含参导数问题常见的分类讨论
导数应用中对含参问题的分类讨论
导数应用中对含参问题的分类讨论作者：张艳来源：《考试·高考数学版》2012年第02期导数是解决函数单调性、最值等问题十分有利的工具，但学生在运用导数解决含参的问题时，往往会束手无措，特别是对其中的分类讨论感到无从下手。
其实联想到含参的二次函数求最值中，主要有两类：动轴定区间和定轴动区间，不论哪一类，我们通常是按照轴在区间左侧、轴在区间内和轴在区间右侧分三类来讨论。
类比上述方法，就可以轻松解决导数应用中对含参问题的分类讨论。
举例说明如下：一、动点定区间例1 已知函数f(x)=lnx-ax，若f(x)在［1,e］上的最小值为32，求a的值.分析：先假设函数f(x)的定义域为R，由f(x)=lnx-ax，得f′（x）=1x+ax2=x+ax2，由f′（x）=0，解得x=-a.令f′(x)＞0，解得x＞-a;令f′(x)＜0，解得x＜-a.所以f(x)在（-∞，-a）上是减函数，在（-a，+∞）上是增函数，若仅考虑函数的单调性，那么f(x)图像的增减情况大致为图1，则f(x)在［1，e］上的图像应为图1在［1，e］上的部分。
考虑到极值点-a是动点，［1,e］是定区间，即动点定区间，联想到二次函数动轴定区间求最值的方法，将问题分为极值点在区间左侧，内部，右侧三类来讨论。
解：由f(x)=lnx-ax，得f′（x）=1x+ax2=x+ax2，（1）（若极值点在区间左侧）如图11.当-a≤1即a≥-1时，∵ 1≤x≤e，∴ x+a≥0，即f′(x)≥0对x∈［1,e］恒成立，当且仅当x=-a 时，f′(x)=0.所以f(x)在［1,e］上是增函数。
当x=1时，f(x)min=f(1)=ln1-a1=-a=32,解得a=-32，不满足a≥-1，故舍去；（2）（若极值点在区间内）如图12.当1＜-a＜e即-e＜a＜-1时，当x变化时，f′（x）、f(x)的变化情况如下表：x=-a是f(x)在［1，e］上的唯一极小值点，也是最小值点.当x=-a时，f(x)min=f(-a)=ln(-a)-a-a=ln（-a）+1=32，解得a=-e∈（-e，-1），符合题意；（3）（若极值点在区间右侧）如图13.当-a≥e即a≤-e时，∵ 1≤x≤e，∴ x+a≤0，即f′（x）≤0对x∈［1,e］恒成立，当且仅当x=-a时，f′（x）=0.所以f(x)在［1,e］上是减函数。
怎样确定含参导数问题中分类讨论的“分界点”
知识导航分类讨论思想是高中数学中的重要思想之一，主要应用于解答出现的情况种类较多的问题.在运用分类讨论思想解答含参导数问题时，常常需对不同的情况进行分类讨论，然而很多同学却无法找到含参导数问题中分类讨论的“分界点”，导致解题出错.事实上，解题的关键在于如何确定含参导数问题中分类讨论的“分界点”.笔者认为可以从以下两个方面进行考虑.一、讨论方程的判别式很多导数问题要求讨论函数的单调性、单调区间、最值、极值、零点的个数等.解答这些问题的关键在于运用分类讨论思想，讨论求导后方程f '()x =0的判别式与0之间的关系，进而确定f '()x =0的实数解.一般地，若△>0，方程有2个解；若△=0，方程有1个解；若△<0，方程无解.例1.已知函数f ()x =ln x +λæèöø1x -x ()λ∈R .若当x ＞1时，不等式f ()x ＜0恒成立，求λ的最小值.解：由f ()x =ln x +λæèöø1x -x 可得f '()x =-λx 2+x -λx 2,当λ≥12时，方程-λx 2+x -λ=0的判别式Δ=1-4λ2≤0，所以当x ＞1时，f '()x ＜0，导数f ()x 在区间()1,+∞上单调递减，且f ()1=0，故f ()x ＜0在区间()1,+∞上恒成立，①当0＜λ＜12时，方程-λx 2+x -λ=实数根，且0＜x 1=1＜x 2=，所以当x ∈æèççø1f '()x >0，导数f ()x 单调递增，且f ()1=0，f ()x ＞0恒成立，与题意不符；②当λ≤0时，f '()x =ln x +λæèöø1x -x ≥ln x ，因为y =ln x 在区间()1，+∞上恒为正数，所以f ()x ＞0在区间()1，+∞上恒成立，与题意不符；综上所述，当x ＞1时，不等式f ()x ＜0恒成立，λ的最小值为12.解答本题的关键在于确定分类讨论的分界点.在求出导函数后，根据方程-λx 2+x -λ=0的判别式与0之间的关系来确定参数λ的取值范围，然后再对应的区间上讨论导函数与0之间的关系，确定函数的单调性，以便构造出满足不等式f ()x ＜0恒成立的条件，求得λ的最小值.二、讨论零点的个数与零点有关的问题在含参导数问题中并不少见.在进行分类讨论时，要重点讨论导函数f '()x =0的零点个数以及分布情况，在每种情况下讨论参数的取值、函数的单调性、极值的大小等，最后综合所有分类讨论的结果，得到符合题意的答案.例2.已知函数f ()x =a æèöøln x +1x ，a ∈R ,若方程2f ()x -ln x +x +2=0有三个解，求实数a 的取值范围.