排列组合问题教师版
排列组合例题精选教师（1）
排列组合例题精选教师（1）10.1排列与组合考点⼀:排列问题例1,六⼈按下列要求站⼀横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、⼄必须相邻；（3）甲、⼄不相邻；（4）甲、⼄之间间隔两⼈；（5）甲、⼄站在两端；（6）甲不站左端，⼄不站右端.例1,解（1）⽅法⼀要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A1 4种站法，然后其余5⼈在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A14·A55=480（种）.⽅法⼆由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个⼈中选2个⼈站，有A25种站法，然后中间4⼈有A4 4种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A25·A44=480（种）.⽅法三若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲在两端共有2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：A6=480（种）.（2）⽅法⼀先把甲、⼄作为⼀个“整体”，看作⼀个⼈，和其余4⼈进⾏全排列有A55种站法，再把甲、⼄进⾏全排列，有A22种站法，根据分步乘法计数原理，共有A55·A22=240（种）站法.⽅法⼆先把甲、⼄以外的4个⼈作全排列，有A44种站法，再在5个空档中选出⼀个供甲、⼄放⼊，有A1 5种⽅法，最后让甲、⼄全排列，有A22种⽅法，共有A44·A15·A22=240（种）.（3）因为甲、⼄不相邻，中间有隔档，可⽤“插空法”，第⼀步先让甲、⼄以外的4个⼈站队，有A4 4种站法；第⼆步再将甲、⼄排在4⼈形成的5个空档（含两端）中，有A25种站法，故共有站法为A44·A25=480（种）.也可⽤“间接法”，6个⼈全排列有A6=240种站法，所以不相邻的站法有A66-A55·A22=720-240=480（种）.（4）⽅法⼀先将甲、⼄以外的4个⼈作全排列，有A44种，然后将甲、⼄按条件插⼊站队，有3A22种，故共有A44·（3A22）=144（种）站法.⽅法⼆先从甲、⼄以外的4个⼈中任选2⼈排在甲、⼄之间的两个位置上，有A2 4种，然后把甲、⼄及中间2⼈看作⼀个“⼤”元素与余下2⼈作全排列有A33种⽅法，最后对甲、⼄进⾏排列，有A22种⽅法，故共有A24·A33·A22=144（种）站法.（5）⽅法⼀⾸先考虑特殊元素，甲、⼄先站两端，有A22种，再让其他4⼈在中间位置作全排列，有=48（种）站法.⽅法⼆⾸先考虑两端两个特殊位置，甲、⼄去站有A2 2种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4⼈去站，有A44种站法，由分步乘法计数原理共有A22·A44=48（种）站法.（6）⽅法⼀甲在左端的站法有A55种，⼄在右端的站法有A55种，且甲在左端⽽⼄在右端的站法有A44种，共有A66-2A55+A44=504（种）站法.⽅法⼆以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A55种站法，②甲在中间4个位置之⼀，⽽⼄不在右端有A14·A14·A44种，故共有A5·A44=504（种）站法.考点⼆:组合问题例2, 男运动员6名，⼥运动员4名，其中男⼥队长各1⼈.选派5⼈外出⽐赛.在下列情形中各有多少种选派⽅法？（1）男运动员3名，⼥运动员2名；（2）⾄少有1名⼥运动员；（3）队长中⾄少有1⼈参加；（4）既要有队长，⼜要有⼥运动员.例2, 解（1）第⼀步：选3名男运动员，有C36种选法.第⼆步：选2名⼥运动员，有C24种选法.共有C36·C24=120种选法. 3分（2）⽅法⼀⾄少1名⼥运动员包括以下⼏种情况：1⼥4男，2⼥3男，3⼥2男，4⼥1男.由分类加法计数原理可得总选法数为C1 4C46+C24C36+C34C2=246种. 6分⽅法⼆“⾄少1名⼥运动员”的反⾯为“全是男运动员”可⽤间接法求解.从10⼈中任选5⼈有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种.所以“⾄少有1名⼥运动员”的选法为C510-C56=246种. 6分（3）⽅法⼀可分类求解：“只有男队长”的选法为C48；“只有⼥队长”的选法为C48；“男、⼥队长都⼊选”的选法为C38；所以共有2C48+C38=196种选法. 9分⽅法⼆间接法：从10⼈中任选5⼈有C 510种选法.其中不选队长的⽅法有C 58种.所以“⾄少1名队长”的选法为C 510-C 58=196种. 9分（4）当有⼥队长时，其他⼈任意选，共有C 49种选法.不选⼥队长时，必选男队长，共有C 48种选法.其中不含⼥运动员的选法有C 45种，所以不选⼥队长时的选法共有C 48-C 45种选法.所以既有队长⼜有⼥运动员的选法共有例3, 4个不同的球，4个不同的盒⼦，把球全部放⼊盒内. （1）恰有1个盒不放球，共有⼏种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有⼏种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有⼏种放法？例3,解（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒⼦中任意取出去⼀个，问题转化为“4个球，3个盒⼦，每个盒⼦都要放⼊球，共有⼏种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒⼦中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒⼦内，由分步乘法计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22=144种.（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒⼦放2个球，每个盒⼦⾄多放1个球，也即另外3个盒⼦中恰有⼀个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同⼀件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有C 24种⽅法.4个球放进2个盒⼦可分成（3，1）、（2，2）两类，第⼀类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种⽅法；第⼆类有序均匀分组有222224A C C ·A 22种⽅法.故共有C 24( C 34C 11A 22+222224A C C ·A 22）=84种.当堂检测答案1，从5名男医⽣、4名⼥医⽣中选3名医⽣组成⼀个医疗⼩分队，要求其中男、⼥医⽣都有，则不同的组队⽅案共有（）A ，70 种B ，80种C ，100 种D ，140 种解析：分为2男1⼥，和1男2⼥两⼤类，共有21125454C C C C ?+?=70种，解题策略：合理分类与准确分步的策略。
四年级第二十一讲排列组合教师版
第 21 讲摆列组合内容归纳认识摆列、组合公式的出处及含义，掌握详尽的计算方法；辨析摆列、组合之间酌差异与联系，并能够合理应用．典型问题兴趣篇1. 计算：(1)A42(2) A104(3)3 A33A63【答案】 (1)12(2)5040(3)138【剖析】依照摆列公式A n m( m1)(m n1) 计算m(1)A42 4 312(2) A104109875040(3)3A33A631382．费叔叔、小悦、冬冬和阿奇四个人站成一排照相，一共有多少种不相同的摆列方法?【答案】 24【剖析】这种摆列是有序的A44 4 3 2 1 243．体育课上，老师从10 名男生中挑出 4 人站成一排，—共有多少种不相同的摆列方法?【答案】 5040【剖析】先从 10 人中选出 4 人，再让 4 人全摆列C104A4424 210 50404．费叔叔、小悦、冬冬、阿奇四个人一块乘公共汽车去公园，上车后发现有8 个空座位，他们一共有多少种不相同的坐法?【答案】 1680【剖析】先让 4 人选座位，再让 4 人全摆列C84A4470 24 16805．用 1 至 7 这 7 个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数?若是把这些三位数从小到大排起来， 312 是其中第几个 ?【答案】（ 1） 210；（ 2）第 61 人【剖析】第一个地址有7 中选择第二个地址有6个选择第三个位置有5 个选择(1) A17A61A51210(2)百位是 1开头的有 30个，百位是 2开头的有 30个，312是第 61个6.