b中高一(上)自主学习数学试卷()

2011-2012学年江苏省徐州一中高一（上）自主学习数学试卷（3）一、填空题（本大题包括14小题；每小题5分，满分70分）

1．（5分）已知f（x）=x2+ax+b，满足f（1）=0，f（2）=0，则f（﹣1）

=_________．

2．（5分）已知函数f（x）=2x+1，则函数f（x2+1）的值域为_________．

3．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则实数a的取值范围是_________．

4．（5分）设y=f（x）在x∈[0，1]上的图象如图所示，且f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），则f（x）

在[1，2]上的解析式为_________．

5．（5分）函数f（x）=x2﹣4x，x∈[0，a]的值域是[﹣4，0]，则a的取值范围为_________．

6．（5分）函数y=x2+ax+3（0＜a＜2）在[﹣1，1]的最大值是_________，最小值是_________．

7．（5分）已知，则f（x）=_________．

8．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为_________．9．（5分）（2009?黄冈模拟）函数y=ax2﹣2x图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于1，则a的取值范围是_________．

10．（5分）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是_________．

11．（5分）函数y=﹣x2+4ax在区间[2，4]上为单调函数，则实数a的取值范围是_________．

12．（5分）函数f（x）=ax2+bx+3a+b（x∈[a﹣1，2a]）的图象关于y轴对称，则f（x）的值域为_________．13．（5分）（2011?安徽模拟）规定符号“△”表示一种运算，即，其中a、b∈R+；若1△k=3，则函数f （x）=k△x的值域_________．

14．（5分）（2008?浙江）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=_________．

二、解答题（本大题包括3小题；每小题10分，满分30分）解答时要有答题过程！

15．（10分）用单调性定义证明：函数在区间（0，1）内单调递减．

16．（10分）已知函数y=f（x）=x2+ax+3在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣3，求实数a的值．

17．（10分）（2013?嘉定区一模）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|，

（Ⅰ）当a=2时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；

（Ⅲ）设a≠0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）．2011-2012学年江苏省徐州一中高一（上）自主学习数学试卷（3）

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题包括14小题；每小题5分，满分70分）

1．（5分）已知f（x）=x2+ax+b，满足f（1）=0，f（2）=0，则f（﹣1）=6．

考点：二次函数的性质．

专题：计算题．

分析：

由题设可知，由此能求出f（x）=x2﹣3x+2，进而能够求出f（﹣1）．

解答：解：∵f（x）=x2+ax+b，满足f（1）=0，f（2）=0，

∴，

解得a=﹣3，b=2．

∴f（x）=x2﹣3x+2，

∴f（﹣1）=1+3+2=6．

故答案为：6．

点评：本昰考查二次函数的性质和应用，解题时要认真审题，合理地建立方程组，先求出f（x），再解f（﹣1）．2．（5分）已知函数f（x）=2x+1，则函数f（x2+1）的值域为[3，+∞）．

考点：函数的值域．

专题：计算题．

分析：根据已知函数先求出函数f（x2+1），再求出函数的值域即可．

解答：解：因为函数f（x）=2x+1

所以函数f（x2+1）=2（x2+1）+1=2x2+3

因为x2≥0

所以f（x2+1）=2x2+3≥3

所以函数f（x2+1）的值域为[3，+∞）

故答案为：[3，+∞）

点评：本题以已知函数为载体，考查二次函数的值域，关键是确定函数的解析式，利用二次函数最值的求解方法求函数的值域．

3．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，1]．

考点：二次函数的性质．

专题：计算题．

分析：f（x）=x2﹣2ax开口向上，对称轴方程x=a，由x∈[1，+∞）是增函数，可得到a所满足的不等式，从而求出实数a的取值范围．

解答：解：∵f（x）=x2﹣2ax，

∴抛物线开口向上，对称轴方程x=a，

∵x∈[1，+∞）是增函数，

∴a≤1．

故答案为：（﹣∞，1]．

点评：本题考查二次函数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对称轴和抛物线单调区间的关系的应用．4．（5分）设y=f（x）在x∈[0，1]上的图象如图所示，且f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），则f（x）

