曲线方程及圆锥曲线的综合问题
考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用
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考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题1.（2013·四川高考理科·Ｔ6）抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）（A ）12（B ）2（C ）1 （D 【解题指南】本题考查的是抛物线与双曲线的基本几何性质，在求解时首先求得抛物线的焦点坐标，然后求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选B ，由抛物线24y x =的焦点(1,0)，双曲线2213yx -=的一条渐近线方程0y -=，根据点到直线的距离公式可得3d =，故选B. 2.（2013·山东高考文科·Ｔ11）与（2013·山东高考理科·Ｔ11）相同抛物线C 1：y=12px 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=（ ）【解题指南】 本题考查了圆锥曲线的位置关系,可先将抛物线化成标准方程,然后再利用过交点的切线平行于C 2的一条渐近线,求得切线斜率,进而求得p 的值.【解析】选 D. 经过第一象限的双曲线的渐近线为3y x =.抛物线的焦点为(0,)2p F ,双曲线的右焦点为2(2,0)F .1'y x p =，所以在200(,)2x M x p处的切线斜率为3，即01x p =，所以03x p =，即三点(0,)2p F ，2(2,0)F，(,)36p M p共线，所以0202p p p--=-，即3p =二、填空题3. （2013·江西高考理科·Ｔ14）抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线22x y 133-=相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.【解题指南】A 、B 、F 三点坐标都能与p 建立起联系，分析可知△ABF 的高为P ，可构造p 的方程解决.【解析】由题意知△ABF 的高为P ，将p y 2=-代入双曲线方程得A ，B 两点的横坐标为x =ABF0tan 60=，从而解得2p 36=，即p 6=.【答案】6.4.（2013·安徽高考理科·Ｔ13）已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点。
高考文数考点解析 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用
曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、填空题1.(2018·北京高考理科·T14)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为.【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的综合应用,意在考查数形结合思想与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.【解析】椭圆,双曲线都关于x轴、y轴对称,所以只需考虑第一象限内的情况.记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P,椭圆左焦点为Q,右焦点为F,由已知,△OPF为正三角形,边长记为2,则高为,所以椭圆半焦距为2,2a=PQ+PF=2+2,a=+1,离心率=-1.双曲线N的一条渐近线斜率为=tan60°=,e2==1+=4,所以离心率为2.答案:-1 2二、解答题2.(2018·全国Ⅲ高考文科·T20)(12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :+=1交于A ,B 两点.线段AB 的中点为M.(1)证明:k <-.(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且++=0.证明:2=+.【命题意图】考查圆锥曲线中的求曲线方程、最值问题,以及定值问题,意在考查知识的运用能力、推理能力、运算能力,培养学生的逻辑推理能力与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养. 【解析】(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由已知,l 的方程为y -m =k (x -1),即y =kx -k +m ,由消去y 得(4k 2+3)x 2+8k (m -k )x +4(m -k )2-12=0,(*) 4k 2+3≠0,Δ>0,由根与系数的关系得,x 1+x 2=-,因为线段AB 的中点为M (1,m )(m >0),所以x 1+x 2=2,解得m =->0,所以k <0,方程(*)变为(4k 2+3)x 2-2(4k 2+3)x +=0,由判别式Δ>0得k 2>,又k <0,所以k <-. (2)设P (x p ,y p ),因为++=0,+=2,所以=-2,易知F (1,0),=(0,m ),所以=(x p -1,y p )=(0,-2m ),所以x p =1,又因为点P 在椭圆C 上, 所以3+4=12,所以|y p |=,2||=2|y p |=3.因为点A 在椭圆C 上,所以3+4=12,=3-,x1<4,所以||2=(x1-1)2+=(x 1-1)2+3-=(x 1-4)2,||=(4-x 1),同理,||=(4-x 2),所以||+||=(4-x 1)+(4-x 2)=[8-(x 1+x 2)]=×(8-2)=3,所以2||=||+||.3.(本小题14分)(2018·北京高考文科·T20)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程.(2)若k=1,求|AB|的最大值.(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q共线,求k.【命题意图】考查圆锥曲线中的求曲线方程,最值问题,以及定值问题,意在考查知识的运用能力,推理能力,运算能力,培养学生的逻辑推理能力与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】(1)由题意得2c=2,所以c=,又e==,所以a=,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆M的标准方程为+y2=1.(2)设直线AB的方程为y=x+m,由消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0,则Δ=36m2-4×4(3m2-3)=48-12m2>0,即m2<4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,x2|=·=,则|AB|=|x,故|AB|的最大值为.易得当m2=0时,|AB|(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则+3=3①,+3=3②,k PA=,直线PA的方程为y=k1(x+2),又P(-2,0),所以可设k由消去y可得(1+3)x2+12x+12-3=0,则x1+x3=-,即x3=--x1,,代入①式可得x3=,又k,所以y所以C,同理可得D.故=,=,因为Q,C,D三点共线,所以-=0,将点C,D的坐标代入化简可得=1,即k=1.。
圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
圆锥曲线大题综合：五个方程型(学生版)
圆锥曲线大题综合归类：五个方程型目录重难点题型归纳 1【题型一】基础型 1【题型二】直线设为：x=ty+m型 4【题型三】直线无斜率不过定点设法：双变量型 7【题型四】面积最值 10【题型五】最值与范围型 13【题型六】定点：直线定点 15【题型七】定点：圆过定点 18【题型八】定值 21【题型九】定直线 23【题型十】斜率型：斜率和定 26【题型十一】斜率型：斜率和 29【题型十二】斜率型：斜率比 31【题型十三】斜率型：三斜率 34【题型十四】定比分点型：a=tb 36【题型十五】切线型 38【题型十六】复杂的“第六个方程” 41好题演练 45重难点题型归纳重难点题型归纳题型一基础型【典例分析】1已知椭圆x2a21+y2b21=1a1>b1>0与双曲线x2a22-y2b22=1a2>0,b2>0有共同的焦点，双曲线的左顶点为A-1,0，过A斜率为3的直线和双曲线仅有一个公共点A，双曲线的离心率是椭圆离心率的3倍.(1)求双曲线和椭圆的标准方程；(2)椭圆上存在一点P x P,y P-1<x P<0,y P>0，过AP的直线l与双曲线的左支相交于与A不重合的另一点B，若以BP为直径的圆经过双曲线的右顶点E，求直线l的方程.1已知F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点，过点P t ,b 的直线l 交C 于不同两点A ,B .当t =a ，且l 经过原点时，AB =6,AF +BF =22.(1)求C 的方程；(2)D 为C 的上顶点，当t =4，且直线AD ,BD 的斜率分别为k 1,k 2时，求1k 1+1k 2的值.题型二直线设为：x =ty +m 型【典例分析】1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为P ，点Q 0,b ，PF 2=1，∠F 1PQ =60°.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 经过点F 2，且与双曲线C 相交于A ，B 两点，若△F 1AB 的面积为610，求直线l 的方程.1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，右顶点为A，离心率为22，B为椭圆C上一动点，△FAB面积的最大值为2+1 2．(1)求椭圆C的方程；(2)经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M，N两点，x轴上点P满足PM=PN，若MN=λFP，求λ的值．题型三直线无斜率不过定点设法：双变量型【典例分析】1已知抛物线：y 2=2px p >0 ，过其焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，与椭圆x 2a 2+y 2=1a >1 交于C 、D 两点，其中OA ⋅OB =-3．(1)求抛物线方程；(2)是否存在直线AB ，使得CD 是FA 与FB 的等比中项，若存在，请求出AB 的方程及a ；若不存在，请说明理由．1已知双曲线E 的顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，过右焦点F 作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点G ，且S △OFG =324.点P 为x 轴正半轴上异于点B 的任意点，过点P 的直线l 交双曲线于C ，D 两点，直线AC 与直线BD 交于点H .(1)求双曲线E 的标准方程；(2)求证：OP ⋅OH 为定值.题型四面积最值【典例分析】1已知椭圆x 23+y 22=1的左、右焦点分别为F 1，F 2．过F 1的直线交椭圆于B ,D 两点，过F 2的直线交椭圆于A ,C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P ．(1)设P 点的坐标为(x 0,y 0)，证明：x 203+y 202<1；(2)求四边形ABCD 的面积的最小值．1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题(海南卷)题型五最值与范围型【典例分析】1设F 1、F 2分别是椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1 ⋅PF 2 =-54，求点P 的坐标；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．1已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)一个顶点A(0,-2)，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．2021年北京市高考数学试题题型六定点：直线定点【典例分析】1已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为-1,△OFM的面积为1．(1)求C的方程；(2)过点F作一条直线l ，交C于A,B两点，试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，四点P 12,2 ，P 20,2 ，P 3-2,2 ，P 42,2 中恰有三点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，若∠AMP 2=2∠ABP 2，试问直线l 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.题型七定点：圆过定点【典例分析】1如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py(p>0)上．(1) 求抛物线E的方程；(2) 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点【变式演练】1已知动点P到点F1,0的距离与到直线l:x=4的距离之比为12，记点P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)曲线E与x轴正半轴交于点M，过F的直线交曲线E于A，B两点(异于点M)，连接AM，BM并延长分别交l于D，C，试问：以CD为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点，若不是，说明理由．