解：令g ()x =2f ()x -ln x +x +2=()2a -1ln x +2ax+x +2,g '()x =()x -1()x +2a x 2()x ＞0，①若a ≥0，则当x ∈()0,1时，g '()x ＜0，g ()x 单调递减；当x ∈()1，+∞时，g '()x ＞0，g ()x 单调递增，g ()x 最多有2个零点；②若a =-12，则x ∈()0,+∞，g '()x ≥0，g ()x 单调递增，g ()x 最多有1个零点；③若-12＜a ＜0，则0＜-2a ＜1,当x ∈()0,-2a 或x ∈(1,+∞)时，g '()x ＞0，g ()x 在()0,-2a 和()1,+∞上单调递增；当x ∈()-2a ,1时，g '()x ＜0，g ()x 单调递减，要使导数g ()x 有3个零点，则有ìíîh ()-2a ＞0,h ()1＜0,解得a ＜-32，与-12＜a ＜0矛盾，此时g ()x 不可能有3个零点；④若a ＜-12,则当x ∈()0,1或x ∈()-2a ,+∞时，g '()x ＞0，g ()x 在()0,1和()-2a ,+∞上单调递增；当x ∈()1,-2a 时，g '()x ＜0，g ()x 单调递减，要使导数g ()x 有3个零点，则有ìíîh ()-2a ＜0,h ()1＞0,解得-32＜a ＜-e2，而g ()e -2=4+e -2+2a ()e 2-2＜0，g ()e 2=e 2+2a (e -2+2)＞0，综上所述，若方程2f ()x -ln x +x +2=0有三个解，则a 的取值为æèöø-32,-e2.我们将方程有解的问题转化为函数有零点的问题，通过讨论函数零点的个数情况，进而求得参数a 的取值范围.总之，在解答含参导数问题时，同学们在对函数求导后要明确分类的对象是方程f '()x =0的判别式或者y =f '()x 的零点，然后确定分类讨论的“分界点”，讨论判别式与0之间的关系、零点的个数，从而快速找到解题的思路.(作者单位：江苏省启东市第一中学)范帅江38Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
第3讲 导数中含参问题的分类讨论(解析版)
导数中含参问题的分类讨论本讲义由作业帮周永亮老师(白哥)独家编撰，侵权必究或知识导航★ 1.-次型导函数一次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是一次函数形式，或者说导函数中，除去里面的一次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负).例：f (x) = ax + b；f (a:) = (ax + b) e x ; f' (a;) = 口“ * " (z > 0)X★ 2.二次型导函数二次型导函数：二次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是二次函数形式，或者说导函数中，除去里面的二次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负).例：f (a:) = ax2 +bx + c；f (x) = (ax2 +bx + cj e x ; f (x) —* 况* ° (a； > 0)注：以上a尹0，若不确定a是否可以为0,就先讨论是一次型还是二次型；★ 3 .含参函数单调性的分类讨论(1)先确定导函数是一次型还是二次型，一次型按照一次型的讨论方式讨论;①判断是否有根，没有根会出现恒成立状况；②求出导函数的根，判断根是否在定义域内，不在定义域会出现恒成立问题；③根在定义域内，穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；(2)若是二次型，先判断二次型函数是否有根，没有根会出现恒成立状况；①如果二次型函数有根，就先求出根(能因式分解就因式分解)；②判断根是否在定义域内(讨论根与定义域端点值的大小关系)；③如果两根全在定义域，那么确定两根大小关系；④穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；★ 4.拟合函数(1)拟合函数是指，根据散点图，拟合出函数的解析式，这里考虑到的点越多，拟合的解析式就越精确.(2 )在求导中，我们会发现很多函数的导函数是指数型或者对数型的，如：f' (x) = e x—2 ; (/ (x) = (a; — a) (In x — S),这种类型的导函数，我们判断原函数的单调性比较麻烦，所以我们会采用拟合函数的形式进行讨论就可以了；(3)在单调性讨论中，拟合的形式比较简单，只需要参考两个关键点就可以了，分别是：①等于0的解，②所需拟合函数单调性；例如：f (a；) = e x -2，①当 / (a:) = 0 时，c = ln2 :② f (时=e x -2单调递增；则，我们也可以找到一个具有相同性质的一次函数，所以f (x) = 可以拟合成f' {x) — x — \n.2 ;再如：寸(x) = (a; — a) (In a: — 3),只需要讨论g = In r - 3这部分就可以了，此函数可以拟合成：y = x-^(x>0)；则寸(c) = (z — a) (Ina: — 3)可以拟合成(/ (x) = (x — a) (x — e3) (z > 0).知识札记歩经典例题考点1 一次型含参导函数的分类讨论已知函数f(x) = lnx + --l ^R)，讨论函数六z)的单调性. X解答：由题意知该函数的定义域为(0, +8)，且/ (^) = - - 4 = 与凸从而当a W0时，/(苛>0,则,(z)在(0,+8)上单调递增当a > 0时(1 )若z € (0,a)，则「(r) < 0,从而/(a:)在(0,a)上单调递减(2)若z€(a,+8),则f(z)>0,从而f(3!)在(a,+8)上单调递增综上所述，当aWO时，义时在(0,+8)上单调递增；当a>0时，山z)在(0,a)上单调递减，在(a, +oo)上单调递增讨论函数f(x)=ax-inx的单调区间.解答：函数，(z)的定义域是(0,+8) m—，若aWO,则/ (x) <。