计算：(1)C52(2) C74(2) A63C63【答案】（ 1） 10 （2） 35（ 3） 2400【剖析】依照组合公式n A m n2 5 44 765433120 20 2400C m n(1)C52 110(2)C7432135(3)A6C6A n7．图 21-1 中有六个点，任意三个点都不在一条直线上．请问：(1)以这些点为端点，一共能够连出多少条线段?(2)以这些点为极点，一共能够连出多少个三角形?【答案】（ 1） 15 条；（ 2） 20 个【剖析】（ 1）不在同素来线两点确定一条直线C6215 （2)不在同素来线三点确定一个三角形 C6320 个8．费叔叔把 10 张不相同的游戏卡片分给冬冬和阿奇，而且决定给冬冬 8 张，给阿奇 2 张．一共有多少种不相同的分法 ?【答案】 45【剖析】先选出8 张冬冬，剩下 2 张就是阿奇的C108209．小悦要从八门课程中选学三门，一共有多少种选法 ?若是数学课与钢琴课时间矛盾，不能够同时学，她一共有多少种选法 ?【答案】 50【剖析】用消除法八门中任选三门，有56 种，数学课与钢琴课同时上有 6 种，减去不吻合题意的 6 种，C83C1656 650 种10．象棋兴趣小组一共有 9 名同学，请问：(1)若是从中选 3名同学在第二天的清早、中午、夜晚分别做值日，共有多少种选法?(2)若是从中选 3名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法?【答案】（ 1） 504 种；（ 2） 84 种【剖析】（ 1）先选出 3 人再全摆列，A39 8 7504 种（2）这种选人是无序的C38499种拓展篇1. 计算：(1)A52(2) A73(3) A64A62【答案】（ 1） 20；（ 2） 210；（ 3） 330【剖析】(1)A52 5 4 20 (2) A737 6 5 210 (3) A64A62 6 5 4 3 6 53302．如图 21-2 所示，有 5 面不相同颜色的小旗，任取 3 面排成一行表示一种信号，用这 5 面小旗一共能够表示出多少种不相同的信号?【答案】 60【剖析】先从 5 面旗选出 3 面旗，再让三面旗全摆列A5360 种3． 3 名同学一块去图书馆借科幻小说，发现书架上只剩下9 本，且各不相同．若是每人只借 1 本，那么共有多少种不相同的借法?【答案】 504【剖析】先从 9 本书选出 3 本书，再让 3 本书全摆列A93504 种4．用 1、2、3、4、5 这五个数码能够组成多少个没有重复数字的四位数?将这些四位数从小到大摆列起来，4125 是第几个 ?【答案】（ 1） 120；（2） 74 个【剖析】（ 1）第一个地址有 5 种选法，第二个地址有 4 种选法，第三个地址有三种选法，第四个地址有 2 种选法，A54120 （2）千位以1开头的有 A41A31A2124 个千位以2开头的有 A41A31A2124 个千位以 3 开头的有A41A31A2124 个千位以 4 开头第一个4123，第二个就是4125 所以24 3 2 74个5. 计算：(1)C93(2) C1032C102(3)C4， C1(4) C107， C35510【答案】（ 1） 84；（ 2） 30；（ 3） 5,5 ；（ 4）120,120【剖析】 (1)C9384 ； (2) C1032C102120 9030；(3)C545， C515(4)C107120 ， C1031206．如图 21-3 所示，从端点O 出发的射线共有7 条，图中一共有多少个锐角?【答案】 21【剖析】夹角最大两条直线间夹角小于90 度，所以这两条直线间的任两条直线组成的角小于90度，C727 6 2 21个7．如图 21-4 所示，在一个圆周上有 8 个点，以这些点为极点或端点，一共能够画出多少条线段 ?多少个三角形 ?多少个四边形 ?【答案】（ 1） 28 条；（ 2） 56 个；（ 3） 70 个；【剖析】（1）不在同素来线两点确定 1 条直线，C8228 条（2）不在同素来线三点确定1个三角形， C8356 个（3）不在同素来线四点确定 1 个四边形，C8470 个8．9 支球队进行足球比赛，实行单循环制，即每两队之间只比赛一场．每场比赛后胜方得3分，平局双方各得 1 分，负方不得分．请问：一共要举行多少场比赛?9 支队伍的得分总和最多为多少 ?【答案】（ 1） 36 场（ 2） 108 分【剖析】（ 1）9 个队中每 2 个队比一场C9236 场（2）分总和最多，那就是全赢363108分9．学校十佳歌手大赛的 10 名获奖选手中，每 3 人都要照一张合影．问：需要拍多少张照片 ? 【答案】 120 张【剖析】没有排序问题所以C8312010．在新学期的班会上，大家要从11 名候选人中选出班干部．请问：(1)选出三人组成班委会，那一共有多少种选法?(2)从剩下的候选人中，选出三人分别担当语文、数学、英语的课代表，一共有多少种选法 ?【答案】（ 1） 165 种（ 2） 336 种【剖析】（ 1）从 11 人中选出 3 人C113165 种（2）从剩下 3 人选出 3 人全摆列C83A3356 6 336种11．费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇去参加一次聚会，主持人要求每个人从12 个颜色不相同的彩球中领取一个．请问：(1)小悦是第一个取球的人，她一共选出了 4 个球，准备回头分给大家，那一共有多少种选法 ?(2)小悦回到座位后，把这 4 个球分给大家，一共有多少种分法?(3)最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能?【答案】（ 1） 495 种；（ 2）24 种；（ 3） 11880 种【剖析】（ 1）从 12 个球中选出 4 个没有排序问题C124495 种（2）把四个不相同色的球分给4个人A4424 种（3）先从12 个不相同色的球选出4 个不相同色的球，再分给 4 个人，C124A44495 24 11880 种12．周末大打扫，老师要从第一组的10 名男生和 10 名女生中选出 5 人留下打扫卫生．请问：(1)若是老师任意选择，一共有多少种选择方法?(2)若是老师决定选出 2 名男生和 3名女生，一共有多少种选择方法?【答案】（ 1） 15504 种；（ 2） 5400 种【剖析】（ 1）从 20 人中选出 5 人C20315504 种（2)从10名男生选 2 人，从 10 名女生选 3人C102C1035400 种超越篇1．有一些四位数，它们由 4 个互不相同且不为零的数字组成，所有这样的四位数从小到大依次摆列，第20 个是多少 ?【答案】 5132【剖析】因为由 4 个互不相同且不为零的数字组成，而且这而且这 4 个数字的和等于11．将4 个数字的和等于11，只有数字1,2,3,5满足千位 1 开头有A31A21 6 个，千位 2 开头有A31A21 6 个，千位 3 开头有A31A21 6 个，千位 5 开头有第一个5123 第二个51326+6+6+2=202．在身高互不相同的 6 个人中，选出 3 个人站成第一排，别的 3 个人站成第二排．请问：(1)若是能够任意站，那么一共有多少种排法?(2)若是要求第二排最矮的人也比第一排最高的人高，那么一共有多少种不相同的排法?【答案】（ 1） 720 种；（ 2）36 种【剖析】（ 1）先从 6 人中选出 3 个人为第一排，再全摆列，剩下 3 人为一排再全摆列C63A33A33720种（ 2）最高三人为第二排，其余三人为第一排，让它们每排分别全排列， A33A3336 种3．小口袋中有 4 个球，大口袋中有 6 个球，这些球颜色各不相同．请问：(1)任意取 4 个球出来，那么共有多少种不相同的结果?(2)取出 4 个球，而且恰好从每个口袋中各取 2 个球，共有多少种不相同结果【答案】（ 1） 210 种；（ 2）90 种【剖析】（ 1）从小口袋取出 4 个大口袋取0 个，从小口袋取出 3 个大口袋取袋取出 2 个大口袋取 2 个，从小口袋取出 1 个大口袋取 3 个，从小口袋取出?1 个，从小口0 个大口袋取4个 C44C41C63C42C62 C 43 C 16C64 1 80902415210 种(2)每个袋子取两个，是无序的C42C62 6 1590 种4.在 1 至 30 30 个自然数中任意挑出两个不相同的数，使得它的和是偶数，一共有多少种不相同的挑方法 ?【答案】 210 种【剖析】和偶数，共 2 种情况：奇＋奇偶＋偶。
排列与组合.版块八.排列组合问题的常用方法总结2.教师版
挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）【例1】 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有 种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列．于是安排方法数为1192928C A ．【答案】1192928C A ；【例2】 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，典例分析排列组合问题的常用方法总结 2可在12个名额中的11个空档中插入7块档板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有711C 330=种． 【答案】330；【例3】 ()15a b c d +++有多少项？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】当项中只有一个字母时，有14C 种（即,,,a b c d ），而指数的次数为15， 故这样的项有14C 个；当项中有2个字母时，有24C 种，指数和为15，即将15个1分配给2个字母，用挡板法知为114C ，于是一共这样的项有21414C C ⋅；当项中有3个字母时，同上讨论知这样的项有32414C C ⋅种． 当项中有4个字母时，同上讨论知这样的项有43414C C ⋅种． 于是()15a b c d +++的项数为12132434414414414C C C C C C C 816+⋅+⋅+⋅=．或者化为123415x x x x +++=的不定方程非负整数解的问题，答案为318C 816=． 【答案】816；【例4】 有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】为使每个盒子内的球数不少于编号数，先将0，1，2个球分别放入编号为1，2，3的盒子，这样这个问题转化为将17个球放入三个不同盒子的问题．将17个小球排成一排，在其间的16个空隙中插入2个挡板即可．于是所有的方法数为216C 120=． 【答案】120；【例5】 不定方程12350...100x x x x ++++=中不同的正整数解有 组，非负整数解有 组．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】相当于把100个1分给50个未知数，采用挡板法，于是所有的方法数为4999C ；非负整数解的问题，等价于 ()()()()12350111...1150x x x x ++++++++=的非负整数解问题，等价于1i i y x =+，12350...150y y y y ++++=的正整数解问题，一共有49149C 组．【答案】4999C ，49149C ；【例6】 5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少种不同的带法． 【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙中的排列问题．59C 126=种．【答案】126；【例7】 将7个完全相同的小球任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】考虑将74+个球放入4个盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子都减去一个球后与题目中的情形一一对应，故只需考虑将11个球放入4个盒子，每个盒子都不空即可．用加号法：将11写成11个1相加，共有10个加号，从中任取3个，刚可将这些数分成4份，共310C 120=种． 【答案】120；【例8】 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题，共有612C 924=种不同的走法．【答案】924；【例9】 有10个三好学生名额，分配到高三年级的6个班里，要求每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】将10写成10个1相加，其中有9个加号，选出其中的5个加号，于是10可以被分成6数之和，且每个数都不小于1，故共有59C 126=种分配方案．【答案】126；【例10】 某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少一个，名额分配方案共有_____种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】用隔板法，18人排成一排，有17个间隔，在17个间隔里插入9个隔板，故共有917C 种分配方案．【答案】917C【例11】 10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】先拿3个指标分配给二班一个，三班两个，然后，问题就转化为7个优秀名额分配给三个班级，每班至少一个．用隔板法，有2615C =种方法．【答案】15插空法（当需排的元素不能相邻时）【例12】 从1231000，，，，个自然数中任取10个互不连续的自然数，有多少种不同的取法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为10个相同的黑球与990个相同的白球，其中黑球不相邻的排列问题，也就是从990个白球形成的991个空档中选择10个放黑球，共有10991C 种不同的取法．【答案】10991C【例13】 某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ）A ．12B ．16C ．24D ．32【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2010年，西城1模【解析】将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有34A 24 种排法． 【答案】C ；【例14】 三个人坐在一排8个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】将三个人插入5个空位中间的四个空档中，共有34A 43224=⨯⨯=种． 【答案】24；【例15】 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】6个歌唱节目排列有66Α种，歌唱节目的空隙及两端共7个位置排入4个舞蹈节目，有47Α种方法．因此，由计数原理总方法有6467ΑΑ种．【答案】6467ΑΑ【例16】 马路上有编号为l ，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有_____种． （用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】关掉的灯不能相邻，也不能在两端．又因为灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯．有3620C =种．【答案】20；【例17】 为配制某种染色剂， 需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂， 其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响， 总共要进行的试验次数为 ．（用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】先将无机染料和添加剂全排，有44Α种，包括两端共5个空，再将3种有机染料插入空中，有35Α种，故总要试验的次数为43451440=ΑΑ．【答案】1440；【例18】 一排9个座位有6个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有______种不同的坐法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】六个人全排后，将3空位插入六个人之间的五个空档中，共6365A C 720107200=⨯=种坐法．【答案】7200；【例19】 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同发言顺序的种数为（ ）A ．360B ．520C ．600D ．720【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2009年，海淀区2模【解析】只有甲参加时，有3454C 240=Α种；同理，只有乙参加时也有240种；甲、乙都参加时，先从剩下的5人中选2个排好，然后将甲、乙两人插入3个空中，故共有2253120=ΑΑ种． 因此不同发言顺序的种数为2402120600⨯+=．【答案】C ；【例20】 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】相当于在一个有10个位置的节目单中，有序插入2个歌唱节目，还剩余8个位置，由于剩余的8个节目的相对位置固定，故此时10个节目的位置确定．故所有的排法数为21010990A =⋅=． 【答案】90；【例21】 某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题，将三黑球“捆绑”在一起看成一个“黑球”，与另一个黑球插入四个白球的空档中，共有25A 20=种不同的结果． 