【典例分析】1如图，已知抛物线C :x 2=4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ,B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点).(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)与直线y =2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2-|MN 1|2为定值，并求此定值.【变式演练】1已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P (1，2)．过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围；(Ⅱ)设O 为原点，QM =λQO ，QN =μQO ，求证：1λ+1μ为定值．.【典例分析】1已知直线l:x=my-1，圆C:x2+y2+4x=0.(1)证明：直线l与圆C相交；(2)设直线l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；(3)在(2)的条件下，设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【变式演练】1已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，F1F2=23且双曲线E经过点A3,2．(1)求双曲线E的方程；(2)过点P2,1作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足PMPN=MHHN，求证：点H恒在一条定直线上．【典例分析】1已知点F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且tan∠PFO=33.(1)求椭圆的离心率e；(2)已知M1,0，N4,3，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点.设直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=2，求椭圆E的方程.【变式演练】1在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点F(1,0)，且与直线x=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ.(Ⅰ)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)过点F的两条直线l1、l2与曲线Γ相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为AB、CD的中点.设l1与l2的斜率依次为k1、k2，若k1+k2=-1，求证：直线MN恒过定点.【典例分析】1设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，A-2,0，B2,0分别是椭圆的左、右顶点，动直线l过点C6,0，当直线l经过点D-2,2时，直线l与椭圆相切.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l与椭圆交于P，Q(异于A，B)两点，且直线AP与BQ的斜率之和为-12，求直线l的方程.【变式演练】1已知点M1,3 2在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线MA和MB的斜率之和满足：k MA+k MB=-1.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为1的直线交椭圆于P，Q两点，椭圆上是否存在定点T，使直线PT和QT的斜率之和满足k PT+k QT=0(P，Q与T均不重合)？若存在，求出T点坐标；若不存在，说明理由.【典例分析】1已知圆F 1:x 2+y 2+2x -15=0和定点F 2(1,0),P 是圆F 1上任意一点，线段PF 2的垂直平分线交PF 1于点M ，设动点M 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)设A (-2,0),B (2,0)，过F 2的直线l 交曲线E 于M ，N 两点(点M 在x 轴上方)，设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1,k 2，求证：k 1k 2为定值．【变式演练】1已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >0，b >0)，离心率e =55，P 为椭圆上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，若△PF 1F 2的周长为2+25.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知四边形ABCD (端点不与椭圆顶点重合)为椭圆的内接四边形，且AF 2 =λF 2C ，BF 2 =μF 2D ，若直线CD 斜率是直线AB 斜率的52倍，试问直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由.江西省重点中学协作体2023届高三下学期第一次联考数学(理)试题题型十三斜率型：三斜率【典例分析】1已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，且P1,32在椭圆C上，PF垂直于x轴.(1)求椭圆C的方程.(2)过点F的直线l交椭圆C于A,B(异于点P)两点，D为直线l上一点.设直线PA,PD,PB的斜率分别为k1,k2,k3，若k1+k3=2k2，证明：点D的横坐标为定值.【变式演练】1在平面内动点P与两定点A1(-3,0),A2(3,0)连线斜率之积为-23．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0)，过点P作轨迹E的切线其斜率记为k(k≠0)，当直线PF1,PF2斜率存在时分别记为k1,k2．探索1k⋅1k1+1k2是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．题型十四定比分点型：a =tb【典例分析】1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，倾斜角为30°的直线过椭圆的左焦点F 1和上顶点B ，且S △ABF 1=1+32(其中A 为右顶点).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点M (0,m )的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且PM =2MQ ，求实数m 的取值范围.【变式演练】1已知点M ，N 分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点与上顶点，原点O 到直线MN 的距离为32，且椭圆的离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率不为0的直线经过椭圆右焦点F 2，并且与椭圆交于A ，B 两点，若AF 2 =12F 2B ，求直线AB 的方程．题型十五切线型【典例分析】1法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中，离心率e =12，左、右焦点分别是F 1、F 2，上顶点为Q ，且QF 2 =2，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程，并请直接写出椭圆C 的蒙日圆的方程；(2)设P 是椭圆C 外一动点(不在坐标轴上)，过P 作椭圆C 的两条切线，过P 作x 轴的垂线，垂足H ，若两切线斜率都存在且斜率之积为-12，求△POH 面积的最大值.【变式演练】1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，三角形AF1F2的周长为6，面积为3．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点M是椭圆C外一点，过点M所作椭圆的两条切线互相垂直，求三角形AF2M面积的最大值．题型十六复杂的“第六个方程”【典例分析】1如图，已知点B2,1，点N为直线OB上除O，B两点外的任意一点，BK，NH分别垂直y轴于点K，H，NA⊥BK于点A，直线OA，NH的交点为M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若E3,0，C，G是点M的轨迹在第一象限的点(C在G的右侧)，且直线EC，EG的斜率之和为0，若△CEG的面积为152，求tan∠CEG.【变式演练】1已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点且与l平行的直线与椭圆交于点P.求SΔPAN⋅SΔPAM(SΔAOP)2的值.好题演练1(2023·贵州毕节·统考模拟预测)已知椭圆C的下顶点M，右焦点为F，N为线段MF的中点，O为坐标原点，ON=32，点F与椭圆C任意一点的距离的最小值为3-2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l：y=kx+m k≠0与椭圆C交于A，B两点，若存在过点M的直线l ，使得点A与点B关于直线l 对称，求△MAB的面积的取值范围.2(2023·天津南开·统考二模)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，坐标原点O到直线AD的距离为255.(1)求椭圆的方程；(2)过A点作两条互相垂直的直线AP，AQ与椭圆交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值.3(2023·河北·统考模拟预测)已知直线l ：x =12与点F 2,0 ，过直线l 上的一动点Q 作直线PQ ⊥l ，且点P 满足PF +2PQ ⋅PF -2PQ =0．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作直线与C 交于A ，B 两点，设M -1,0 ，直线AM 与直线l 相交于点N ．试问：直线BN 是否经过x 轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．4(2023·北京东城·统考二模)已知焦点为F 的抛物线C :y 2=2px (p >0)经过点M (1,2)．(1)设O 为坐标原点，求抛物线C 的准线方程及△OFM 的面积；(2)设斜率为k (k ≠0)的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ,B ，若以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．5(2023·四川自贡·统考三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =22，设A 62,12 ，B -62,12，P 0,2 ，其中A ，B 两点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 的直线交椭圆C 于M ，N 两点(M 在线段AB 上方)，在AN 上取一点H ，连接MH 交线段AB 于T ，若T 为MH 的中点，证明：直线MH 的斜率为定值．6(2023·江西赣州·统考二模)在平面直角坐标系xOy 中，F 1(-1,0)，F 2(1,0)，点P 为平面内的动点，且满足∠F 1PF 2=2θ，PF 1 ⋅PF 2 cos 2θ=2．(1)求PF 1 +PF 2 的值，并求出点P 的轨迹E 的方程；(2)过F 1作直线l 与E 交于A 、B 两点，B 关于原点O 的对称点为点C ，直线AF 2与直线CF 1的交点为T ．当直线l 的斜率和直线OT 的斜率的倒数之和的绝对值取得值最小值时，求直线l 的方程．7(2023·四川乐山·统考三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (2,0)，短轴长等于焦距．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线交C 于P ，Q ，交直线x =22于点N ，记OP ，OQ ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，若(k 1+k 2)k 3=1，求|OP |2+|OQ |2的值．8(2023·贵州贵阳·统考模拟预测)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 与椭圆C 2：x 22+y 2=1的离心率相等，C 1的焦距是22．(1)求C 1的标准方程；(2)P 为直线l ：x =4上任意一点，是否在x 轴上存在定点T ，使得直线PT 与曲线C 1的交点A ，B 满足PA PB =AT TB？若存在，求出点T 的坐标．若不存在，请说明理由．。
100道圆锥曲线大题综合
