例说导数含参问题的处理策略
高考数学热点难点突破技巧第02讲导数中的参数问题的处理方法
第02讲：导数中参数问题的处理方法【知识要点】1、导数中参数的问题是高考的热点、重点和难点，也是学生感到比较棘手的问题.导数中参数问题的处理最常用的有分离参数和分类讨论两种方法,并且先考虑分离参数，如果分离参数不行或不方便，可以再考虑分类讨论.因为分离参数解题效率相对高一点.2、参数的问题更难一点的是把分离参数和分类讨论结合起来，对学生的能力要求更高. 【方法讲评】【例1】【2017课标3，理21】已知函数()1ln f x x a x =-- . （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值.（2）由（1）知当()1,x ∈+∞时，1ln 0x x -->.令112n x =+得11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.从而 221111111ln 1ln 1ln 1112222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .故2111111e 222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .而231111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以m 的最小值为3.【点评】（1）本题的第1问中，a 的系数ln x 符号不确定，所以不便利用分离参数解答,只能利用分类讨论求min ()f x .(2)第2问的难点在于思路，观察到不等式和已知条件的联系，这里要利用分析法，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以2111ln[111]ln 222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1ln 12⎛⎫++ ⎪⎝⎭211ln 1ln 1ln 22n m ⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以联系到已知条件和第一问，由第1问得当()1,x ∈+∞时，1ln 0x x -->. 所以要给这里的x 赋值112n x =+，后面问题就好解答了. （3）仅求得2111122⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11e 2n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ 是不够的，还要说明231111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,才能得到m 的最小值为3.（4）求函数的单调区间和极值是不能采用分离参数法的，该分类讨论的必须分类讨论.【反馈检测1】已知函数()()2xf x x e =-和()32g x kx x =--．（1）若函数()g x 在区间()1,2不单调，求实数k 的取值范围；（2）当[)1,x ∈+∞时，不等式()()2f x g x x ≥++恒成立，求实数k 的最大值． 【反馈检测2】已知()2ln f x x x =，32()2g x x ax x =+-+．（1）如果函数()g x 的单调递减区间为1(,1)3-，求函数()g x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()y g x =的图象在点(1,(1))P g --处的切线方程； （3）已知不等式()'()f x g x ≤2+恒成立，若方程0a ae m -=恰有两个不等实根，求m 的取值范围．【例2】【2017课标1，理21】已知函数2()(2)xx f x aea e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)xx x x f x aea e ae e '=+--=-+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. 1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点；当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； (0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 又422(2)e(2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20nn n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上所述，a 的取值范围为(0,1).【点评】（1）第1问为什么要分类讨论?()0101x xf x ae ae '=∴-=∴=，方程两边需要都除以a ，所以要就0a =还是0a ≠分类讨论. 当0a ≠时，1x e a =，要解这个方程，需要就00a a ><和分类讨论.（2）由于第1问要分类讨论，第2问要用到第1问的结论，所以第2问也要分类讨论.【反馈检测3】（2017山东高考文科20）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . (I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.高考数学热点难点突破技巧第02讲： 导数中参数问题的处理方法参考答案【反馈检测1答案】（1）11123k <<；（2）e -． 