【答案】20；捆绑法（当需排的元素有必须相邻的元素时）【例22】 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：4444A A 576⋅=．【答案】576；【例23】 四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】先选取4个小球中的2个捆绑在一个，然后此3个群体放入3个盒子，一共的方法数有2343C A 36⋅=种．【答案】36【例24】 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列．【答案】1192928C A ⋅【例25】 停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】先将8辆车全排有88Α种，再将4个空车位看成整体插入8辆车形成的9个空档中，有19C 种方法，故所求的方法为889Α．【答案】889Α；【例26】 四个不同的小球放入编号为1234，，，的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______种．（用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】4个盒子选一个为空的方法14C 种，4个小球放入剩下3个盒子，每盒都至少有一个，只有112，，这种可能，故总共有111234432322C C C C 144=ΑΑ种放法． 换一种思路，从4个小球中取2个放在一起，有24C 种不同的方法，把取出的两个看成一个大球，与另外两个小球放入4个盒子中的3个，有34Α种不同的方法，故共有2344C 144=Α种放法．【答案】144；除序法（平均分堆问题，整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列．）【例27】 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】分出三堆书()()()123456,,,,,a a a a a a 由顺序不同可以有33A 6=种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有22264233C C C 15A =种 【答案】15【例28】 6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】分出三堆书()()()123456,,,,,a a a a a a 由顺序不同可以有22A 4=种，而这4种分法只算一种分堆方式，故分堆方式有41162122C C C 15A =种 【答案】15；【例29】 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴7733A A ；⑵773434A A A【例30】 一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星【题型】解答 【关键字】无【解析】在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为12，故本例所求的排法种数就是所有排法的12，即661A 3602=种．或者由于数学和体育的次序固定，方法数为6622A 360A =． 【答案】360【例31】 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，海南宁夏高考【解析】A ；从五天中抽出三天来安排甲乙丙共有35C 10=种，其中甲要排在三天中的第一天，乙与丙还有两种顺序，故共有20种安排方法．【答案】A ；【例32】 某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A 校定为第一志愿，再从5所一般大学中选3所填在第二档次的3个志愿栏内，其中B C ，校必选，且B 在C 前，问此考生共有 种不同的填表方法（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，东城1模【解析】第一档次的志愿填法有26Α种；第二档次的学校除B C ，外另一个有13C 种选法，排顺序有3332=Α种（因为B 在C 前和B 在C 后的排法是一样多的），因此不同的填表方法共有21633C 270⨯=Α种．【答案】270递推法【例33】 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？ 【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设上n 级楼梯的走法有n a 种，易知121,2a a ==，当2n ≥时，上n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有1n a -种走法，第二类是最后一步跨两级，有2n a -种走法，由加法原理知：12n n n a a a --=+，据此3123a a a =+=，4235a a a =+=，5348a a a =+=，如是很容易计算出上10级台阶的走法数为89．【答案】89；用转换法解排列组合问题【例34】 某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．25A 20=种． 【答案】20【例35】 6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．59C 126=种．【答案】126；【例36】 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的取法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题．于是答案为10991C ．【答案】10991C【例37】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．37C 35=种．【答案】35；【例38】 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．612C 924=种．【答案】924；【例39】 求()10a b c ++的展开式的项数．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答【关键字】无【解析】展开使的项为a b c αβγ，且10αβγ++=，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．212C 66=种． 【答案】66【例40】 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设亚洲队队员为a 1，a 2，…，a 5，欧洲队队员为b 1，b 2，…，b 5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为610C =252（种）【答案】252；【例41】 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？ 【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有415C 1365 个． 【答案】1365；。
排列组合公式(教师版)
一、排列组合公式（四下）第3讲排列组合公式四年级春季知识点一、熟练掌握排列的定义和公式．二、熟练掌握组合的定义和公式．三、能够用排列组合解决简单的问题．四、初步区分排列和组合．一、排列、组合计算1、计算：（1）25A =_______；（2）37A =______；（3）4266A A -=_______．【答案】（1）20（2）210（3）330【解析】（1）255420A =⨯=（2）37765210A =⨯⨯=（3）4266654365330A A -=⨯⨯⨯-⨯=．2、计算：（1）24A ；（2）410A ；（3）42663A A -⨯．【答案】12；5040；270【解析】（1）244312A =⨯=；（2）410109875040A =⨯⨯⨯=；（3）()42663654336565341270A A -⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯-=．3、0121112C +C __________.=【答案】2【解析】全选和一个都不选都是有一种方法，112+=．课堂例题方法精讲4、计算：（1）35C ；（2）3210102C C -⨯；（3）45C ，15C ；（4）710C ，310C ．【答案】10；30；5，5；120，120【解析】（1）()3554332110C =⨯⨯÷⨯⨯=；（2）()()3210102109832121092130C C -⨯=⨯⨯÷⨯⨯-⨯⨯÷⨯=；（3）()41555432432155C C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯==，；（4）()710109876547654321120C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，()3101098321120C =⨯⨯÷⨯⨯=．