圆锥曲线大题综合----学而思黎根飞老师一、轨迹方程（10道）1．动圆P 与定圆22:4320B x y y +--=相内切，且过点()02A -，，求动圆圆心P 的轨迹方程．【解析】 如图所示，设动圆P 的半径为r ，圆B 的方程可化为()22236x y +-=．又动圆P 过点()02A -，，从而r PA =， 6PB PA +=．则点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 且26a =，24c =， 即3a =，2c =，b =．故所求点P 的轨迹方程为22195y x +=．2．求到两不同定点距离之比为一常数(0)λλ≠的动点的轨迹方程．【解析】 以两不同定点A B ，所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．设()P x y ，是轨迹上任一点，(0)(0)(0)A a B a a ->，，，． 由题设得PA PB λ==∴22222(1)()(1)20x y a ax λλ-++++=．当1λ=时，方程0x =表示一条直线． 当1λ≠时，方程为2222221211a x a y λλλλ⎛⎫+⎛⎫++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，表示一个圆． 所以当1λ=时，点的轨迹是一条直线；当1λ≠时，点的轨迹是一个圆．3．已知定点(30)，B ，点A 在圆221x y +=上运动，M 是线段AB 上的一点，且13AM MB =，则点M 的轨迹方程是___________．【解析】 设11()()，，，M x y A x y ．∵13AM MB = ，∴111()(3)3，，x x y y x y --=--，∴111(3)313x x x y y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，∴1141343x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∵点A 在圆221x y +=上运动，∴22111x y +=，∴22441133x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2239416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴点M 的轨迹方程是2239416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．4．已知点A B ，分别是射线()1:0l y x x =≥，()2:0l y x x =-≥上的动点，O 为坐标原点，且OAB ∆的面积为定值2，求线段AB 中点M 的轨迹C 的方程．【解析】 由题可设()11A x x ，，()22B x x -，，()M x y ，，其中1200x x >>，．则121222x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，①，②∵OAB ∆的面积为定值2，∴)121211222OAB S OA OB x x ∆=⋅===．22-①②，消去12x x ，，得：222x y -=．由于1200x x >>，，∴0x >，所以点M 的轨迹方程为222x y -=（0x >）．5．一条变动的直线l 与椭圆24x +22y =1交于P 、Q 两点，M 是l 上的动点，满足关系2MP MQ ⋅=．若直线l 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．【解析】 设动点(,)M x y ，动直线l ：y x m =+，并设11(,)P x y ，22(,)Q x y 是方程组22,240y x m x y =+⎧⎨+-=⎩的解，消去y ，得2234240x mx m ++-=， 其中221612(24)0m m ∆=-->，∴m <<且1243m x x +=-，212243m x x -=，又∵1MP x =-，2MQ x =-．由2MP MQ ⋅=，得121x x x x -⋅-=， 也即21212()1x x x x x x -++=，于是有22424133mx m x -++=． ∵m y x =-，∴22243x y +-=．由22243x y +-=，得椭圆222177x x +=夹在直线y x =且不包含端点．由22243x y +-=-，得椭圆2221x y +=．6． 已知点(30)P -，，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，且0PA AQ ⋅=．点M 在直线AQ 上，满足32AM MQ =-．当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程．【解析】 设点M 的坐标为()x y ，，则由32AM MQ =- 得(0)2yA -，由0PA AM ⋅= 得23(3)()0422y x y y x -⋅=⇒=，，∴所求动点M 的轨迹C 的方程为24y x =．7．已知ABC ∆中，A B C ∠∠∠，，所对的边分别为a b c ，，，且a c b >>成等差数列，2AB =，求顶点C 的轨迹方程．【解析】 由2c =，2a b c +=得：4a b +=，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中垂线所在的直线为y 轴建立直角坐标系，则A 点坐标为(10)-，，B 点坐标为(10)，， 设()C x y ，，则有4AC BC +=，即4+=，4x =-，两边再次平方化简得：223412x y +=；要构成三角形，必须满足C 点不在x 轴上，即0y ≠，故2x ≠±， 又a b >，即BC AC >>，解得0x <， 故所求的C 点的轨迹方程为223412x y +=(0x <且2)x ≠-．8．设()0A a -，，()0B a ，()0a >，已知直线MA 与MB 的斜率乘积为定值m ，求动点M 的轨迹方程，并根据m 地不同值讨论曲线的形状．【解析】 设动点M 的坐标为()x y ，，则直线MA 与MB 的斜率分别为MA yk x a=+， MB yk x a=-，依题意，得 222MA MBy y y k k m x a x a x a ⋅=⋅==+--， 化简，得222mx y a m -=，即为所求． 显然，当0m =时，方程表示直线0y =； 当0m <时，方程可化为22221x y a a m +=；1m =-时，方程表示圆222x y a +=； 1m <-时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆； 10m -<<时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆．当0m >时，方程可化为22221x y a a m-=，方程表示焦点在x 轴上的双曲线．9．如图，过()24P ，作互相垂直的直线1l 、2l ，若1l 交x 轴于点A ，2l 交y 轴于点B ，求线段AB 的中点轨迹方程．【解析】 解法一：（直接法）设()M x y ，是所求轨迹上任意一点，则A 、B 两点的坐标分别为()20A x ，、()02B y ，，∵M 为线段AB 的中点，连接PM ，∵PA PB ⊥，∴2PM AB =，∴=250x y +-=，即为所求轨迹方程． 解法二：（直接法）设M 的坐标为()x y ，，∵M 为线段AB 的中点，∴A B 、两点的坐标分别为()20A x ，、()02B y ，，∵PA PB ⊥，∴1PA PB k k ⋅=-，即()404211220yx x --⋅=-≠-2-整理得：()2501x y x +-=≠，当1x =时，A 、B 两点的坐标分别为()20A ，、()04B ，，线段AB 的中点为()12，仍满足250x y +-=．综上所述，所求轨迹方程为250x y +-=． 解法三：（直接法）设M 的坐标为()x y ，，∵PA PB ⊥，OA OB ⊥，且M 为线段AB 的中点，∴四边形OAPB 是圆内接四边形，且M 为圆心，∴OM MP =，∴x=，整理得：250x y +-=，即为所求轨迹方程． 解法四：（相关点法）设M 的坐标为()x y ，，A 、B 两点的坐标分别为()0A a ，，()0B b ，，则22a xb y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22a xb y =⎧⎨=⎩， ∵PA PB ⊥，∴222PA PB AB +=，∴()()()()22222222422422x y x y -+++-=+，整理得：250x y +-=，即为所求轨迹方程． 解法五：（参数法）设直线1l 的方程为：()()420y k x k -=-≠，因为12l l ⊥，且2l 过点()24P ，，所以2l 的方程为：()142y x k -=--，所以420A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，、204B k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，设A B 、的中点M 的坐标为()x y ，，则42022242k x k y ⎧-+⎪=⎪⎪⎨⎪++⎪=⎪⎩，即2112x k y k⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数k 得：250x y +-=，即为所求轨迹方程．10．已知动点P 与双曲线221x y -=的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为13-，求动点P 的轨迹方程．【解析】∵221x y-=，∴c ． 设1PF m =，2PF n =，则2m n a +=（常数0a >），所以点P 是以12F F 、为焦点，2a 为长轴的椭圆，22a c>=，∴a >． 由余弦定理，有()222222121212224cos 122m n F F m n mn F F a F PF mn mn mn +=+---===-∠．∵222m n mn a +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，∴当且仅当m n -时，mn 取得最大值2a ．此时12cos F PF ∠取得最小值22241a a --．由题意2224113a a --=-，解得23a =． ∴222321b a c =-=-=．∴P 点的轨迹方程为2213x y +=．二、弦长面积（30道）11．已知椭圆22:14y C x +=，过点(03)M ，的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ．⑴若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；⑵设P 为椭圆上一点， 且OA OB OP λ+=(O 为坐标原点)．求当AB <时，实数λ的取值范围．【解析】 ⑴设11()A x y ，，因为A 为MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所以， 又因为点11()A x y ，在椭圆C 上所以221114y x +=，即219116x +=，解得1x =，则点A的坐标为342⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或42⎛⎫3 ⎪ ⎪⎝⎭，， 所以直线l的方程为7210y -+=或7210y +-=．⑵设直线AB 的方程为3y kx =+或0x =，11()A x y ，，22()B x y ，，33()P x y ，，当AB 的方程为0x =时，4AB => 当AB 的方程为3y kx =+时：由题设可得A 、B 的坐标是方程组22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解，消去y 得22(4)650k x kx +++=，所以22(6)20(4)0k k =-+>△即25k >，则12264k x x k -+=+，12254x x k ⋅=+，1212224(3)(3)4y y kx kx k +=+++=+，因为AB =<<，解得216813k -<<， 所以258k <<．因为OA OB OP λ+=，即112233()()()x y x y x y λ+=，，，，所以当0λ=时，由0OA OB +=，得122604k x x k -+==+，1222404y y k +==+， 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；当0λ≠时，12326(4)x x k x k λλ+-==+，123224(4)y y y k λλ+==+， 因为点33()P x y ，在椭圆上，所以222261241(4)4(4)k k k λλ⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦， 化简得22364k λ=+，因为258k <<，所以234λ<<，132y =则()22λ∈-，．综上，实数λ的取值范围为()22-，．12．设椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>∶，其相应于焦点(20)F ，的准线方程为4x =．⑴求椭圆C 的方程；⑵已知过点()120F -，倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A B ，两点，求证：22cos AB θ=-；⑶过点()120F -，作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A B 、和D E 、，求AB DE +的最小值．【解析】 ⑴由题意得：222224c a c a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩∴2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为22184x y +=⑵方法一：由⑴知()120F -，是椭圆C的左焦点，离心率e 设l 为椭圆的左准线．则4l x =-∶作1AA l ⊥于1A ，1BB l ⊥于1B ，l 与x 轴交于点H (如图) ∵点A 在椭圆上∴11AF =)11cos 2F H AF θ=+1cos θ=∴1AF =，同理1BF =∴1122cos AB AF BF θ=+=+=-． 方法二：当π2θ≠时，记tan k θ=，则直线AB 方程为(2)y k x =+将其代入方程：2228x y +=得：2222(12)88(1)0k x k x k +++-= 设()11A x y ，，()22B x y ， ，则1x ，2x 是此二次方程的两个根． ∴2122812k x x k +=-+，()21228112k x x k -=+AB ===)22112k k +==+① B A∵22tan k θ=，代入①式得AB =②当π2θ=时，AB =仍满足②式．∴AB = ⑶设直线AB 的倾斜角为θ，由于DE AB ⊥，由⑵可得AB =，DE =22sin 24AB DE θ+===+ 当π4θ=或3π4θ=时，AB DE +取得最小值3．