【反馈检测1详细解析】（1）依题意()231g x kx '=-，（2）由已知得()32x x e k x-≤，令()()42x x e h x x-=，则()()2446xx x e h x x -+'=()()24460xxx e h x x-+'=>，所以()()32x x e h x x-=在[)1,x ∈+∞单调递增，∴()()min 1h x h e ==-，∴k e ≤-，即k 的最大值为e -【反馈检测2答案】（1）32()2g x x x x =--+；（2）450x y -+=；（3）212m e e-<≤-．【反馈检测2详细解析】（1）2'()321g x x ax =+-，由题意23210x ax +-<的解集为1(,1)3-， 即23210x ax +-=的两根分别是13-，1，代入得1a =-，∴32()2g x x x x =--+． （2）由（1）知，(1)1g -=，∴2'()321g x x x =--，'(1)4g -=， ∴点(1,1)P -处的切线斜率'(1)4k g =-=，∴函数()y g x =的图象在点(1,1)P -处的切线方程为14(1)y x -=+，即450x y -+=． （3）由题意知22ln 321x x x ax ≤++对(0,)x ∈+∞上恒成立，可得31ln 22a x x x ≥--对(0,)x ∈+∞上恒成立， 设31()ln 22x h x x x =--，则22131(1)(31)'()222x x h x x x x -+=-+=-， 令'()0h x =，得1x =，13x =-（舍），当01x <<时，'()0h x >；当1x >时，'()0h x <，∴当1x =时，()h x 取得最大值，max ()2h x =-，∴2a ≥-．令()aa ae ϕ=，则'()(1)aaaa e ae e a ϕ=+=+，所以()a ϕ在[]2,1--递减，在(1,)-+∞递增，∵222(2)2e e ϕ--=-=-，11(1)e eϕ--=-=-，当x →+∞时，()x ϕ→+∞， 所以要把方程0a ae m -=恰有两个不等实根，只需212m e e-<≤-．【反馈检测3答案】（1）390x y --=；（2）见解析. 【反馈检测3详细解析】（Ⅱ）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--()()cos ()sin cos ()()sin g x f x x x a x x x x a x a x''=+---=---所以()(sin x a x x =--）'()()(sin )g x x a x x =--，00()0,sin 0sin 0x a x a g x x x x x ->-<⎧⎧'<∴⎨⎨-<->⎩⎩令即（x-a)(x-sinx)<0或00x a x ax x ><⎧⎧∴⎨⎨<>⎩⎩或 0a ∴>时，0<x<a a<0时，a<x<0.00()0,sin 0sin 0x a x a g x x x x x ->-<⎧⎧'>∴⎨⎨->-<⎩⎩令即（x-a)(x-sinx)>0或00x a x ax x ><⎧⎧∴⎨⎨><⎩⎩或 0a ∴>时，x>a a<0时，x>0或x<a.所以(1)0a <时,当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，'()0g x >，()g x 单调递增； 当(,0)x a ∈时，0x a ->，'()0g x <，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，'()0g x >，()g x 单调递增. 所以，当x a =时，()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--， 当0x =时，()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-.（3）当0a >时，'()()(sin )g x x a x x =--，当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，'()0g x >，()g x 单调递增； 当(0,)x a ∈时，0x a -<，'()0g x <，()g x 单调递减； 当(,)x a ∈+∞时，0x a ->，'()0g x >，()g x 单调递增. 所以，当0x =时，()g x 取到极大值，极大值是(0)g a =-； 当x a =时，()g x 取到极小值，极小值是31()sin 6g a a a =--.综上所述：当0a <时，函数()g x 在(,)a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是31()sin 6g a a a =--，极小值是(0)g a =-. 当0a =时，函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是31()sin 6g a a a =--.。
运用导数解决含参问题
运用导数解决含参问题运用导数解决含参函数问题的策略以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。
运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围。
解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。
解决的主要途径：是将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特征，恰当地构造函数，等价转化为：含参函数的最值讨论。