5、计算：（1）01233333C C C C +++；（2）0123444444C C C C C ++++；（3）012345555555C C C C C C +++++；（4）0121010101010C C C C ++++ ；（5）012345111111111111C C C C C C +++++．【答案】8；16；32；1024；1024【解析】（1）012333332228C C C C +++=⨯⨯=；（2）0123444444=2222=16C C C C C ++++⨯⨯⨯；（3）0123455555552222232C C C C C C +++++=⨯⨯⨯⨯=；（4）012101010101010=2=1024C C C C ++++ ；（5）01234511111111111111221024C C C C C C +++++=÷=．二、排列问题6、小高、墨莫、卡莉娅和宣萱四个人到野外郊游，其中三个人站成一排，另外一个人拍照，请问：一共会有多少张不同的照片？【答案】24【解析】从4个人中选3人出来排列，3443224A =⨯⨯=．7、甲、乙、丙、丁、戊5人一起出去游玩，在某一风景点排成一排合照.如果甲站在最右边，那最多可以照____________张不同的照片．【答案】24【解析】另外四个人任意占无要求，所以总的方法数是44432124A =⨯⨯⨯=．8、有8个选手，要在8个人中选出冠军、亚军和季军，有_____________种可能．【答案】336【解析】有一定的顺序，所以答案是38876336A =⨯⨯=．9、从1~5这5个数字中选出4个数字（不能重复）组成四位数，共能组成多少个不同的四位数？千位是1的四位数有多少个？其中比3000小的有多少个？【答案】120；24；48【解析】（1）455432120A =⨯⨯⨯=；（2）3443224A =⨯⨯=；（3）比3000小的有1开头和2开头的，1千多的数和2千多的数一样多，共有342243248A ⨯=⨯⨯⨯=．。
小学六年级数学第讲：排列组合(教师版)
第十九讲排列组合一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素P．的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做mn根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；步骤2：从剩下的(1n-)种方法；n-)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（） ．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⨯．因此，组合数12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =． 五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a -- 个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。
排列组合练习题教师版
排列组合练习题40题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（题型注释）1．我班制定了数学学习方案: 星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A.50种B.51种C.140种D.141种【答案】D【解析】试题分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有0112233 6656463141C C C C C C C+++=种考点：排列组合问题2．从0，1，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）A、24个B、36个C、48个D、54个【答案】C【解析】若包括0，则还需要两个奇数，且0不能排在最高位，有C32A21A22＝3×2×2＝12个若不包括0，则有C21C32A33＝3×2×6＝36个共计12＋36＝48个考点：排列组合3．有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定。
技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（）A．16 B．24 C．32 D．48【答案】C【解析】试题分析：前两次测试的是一件稳定的，一件不稳定的，第三件是不稳定的，共有211 22832A C C=种方法．考点：排列与组合公式．4．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码. 则X所有可能取值的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】试题分析：随机变量X的可能取值为6,5,4,3取值个数为4.1 / 10考点：离散型随机变量的取值.5．在1,2,3,4,5,6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A ．60个B ．36个C ．24个D ．18个【答案】A【解析】依题意，所选的三位数字有两种情况：(1)3个数字都是偶数，有33A 种方法；(2)3个数字中有2个是奇数，1个是偶数，有23C 13C 33A 种方法，故共有33A ＋23C 13C 33A ＝60种方法，故选A ．6．将A ，B ，C ，D ，E 排成一列，要求A ，B ，C 在排列中顺序为“A，B ，C”或“C，B ，A”(可以不相邻)，这样的排列数有( )A ．12种B ．20种C ．40种D ．60种【答案】C【解析】五个元素没有限制全排列数为55A ，由于要求A ，B ，C 的次序一定(按A ，B ，C 或C ，B ，A)故除以这三个元素的全排列33A ，可得5533A A ×2＝40． 7．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放2支，则不同的放法有( )A ．56种B ．84种C ．112种D ．28种【答案】C【解析】根据题意先将7支不同的笔分成两组，若一组2支，另一组5支，有27C 种分组方法；若一组3支，另一组4支，有37C 种分组方法．然后分配到2个不同的笔筒中，故共有(27C ＋37C )22A ＝112种放法．8．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为( )A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种【答案】C【解析】爸爸排法为22A 种，两个小孩排在一起故看成一体有22A 种排法．妈妈和孩子共有33A 种排法，∴排法种数共有22A 22A 33A ＝24种．故选C ． 9．2013年8月31日，第十二届全民运动会在辽宁省举行．某运动队有男运动员6名，女运动员4名，选派5人参加比赛，则至少有1名女运动员的选派方法有( )A ．128种B ．196种C ．246种D ．720种【答案】C【解析】“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．从10人中任选5人，有510C3 / 10种选法，其中全是男运动员的选法有56C 种．所以“至少有1名女运动员”的选法有510C －56C ＝246种． 10．三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为( )A ．8B ．6C ．14D ．48【答案】D【解析】先排首位6种可能，十位数从剩下2张卡中任取一数有4种可能，个位数1张卡片有2种可能，∴一共有6×4×2＝48(种)．11．某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有( )A ．8种B ．10种C ．12种D ．32种【答案】B【解析】从A 到B 若路程最短，需要走三段横线段和两段竖线段，可转化为三个a 和两个b的不同排法，第一步：先排a 有35C 种排法，第二步：再排b 有1种排法，共有10种排法，选B 项．12．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有（ ）A ．35种B ．16种C ．20种D ．25种【答案】D【解析】试题分析：学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，有三种方法，一是不选甲乙共有45C 种方法，二是选甲，共有35C 种方法，三是选乙，共有35C 种方法，把这3个数相加可得结果为25考点：排列组合公式13．