13．设A 、B分别是直线5y x =和5y x =-上的两个动点，并且AB = 点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ．⑴ 求轨迹C 的方程；⑵ 若点D 的坐标为()016，，M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．【解析】 ⑴ 设()P x y ，，∵A ，B分别为直线5y x =和5y x =-上的点，故可设11A x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、22B x ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，． ∵OP OA OB =+ ，∴)1212x x x y x x =+⎧⎪⎨-⎪⎩，∴12122x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩又AB =∴()()2212124205x x x x -++=． ∴22542045y x +=， 即轨迹C 的方程为2212516x y +=．⑵ 设()N s t ，，()M x y ，，则由DM DN λ=，可得()()1616x y s t λ-=-，，．故x s λ=，()1616y t λ=+-． ∵点M 、N 在曲线C 上， ∴()2222212516161612516s t t s λλλ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪+=⎪⎩ 消去s 得()()22216161611616t t λλλ--++=．由题意知0λ≠，且1λ≠， 得17152t λλ-=． 又4t ≤， ∴171542λλ-≤，解得()35153λλ≠≤≤． 故实数λ的取值范围是()35153λλ≠≤≤．14．已知：圆221x y +=过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点；直线y kx m =+与圆221x y +=相切，与椭圆22221x y a b+=相交于A ，B 两点．记OA OB λ=⋅ ，且2334λ≤≤．（1）求椭圆的方程；（2）求k 的取值范围；（3）求OAB △的面积S 的取值范围．【解析】 （Ⅰ）由题意知22c =，1c =，因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而1b =．故a所求椭圆方程为2212x y +=（Ⅱ）因为直线l ：y kx m =+与圆221x y +=相切所以原点O 到直线l1=，即：221m k =+又由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，()222124220k x kmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122412km x x k -+=+，21222212m x x k -=+()()22121212121OA OB x x y y k x x km x x m λ=⋅=+=++++22112k k λ+=+，且2334λ≤≤，故2112k ≤≤， 即k的范围为1122⎡⎤--⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∪， （Ⅲ）()()()()222221212121214AB x x y y k x x x x ⎡⎤=-+-=++-⎣⎦()222221k =-+，由2112k ≤≤，得：423AB ≤ 1122S AB d AB ==，所以：243S ≤≤ 15．已知点M 、N的坐标分别是()0、)0，直线PM 、PN 相交于点P ，且它们的斜率之积是12-．⑴ 求点P 的轨迹方程；⑵ 直线:l y kx m =+与圆22:1O x y +=相切，并与点P 的轨迹交于不同的两点A 、B．当43AB ⎫∈⎪⎪⎣⎭，时，求OA OB ⋅ 的取值范围． 【解析】 ⑴设()P x y ，，则(12MP NP k k x ⋅==-≠，整理得(2212x y x +=≠⑵∵圆O 与直线l 相切，1=，即221m k =+当直线l 过M 或N点时，有0k m +=，由2201k m m k ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，，解得1k =±， ∵直线l 与点P 的轨迹交于不同的两点A 、B ，且M 、N 不在点P 的轨迹上， ∴1k ≠± ①由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得222(12)4220k x kmx m +++-=，设11()A x y ，，22()B x y ，，122412km x x k +=-+，21222212m x x k -⋅=+，AB ===将221m k =+代入上式得AB =又43AB ⎫∈⎪⎪⎣⎭，，424238()1624()19k k k k +<++≤，得 424242428()164()198()34()12k k k k k k k k ⎧+<⎪++⎪⎨+⎪⎪++⎩，，≥22220(2)(1)0(21)(23)k k k k ⎧+-<⎪⇒⎨-+⎪⎩，，≥2112k ⇒<≤．② 由①和②得2112k <≤，22121212121212()()(1)()+OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=+++22222224(1)1212m mkk km m k k--=+⋅+⋅+++，将221m k =+代入，得 222111112221k OA OB k k +⎛⎫⋅==+ ⎪++⎝⎭，∵2112k <≤∴2334OA OB ⎛⎤⋅∈ ⎥⎝⎦，．16．已知圆C 的方程为224x y +=，过点(24)M ，作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B 直线恰好经过椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>的右顶点和上顶点．⑴ 求椭圆T 的方程⑵已知直线:0)l y kx k =+>与椭圆T 相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，求OPQ △面积的最大值．【解析】 ⑴由题意:一条切线方程为:2x =，设另一条切线方程为:4(2)y k x -=-则2=，解得:34k =，此时切线方程为:3542y x =+切线方程与圆方程联立得:65x =-，85y =，则直线AB 的方程为22x y +=令0x =，解得1y =，∴1b =；令0y =，得2x =，∴2a = 故所求椭圆方程为2214x y +=⑵联立221.4y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理得22(14)80k x +++=，令11()P x y ，，22()Q x y ，，则12214x x k -+=+，122814x x k=+，()2232(14)0k =-+>△，即:2210k ->原点到直线l的距离为d =，12PQ x =-，∴1212OPQS PQ d x =⋅=-==△1==当且仅当2k =时取等号，则OPQ △面积的最大值为117．如图，已知定点(10)F -，，(10)N ，，以线段FN为对角线作周长是边形MNEF ．平面上的动点G 满足2OG =(O 为坐标原点)． ⑴ 求点E 、M 所在曲线1C 的方程及动点G 的轨迹2C 的方程；⑵ 已知过点F 的直线l 交曲线1C 于点P 、Q ，交轨迹2C 于点A 、B，若(||AB ∈，求NPQ △的内切圆的半径的取值范围．【解析】 ⑴因为四边形MNEF为周长为E 到点F 、N的距离之和是又2NF =<，故由椭圆的定义知，曲线1C为椭圆，a 1c =，1b =．故曲线1C 的方程为2212x y +=．由2OG =，动点G 的轨迹为以坐标原点O 为圆心，2为半径的圆，其方程为224x y +=．⑵当l x ⊥轴时，将1x =-代入224x y +=得y =所以(AB =， 所以直线l 不垂直于x 轴，设直线l 的方程为(1)y k x =+， 圆2C 的圆心(00)O ，到直线l的距离d =，由圆的几何性质得，||AB ===由(||AB ∈，解得213k >． 联立方程22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得2212210y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭．设11()P x y ，，22()Q x y ，，NPQ 内切圆半径为R ， 则1222221122k ky y k k +==++，2122211122k y y k k-=-=++，因为()121122NF y y R PN PQ QN ⋅-=⋅⋅++， 其中，2NF =，PN PQ QN ++=，所以12R y -．而12y y -=== 因为213k >，所以221161(12)25k ->+，所以，NPQ △的内切圆半径的取值范围为2152⎛⎫⎪⎝⎭，．18．已知1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，且离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F △的内切圆面积的最大值为4π3． ⑴ 求椭圆的方程；⑵ 若A 、B 、C 、D 是椭圆上不重合的四个点，满足向量1F A 与1FC共线，1F B 与1F D 共线，且0AC BD ⋅=，求AC BD + 的取值范围．【解析】 ⑴由几何性质可知:当12PF F △内切圆面积取最大值时，即12PF F S △取最大值，且12max 1()22PF F S c b bc ⋅⋅=△． 由24ππ3r =得3r =又1222PF F C a c =+△为定值，12122PF F PF F rS C =△△，综上得22bc a c =+；又由12c e a ==，可得2a c =，即b =，经计算得2c =，b =4a =， 故椭圆方程为2211612x y +=．①⑵当直线AC 与BD 中有一条直线垂直于x 轴时，6814AC BD +=+=． ②当直线AC 斜率存在但不为0时，设AC 的方程为:(2)y k x =+，由22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222(34)1616480k x k x k +++-=，代入弦长公式得:2224(1)34k AC k +=+ ，同理由221(2)11612y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 可得2222111341616480x x k k k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 代入弦长公式得:2224(1)34k BD k +=+ ，所以2222222168(1)16811(34)(43)121(1)k AC BD k k k k ++==+++-++ 令21(01)1t k =∈+，，则24912124t t ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦，，所以96147AC BD ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，，由①②可知，AC BD + 的取值范围是96147⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．19．已知点A是圆(221:16F x y ++=上任意一点，点2F 与点1F 关于原点对称．线段2AF 的中垂线m 分别与12,AF AF 交于M 、N 两点．⑴ 求点M 的轨迹C 的方程；⑵ 设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P 、Q 两点，满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求OPQ △面积的取值范围．【解析】 ⑴由题意得，()10F，)20F ，圆1F 的半径为4，且2MF MA =从而121112||||||||||4||MF MF MF MA AF F F +=+==>∴点M 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的椭圆，其中长轴24a =，得到2a =，焦距2c =1b =， 椭圆方程为：2214x y +=⑵由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，11()P x y ，，22()Q x y ，，由22440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 得222(14)8km 4(1)0k x x m +++-=， 则22222226416(14)(1)16(41)0k m k m m k m =-+-=-+>△，且122814km x x k -+=+，21224(1)14m x x k -=+，故2212111212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++， 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以2221212121212()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==，即22228014k m m k-+=+，又0m ≠， 所以214k =，即12k =±， 由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且0>△，得202m <<且21m ≠， 原点到O 到PQ的距离d，1122OPQ S PQ d =⋅⋅=△12m ==202m <<∵且21m ≠，∴OPQ S △的取值范围为(01)，.