一、含参函数中的存在性问题利用题设条件能沟通所求参数之间的联系，建立方程或不等式（组）求解。
这是求存在性范围问题最显然的一个方法。
例题讲解例1：已知函数x x x f ln 21)(2+=，若存在],1[0e x ∈使不等式mx f ≤)(0，求实数m 的取值范围二、含参函数中的恒成立问题可先利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围。
类型有：(1)双参数中知道其中一个参数的范围；(2)双参数中的范围均未知。
一、选择题1 ．（2013年课标Ⅱ）已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B.函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =2 ．（2013年大纲）已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（） A ．9 B ．6 C ．-9 D ．-6 3 ．（2013年湖北）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞4.若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是: （ ）A. 1(,)3+∞B. 1(,)3-∞C. 1[,)3+∞D. 1(,]3-∞ 5.函数2()f x ax b =-在区间(,0)-∞内是减函数，则,a b 应满足: （ ） Ａ．0a <且0b = Ｂ．0a >且b R ∈Ｃ．0a <且0b ≠ Ｄ．0a <且b R ∈6. 函数y ＝a x 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( )A ． 18B ．41C ．21D ．17.函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题8 ．（2013年广东卷（文））若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =____.9．（2013年江西卷（文））若曲线1y x α=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________。
用导数解决含参数的函数的单调性
用导数解决含参数的函数的单调性单调性是数学中一个重要的概念，用于描述函数在特定区间内的增减性质。
在解决含参数的函数的单调性时，我们可以利用导数的概念和性质进行分析和推导。
本文将介绍如何使用导数解决含参数的函数的单调性，并给出相应的示例。
首先，我们来回顾一下导数的定义。
对于函数$f(x)$在点$x=a$处可导，其导数$f'(a)$表示函数曲线在该点处的斜率，可以通过以下公式计算：$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$其中，$h$为一个无限趋近于0的值。
导数可以帮助我们研究函数的变化趋势、最值以及单调性等性质。
接下来，我们将探讨含参数的函数的单调性。
含参数的函数形式可以表示为$f(x;a)$，其中$a$为参数。
我们的目标是找到使函数单调的参数范围。
解决这个问题的关键是求导。
首先，我们需要计算函数的一阶导数$f'(x;a)$和二阶导数$f''(x;a)$。
一阶导数反映了函数的变化趋势，二阶导数揭示了函数的曲率性质。
接下来，我们需要找出函数的临界点和在其定义域内的驻点。
临界点是导数为0或不存在的点，驻点是导数在该点处为0的点。
当我们求出一阶导数$f'(x;a)$后，我们可以通过求解方程$f'(x;a)=0$来计算临界点和驻点。
这些点将给出函数的极值或拐点。
通过对导数方程进行求解，我们可以找到参数$a$满足$f'(x;a)=0$，从而得到临界点和驻点。
接下来，我们需要进行符号分析，确定函数的区间性质。
具体来说，当一阶导数$f'(x;a)$在一些区间内大于0时，函数$f(x;a)$是递增的；当一阶导数在一些区间内小于0时，函数是递减的；当一阶导数的正负性在一些点发生改变时，该点可能是函数的拐点。
当我们确定函数的单调性时，还应该考虑到函数的定义域。
特别是当参数$a$对函数的定义域有影响时，我们需要对不同的参数范围进行分析，以确定函数的单调性。
高考导数：含参不等式的整数解问题
：上综 ≤a 2e<13即,），（得使，，时当 ⎩-≥⎨∃>∈-⇒≤⎧δδa 2e f(1)0(2)x>00x 0f(x)<0,<1;3f(0)<0，增递上），0（在，时当）（->->∞a a a x 1x>0f (x)=(2x+1)e 10,f(x)+f(0)<0,<1;'高考导数：含参不等式的整数解问题成都实验外国语学校：王琳鑫含参不等式的整数解个数问题，一般采用数形结合的方法来解决，主要的策略是通过构造函数，分离参数，分离函数，研究函数图像的位置关系，寻找临界状态，具体操作： (1)构造函数：通过特殊点，或单调性或函数值符号可以快速解决； (2)分离参数：将含参不等式转化为像的位置关系，寻找临界状态，求解参数的范围.(3)分离函数：通过变形将原不等式转化成形如进而研究两个函数图像的位置关系，寻找临界状态，求解参数的范围. (4)有时候也可从特殊点着手；典型例题【解析】法一：(分类讨论)法二：(分离参数).