人教版高中数学选修4-4-22圆锥曲线的参数方程
人教版高中数学选修4-4课件 第2讲-2《圆锥曲线的参数方程》
＝ 55|5cos(θ＋φ)－13|，
从而当 cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中 φ 由 sin φ＝35，cos
φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d
取得最小值8
5
5 .
14
1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越 性．
2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点 M 的 轨迹上的点到直线 C3 距离的最小值，这个最小值归结为求关 于参数 θ 的函数的最小值．
ya22＋bx22＝1(a>b>0)
x＝bcos φ y＝asin φ
(φ 为参数)
2
2.双曲线的参数方程 普通方程
参数方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0)
x＝asec φ y＝btan φ
(φ 为参数)
3.抛物线的参数方程
x＝2pt2
(1)抛物线 y2＝2px 的参数方程是 y＝2pt
F1(0，－4)与 F2(0,4)．
10
已知曲线 C1：xy＝＝－3＋4＋sinctos t ，(t 为参数)，曲 线 C2：6x42 ＋y92＝1.
(1)化 C1 为普通方程，C2 为参数方程；并说明它们分别表 示什么曲线？
(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t＝π2，Q 为 C2 上的动点， 求 PQ 中点 M 到直线 C3：x－2y－7＝0 距离的最小值．
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．
19
在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的 参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形 式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式 sec2 φ－tan2 φ＝1 的应用．
高中选修4-4《2.2圆锥曲线的参数方程》(人教版共3份)(3)精选教学PPT课件
x0 y0
at bt
(t为参数）
当a 2 b2 1且b 0时，t=M 0M
此时我们可以认为a cos ,b sin ;
若 [0,），则为倾斜角。
x y
x0 y0
at bt
(t为参数）
当a 2 b2 1时，t没有上述的几何意义，
我们称为非标准形式。
题型二 互斥事件与对立事件
1．互斥事件与对立事件的概念的理解 (1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要 求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发 生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是 对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况． (2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，则两事件是 互斥的，此时A∪B的概率就可用加法公式来求，即为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠∅，则可考虑利用 古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式．
特征分析：
若把直线的参数方程的标准形式
x y
x0 y0
t t
cos sin
（t为参数，
[0,）)
改写为： xy
x0 y0
at bt
(t为参数）
当a、b满足什么条件，
可使t有上述的几何意义？
重要结论:
直线的参数方程可以写成这样的形式:
x y
两点的距离之积。
分析:
1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
2.分别如何解.
y
A
M(-1,2)
B
O
x
3.点M是否在直线上
人教版A版高中数学选修4-4：二 圆锥曲线的参数方程
一、参数方程的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是 某个变数 t 的函数
x＝f（t）， y＝g（t）， (*) 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点 M(x，y)都在这 条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变 数 t 叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言，直接给出点的横、纵坐标间关系的方程叫做普 通方程．
题型二：直线的参数方程
4.
5.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为
x 1
2t 2
y
2
2t 2
(t 为参数)，
直线 l 与抛物线 y 2 4 x 交于 A，B 两点，
求线段 AB 的长。
题型二方法总结：
1. 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 θ 的直线的参数方程 为yx＝＝yx00＋＋ttscionsθθ，(t 为参数)
的参数方程是
y
a
sin
(φ 为参数)．
其中参数 φ 的范围为 φ∈[0，2π )．
题型一：参数方程与普通方程的互化
1.
2.
3.
题型一方法总结：
1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过 程，常用的消参方法有：代入消参，加减消参，三角 恒等式消参等。 2.注意：参数的取值范围对普通方程中变量的取值范 围的影响。
(1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆锥曲线 C
的普通方程；
(2)若直线 l 过曲线 C 的焦点且倾斜角为 60°，求直线 l 被圆锥曲线
C 所截得的线段的长度．
t 是直线上的定点 M0(x0，y0)到动点 M(x，y)的有向线段M→0M的数量， 即|M0M|＝|t|， 当点(x，y)在点(x0，y0)的上方时，t＞0； 当点(x，y)在点(x0，y0)的下方时，t<0， 当点(x，y)与点(x0，y0)重合时，t＝0.