综上所述OPQ S △的取值范围为(]01，.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率2e =，以坐标原点O 为圆心，半径为c （c 为椭圆的半焦距）的圆与直线l：3y =+相切．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l 与圆O 的公共点为M ，与椭圆C 的公共点为N ，求OMN △的面积．【解析】 根据题意，圆的方程为222x y c +=．于是可得圆心()00O ，到直线l30y +-=的距离为c ， 2分c =，c =．又∵c e a ==，∴2a =． 4分 ∴2221b a c =-=．6分 ∴椭圆的方程为2214x y +=．6分（Ⅱ）由22314y x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得29320x -+=．8分设()11N x y ，，则13x =，113y =，即直线与椭圆相切，N 为切点．∴3ON =．又OM =∴3MN ===， 10分∴112232OMN S MN OM =⋅⋅=⨯=△．12分21．已知点()44P ，，圆C ：()()2253x m y m -+=<与椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）有一个公共点()31A ，，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，直线1PF 与圆C 相切． （Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程；（Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ⋅的范围．【解析】 （Ⅰ）点A 代入圆C 方程，得()2315m -+=．∵3m <，∴1m =圆C ：()2215x y -+=．设直线1PF 的斜率为k ，则1PF ：()44y k x =-+，即440kx y k --+=． ∵直线1PF 与圆C=．解得112k =，或12k =． 当112k =时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意舍去． 当12k =时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为4-， ∴4c =．()140F -，，()240F ，．122a AF AF =+==，a =，218a =，22b =．椭圆E 的方程为：221182x y += （Ⅱ）()13AP = ，，设()Q x y ，，()()33136AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-．∵221182x y +=,即()22318x y +=， 而()22323x y x y +⋅≥，∴18618xy -≤≤．则()()22336186x y x y xy xy 2+=++=+的取值范围是[]036，3x y +的取值范围是[]66-，．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[]120-，22． 已知椭圆22:14y C x +=，过点(01)M ，的直线l 与椭圆C 相交于两点A 、B ．⑴若l 与x 轴相交于点P ，且P 为AM 的中点，求直线l 的方程；⑵设点102N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求NA NB + 的最大值．【解析】 ⑴设11()A x y ，，因为P 为AM 的中点，且P 的纵坐标为0，M 的纵坐标为1，所以1102y +=，解得11y =-，又因为点11()A x y ，在椭圆C 上，所以221114y x +=，即21114x +=，解得12x =，则点A的坐标为1⎫-⎪⎪⎝⎭或1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以直线l的方程为330y -+=，或330y +-=．⑵设11()A x y ，，22()B x y ，，则1112NA x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，2212NB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，所以1212(1)NA NB x x y y +=++-，，则NA NB +=，当直线AB 的斜率不存在时，其方程为0x =，(02)A ，，(02)B -，，此时1NA NB +=；当直线AB 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+， 由题设可得A 、B 的坐标是方程组22114y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解，消去y 得22(4)230k x kx ++-=所以22(2)12(4)0k k =++>△，12224kx x k -+=+，则121228(1)(1)4y y kx kx k +=+++=+， 所以22222222281211144(4)k k NA NB k k k --⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭≤， 当0k =时，等号成立,即此时NA NB +取得最大值1．综上，当直线AB 的方程为0x =或1y =时，NA NB +有最大值1．23．如图，四边形ABCD 的顶点都在椭圆22163x y +=上，对角线AC 、BD 互相垂直且平分于原点O ．⑴若点A 在第一象限，直线AB 的斜率为1，求直线AB 的方程； ⑵求四边形ABCD 面积的最小值．【解析】 ⑴设()11A x y ，，()22B x y ，，直线AB 的方程为y x b =+∵四边形ABCD 的顶点都在椭圆22163x y +=上∴2226y x b x y =+⎧⎨+=⎩，∴()2226x x b ++=， 即2234260x bx b ++-=则()()222161226890b b b ∆=--=-> 1243b x x +=-，212263b x x -=∴()()()212121212y y x b x b x x b x x b =++=+++ 2222264633b b b b ---=+=又OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=∴231203b -=∴24b =，2b =±∵点A 点在第一象限∴2b =- 所以直线AB 的方程为2y x =-⑵①若直线AB x ⊥轴，设其方程为0x x =，此时易知直线AC 、BD 的方程分别为y x =，y x =-，且四边形ABCD 是正方形，则()00A x x ，，()00B x x -，，2200163x x +=，202x =，四边形ABCD 的面积()2200248S x x ===②若直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，()11A x y ，，()22B x y ，，2226y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，∴()2226x kx m ++=， 即()222214km 260k x x m +++-=则()()()2222222222164212682263k m k m k m k m m k ⎡⎤∆=-+-=-+--⎣⎦()228630k m =+->122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+∴()()()2212121212km y y kx m kx m k x x x x m =++=+++()22222222222264262121k m k m k m m m k k k --++-==++又OA OB ⊥，所以2222212122226636602121m m k m k OA OB x x y y k k -+---⋅=+===++∴2222m k =+所以12AB x x ==-===直角三角形OAB 斜边AB 上的高h =所以12OABS h AB ∆===2==， 当且仅当0k =时取得此最小值，此时min 8S =综上所述，四边形ABCD 面积的最小值为8．24．已知椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+．⑴求椭圆M 的方程；⑵设直线l 与椭圆M 交于A B ，两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC △面积的最大值．【解析】 ⑴因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+所以226a c +=+，又椭圆的离心率为3，即3c a =，所以3c =，所以3a =，c =所以1b =，椭圆M 的方程为2219x y +=．⑵法一：不妨设BC 的方程()()30y n x n =->，，则AC 的方程为1(3)y x n=--．由22(3),19y n x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222169109n x n x n ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 设()11A x y ，，()22B x y ，，因为222819391n x n -=+，所以22227391n x n -=+，同理可得2122739n x n -=+，所以26||91BC n =+，22266||99n AC n n =++， 2222121136(1)||||22(91)(9)1649ABC n n n n S BC AC n n n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=⋅⋅=⋅=++⎛⎫++⎪⎝⎭△， 设12t n n =+≥，则22236464899t S t t t ==++≤，当且仅当83t =时取到等号，所以ABC △面积的最大值为38．法二：不妨设直线AB 的方程x ky m =+．由2219x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=， 设11()A x y ，，22()B x y ，，则有12229km y y k +=-+，212299m y y k -=+． ①因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 0CA CB ⋅=．由 ()()112233CA x y CB x y =-=- ，，，，得 1212(3)(3)0x x y y --+=． 将1122x ky m x ky m =+=+，代入上式，得 221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=．将 ① 代入上式，解得 125m =或3m =（舍）所以125m =（此时直线AB 经过定点1205D ⎛⎫⎪⎝⎭，，与椭圆有两个交点），所以121||||2ABC S DC y y ∆=-12= 设211099t t k =<+，≤，则ABC S ∆． 所以当25102889t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，时，ABC S △取得最大值38．25．已知椭圆W 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为3，两条准线间的距离为6．椭圆W 的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆W 交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C ． ⑴求椭圆W 的方程；⑵求证：CF FB λ=(λ∈R )； ⑶求MBC ∆面积S 的最大值．【解析】 ⑴ 设椭圆W 的方程为22221x y a b+=，由题意可知2222,26,c a a b c a c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪⋅=⎪⎩解得a =，2c =，b ， 所以椭圆W 的方程为22162x y +=．⑵ 解法1：因为左准线方程为23a x c=-=-，所以点M 坐标为(30)-，．于是可设直线l 的方程为(3)y k x =+．22(3),162y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(13)182760k x k x k +++-=． 由直线l 与椭圆W 交于A 、B 两点，可知2222(18)4(13)(276)0k k k ∆=-+->，解得223k <．设点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则21221813k x x k -+=+，212227613k x x k-=+，11(3)y k x =+，22(3)y k x =+． 因为(2,0)F -、11(,)C x y -，所以11(2,)FC x y =+- ，22(2,)FB x y =+．又因为1221(2)(2)()x y x y +-+- 1221(2)(3)(2)(3)x k x x k x =+++++ 1212[25()12]k x x x x =+++2222541290[12]1313k k k k k --=++++2222(5412901236)013k k k k k --++==+，所以CF FB λ=．解法2：因为左准线方程为23a x c=-=-，所以点M 坐标为(30)-，．于是可设直线l 的方程为(3)y k x =+，点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ， 则点C 的坐标为11(,)x y -，11(3)y k x =+，22(3)y k x =+． 