解题技巧的前提下，无解只有一个整数解需有≤<a 13f x ()<'f x ()0<-x 2≤<ea 213≥-f (2)0>f x ()0≥x 0-1<f x ()0-=-+<f a (1)10e2[,1)3 ==ek k l l 21,312 l l ,12=y ax h x ()g x ()=y x g x ()-=--=-e g g (1)1,(2)3=-=g x g 2()()3min -+∞2(,)3-∞-2(,)3g x ()=+'+g x e x x ()(23)1=y ax g x () =+=+g x e x h x ax x ()(21),()1e2[,1)3e 24[,)33-e 24[,)33-e 2[,1)3<f x 0)(<a 1=⋅+-+f x ex ax x 211)()(，故选D(斜率的计算略)变式题：【15年课标一卷12改编】 设函数，其中，若的整数解有且唯一，则实数a 的取值范围( ) A. B. C. D. 【法一】设,问题转化为的图像在直线的下方的部分只存在一个x 的值为整数，则，因此在单调递减，在单调递增 所以,过原点作图像的切线，易求得切线方程为(另一条舍去) 在同一坐标系中作出和的图像如下： 由图可知，当直线夹于之间时符合题意所以实数a 的取值范围为【法二】因为，所以的唯一整数解就是 当时，， 为满足题意，必须成立，所以 又当时，，此时必为正，只需，即可满足题意.⎣⎭⎢⎪⎡⎫e 3,ln62⎣⎭⎢⎪⎡⎫3ln6,ln21⎝⎦⎥ --⎛⎤e 3,1ln6⎝⎦⎥ --⎛⎤3ln2,ln61+>fx af x 02)()(=xf x x ln 2)()(：述所上综∈a [0,2][3,8]；2：以所；立成数整一唯在存(x)：即≤f < a x < a 8 得使,数整一唯在存 ，(x)，时x 当）2（(x)<≥>xx 0;0f 0?f -a；0：即，数整个一有只(x)<≤<a f x a 3得使(x)>x0;f -a,数整一唯在存x例3. 【17四川泸州四诊】已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】选A专题练习1.函数若不等式则a的取值范围是( )2.设函数则实数m的取值范围是3.在关于x2的整数，则a的取值范围是( )B. D.4.已知函数3，则a的取值范围是( )D.5.a的取值范围是6.设函数则a的取值范围是( )A.。
第21讲 导数中参数问题的求解策略高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析
【知识要点】导数中参数的问题是高考的重点和难点，也是学生感到比较棘手的问题.导数中参数问题的处置常常利用的有分离参数和分类讨论两种方式,而且先考虑分离参数，若是分离参数不行，可以再考虑分类讨论.因为分离参数解题效率相对高一点.【方式讲评】【例1】已知函数()ln ()f x a x a R x=-∈. （1）若()()2h x f x x =-，当3a =-时，求()h x 的单调递减区间； （2）若函数()f x 有唯一的零点，求实数a 的取值范围. 如图，作出函数()x ϕ的大致图象，则要使方程1ln x x a=的唯一的实根， 【点评】1ln a x x=有唯一的实根,若是直接研究，左侧函数含有参数a ，和右边的函数分析交点，不是很方便，可是分离参数后得1ln x x a=，左侧函数没有参数，容易画出它的图像，右边是一个常数函数，交点分析起来比较方便.【反馈检测1】已知函数()()2xf x x e =-和()32g x kx x =--．（1）若函数()g x 在区间()1,2不单调，求实数k 的取值范围；（2）当[)1,x ∈+∞时，不等式()()2f x g x x ≥++恒成立，求实数k 的最大值． 【反馈检测2】已知()2ln f x x x =，32()2g x x ax x =+-+． （1）若是函数()g x 的单调递减区间为1(,1)3-，求函数()g x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()y g x =的图象在点(1,(1))P g --处的切线方程；（3）已知不等式()'()f x g x ≤2+恒成立，若方程0aae m -=恰有两个不等实根，求m 的取值范围．【例2】已知函数，其中为常数.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.【解析】（1）函数的概念域为.，记，判别式.①当即时，恒成立，，所以在区间上单调递增.②当或时，方程有两个不同的实数根，记，，显然综上，当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且.，∴又，.记，，则，所以在时单调递增，，所以，所以.【点评】（1）第1问，要研究导函数，必需研究二次函数的图像，可是二次函数的判别式无法肯定正负，所以要分类讨论. (2)第2问，与第1问同，也要分类讨论.学科.网【反馈检测3】已知函数.（1）若函数在时取得极值，求实数的值；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【反馈检测4】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，均有，求实数的范围.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第21讲：导数中参数问题的求解策略参考答案【反馈检测1答案】（1）11123k <<；（2）e -． （2）由已知得()32x x e k x -≤，令()()42x x e h x x -=，则()()2446xx x e h x x -+'=()()24460xxx e h x x-+'=>，所以()()32x x e h x x-=在[)1,x ∈+∞单调递增，∴()()min 1h x h e ==-，∴k e ≤-，即k 的最大值为e -【反馈检测2答案】（1）32()2g x x x x =--+；（2）450x y -+=；（3）212m e e-<≤-． 