在[1，2]上的解析式为f（x）=x，x∈[1，2]．

考点：函数解析式的求解及常用方法．

专题：计算题．

分析：从要求的结论f（x）在[1，2]上的解析式不难知道：本题需要知道利用函数的对称性，恰好题中给出了条件f （1﹣x）=f（1+x），因此可知函数的对称性，所以只需求出f（x）在[0，1]上的解析式即可求解．

解答：解：由图知，f（x）在[0，1]上的图象是过两点（1，1），（0，2）的线段，

斜率为﹣1，在y轴上的截距为2，

其解析式为：f（x）=﹣x+2，x∈[0，1]；

∵f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），可得f（x）=f（﹣x+2），

当1≤x≤2时，0≤﹣x+2≤1，∴f（﹣x+2）=﹣（﹣x+2）+2=x，

∴f（x）=x，x∈[1，2]；

故答案为：f（x）=x，x∈[1，2]．

点评：本题是中档题．考查函数解析式的求解及常用方法、函数的对称性，是道综合题，其中探讨函数的对称性是难点．

5．（5分）函数f（x）=x2﹣4x，x∈[0，a]的值域是[﹣4，0]，则a的取值范围为[2，4]．

考点：二次函数在闭区间上的最值．

专题：计算题．

分析：由已知函数的解析式，我们可以判断出函数图象的形状，单调性及最值，根据函数f（x）=x2﹣4x，x∈[0，a]的值域是[﹣4，0]，易结合二次函数的图象和性质得到答案．

解答：解：∵函数f（x）=x2﹣4x的图象是开口方向朝上，以直线x=2为对称轴的抛物线；

在区间[0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数，

且f（0）=f（4）=0，f（x）min=f（2）=﹣4，

若定义域为[0，a]，值域为[﹣4，0]，

则2≤a≤4

故答案为：[2，4]．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据已知条件确定二次函数的图象和性质，是解答本题的关键．6．（5分）函数y=x2+ax+3（0＜a＜2）在[﹣1，1]的最大值是4+a，最小值是．

考点：函数的最值及其几何意义．

专题：计算题；数形结合．

分析：函数y=x2+ax+3（0＜a＜2）的对称轴为x=﹣∈（﹣1，0），其图象开口向上，故最大值为y

，最小值为

（1）

解答：解：函数y=x2+ax+3（0＜a＜2）的对称轴为x=﹣∈（﹣1，0），其图象开口向上，

故最大值在x=1时取到，其值为4+a，

最小值在x=﹣处取到，其值为，

故答案为：4+a，

点评：本题考点是函数的最值及其几何意义，考查由图象特征判断并求出函数的最大值与最小值，二次函数在闭区间上的最值问题是高考的热点，做完本题后应认真总结本题的做题规律．

7．（5分）已知，则f（x）=x2+2x+2．

考点：函数解析式的求解及常用方法．

专题：计算题．

分析：把式子分组，然后凑完全平方式，最后把原来的换为x即可．

解答：

解：因为==

所以f（x）=x2+2x+2．

故答案为：x2+2x+2．

点评：本题主要考查凑完全平方式，拼凑法求函数解析式．

8．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为（﹣2，1）．

考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质．

专题：计算题．

分析：先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f（x）的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可．

解答：解：函数f（x），当x≥0 时，f（x）=x2+4x，由二次函数的性质知，它在[0，+∞）上是增函数，当x＜0时，f（x）=4x﹣x2，由二次函数的性质知，它在（﹣∞，0）上是增函数，

该函数连续，则函数f（x）是定义在R 上的增函数

∵f（2﹣a2）＞f（a），

∴2﹣a2＞a

解得﹣2＜a＜1

实数a 的取值范围是（﹣2，1）

故答案为：（﹣2，1）

点评：本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型，利用单调性将不等式f（2﹣a2）＞f（a）转化为一元二次不等式，求出实数a 的取值范围，属于中档题．

9．（5分）（2009?黄冈模拟）函数y=ax2﹣2x图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于1，则a的取值范围是a＞1或a=0或a＜﹣1．

考点：二次函数的图象．

专题：数形结合；分类讨论．

分析：将a分成a=0，a＞0，与a＜0三种情形分别研究，再结合图象，把握解题的实质，建立关系式，解之即可．解答：解：当a=0时，函数y=﹣2x图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于1，满足条件

