选修4-4-第二讲-参数方程(圆锥曲线的参数方程)-教案

焦点在y 轴上的椭圆的参数方程：

22

22y 1,b a

x +=

练习：已知椭圆4

92

2y x +＝1，点M 是椭圆上位于第一象限的弧上一点，且∠xOM ＝60°。(1)求点M 的坐标；(2)如何表示椭圆在第一象限的弧？

错解：由已知可得a ＝3，b ＝2，θ＝600,

∴x ＝acos θ＝3cos60°＝2

3，y ＝bsin θ＝2sin60°＝3。

从而，点M 的坐标为)3,2

3(。

正解：设点M 的坐标为(x,y)，则由已知可得y ＝3x,与4

92

2y x +＝1联立， 解得x ＝31316， y ＝9331

6。

所以点M 的坐标为(31316,9331

6)。

另解：∵∠xOM=60°，∴可设点M 的坐标为(|OM|cos60°，|OM|sin60°)。 代入椭圆方程解出|OM|，进而得到点M 的坐标(略)。

例1 求椭圆)0b a (1b

y a x 22

22>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。

解：如图，设椭圆1b

y a x 22

22=+的内接矩形在第一象限的顶点是

A )sin cos (ααb a ，)2

0(π

α<

<，矩形的面积和周长分别是S 、L 。

ab 22sin ab 2sin b cos a 4|EA ||FA |4S ≤α=α⋅α=⨯=，

当且仅当4

a π

=

时，22max b a 4sin b 4cos a 4|)EA ||FA (|4L ab 2S +≤α+α=+==，，cos y a sin x b ϕ

ϕ

=⎧⎨

=⎩

5

3

arcsin 23-π=

α时，距离d 有最大值2。

例4 θ取一切实数时，连接A(4sin θ,6cos θ)和B(-4cos θ, 6sin θ)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段

例5 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2

1MB AM =，

试求动点M 的轨迹方程。

解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。

则，α=+⨯+α=++

=

cos 8211021cos 12211x 21x x B A 3sin 42

11921

sin 6211y 21y y B A +α=+

⨯+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是⎩

⎨

⎧+α=α

=3sin 4y cos 8x （α是参数），

消去参数得116

)3y (64x 2

2=-+。

例6 椭圆)0b a (1b

y a x 22

22>>=+与x 轴的正向相交于点A ，O 为坐标原

点，若这个椭圆上存在点P ，使得OP ⊥AP 。求该椭圆的离心率e 的取值范围。

解：设椭圆)0b a (1b

y a x 22

22>>=+上的点P 的坐标是（ααsin b cos a ，）（α≠0且α≠π），A

（a ，0）。 则a

cos a 0

sin b k cos a sin b k AP OP -α-α=

αα=

，。而OP ⊥AP ， 于是

1a

cos a 0

sin b cos a sin b -=-α-α⋅αα，整理得0b cos a cos )b a (22222=+α-α- 解得1cos =α（舍去），或2

22

b

a b cos -=α。 因为1cos 1<α<-，所以1b a b 1222<-<-。可转化为1e

e 112

2<-<-，解得21e 2

>，于是1e 22<<。故离心率e 的取值范围是⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛122，。

例7 四边形ABCD 内接于椭圆16

922y x +＝1，其中点A(3,0)，C(0,4)，B 、D 分别位

于椭圆第一象限与第三象限的弧上。求四边形ABCD 面积的最大值。

双曲线的参数方程

与研究椭圆参数方程的方法类似，我们来研究双曲线

②)0,0(12

2

22>>=-b a b y a x

的参数方程。

如图, 以原点O 为圆心, a, b(a>0, b>0)为半径分别作同心圆C 1、C 2。设A 为圆C 1上任一点, 作直线OA, 过A 作圆C 1的切线AA'与x 轴交于点A', 过圆C 2与x 轴的交点B 作圆C 2的切线BB'与直线OA 交于点B'。过点A',B'分别作y 轴, x 轴的平行线A'M, B'M 交于点M,设OA 与OX 所成的角为φ(φ∈[0, 2π)且φ≠π/2，φ≠3π/2), 求点M 的轨迹方程, 并说

出点M 的轨迹。

设Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是),(y x ．那么点1A 的坐标为)0,(x ，点1B 的坐标为),(y b ．因为点A 在圆1C 上，由圆的参数方程得点A 的坐标为（ϕϕsin ,cos a a ），

所以，)sin ,cos (,)sin ,cos (1ϕϕϕϕa a x AA a a OA --==．因为1AA OA ⊥，所以01=•AA OA ，

从而0)sin ()cos (cos 2=--ϕϕϕa a x a ，解得ϕcos a x =．记ϕϕ

sec cos 1

=，（ϕ

sec 是正割函数，它表示余弦函数的倒数，现在只是为推导参数方程才引入，所以不要求引入，仅供同学们学习了解使用）则ϕsec =x ．因为点1B 在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有b

y

=

ϕtan ，即ϕtan b y =．所以，点M 的轨迹的参数方程为⎩⎨

⎧==ϕ

ϕ

tan sec b y a x （ϕ为参数）（2） 因为1cos sin cos 12

22=-ϕϕϕ，即1tan sec 2

2=-ϕϕ，所以，从（2）方程中消去参数ϕ后得到点M 的轨迹的普通方程（1）．这是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．所以（2）就是双曲线（1）的参数方程．此时的参数ϕ的范围为[)πϕ2,0∈，且2

3,2

πϕπ

ϕ≠

≠

． 由图可知，参数φ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角（称为点M 的离心角），而不是OM 的旋转角.

与椭圆类似，122

22=-b

y a x 双曲线上任意一点的坐标可以设为()ϕϕtan ,sec b a ，

这是解决与双曲线有关的问题的重要方法.

例1.求点M 0(0, 2)到双曲线x 2－y 2=1的最小距离。