由椭圆的第二定义可得 22113||||||3||x y FB FC x y +==+， 所以B ，F ，C 三点共线，即CF FB =． ⑶ 由题意知1211||||||||22S MF y MF y =+121||||2MF y y =⋅+ 121|()6|2k x x k =++ 23||13k k =+313||||k k =≤=+，当且仅当213k =时“=”成立，所以MBC ∆面积S的最大值为2．26．如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒． ⑴ 求该椭圆的离心率；⑵ 设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D 、E 两点，记GFD △的面积为1S ，OED △（O 为原点）的面积为2S ，求12S S 的取值范围．【解析】 ⑴依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点(0,)b 时，其倾斜角为60︒设 (,0)F c -，则tan 60bc︒==．将 b = 代入 222a b c =+，解得 2a c =． 所以椭圆的离心率为 12c e a ==．⑵由⑴，椭圆的方程可设为2222143x y c c+=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．依题意，直线AB 不能与,x y 轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=，整理得222222(43)84120k x ck x k c c +++-=．则 2122843ck x x k -+=+， 121226(2)43ck y y k x x c k +=++=+，22243(,)4343ck ckG k k -++．因为 GD AB ⊥，所以 2223431443Dck k k ck x k +⨯=---+，2243D ck x k -=+． 因为 △GFD ∽△OED ，所以 2222222212222243()()||434343||()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k ---++++==-+ 222242222242(3)(3)99999()ck ck c k c k ck c k k ++===+>．所以12S S 的取值范围是(9,)+∞． 27．已知1F ,2F 分别是椭圆15:22=+y x E 的左、右焦点，1F ,2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点.⑴求圆C 的方程;⑵设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ,b .当ab 最大时,求直线l 的方程.【解析】 ⑴ 先求圆C 关于直线02=-+y x 对称的圆D,由题知圆D 的直径为12F F ，所以圆D 的圆心0,0D （），半径2r c ===，圆心0,0D （）与圆心C 关于直线02=-+y x 对称(2,2)C ⇒⇒圆C 的方程为：22(2)(2)4x y -+-=.⑵由⑴知2F (2,0), ,据题可设直线l 方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线l 可被圆和椭圆截得2条弦,符合题意.圆C:4)2()2(22=-+-y x 到直线l 的距离=.⇒在圆中，有勾股定理得： 22222444(41m 1m m b =-=++.设直线与椭圆相交于点1122(,),(,)E x y F x y ，联立直线和椭圆方程，整理得：5204544)(0145(22212122+=++-=++=+⇒=-++m m m my y m x x my y m ）由椭圆的焦半径公式 得:51525)(210)(5252222121++⋅=+-=+-=m m x x x x a5158m 14515222222++⋅=+⋅++⋅=∴m m m m ab .令()0()5f x x y f x x =≥⇒=+在[0,3]上单调递增，在[3,)+∞上单调递减令()(3)f x f ≤⇒当23m =时，ab 取最大值，这时直线方程为： 2.x =+所以当ab 取最大值，直线方程为2x =+。
圆锥曲线的综合经典例题(有答案)
经典例题精析类型一：求曲线的标准方程1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.解析：方法一：因为有焦点为，所以设椭圆方程为，,由，消去得，所以解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以，由得,（点差法）所以又故椭圆标准方程为.举一反三：【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为()，并有，解之得，,∴椭圆标准方程为2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点，且过点解析：（1）解法一：设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，所以双曲线方程为即（2）解法一：设双曲线方程为－=1由题意易求又双曲线过点，∴又∵，∴，故所求双曲线的方程为.解法二：设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为.总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.（2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.【答案】（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴所求双曲线方程为.（2）由已知设, ,则()依题意，解得.∴双曲线方程为或.3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点；（2）焦点在直线：上思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析：（1）∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.（2）令得，令得，∴抛物线的焦点为或当焦点为时，，∴，此时抛物线方程；焦点为时，，∴，此时抛物线方程为∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点为F(4,0)；（2）准线为；（3）焦点到原点的距离为1；（4）过点（1，－2）；（5）焦点在直线x-3y+6=0上.【答案】（1）所求抛物线的方程为y2=16x；（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；（3）所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y；（4）所求抛物线的方程为或；（5）所求抛物线的标准方程为y2=－24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为由，解得两交点坐标,∴，解得.∴抛物线方程为.类型二：圆锥曲线的焦点三角形4．已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.思路点拨：如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有，易求之.解析：设,,依题意有(1)2-(2)得，即.∴.举一反三：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】依据双曲线的定义有，由得、，又，则，即，所以，故选A.【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【答案】：由双曲线的定义有: ，，两式左、右分别相加得(.即∴.故的周长.【变式3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.①求椭圆的方程；②设点P在椭圆上,且,求.【答案】①.②设则，又.【变式4】已知双曲线的方程是.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小【答案】（1）由得，∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程为.（2），∴∴【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【答案】（1）设椭圆方程为()，双曲线方程，则，解得∵,∴, .故所求椭圆方程为，双曲线方程为.（2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.类型三：离心率5．已知椭圆上的点和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点，当，（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.解析：设椭圆方程为（），，，则，即.∵，∴，即，∴.又∵，∴.总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，则可由如下方法求.（1）可直接求出、；（2）在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；（3）若求的取值范围，则想办法找不等关系.举一反三：【变式1】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】连接，则是直角三角形，且，令，则，，即，，所以，故选D.【变式2】已知椭圆（）与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且，求椭圆的离心率.法一：,,∵, ∴,又,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得,∵,∴.法二：在ΔABF中，∵，，∴，即下略）【变式3】如图，椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. 求椭圆的离心率.【答案】设椭圆的方程为（），焦距为,则直线l的方程为:,由，消去得,设点、,则∵＋, ∴C点坐标为.∵C点在椭圆上,∴.∴∴又∴∴【变式4】设、为椭圆的两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，若，则椭圆离心率为_____.【答案】如图，点满足，且.在中，有：∵，∴,令此椭圆方程为则由椭圆的定义有,,∴又∵，∴，，∴∴，∴，即.6．已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；解析：如图，令, ,,则在中，由正弦定理，∴，令此椭圆方程为(),则,,∴即（），∴, ∴,∵,且为三角形内角，∴，∴,∴, ∴.即此椭圆离心率的取值范围为.举一反三：【变式1】已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.【答案】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①又|PF1|+|PF2|=2a ②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴【变式2】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】由得，即，解得，故离心率.所以选D.【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点，且OP⊥OQ，求其离心率e的取值范围．【答案】e∈[,1)【变式4】双曲线(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c．求双曲线的离心率e的取值范围．【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0．由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点(1,0)到直线的距离．同理得到点(-1,0)到直线的距离．=．由s≥c,得≥c,即5a≥2c2．于是得5≥2e2．即4e4-25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由于e＞1,所以e的取值范围是．类型五：轨迹方程7．已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视解法一：设动点,且,则、边上两中点、的坐标分别为,.∵,∴,即.从上式知，动点到两定点,的距离之和为常数30，故动点的轨迹是以,为焦点且,,的椭圆，挖去点.∴动点的轨迹方程是().解法二：设的重心，,动点,且，则.∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆（挖去点），且,,.其方程为().又, 代入上式，得()为所求.总结升华：求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三：【变式1】求过定点且和圆:相切的动圆圆心的轨迹方程.【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.（1）动圆与圆外切时，，（2）动圆与圆内切时，，由（1）、（2）有.∴动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲线，且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式3】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，.∴.∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，∴b2=12，故所求轨迹方程为.【变式4】若动圆与圆:相外切，且与直线:相切，求动圆圆心的轨迹方程.法一：设,动圆半径，动圆与直线切于点，点.依题意点在直线的左侧，故∵,∴.化简得, 即为所求.法二：设,作直线：.过作于，交于，依题意有, ∴,由抛物线定义可知，点的轨迹是以为顶点，为焦点，：为准线的抛物线.故为所求.。
