含参数导数的解题策略

含参数导数的解题策略导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。

而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳． 一、分离参数，转化为最值策略在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m ax a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m in a f x ≤，转化为函数求最值．例1、已知函数x x x f ln )(=.（Ⅰ）求)(x f 的最小值； （Ⅱ）若对所有1≥x 都有,1)(-≥ax x f 求实数a 的取值范围.二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点，从而引起讨论．例2.已知a 是实数，函数))(2a x xx f -=（. （Ⅰ）若3)1(='f ,求a 的值及曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 在区间[0，2]上的最大值．三、导函数为0是否存在，分类讨论策略求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关，令△=0，求分点，从而引起讨论．例3、已知函数2()ln f x x x a x =-+，()a R ∈，讨论()f x 在定义域上的单调性．四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间．所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论．例4、已知0>m ，讨论函数xe m x m mx xf 63)1(3)(2++++=的单调性．练习求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。

一、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。

二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

三、1．08广东（理） 设k R ∈，函数1,11(),()(),1x x f x F x f x kx x R x ⎧<⎪-==-∈⎨⎪≥⎩，试讨论函数()F x 的单调性。

2． (08浙江理)已知a 是实数，函数())f x x a =-（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。

（i ）写出()g a 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-。

3（07天津理）已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

4（07高考山东理改编）设函数()()2ln 1f x x b x =++，其中0b ≠，求函数()f x 的极值点。

含参数导数的解题策略例1、解：（Ⅰ）略． （Ⅱ）∵ 对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ， ∴ 对所有1≥x 都有1ln -≥ax x x ，即.1ln xx a +≤ 记),0(,1ln )(>+=x x x x g 只需 .)(min x g a ≤ 令,011)('2=-=x x x g 解得.1=x.100)(',10)('<<⇔<>⇔>x x g x x g∴ 当1=x 时，)(x g 取最小值.1)1(=g ∴ .1≤a 即a 的取值范围是{}.1≤a a 例2. 解：（I ）略．（II ）令'()0f x =，解得1220,3ax x ==． 当203a≤，即0≤a 时，()f x 在[0，2]上单调递增，从而max (2)84f f a ==-． 当223a ≥时，即3≥a 时，()f x 在[0，2]上单调递减，从而max (0)0f f ==．当2023a <<，即03a <<，()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而 max84,0 2.0,2 3.a a f a -<≤⎧⎪=⎨<<⎪⎩ 综上所述，max84, 2.0, 2.a a f a -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 例3、 解：由已知得22()21,(0)a x x af x x x x x-+'=-+=>， （1）当180a ∆=-≤，18a ≥时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上为增函数． （2）当180a ∆=->，18a <时，1)108a <<时，11022->>，()f x在11[22+上为减函数，()f x 在)+∞上为增函数，2）当0a <0<，故()f x 在上为减函数，()f x 在，＋∞）上为增函数． 综上，当18a ≥时，()f x 在(0,)+∞上为增函数．当108a <<时，()f x 在上为减函数，()f x 在11(0,],[)22-++∞上为增函数，当0<a 时，()f x 在（0，上为减函数，()f x 在[， ＋∞）上为增函数．例4、解：xex m mx x f 3)3()(2-+--='，设3)3()(2-+--=x m mx x g ，令0)(=x g ，得mx 31-=，12-=x ． 1)当30<<m 时，21x x <，在区间)3,(m--∞，),1(+∞-上0)(<x g ，即0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)3,(m--∞，),1(+∞-上是减函数； 在区间)13(--，m ，0)(>x g ，即0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)13(--，m上是增函数；2）当3=m 时，21x x =,在区间)1,(--∞，),1(+∞-上0)(<x g ，即0)(<'x f ，又)(x f 在1=x 处连续，所以)(x f 在区间),(+∞-∞上是减函数；3）当3>m 时，21x x >,在区间)1,(--∞，)3(∞+-，m上0)(<x g ，即0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)1,(--∞，)3(∞+-，m上是减函数； 在区间)31(m --，上，0)(>x g ，即0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)31(m--，上是增函数．练习1．解：()()2211,11,1,11()(),'(),11k x x kx x x x F x f x kx F x kx x x ⎧--<⎪⎧-<-⎪⎪-=-==⎨⎨⎪⎪≥⎩>⎪⎩。

考虑导函数'()0F x =是否有实根，从而需要对参数k 的取值进行讨论。

（一）若1x <，则()()2211'()1k x F x x --=-。

由于当0k ≤时，'()0F x =无实根，而当0k >时，'()0F x =有实根，因此，对参数k 分0k ≤和0k >两种情况讨论。

（1） 当0k ≤时，'()0F x ≥在(,1)-∞上恒成立，所以函数()F x 在(,1)-∞上为增函数；（2） 当0k >时，()()2211'()11k x F x x x --==--。

由'()0F x =，得121,1x x ⎛⎛== ⎝⎝，因为0k >，所以121x x <<。

由'()0F x >，得11x <<；由'()0F x <，得1x <- 因此，当0k >时，函数()F x在(,1-∞上为减函数，在(1上为增函数。

（二）若1x >，则'()F x =0k ≥时，'()0F x =无实根，而当0k <时，'()0F x =有实根，因此，对参数k 分0k ≥和0k <两种情况讨论。

（1） 当0k ≥时，'()0F x <在[)1,+∞上恒成立，所以函数()F x 在[)1,+∞上为减函数；（2） 当0k <时，1'()k F x ⎫-⎪==。

由'()0F x >，得2114x k >+；由'()0F x <，得21114x k<<+。

因此，当0k <时，函数()F x 在211,14k ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上为减函数，在211,4k ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭上为增函数。

综上所述：（1） 当0k >时，函数()F x在(,1-∞上为减函数，在(1上为增函数，在[)1,+∞上为减函数。

（2） 当0k =时，函数()F x 在(,1)-∞上为增函数，在[)1,+∞上为减函数。

（3） 当0k <时，函数()F x 在(,1)-∞上为增函数，在211,14k ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上为减函数，在211,4k ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭上为增函数。

2．解：（Ⅰ）函数的定义域为[)0,+∞，())'30a x f x x ⎛⎫- ⎪===>，由'()0f x =得3a x =。

考虑3a 是否落在导函数'()f x 的定义域()0,+∞内，需对参数a 的取值分0a ≤及0a >两种情况进行讨论。

（1） 当0a ≤时，则'()0f x >在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为[)0,+∞。

（2） 当0a >时，由'()0f x >，得3a x >；由'()0f x <，得03a x <<。