【反馈检测2详细解析】（1）2'()321g x x ax =+-，由题意23210x ax +-<的解集为1(,1)3-，即23210x ax +-=的两根别离是13-，1，代入得1a =-，∴32()2g x x x x =--+．（2）由（1）知，(1)1g -=，∴2'()321g x x x =--，'(1)4g -=， ∴点(1,1)P -处的切线斜率'(1)4k g =-=，∴函数()y g x =的图象在点(1,1)P -处的切线方程为14(1)y x -=+，即450x y -+=．【反馈检测3答案】（1）（2）【反馈检测3详细解析】 （1），依题意有，即，解得.查验：当时，.此时，函数在上单调递减，在上单调递增，知足在时取得极值.综上可知.【反馈检测4答案】（1）观点析; （2）.学科.网【反馈检测4详细解析】（1），当时，，由得，所以函数的单调递增区间为；当时，.若，由得，所以函数的单调递增区间为；若，由，所以函数的不存在单调递增区间；若，由得，所以函数的单调递增区间为；若，由得或，所以函数的单调递增区间为，.当时，，①当时，恒成立，即恒大于零，则：单调递增，.单调递增，，知足条件.②当，则时，，即在单调递减，，在单调递减，，不符题意，故舍去.综上所述：时，恒成立.。
解决含参导数问题的几种特殊策略
［ １，＋∞）递增，因为／（ ）在［。，６］上的值
域是 ［ （ｎ ＋２）， （ｂ＋ ２）］，所 以 （ｏ）＝
（。＋２）， （６）＝
．ｉ｝（６＋２）， １≤
。＜
６
，
则
择上 ”． １ 策 略之 二次 求导 数
通 常 在 一 阶导 函 数 符 号 不 能 确 定 情 况 下 ，进 行 二 次求 导 数 ，用 二 阶 导数 的符 号 ，来 决定 一 阶导 函数 的单调性 、极 值最 值 ，进 而判 断一 阶导 函数 符号来 解决 问题 ．
题 目 ｌ：（２０１２浙江省 杭 州第 二 中学 仿 真
，（ ）＝Ｊｉ｝（ ２）在区 ［ １，＋∞）至少有
两 个 不 同 的 正 根 ，｜ｌｃ＝
，令 Ｆ（ ） ＝
＋ ２ ： 一
＋ ２ （＼ ≥ 一２１ ） ／，’ Ｆ‰ ） ／： 一
戈 ＋ ３（ 一＋２２ｌ）ｎ 一 ４ ，令 Ｇ（ ）： ＋３
对任意 ∈ ［一２，一１］恒成 立 ，求 立 ．（２）试讨论 关于
的方程ｍ 一詈一ｇ（ ）＝ ３—２ｅ ＋￡ 的
根 的个 数 ．
分析：（２）ｍ＝ｎ＝１，ｍ 一詈一ｇ（ ）
：
一 ２ｅｘ。＋ ， 化简 得 ２１ｎｘ： 一２ｅｘ
＋ ，转 化为 ： ２—２ｅ ＋ｆ，令 （ ）
２ｅｘ ＋ ｔｘ，Ｈ （ ）＝ ３ 一４ｅｘ ＋ ｔ， １．２＝
２ｅ ￣
／ ４ ｅ
￣
－
—
—
—
一
３ｔ 值 点 和极 值 表 示 比较 复杂 ，
，
Ｊ
明又一 村 ．
变形 、讨论 比较难 ．
题 目 ３：已知函数 厂（ ）： ｎ＋Ｉｎｘ的图 象 在点 Ｐ（ｍ，厂（ｍ））处 的切 线 方 程 为 Ｙ ＝
导数分类讨论解决含参问题(三种常见类型)
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
含参数导数问题的巧妙解法
参数范围统一解，函切两等显神通何凌州一．前言在高考中，有许多涉及到参数的导数问题，许多学生害怕求导后根据参数的分类讨论，于是常常白白放弃得分的机会。
事实上，有一种方法可以很好地解决此类问题，笔者在市面上的教辅练习中暂未找到系统介绍此方法的章节，故想把该方法分享给大家。
暂将该方法定名为“参数范围统一解，函切两等显神通”。
二．标题解释“参数范围统一解”说明了该方法运用的广泛性，凡是函数中有一个参数的，均可以用此方法，例：f(x)=e x−1−a(1+ln x)。
若没有参数，例：f(x)=e x−1−1−ln x就无法使用该方法。
“函切两等显神通”说明了完成一道题需要两个等式，即函数值相等，切线值相等，这两个等式是该类题目能够完成的关键。
三．例题已知函数 f(x)=e x−1−a(1+ln x)有两个零点，求a的取值范围。
此题分析：若此题为一道大题，解题步骤会稍微有些麻烦，需要用到隐形零点的方法。
若此题为一道小题，可以直接运用笔者介绍的下述方法。
第一步：f(x)=0可推出：e x−1=a(1+ln x)①②第二步：对等式左右两边同时求导得：e x−1=ax第三步：①÷②可得： 1=(1+ln x)x第四步：解出(或观察出)x的解：x=1第五步：将x的解代入①式或②式，解到a的值: a=1第六步：大致绘制当a=1时a(1+ln x)和e x−1的图像(两图像相切)，此时有一个交点后续：通过对图像的认知，判断a与0和1的关系进而得到答案即：分类讨论要按照a<0,a=0,0<a<1,a=1,a>1标准分类，原因是a的正负性会影响a(1+ln x)的正负性，如果a取负数(如−1)会造成图像中g(x)上下翻转a<0的情况0<a<1的情况a=1的情况a>1的情况上述4幅图都是以a=1为出发点，事实上，当a=1时两图像相切，图中有且只有一个交点。
对于g(x)=a(1+ln x)而言，a=1在代入时可视为直接忽略掉。