人教版高中选修4-4二圆锥曲线的参数方程课程设计
人教版高中选修4-4二圆锥曲线的参数方程课程设计一、课程设计背景及意义本次课程设计是为了帮助高中选修4学科的学生更深入地学习二圆锥曲线的参数方程，并能够在实践中灵活应用。
在高中数学教学中，二圆锥曲线是一个非常重要的知识点，是建立高中数学基础的一部分。
掌握二圆锥曲线的参数方程可以帮助学生更好地理解二圆锥曲线的性质和图像，同时也是高中数学考试和数学竞赛中的重点内容。
二、课程设计目标1.掌握二圆锥曲线的基本概念和性质；2.理解二圆锥曲线的参数方程；3.学会在实践中应用二圆锥曲线的参数方程。
三、课程设计内容和方法3.1 课程内容本次课程设计主要包括以下内容：1.二圆锥曲线的基本概念和性质；2.二圆锥曲线的参数方程；3.应用二圆锥曲线的参数方程绘制图像；4.实际问题中的应用。
3.2 课程方法本课程将采用以下教学方法：1.讲授理论知识，重点讲解二圆锥曲线的基本概念、性质和参数方程；2.示范绘制二圆锥曲线的图像，并引导学生进行实践操作；3.让学生进行练习和自主探究，巩固和提高理解能力；4.引导学生通过练习和实践来应用知识，解决实际问题。
四、课程设计步骤4.1 第一步：学习二圆锥曲线的基本概念和性质1.引导学生了解二圆锥曲线的概念和分类；2.讲解二圆锥曲线的性质，如对称性、切线和法线等。
4.2 第二步：理解二圆锥曲线的参数方程1.引导学生逐步理解二圆锥曲线的参数方程及其原理；2.讲解二圆锥曲线的各种形式的参数方程，并进行比较。
4.3 第三步：应用二圆锥曲线的参数方程绘制图像1.示范绘制各种形式的二圆锥曲线；2.引导学生进行实践操作，并提供相关练习题供学生练习。
4.4 第四步：实际问题中的应用1.引导学生进行实际问题解析，如抛物线、双曲线等相关问题；2.让学生在实验室中进行实践操作，实现对参数方程的应用。
五、课程设计评价本课程设计以实践应用为主要教学内容，采用了多种教学方法和手段，能够有效帮助学生掌握二圆锥曲线的参数方程的知识和技能，操作简单、易于理解和掌握，能够提高学生的学习兴趣，并激发他们学习数学的热情。
最新人教版高中数学选修4-4《圆锥曲线的参数方程》预习导航
预习导航请沿着以下脉络预习： 圆锥曲线的参数方程—椭圆的参数方程—双曲线的参数方程—抛物线的参数方程1．椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)，规定参数φ的范围为φ∈[0,2π)．2．双曲线的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ是参数)，规定参数φ的范围为φ∈[0,2π)，且φ≠π2，φ≠3π2. 3．抛物线的参数方程抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，t ∈(－∞，＋∞)，参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．椭圆x 225＋y 216＝1的参数方程为( )． A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5sin θy ＝4cos θ(θ为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5cos θy ＝3sin θ(θ为参数) C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5sin 2θy ＝4cos 2θ(θ为参数) D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos 2θy ＝4sin 2θ(θ为参数) 答案：A解析：将各选项中的参数方程化为普通方程，可知选项A 正确．2．双曲线⎩⎨⎧x ＝23sec α，y ＝6tan α(α为参数)的离心率为( )．A ．233B ．32C ．2D ．12答案：C解析：sec α＝x23，tan α＝y 6，由sec 2α－tan 2α＝1，得x 212－y 236＝1，又由c 2＝a 2＋b 2得c 2＝48，c ＝43，∴e ＝c a ＝4323＝2. 3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θ(θ为参数)所表示的曲线为( )． A ．抛物线的一部分 B ．抛物线C ．双曲线的一部分D ．双曲线答案：A4．抛物线y ＝x 2－2x t的顶点轨迹的普通方程为________． 答案：y ＝－x 2(x ≠0)解析：抛物线方程可化为y ＝⎝⎛⎭⎫x －1t 2－1t 2，∴其顶点为⎝⎛⎭⎫1t，－1t 2，记M (x ，y )为所求轨迹上任意一点，则⎩⎨⎧x ＝1t ，y ＝－1t 2，消去t 得y ＝－x 2(x ≠0)． 5．已知抛物线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p ＞0)上的点M ，N 对应的参数值为t 1，t 2，且t 1＋t 2＝0，t 1t 2＝－p 2，求M ，N 两点间的距离．解：由题知M ，N 两点的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)，∴|MN |＝(2pt 21－2pt 22)2＋(2pt 1－2pt 2)2＝(2pt 1－2pt 2)2＝2p |t 1－t 2|＝2p (t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4p 2.故M ，N 两点间的距离为4p 2.。
选修4-4 第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程) 教案
焦点在y 轴上的椭圆的参数方程：2222y 1,b ax +=练习：已知椭圆4922y x +＝1，点M 是椭圆上位于第一象限的弧上一点，且∠xOM ＝60°。
(1)求点M 的坐标；(2)如何表示椭圆在第一象限的弧？错解：由已知可得a ＝3，b ＝2，θ＝600,∴x ＝acos θ＝3cos60°＝23，y ＝bsin θ＝2sin60°＝3。
从而，点M 的坐标为)3,23(。