用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．648C ．328D ．360【答案】C【解析】试题分析：首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在个位时,有=9×8=72（个）,当0不排在个位时,有=4×8×8=256（个）,于是由分类加法计数原理,得符合题意的偶数共有72+256=328（个）．考点：排列组合知识14．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 （ ）A.36种B.30种C.24种D.6种【答案】B【解析】试题分析：先将语文、数学、英语、理综4科分成3组，每组至少1科，则不同的分法种数为24C ，其中数学、理综安排在同一节的分法种数为1，故数学、理综不安排在同一节的分法种数为24C -1，再将这3组分给3节课有33A 种不同的分配方法，根据分步计数原理知，不同的安排方法共有(24C -1)33A =30，故选B.考点：分步计数原理，排列组合知识15．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( )A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种【答案】B【解析】试题分析：从4题种选一道作为不被选中的题有4种，从4位教师中选2位，这两位是选同样题目的有246C =种，被选中两次的题目有3种方案，剩下的两位教师分别选走剩下的2题，共4632=144⨯⨯⨯种.考点：排列组合.16．用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（ ） A ．610 B ．630 C ．950 D ．1280【答案】B【解析】试题分析：采用分类原理：第一类：涂两个红色圆，共有11111111114554555544605A A A A A A A A A A 种；第二类：涂三个红色圆，共有115525A A 种；故共有630种.17．如图，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）A ．288种B ．264种C ．240种D ．168种【答案】B【解析】先分步再排列先涂点E ，有4种涂法，再涂点B ，有两种可能：5 / 10(1)B 与E 相同时，依次涂点F ，C ，D ，A ，涂法分别有3，2，2，2种；(2)B 与E 不相同时有3种涂法，再依次涂F 、C 、D 、A 点，涂F 有2种涂法，涂C 点时又有两种可能：（2.1）C 与E 相同，有1种涂法，再涂点D ，有两种可能：①D 与B 相同，有1种涂法，最后涂A 有2种涂法；②D 与B 不相同，有2种涂法，最后涂A 有1种涂法．（2.2）C 与E 不相同，有1种涂法，再涂点D ，有两种可能：①D 与B 相同，有1种涂法，最后涂A 有2种涂法；②D 与B 不相同，有2种涂法，最后涂A 有1种涂法．所以不同的涂色方法有4×{3×2×2×2+3×2×[1×(1×2+1×2)+1×(1×2+1×1)]}=4×(24+42)=264．18．将6名男生、4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有（ ）A ．240种B ．120种C ．60种D ．180种【答案】B【解析】试题分析：从6名男生中选3人，从4名女生中选2人组成一组，剩下的组成一组，则3264120C C =.19．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙、丙不会开车但能从事其他三项工作，丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）A ．240B ．126C ．78D ．72【答案】C试题分析：根据题意，分情况讨论，①甲、乙、丙三人中有两人在一起参加除了开车的三项工作之一，有2112332236C C C A ⨯=种；②甲、乙、丙三人各自1人参加除了开车的三项工作之一即丁、戌两人一起参加开车工作时，有336A =种；③甲、乙、丙三人中有一1人与丁、戌中的一人一起参加除开车的三项工作之一，有11123232136C C C A ⨯=种，由分类计数原理，可得共有3663678++=种，故选C.20．六名大四学生(其中4名男生、2名女生)被安排到A ，B ，C 三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不能到同一学校，也不能到C 学校，男生甲不能到A 学校，则不同的安排方法为( )A ．24B ．36C ．16D ．18【答案】D【解析】女生的安排方法有22A ＝2种．若男生甲到B 学校，则只需再选一名男生到A 学校，方法数是13C ＝3；若男生甲到C 学校，则剩余男生在三个学校进行全排列，方法数是33A ＝6.根据两个基本原理，总的安排方法数是2×(3＋6)＝18.21．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有( )．A ．720种B ．520种C ．600种D ．360种【答案】C【解析】分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，则不同的发言顺序有134254C C A 种；第二类：甲、乙同时参加，则不同的发言顺序有22222523C C A A 种．共有：134254C C A ＋22222523C C A A ＝600(种)．二、填空题（题型注释）22．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一。
教师排列组合典型例题
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的，并且在实际中的解题方法也是比较复杂的，下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧。
1.排列的定义：从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2.组合的定义：从n个不同元素中，任取m个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
3.排列数公式：4.组合数公式：5.排列与组合的区别与联系：与顺序有关的为排列问题，与顺序无关的为组合问题。
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法?分析此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。
所涉及问题是排列问题。
解先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有种选法。
根据乘法原理，共有的不同坐法为种。
结论1 插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。
即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。
例2 、5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法?分析此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此，女生是特殊元素，并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。
解因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列，有种排法，其中女生内部也有种排法，根据乘法原理，共有种不同的排法。
结论2 捆绑法：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。
即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。
例3 高二年级8个班，组织一个12个人的年级学生分会，每班要求至少1人，名额分配方案有多少种?分析此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。
(教师版)排列组合问题经典题型与通用方法
排列组合问题经典题型与通用方法(教师版)1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
小学六年级数学第讲：排列组合(教师版)