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例说导数含参问题的处理策略详解(完美终结篇) 张成 壹叁捌叁捌伍叁捌贰肆贰一、 和单调性有关的含参问题1. 求单调区间：本质是解含参不等式例1：求2()()x a f x x-= 的单调区间【解】2()()()x a a x f x x -+'=12x ax a ==-当0a =时，()10f x '=>，故只有增区间：(,0),(0,)-∞+∞不能并哦 当0a >时，由2()()()0x a x x f a x-+'=>即()(x a)0x a -+>得,x a x a <->， 由()(x a)0x a -+<得a x a -<<当0a <时，由()0f x '>得,x a x a <>- 由()0f x '<得a x a <<- 综上所述：当0a =时函数增区间为(,0),(0,)-∞+∞当0a >时函数增区间为：(,),(,)a a -∞-+∞减区间为：(,)a a - 当0a <时函数增区间为：(,),(,)a a -∞-+∞减区间为：(,)a a -例2：求函数f (x )＝x 2e ax 的单调区间．【解】 函数f (x )的导数f ′(x )＝2x e ax ＋ax 2e ax ＝(2x ＋ax 2)e ax . 1220x x a==-(1)当a ＝0时，由f ′(x )＜0得 x ＜0；由f ′(x )＞0，得x ＞0所以当a ＝0时，函数f (x )在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数． 当a ≠0时，1220x x a==-(2)当a ＞0时，由2x ＋ax 2＞0，得x ＜－2a 或x ＞0；由2x ＋ax 2＜0，得－2a ＜x ＜0.所以当a ＞0时，函数f (x )在(－∞，－2a )和(0，＋∞)上为增函数，在区间(－2a ，0)上为减函数． (3)当a ＜0时，由2x ＋ax 2＞0，得0＜x ＜－2a ；由2x ＋ax 2＜0，得x ＜0或x ＞－2a ，所以当a ＜0时，函数f (x )在区间(－∞，0)和(－2a ，＋∞)上为减函数，在区间(0，－2a )上为增函数 总结：两个根大小不定时要讨论2. 逆向问题：已知函数在某区间上单调性，求参数取值范围（1） 解析式含参时：本质是恒成立问题: ()0f x '≥（()0f x '≤）恒成立思路1：转化为求非含参一段函数的最值（范围）思路2：数形结合 注意事项：端点能否取等号要注意例：已知2()()x a f x x-=在（1，2）上单调递增，求a 取值范围【解】2()()()0x a x x f a x-+'=≥对(1,2)x ∀∈恒成立，即22x a ≥对(1,2)x ∀∈恒成立， 而214x <<因此21a ≤ 11a -≤≤（2） 区间含参时：例1：已知24()1xf x x =+在（m ，2m+1）上单调递增，求m 取值范围【解】易求24()1x f x x =+的增区间为[-1,1],由题意得(,21)[1,1]m m +⊆-，因此121121m m m m≥-⎧⎪+≤⎨⎪+>⎩解之得10m -<≤例2：已知函数32()3f x x x =+若()y f x =在区间[21,1]m m -+上是增函数，求实数m 的取值范围； 【解】 2()363(2)f x x x x x '=+=+，令()0f x '>即(2)002x x x x +>∴><-或()f x ∴的增区间为(,2][0,).-∞-+∞和()f x 在区间[21,1]m m -+上是增函数，∴ [21,1](,2][21,1][0,)m m m m -+⊆-∞--+⊆+∞或； ∴ 12210211211m m m m m m +≤--≥⎧⎧⎨⎨-<+-<+⎩⎩或∴ 32m m ≤-≤<1或2二、 和最（极）大、最（极）小值有关的含参问题1. 函数解析式含参，区间不含参例1：已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．求函数f (x )的极值．【解】由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，（x ＞0）知：x a = 其与(0,)+∞关系不定，因此要讨论 ①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值例2：已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋2.（a >0），当x ∈[－1,1]时，求f (x )的最小值．【解】 f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a 由于x ＝1a 与[－1,1]关系不定，因此要讨论。
分以下两种情况讨论：①若1a >1即0<a <1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－1,0) 0 (0,1) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗极大值↘f (－1)＝－a －32＋2，f (1)＝a －32＋2，所以f (x )min ＝f (－1)＝12－a .②若0<1a <1即a >1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－1,0) 0 (0，1a ) 1a (1a ，1) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗f (－1)＝12－a ，f (1a )＝2－12a 2.而f (1a )－f (－1)＝2－12a 2－(12－a )＝32＋a －12a 2>0，所以f (x )min ＝f (－1)＝12－a .例3：已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2(x －a )．求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值．【思路探究】 解答本题先求出函数的导数，画出图表，求出函数的极值，再结合函数的单调性、函数的定义域、函数取极值点对字母a 进行分类讨论求解．