当a＞0时，使函数的最小值即a＞1

当a＜0时，使函数的最大值，即a＜﹣1

综上所述：a的取值范围是a＞1或a=0或a＜﹣1

故答案为：a＞1或a=0或a＜﹣1

点评：本题考查了二次函数的图象，通过讨论开口方向，数形结合有助于我们的解题，形象直观．

10．（5分）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是．

考点：二次函数的性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系．

专题：计算题．

分析：

函数的定义域为R等价于mx2﹣6x+2≥0的解集为R，所以，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：当m=0时，不符合题意

当m≠0时，∵函数的定义域为R，

∴mx2﹣6x+2≥0的解集为R，

∴，

解得m．

故答案为：[）．

点评：本题考查函数的定义域的逆运算，解题时要认真审题，注意二次函数的性质和一元二次不等式的性质的灵活运用．

11．（5分）函数y=﹣x2+4ax在区间[2，4]上为单调函数，则实数a的取值范围是a≤1或a≥2．

考点：二次函数的性质．

专题：计算题．

分析：由已知中函数的解析式y=﹣x2+4ax，根据二次函数的图象和性质，判断出函数y=﹣x2+4ax在区间（﹣∞，2a]为增函数，在区间[2a，+∞）上为减函数，由函数y=﹣x2+4ax在区间[2，4]上为单调函数，可得区间在对称轴的同一侧，进而构造关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．

解答：解：∵函数y=﹣x2+4ax的图象是

开口方向朝下，且以x=2a为对称轴的抛物线

故函数y=﹣x2+4ax在区间（﹣∞，2a]为增函数，在区间[2a，+∞）上为减函数

若函数y=﹣x2+4ax在区间[2，4]上为单调函数，

则2a≤2，或2a≥4

解得a≤1或a≥2

故答案为：a≤1或a≥2

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据函数y=﹣x2+4ax在区间[2，4]上为单调函数，判断出区间在对称轴的同一侧，进而构造关于a的不等式是解答本题的关键．

12．（5分）函数f（x）=ax2+bx+3a+b（x∈[a﹣1，2a]）的图象关于y轴对称，则f（x）的值域为．

考点：二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．

专题：计算题．

分析：由题意可知函数一定为二次函数即a≠0，图象关于y轴对称可判断出b=0，即函数解析式化简成f（x）=ax2+3a，由定义域[a﹣1，2a]关于Y轴对称，得出a的值，求f（x）的值域．

解答：解：由题意可知函数一定为二次函数即a≠0，

而图象关于y轴对称可判断出b=0，

即函数解析式化简成f（x）=ax2+3a．

由定义域[a﹣1，2a]关于Y轴对称，

故有a﹣1+2a=0，得出a=，

即函数解析式化简成f（x）=x2+1，x∈[﹣，]

f（x）的值域为[1，]．

故答案为：[1，]．

点评：此题主要考查函数二次函数图象对称的性质以及二次函数的值域的求法，求解的关键是熟练掌握二次函数的性质，本题理解对称性很关键．

13．（5分）（2011?安徽模拟）规定符号“△”表示一种运算，即，其中a、b∈R+；若1△k=3，则函数f （x）=k△x的值域[1，+∞）．

考点：函数的值域．

专题：计算题；压轴题．

分析：先根据1△k=，求得，进而求得k．把k代入f（x）=k△x得出f（x）=+x+1，进而可求得函数f（x）的定义域，再利用配方法求得函数f（x）的值域．

解答：解：1△k=，解得=1，

∴k=1

∴f（x）=k△x==+x+1

对于需x≥0，

∴对于f（x）=+x+1=（+）2+≥1

故函数f（x）的值域为[1，+∞）

故答案为：[1，+∞）

点评：本题主要考查了函数的值域的问题，以及考查阅读题意的能力，属于创新题．

14．（5分）（2008?浙江）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=1．

考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．

专题：压轴题．

分析：本题应先画出函数的大体图象，利用数形结合的方法寻找解题的思路．画出大体图象后不难发现函数的最大值只能在x=1或x=3处取得，因此分情况讨论解决此题．

解答：解：记g（x）=x2﹣2x﹣t，x∈[0，3]，

则y=f（x）=|g（x）|，x∈[0，3]

