的其他问题答案 8x －y －15＝0解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可得x 21－y 214＝1，x 22－y 224＝1， 两式相减可得，(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0， 由M (2,1)为AB 的中点，得x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，可得直线AB 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝4×42＝8， 即直线AB 的方程为y －1＝8(x －2)，即8x －y －15＝0.将y ＝8x －15代入双曲线的方程x 2－y 24＝1， 可得60x 2－240x ＋229＝0，即有Δ＝2402－4×60×229＝240×11＞0，故直线l 的方程为8x －y －15＝0.三、解答题12．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，且过点(－3，42)．(1)求双曲线的方程；(2)若直线4x －y －6＝0与双曲线相交于A ，B 两点，求|AB |的值．考点 由双曲线的几何性质求方程题点 渐近线为条件求双曲线方程解 (1)设所求双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)， 把(－3,42)代入方程，得9－324＝λ，所以λ＝1， 所以所求双曲线的方程为x 2－y 24＝1. (2)直线方程4x －y －6＝0可变形为y ＝4x －6，把y ＝4x －6代入x 2－y 24＝1，得3x 2－12x ＋10＝0， 则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103， 所以|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ (1＋16)×⎝⎛⎭⎫42－4×103＝21023. 13．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、实虚轴求方程解 (1)由题意，知a ＝23，所以一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0， 所以|bc |b 2＋12＝3，所以b 2＝3， 所以双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程，消去y 得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，所以⎩⎨⎧ x0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3. 由OM →＋ON →＝tOD →，得(163，12)＝(43t,3t )，所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．四、探究与拓展14．已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2又分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则4e 21＋e 22的最小值为( )A.52 B ．4 C.92D ．9 考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题答案 C解析 由题意设焦距为2c ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，①由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，②又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，③①2＋②2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22，④将④代入③，得a 21＋a 22＝2c 2，∴4e 21＋e 22＝4c 2a 21＋c 2a 22＝4(a 21＋a 22)2a 21＋a 21＋a 222a 22＝52＋2a 22a 21＋a 212a 22≥52＋22a 22a 21·a 212a 22＝92， 当且仅当2a 22a 21＝a 212a 22，即a 21＝2a 22时，取等号，故选C. 15．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F (－2,0)．(1)求双曲线的方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F ，Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l的方程．考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、实虚轴求方程解 (1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有e ＝c a＝2，c ＝2，所以a ＝1，b ＝3，所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)因为直线l 与y 轴相交于点M 且过焦点F (－2,0)， 所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)， 令x ＝0，得M (0,2k )．因为|MQ →|＝2|QF →|且M ，Q ，F 共线于l ，所以MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →.当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ， 所以Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，23k ， 又因为点Q 在双曲线x 2－y 23＝1上， 所以169－4k 227＝1，所以k ＝±212， 所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)． 当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )，代入双曲线方程，得16－4k 23＝1，所以k ＝±352， 所以直线l 的方程为y ＝±352(x ＋2)． 综上，直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2)．。