【解】设此最小值为m ，而f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x (x －23a )，x ∈[1,2]，12203a x x ==当a ≤0时，f ′(x )>0，x ∈[1，2]，则f (x )是区间[1，2]上的增函数，（此情况最易忽视）所以m ＝f (1)＝1－a ；当a >0时，在x <0或x >2a 3时，f ′(x )>0，从而f (x )在区间[23a ，＋∞)上是增函数； 在0<x <2a 3时，f ′(x )<0，从而f (x )在区间[0，23a ]上是减函数； ①当23a ≥2，即a ≥3时，m ＝f (2)＝8－4a ；②当1≤23a <2，即32≤a <3时，m ＝f (2a 3)＝－4a 327；③当0<23a <1，即0<a <32时，m ＝f (1)＝1－a .综上所述，所求函数的最小值m ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－a (a <32)，－4a327 (32≤a <3)，8－4a (a ≥3).例4：已知函数h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1(a>0)求函数h(x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．【解】h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1，h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.a >0时，h (x )与h ′(x )的变化情况如下： x (－∞，－a2)－a2 (－a 2，－a 6) －a6 (－a6，＋∞) h ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ h (x )↗↘↗函数h (x )的单调递增区间为(－∞，－a 2)和(－a 6，＋∞)单调递减区间为(－a 2，－a6)．当－a2≥－1，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －14a 2.当－a 2<－1，且－a 6≥－1，即2<a ≤6时，函数h (x )在区间(－∞，－a2)上单调递增，在区间(－a 2，－1]上单调递减，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－a2)＝1.当－a 6<－1，即a >6时，函数h (x )在区间(－∞，－a 2)上单调递增，在区间(－a 2，－a6)上单调递减，在区间(－a 6，－1]上单调递增，又因为h (－a 2)－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0，所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－a2)＝例5：已知函数2221()(0)1ax a f x a x -+=≠+，求函数()f x 的单调区间和极值【解】22222(1)2(21)'()(1)a x x ax a f x x +--+=+222()(1).(1)x a ax x --+=+ 由于0,a ≠以下分两种情况讨论.(1)当0a >时，令'()0,f x =得到121,.x x a a=-=当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：x 1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 1a -1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭a(),a +∞'()f x - 0 + 0 - ()f x极小值极大值所以()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(),,a +∞内为减函数，在区间1,a a⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在11x a =-处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 函数()f x 在2x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.(2)当0a <时，令'()0,f x =得到121,x a x a==-.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：x (),a -∞a1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1a-1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭'()f x +0 -0 +()f x极小值极大值所以()f x 在区间(),a -∞1,,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为增函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为减函数.函数()f x 在1x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.函数()f x 在21x a =-处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 2. 已知解析式不含参，区间含参例1：设函数)0(333)(23>---=a a x x x x f 。