f（x）图象是把函数g（x）图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，

其对称轴为x=1，则f（x）最大值必定在x=3或x=1处取得

（1）当在x=3处取得最大值时f（3）=|32﹣2×3﹣t|=2，

解得t=1或5，

当t=5时，此时，f（0）=5＞2不符条件，

当t=1时，此时，f（0）=1，f（1）=2，符合条件．

（2）当最大值在x=1处取得时f（1）=|12﹣2×1﹣t|=2，

解得t=1或﹣3，

当t=﹣3时，f（0）=3＞2不符条件，

当t=1此时，f（0）=1，f（1）=2，符合条件．

综上t=1时

故答案为：1．

点评：本题主要考查二次函数的图象性质和绝对值对函数图象的影响变化．

二、解答题（本大题包括3小题；每小题10分，满分30分）解答时要有答题过程！

15．（10分）用单调性定义证明：函数在区间（0，1）内单调递减．

考点：函数单调性的判断与证明．

专题：证明题．

分析：任取区间（0，1）内两个实数x

1，x2，且x1＜x2，进而根据函数，作差f（x1）﹣f（x2），分解因式后，根据实数的性质，判断f（x1）﹣f（x2）的符号，进而根据函数单调性的定义，即可得到结论．

解答：证明：任取区间（0，1）内两个实数x

1，x2，且x1＜x2则x1+x2＜2＜，即x1+x2﹣＜0，x1﹣x2＜0 则f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）=（x1+x2﹣）（x1﹣x2）＞0

即f（x1）＞f（x2）

故函数在区间（0，1）内单调递减

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，其中对作差后的式子，进行因式分解，是利用定义法（作差法）证明函数单调性的难点．

16．（10分）已知函数y=f（x）=x2+ax+3在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣3，求实数a的值．

考点：二次函数在闭区间上的最值．

专题：计算题；分类讨论．

分析：函数f（x）=x2+ax+3在区间[﹣1，1]上有最小值3，对函数进行配方，对对称轴是否在区间内进行讨论，从而可知函数在何处取得最小值，利用最小值为3建立方程，解出相应的a的值．

解答：

解：，

（1），解得：a=7

（2）当，即﹣2≤a≤2时，，解得（舍去）

（3）当，即a＜﹣2时，y min=f（1）=4+a=﹣3，解得：a=﹣7．

综合（1）（2）（3）可得：a=±7．

点评：考查二次函数在闭区间上的最值问题中的动轴定区间上的最值问题，体现了分类讨论和运动变化的思想方法，属中档题．

17．（10分）（2013?嘉定区一模）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|，

（Ⅰ）当a=2时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；

（Ⅲ）设a≠0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）．

考点：函数的最值及其几何意义；函数的单调性及单调区间．

专题：综合题；数形结合；转化思想；数形结合法；综合法．

分析：（I）将a=2代入函数的解析得出f（x）=x|x﹣2|，将其变为分段函数，利用二次函数的图象与性质研究其单调性即可

（Ⅱ）当a＞2时，函数y=f（x）在区间[1，2]上解析式是确定的，去掉绝对号后根据二次函数的性质确定其单调性，再求最值．

（Ⅲ）a≠0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值说明在函数最值不在区间端点处取得，在这个区间内必有两个极值，由函数的性质确定出极值，由于极值即为最值，故可借助函数的图象得m、n的取值范围．解答：

解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x|x﹣2|=

由二次函数的性质知，单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）（开区间不扣分）

（Ⅱ）因为a＞2，x∈[1，2]时，所以f（x）=x（a﹣x）=﹣x2+ax=

当1＜≤，即2＜a≤3时，f（x）min=f（2）=2a﹣4

当，即a＞3时，f（x）min=f（1）=a﹣1

∴

（Ⅲ）

①当a＞0时，图象如上图左所示

由得

∴，

②当a＜0时，图象如上图右所示

由得

∴，

点评：本题考点是函数的最值及其几何意义，综合考查了二次函数的图象，最值等知识以及配方法求最值的技巧．解题时数形结合，转化灵活，综合性很强．