第十九讲排列组合一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素P．的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做mn根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；步骤2：从剩下的(1n-)种方法；n-)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（） ．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⨯．因此，组合数12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =． 五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a -- 个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。
2021届浙江高三2-3月卷排列组合小题汇编(教师版)
2021届浙江高三2-3月卷排列组合小题汇编（教师版）一、选择题1：（2021年2月杭二中高三开学考解析第6题）1：美国对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲、乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲、乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（ ）中A ．96B ．120C ．180D ．216方法提供与解析：（浙江宁波虞哲骏）解析：由题：先选两个人一组：2213329C C C +=种，再分配到4个部门：44A ．所以共有449216A =种，故选D ．2：（2021年2月高三之江教育开学考解析第7题）2：5名同学排成一组照相，若甲、乙相邻且乙、丙不相邻，则不同的排法有 （ ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种方法提供与解析：（浙江嘉兴王帅峰） 解析1：（间接法）此题直接做需要分类讨论，适合用间接法：只考虑甲乙相邻时，共有424248A A ⨯=种，甲乙相邻且乙丙也相邻时，则甲乙丙三人的顺序只能是甲乙丙或者丙乙甲，此时共有33212A =种，所以甲、乙相邻且乙、丙不相邻的种类共有36种，故选B3：（2021年2月瑞安中学高三返校考解析第7题）3：从0，2，4，6，8和1，3，5，7，9两组数中各取两个数，组成无重复数字的四位偶数的个数是（ ）A.720B.1120C.1200D.1680 方法提供与解析：（杭州唐慧维） 解析：分两类：①有0：1121311214513122400C C C A A A A A②无0：22134523720C C A A综上，4007201120N ，故选B.4：（2021年3月宁波十校高三联考解析第8题）4：现有个9相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同方法的种数是（ ）A ．28B ．24C ．18D ．16方法提供与解析：（浙江宁波周西奥） 解析：（经典的方程解的问题）首先，由于各个盒子中球数互不相同，此时共有(3,3,3),(4,4,1),(2,2,5),(1,1,7)，排列得1+3+3+3=10组解，这是我们要舍去的；其次，设三个盒子中的球数为123,,x x x ，原题即1239x x x ++=的解的个数，相当于9个球，8个空中插2块隔板，也就是2828C =种，故所有的种数为28-10=18种5：（2020年12月宁波市高中数学竞赛解析第7题）5：某次考试共有3道题，每题的得分均可能为0分、1分、2分、或3分，若共有15名学生参加考试，则存在两名学生甲、乙（ ）A ．前两题的得分均相同B ．三道题的得分之和相同C ．三道题的得分之积相同D ．对每道题，甲的得分均不低于乙的得分方法提供与解析：（浙江绍兴孔祥新）解析：A ．前两题的得分的不同情况有44=16⨯种，所以A 不正确； B ．三道题的得分之和可能的值有0，1，2，…，9，共10种，所以B 正确；C ．三道题的得分之积可能的值有0，1，2，3，4，6，8，9，12，18，27，共11种，所以C 正确；D ．先考虑两名学生前2题的得分情况，若前2题得分相同，则这2名学生即符合条件，故不妨设没有2名学生前2题得分相同，将其16种不同的得分情况分成三类．第一类（0，0），（1，0），（2，0），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）至多4名学生， 第二类（0，1），（1，1），（2，1），（2，2），（2，3）至多5名，第三类（0，2），（0，3），（1，2），（1，3）至多4人，至多13种，所以D 正确； 故选B,C ，D ．6：（2021年2月数海漫游“迎辛丑年”线上测试卷解析第17题）6：将1,2,3,4,5五个数字排成一行，满足相邻两数差的绝对值不大于2的排列有种（ ）．A ．4916-B ．3-C ．116-D ．20方法提供与解析：（浙江新昌+赵洋） 解析1：（间接法、排除法）五个数字的全排列数为55120A =．相邻两数差的绝对值大于2的组合有1，4；1，5；2，5三种组合，仅有一个组合中的两数相邻时，其不同排法种数为424248A A ⋅=；当1，4与1，5同时相邻时，1必定在中间，4，5分居两侧，其不同排法种数为323212A A ⋅=；当1，5与2，5同时相邻时，5必定在中间，1，2分居两侧，其不同排法种数为323212A A ⋅=；当1，4与2，5同时相邻时，其不同排法种数为32232224A A A ⋅⋅=；当三个组合同时相邻时，有5在1，2中间，1在4，5，则有2,5,1,4，或者4,1,5,2，其不同排法种数为22224A A ⋅=；所以满足题意的不同排法种数为120483*********N =-⨯+++-=，故填20解析2：（直接法、树状图）当1的左右两侧都有数字时，必为2,3，其排法有两种，排好后将其作为一个整体；当4，5位于整体的两侧时，5只能在3的边上，4在2的边上，仅有一种排法；当4，5位于整体的同侧时，4，5同在3的边上有两种排法，4，5同在2的边上有一种排法，此时共有不同排法种数1248N =⨯=．当1在左侧时，有树图如下共有不同排法种数为26N =；当1在右侧时，同理可得36N =；，所以满足题意的不同排法种数为12320N N N N =++=，故填20二、填空题1：（2021年3月温州二模解析第15题）1：有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有种不同的停放方法 ．（用数字作答）A B C DEF方法提供与解析：解析：由题：先排第一行有：11222324C C A =种排法，则第2行用列举法可知有3种排法，所以总共有：72种．答案：722：（2021年2月新昌高三期末卷解析第16题）2：小张的公司年会有一个小游戏：箱子中有材质和大小完全相同的六个小球，其中三个球标有号码1，两个球标有号码2，一个球标有号码3，有放回的从箱子中取两次球，每次取一个，设第一个球的号码是x ，第二个球的号码是y ，记2x y ξ=+，则()7P ξ==；若公司规定9,8,7ξ=时，分别为一二三等奖，奖金分别为1000元，500元，200元，其余无奖．则小张玩游戏一次获得奖金的期望为 元． 方法提供与解析：（浙江温州+倪阿亮）解析：由题意可知7123322ξ==+⨯=+⨯，所以()311257666636P ξ==⨯+⨯=；()21286636P ξ==⨯=()11196636P ξ==⨯=，所以玩一次获得奖金的期望为25125050020010003636363⨯+⨯+⨯=3：（2021年2月浙江省水球高考命题研究组方向性测试解析第15题）3：从1，2，3，4，5，6中选出五个数字组成五位数，要求有且仅有两个奇数相邻，则所有满足条件的五位数的个数是 ．（用数字作答）方法提供与解析：（浙江温州郑寿好）解析：若选出2奇3偶，则有13123342144=C A A A 种；若选出3奇2偶，则有1222232332216=C A C A A 种；；故填360．4：（2021年2月温州中学高三返校考解析第16题）4：“e 游小镇”某公司有E D C B A ,,,,五幢独立的大楼，每两幢大楼的顶楼之间没有连接的天桥，现在公司打算在这五幢楼的顶楼之间共建造3座天桥（每两幢楼的顶楼之间至多建造一座天桥），要使A 楼的人员能够通过天桥走到B 楼，则3座天桥的建造方法共有种 ．方法提供与解析：（杭州沙志广） 解析1（分类）：（1）A 直接连接B ，还剩两座大桥未连接，有362)2)(1(2525=--C C 种（2）A 通过一幢楼作为中介连接至B ，可选E D C ,,其一维中介，故共有21)232(3=++⨯种建造方法 （3）A 通过两座楼为中介再连至B ，可选DE CE CD ,,三种情况，若选CD ，有B D C A ---，B C D A ---两种，故共有623=⨯种 综上所述，共有6362136=++种5：（2021年2月高三名校协作体联考解析第15题）5：有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有种不同的坐法 ．