正解：设点M 的坐标为(x,y)，则由已知可得y ＝3x,与4922y x +＝1联立， 解得x ＝31316， y ＝93316。
所以点M 的坐标为(31316,93316)。
另解：∵∠xOM=60°，∴可设点M 的坐标为(|OM|cos60°，|OM|sin60°)。
代入椭圆方程解出|OM|，进而得到点M 的坐标(略)。
例1 求椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。
解：如图，设椭圆1by a x 2222=+的内接矩形在第一象限的顶点是A )sin cos (ααb a ，)20(πα<<，矩形的面积和周长分别是S 、L 。
ab 22sin ab 2sin b cos a 4|EA ||FA |4S ≤α=α⋅α=⨯=，当且仅当4a π=时，22max b a 4sin b 4cos a 4|)EA ||FA (|4L ab 2S +≤α+α=+==，，cos y a sin x b ϕϕ=⎧⎨=⎩53arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。
例4 θ取一切实数时，连接A(4sin θ,6cos θ)和B(-4cos θ, 6sin θ)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段例5 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且21MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。
人教版高中数学选修四教学课件-圆锥曲线的参数方程
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2
3
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3
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2
3
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一圆的参数方程的应用
在求解一些最值问题时,可以用参数方程来表示曲线上点的坐标,利用正弦函数、 余弦函数的有界性来解决问题,简化运算过程.另外,利用椭圆的参数方程可以解决 一些与椭圆有关的特殊动点的轨迹问题.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究二曲线的参数方程的应用
1.利用双曲线的参数方程可进行三角代换,从而将有关问题转化为三角函数问题 求解.
2.直线与双曲线位置关系的综合题,可考虑利用双曲线的参数方程设元,再探求 解题方法.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究三物线的参数方程的应用
利用抛物线的参数方程求动点的轨迹是常见的题型和方法,方法明确,运算简捷,要 认真体会并应用.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
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学习目标
思维脉络
1.知道椭圆的参数方程,参数的意
高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《2-2圆锥曲线的参数方程》课件2
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题型二
双曲线参数方程的应用
x2 y2 与双曲线交于 A， 【例2】 直线 AB 过双曲线a2－b2＝1 的中心 O， B 两点，P 是双曲线上的任意一点．求证：直线 PA，PB 的 斜率的乘积为定值．
[思维启迪] 先用双曲线参数方程表示点A、B、P的坐标，
(4)抛物线 x
x＝2pt， ＝－2py(p>0)的参数方程为 2(t y＝－2pt
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试一试：将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲 线的类型．
x＝acos (1) y＝bsin
θ， (θ 为参数，a、b 为常数，且 a>b>0)； θ
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【反思感悟】 本例的求解充分利用了双曲线的参数方 程．一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参 数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ的函数，运用三角 知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果．
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【变式2】
x＝sec 双曲线 y＝tan
炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0.设M(x，
y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t， 炸弹初速度v0＝150 m/s，用物理学知识， 分别计算水平、竖直方向的路程，得
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x＝v0t， x＝150t， 2 1 2(g＝9.8 m/s )，即 2 y＝588－4.9t ， y＝588－ gt 2 这是炸弹飞行曲线的参数方程． (2)炸弹飞行到地面目标 B 处的时间 t0 满足方程 y＝0， 即 588－4.9t2＝0，解得 t0＝2 30. 由此得 x0＝150×2 30＝300 30≈1 643(m)． 即飞机在离目标约 1 643m(水平距离)处投弹才能击中目标．