圆锥曲线综合练习题(有答案)
圆锥曲线综合练习一、 选择题：1．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上,若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．82．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．12 C D ．233．设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ )A B C D 5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 6．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为（ ）A ．22或2B ．7C ．22D ．28．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则||||PM PN -的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上,且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．1610．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ）A B 1 C 1 D 111．两个正数a b ，的等差中项是92,一个等比中项是a b >，则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（ ）A ．5(0)16-， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 12．已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．49 B ．23 C ．59D 513．已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0OA OB +=(O 为坐标原点)，2120AF F F ⋅=2， 则直线AB 的方程是( ) A ． 22y =B ．22y x =C ．3y =D ．3y = 14．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．3B 17C 5D ．9215．若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数）有共同的焦点F 1,F 2，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于 ( ）A ．m p +B ．p m -C ．m p -D ．22m p -16．若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点，且满足20a b ->，20a b +>，则该点P 一定位于双曲线（ ) A ．右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 D ．不能确定17．如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=，AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ， 为焦点，且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ) A ．3 B ．1 C ．32D ．218221sin 2sin 3cos 2cos 3=--表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线19．已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,点P 在椭圆上,且122F PF π∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2,则该椭圆的离心率等于 （ ） A ．23 B ．33 C ．43- D 3120．已知双曲线方程为2214y x -=，过(21)P -，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 21．已知以1(20)F -，,2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x y +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） A ．2 B ．6 C ．7 D ．222．双曲线22221x y a b-=与椭圆22221x y m b +=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数，那么以a b m ，，为边长的三角形是（ )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 CD24．设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点,21F PF △是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为( ）A ．12B ．23C ．34D ．4525．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ，两点，||AB =则C 的实轴长为（ ）AB． C ．4 D ．826．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点,||12AB =，P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（ )A ．18B ．24C ．36D ．48 27．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，，则它的离心率为（ ） ABCD28．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则ab的值为（ ） AB. C.29．若椭圆221(00)x y m n m n +=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点,则椭圆的离心率e 的取值范围是（ )A．1) B．(0 C．1) D．(0 30．已知12F F ，分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点,则（ ）A ．2t =B ．2t >C ．2t <D ．t 与2的大小关系不确定31．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，,交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x = D．2y32．已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、，在长轴12A A 上任取一点M,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为( D ） ABC ．12D33．以O 为中心,12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为( ） AB ．23CD34．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ） A． B ．2 C ．1 D ．035．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点,过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标为（ ) A ．(29)--， B ．(05)-， C ．(29)-， D ．(16)-，36．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．837．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，，则||||AB CD 的值为（ )A ．16B ．116 C ．4 D ．1438．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A C ，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点,F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点DBDF 的余弦是（ ）ABC D39．设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( ）A ．(12]，B ．2]C ．2)D ．(12)，40．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22143x y +=上的一个动点,(10)N ，是一个定点，若AB ∥x 轴,且12x x <，则NAB △的周长l 的取值范围为（ )A ．10(5)3，B ．8(4)，C ．10(4)3，D ．11(5)3，41．2=e ，右焦点(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ，则点12()P x x ，在（ ）A ．圆1022=+y x 内 B ．圆1022=+y x 上 C ．圆1022=+y x 外 D ．以上三种情况都有可能42．过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ,若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是( )A B C ．2 D43．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP(O 为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（ )A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．44．已知以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D 45的左准线l ，左．右焦点分别为F 1．F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则｜PF 2 ）A B C ．4 D ．846．已知F 1、F 2是双曲线 12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） A ．4+32 Ｂ．3+1 Ｃ．3—1 Ｄ．213+47．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F,点B （0，b ）,-=+,则该双曲线离心率e 的值为（ ）A ．213+ B C ．215- D ．248．直线l 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右准线,以原点O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为2：1的两段，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．2D ．49．从双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MT MO -与a b -的大小关系为 A ．a b MT MO ->- B ．a b MT MO -=- C ．a b MT MO -<-D ．不确定．50．点P 为双曲线1C :()0,012222>>=-b a by a x 和圆2C :2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点,则双曲线1C 的离心率为( ） A ．3B ．21+C ．13+D ．251．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4：3：2，则曲线r 的离心率等于 A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 52．已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为( )AB C ．b a D ．ab二、填空题:53．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A B ，两点．若22||||12F A F B +=，则||AB = ． 54．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为12的椭圆的方程为 ． 55．9．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直,则a = .56．已知P 为椭圆22194x y +=上的点,12F F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △ 的面积是 ． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．58．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 ． 59．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且1230PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为 ．60．已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点,Q 是y 轴上的一个动点，若12||||4PF PF -=，则12()PQ PF PF ⋅-= 。