方法提供与解析：（浙江杭州罗彪） 解析：捆绑法+插空法第一步，考虑甲乙丙的位置关系，丙只能在最前或后，甲乙顺序随意，有1222C A 4=种情况；第二步，考虑将丁放入甲乙丙产生的4个空位中，有14C 4=种情况；第三步，4个空位插入甲乙丙丁产生的5个空位中，4个空位由题意是2个1空位，1个2连空位，先选一个位置放2连空位有15C 种情况，再选2个空位放1空位有24C 种情况，故有1254C C 30=种情况；因此，总计有4430480⨯⨯=种情况，故答案为480．6：（2021年3月高三“超级全能生”联考解析第16题）6：某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里， 每只灯笼里仅放一个谜题，并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只 灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有 种 不同的答题顺序方法提供与解析：（杭州沙志广）解法1：参与者一共需要6次完成答题任务，其中1次答第一串灯笼中的题共有16C 种不同的顺序，另有2次答第二串灯笼中的题共有25C 种不同顺序，剩余三次答第三串灯笼中的题有33C 种不同顺序，所以一共有60332516=C C C （种） 解法2：该题目也可以理解成将“A ，21,B B ，321,,C C C 一共6个姊妹排成一排，21,B B 按既定顺序排列，321,,C C C 也按既定顺序排列的方法数”，所以一共有60332516=C C C （种）或者60332266=A A A 种。
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二十种排列组合问题的解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理． 教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理．2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题．提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事． 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类． 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 排法；然后排首位，从２，４和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种排法； 最后排中间三个数，从剩余四个数中任选３个的排列数共有34A 种排法；∴由分步计数原理得113434288C C A =443练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？解：先种两种不同的葵花在不受限限制的四个花盒中共有24A 不同种法，再其它葵花有55A 不同种法，所以共有不同种法2545121201440A A =⨯=种不同的种法． 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排．由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法．练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 解：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中的四枪的空位，共有2520A =种不的情形． 三.不相邻问题插空策略例3.一晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7733A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法．（七个空位坐了四人，剩下３个空位按一定顺序坐下甲，乙，丙）思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有3474C A 方法．（先选三个座位坐下甲，乙，丙共有37C 种选法，余下四个空位排其它四人共有44A 种排法，所以共有3474C A 种方法．）练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C 五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法 练习题：1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 422. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87六.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置，２个特殊元素有24A 种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种排法．（排好后，按前４个为前排，后４人为后排分成两排即可）练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１，１２位置是排甲乙中的一个时，与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除３个，所以共有排列11116181417108238346C C C C +=+=七.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种八.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？（注：两个偶数２，４在两个奇数１，５之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故３只能排这个结构的外围，也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列）． 解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种九.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排．相邻名额之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法． 注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的．即班级不同，但名额都是一样的．练习题：10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 49C一班二班三班四班七班2.100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C十.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +．再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +- 练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种?十一.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22264233C C C A 种分法．练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（544138422C C C A ） 2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 （1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n n A (n 为均分的组数)避免重复计数。
排2名，则不同的安排方案种数为______（2224262290C C A A =） 十二. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员．选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有22112223353455C C C C C C C ++种．解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。