高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析
高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点．(ⅰ)证明：k·kON为定值；(ⅱ)是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）;（2）(ⅰ）;(ⅱ）不存在．【解析】（1）由于曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4，结合椭圆的定义可知曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，从而可写出曲线C的方程；（2）由已知可设出过点直线l的方程，并设出直线l与曲线C所有交点的坐标；然后联立直线方程与曲线C的方程，消去y就可获得一个关于x的一元二次方程，应用韦达定理就可写出两交点模坐标的和与积；(ⅰ)应用上述结果就可以用k的代数式表示出弦的中点坐标，这样就可求出ON的斜率，再乘以k就可证明k·kON 为定值；(ⅱ）由F1N⊥AC，得kAC•kFN= -1，结合前边结果就可将此等式转化为关于k的一个方程，解此方程，若无解，则对应直线不存在，若有解，则存在且对应直线方程很易写出来.试题解析：（1）由已知可得：曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，所以，故曲线C的方程为：. 4分（2）设过点M的直线l的方程为y=k(x+4)，设B(x1, y1)，C(x2, y2）(x2>y2)．(ⅰ)联立方程组，得，则， 5分故，， 7分所以，所以k•kON=为定值. 8分(ⅱ)若F1N⊥AC，则kAC•kFN= -1，因为F1(-1,0)，故， 10分代入y2=k(x2+4)得x2=-2-8k2，y2="2k" -8k3，而x2≥-2，故只能k=0，显然不成立，所以这样的直线不存在． 13分【考点】1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系.2.双曲线+=1的离心率，则的值为.【答案】-32【解析】由题意可得，a=2，又∵e==3，∴c=3a=6，∴b2=c2-a2=36-4=32，而k=-b2，∴k=-32【考点】双曲线离心率的计算.3.已知椭圆，直线是直线上的线段，且是椭圆上一点，求面积的最小值。
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普通高中课程标准实验教科书一数学［人教版］高三新数学第一轮复习教案(讲座35)—曲线方程及圆锥曲线的综合问题一.课标要求：1 •由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2•通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3.了解圆锥曲线的简单应用。
二.命题走向近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。
但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主。
1.求曲线(或轨迹)的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2•与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。
预测07年高考：1.出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；2•可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。
.要点精讲1.曲线方程(1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下:这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”(2)求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。
这是求曲线方程的基本方法。
转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。
即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。
几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。
参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。
如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。
2 •圆锥曲线综合问题(1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。
这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。
解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。
圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线C： f(x, y)=0与直线I ：y=kx+b相交于A(x1, y1)、B(x2, y2)两点，则弦长| AB|为：(1) 1 AB|= Jl + k" ■ |至］一葢jL + k? * J(签i+窿］)】_4耳］嘉或|AB|二J1 +存I珀-讣J1 +占》丁⑦+力尸-细诙.若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|.在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x, y)的取值范围。
(2)对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。
(3)实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。
涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：建立坐标系(4)知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。
四.典例解析题型1 :求轨迹方程例1. (1) 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切，同时与圆x2 y2 6x 91 0内切,求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
9X 22(2)双曲线y 1有动点P , F I ,F 2是曲线的两个焦点，求 PF 1F 2的重心M 的9轨迹方程。
设动圆圆心为 M(x, y)，半径为R ，设已知圆的圆心分别为 01、02，将圆方程分别配方得：(x 3)2 y 2 4，(x 3)2 y 2 100， 当e M 与e 01相切时，有| 0川| R 2 ① 当e M 与eO 2相切时，有|02M| 10 R ②将①②两式的两边分别相加，得 |01M | ©IM |12，即 (x 3)2 y 2 (x 3)2 y 2 12 ③ 移项再两边分别平方得：2 (x 3)2 y 212 x④两边再平方得：3x 2 4y 2 108 0, 2 2整理得—1，36 27M (x,y)到点0, 3,0)和02(3,0)的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为 01( 3,0)、02(3,0)，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标 原点，焦点在x 轴上，••• 2c 6, 2a 12，二 c 3, a 6,二 b 2 36 927 ,即所求重心 M 的轨迹方程为：x 2 9y 2 1(y 0)。
所以，动圆圆心的轨迹方程是 36 271，轨迹是椭圆。
(法二)由解法一可得方程,(x 3)2 y 2 (x 3)2 y 2 12，解析：(1)(法一)由以上方程知，动圆圆心•••圆心轨迹方程为36 27(2)如图,设P,M 点坐标各为P(x 1, y 1), M (x, y)，•在已知双曲线方程中 • c .厂 10a 3,b1 ,•已知双曲线两焦点为 F 1(..祜,0), F 2c ，i0,o ),PF | F 2 存在，• y 0x由三角形重心坐标公式有y •••力 0 ,••• y 0。
& (五)3，即% 0 0 3x 1 3x y 1 3y已知点P 在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有(3x)2(3y)21(y 0)0P 的中点，则点 M 的轨迹方程是 ____________解析：(1)答案：x 2— 4y 2= 1 设 P (x o , y o ) M (x , y )点评：利用中间变量法(转移法)是求轨迹问题的重要方法之一。
题型2:圆锥曲线中最值和范围问题2y21(a b o)中心的弦，椭圆的左焦点为bF 1 ( c , o)，则△ F 1AB 的面积最大为()1的面积最大值为 一Cb 。
所以△ F 1AB 的面积最大值为 cb 。
2大值为()A. 1oB. 1o5C . 1o5 D. 1o 2.5解析： (1)如图, 由椭圆对称性知道0为AB 的中点，则△ F 1OB 的面积F 1AB 面y B ，而y B 的最大值是b ,所以△ FQB积的一半。
又〔OF 』e , △ F 1OB 边OF 1上的高为 点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤; “转移法”求轨迹方程的方法。
例2 . (2001上海，3)设P 为双曲线y 2= 1上一动点，0为坐标原点，M 为线段x o2y o 2.2x = x o , 2y = y o空—4y 2= 14x 2— 4y 2= 1例3 . ( 1 )设AB 是过椭圆A. beB. abC. aeD. b(2)已知双曲线2x ~~2 a2与 1(a o , b o)的左右焦点分别为F 1, F 2,点P 在双曲b线的右支上，且 IPF 1I 4|PF 2|，则此双曲线的离心率的最大值是(4 A.3B. 53C. 27 D.- 2 (3)已知 2)、B (—4, o ), P 是椭圆2x252y1上一点，贝U |PA|+ |PB|的最点评：抓住△ F I AB 中|OF i | c 为定值，以及椭圆是中心对称图形。
(2)解析：由双曲线的定义， 得: IPF i l IPF 2I 2a ，又 |PF I | 4|PF 2|，所以 3| PF 21 2a ，从而 IPF 2I点为F (4, 0)。
连PB , PF 。
由椭圆的定义知:|PB| |PF| 10,所以 |PB| 10 |PF|，所以 |PA| |PB| |PA| 10 |PF| 10 (|PA||PF|)。
由平面几何知识，||PA| |PF|| |AF|，即(| PA| |PB|)min 10 |AF|,而 |AF| ...(3 4)2 (2 0)25,所以(|PA| |PB|)min105。
由双曲线的第二定义可得|PF 2| 2 a x cc a5a 2口 5a 2 c 5所以x。
又x a ,即 -a ，从而e 一 。
故选B o3c3ca 35a 23c的条件。
利用这个结论得出关于a 、c 的不等式，从而得出 e 的取值范围。
(3)解析：易知A (3，2)在椭圆内，B (- 4, 0)是椭圆的左焦点(如图)a 成立 则右焦点评：“点P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系2点评：由厶PAF 成立的条件||PA| |PF|| |AF|，再延伸到特殊情形 P 、A 、F 共线，从 而得出||PA| |PF|| |AF|这一关键结论。
2x例4. (1) ( 06全国1文，21 )设P 是椭圆二a圆上的一个动点，求 PQ 的最大值。
左焦点为F( '3o ),右顶点为D(2,o ),设点A 1,1 .2① 求该椭圆的标准方程；② 若P 是椭圆上的动点，求线段 PA 中点M 的轨迹 方程；③过原点0的直线交椭圆于点 B,C ，求 ABC 面积的最大值。
(3) (06山东文，21)已知椭圆的中心在坐标原点 0,焦点在x 轴上，椭圆的短轴端 点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为I 。
(I )求椭圆的方程；(n )直线I 过点P(0,2)且与椭圆相交于 A 、B 两点，当△ AOB 面积取得最大值时，求直 线I 的方程。
解析：(1)依题意可设P(0,1), Q(x,y),贝U |PQ|= x 2+(y — 1)2，又因为Q 在椭圆上， |PQ p = a 2(1 — y 2)+y 2— 2y+1=(1 — a 2)y 2— 2y+1+a 2,=(1- a2)(y- 1 — a2)2—1 — a 2+1+a 2。
若1<a< 2,则当y= — 1时，|PQ|取最大值2。
②设线段PA 的中点为M(x,y)，点P 的坐标是(X 0,y °),厂x o =2x — 1y 2 1 a 1短轴的一个端点,Q 为椭(2) (06上海文，21)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点,1因为|y|< 1,a >1，若a >2,则］匚可1, 1a 2 a 2 — 1 当y=y 时，|PQ|取最大值右-所以，x 2=a 2(1 — y 2), (2)①由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c= , 3 ,则半短轴b=1 ,又椭圆的焦点在x 轴上，•••椭圆的标准方程为1。