专题3.2：含参数的导数分类讨论问题的研究与拓展
专题3.2：含参数的导数分类讨论问题的研究与拓展【探究拓展】探究：已知函数0,)(2≤=a e x x f ax（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）求函数)(x f 在区间[]1,0上的最大值.变式1：已知函数bx ax x x f +-=221ln )(，且0)1('=f （1）试用含有a 的式子表示b ；（2）求)(x f 的单调区间.变式2：函数)11(32≤≤-=x x y 的图像上有B A ,两点，且x AB x x B A //,<轴，其中点),2(m C ，其中3>m ，（1）试写出用点B 的横坐标t 表示ABC ∆面积S 的函数解析式)(t f S =； （2）记S 的最大值为),(m g 求)(m g .变式3：设函数2()(2)ln f x x a x a x =---，求函数()f x 的单调区间.拓展1：设函数()()322316,f x x a x ax a =-++∈R ． （1）当1a =时，求证：()f x 为单调增函数； （2）当[]1,3x ∈时，()f x 的最小值为4，求a 的值．解：（1）当1a =时，()32266f x x x x =-+，所以()()226126610f x x x x '=-+=-≥， 所以()f x 为单调增函数． （2）()()()61f x x x a '=--．①当1a ≤时，()f x 在区间[]1,3上是单调增函数，最小值为()1f ， 由()14f =，得513a =>（舍去）． ②当13a <<时，()f x 在区间()1,a 上是减函数，在区间(),3a 上是增函数，最小值为()f a ， 由()4f a =，得2a =或1a =-（舍去）．③当3a ≥时，()f x 在区间()1,a 上是减函数，最小值为()3f ，由()34f =，得2339a =<（舍） 综上所述，2a =．变式：已知函数f (x )＝(m －3)x 3 + 9x .（1）若函数f (x )在区间(－∞，+∞)上是单调函数，求m 的取值范围； （2）若函数f (x )在区间［1，2］上的最大值为4，求m 的值．【解】（1）因为f '(0)＝9 > 0，所以f (x )在区间()-∞+∞，上只能是单调增函数．由f '(x )＝3(m －3)x 2 + 9≥0在区间(－∞，+∞)上恒成立，所以m ≥3．故m 的取值范围是［3，+∞) ． （2）当m ≥3时，f (x )在［1，2］上是增函数，所以[f (x )] max ＝f (2)＝8(m －3)＋18＝4,解得m ＝54<3，不合题意，舍去．当m ＜3时，f '(x )＝3(m －3) x 2 + 9=0，得x =．所以f (x )的单调区间为：(-∞，单调减，(单调增，)+∞单调减．2，即934m <≤时，([12]⊆，，所以f (x )在区间［1，2］上单调增，[f (x )]max＝f (2)＝8(m －3)＋18＝4，m ＝54，不满足题设要求．②当12<，即0＜m ＜94时，[f (x )]max 04f==≠舍去．1，即m ≤0时，则[12]⎤⊆+∞⎥⎦，，所以f (x )在区间［1，2］上单调减，[f (x )] max ＝f (1)＝m + 6＝4，m ＝－2.综上所述：m ＝－2．拓展2：已知函数f (x )＝12m (x －1)2－2x ＋3＋ln x ，m ∈R ．（1）当m ＝0时，求函数f (x )的单调增区间；（2）当m ＞0时，若曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 与曲线y ＝f (x )有且只有一个公共点，求实数m 的值．解（1）由题意知，f (x )＝－2x ＋3＋ln x ，所以f ′(x )＝－2＋1x ＝－2x ＋1x(x ＞0)． … 2分由f ′(x )＞0得x ∈(0，12) ． 所以函数f (x )的单调增区间为(0，12)．……… 4分（2）由f ′(x )＝mx －m －2＋1x，得f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 的方程为y ＝－x ＋2．…………………… 6分 由题意得，关于x 的方程f (x )＝－x ＋2有且只有一个解， 即关于x 的方程12m (x －1)2－x ＋1＋ln x ＝0有且只有一个解．令g (x )＝12m (x －1)2－x ＋1＋ln x (x ＞0)．则g ′(x )＝m (x －1)－1＋1x ＝mx 2－(m ＋1)x ＋1x ＝(x －1)(mx －1)x (x ＞0)． …………… 8分①当0＜m ＜1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞1m ，由g ′(x )＜0得1＜x ＜1m ，所以函数g (x )在(0，1)为增函数，在(1，1m )上为减函数，在(1m ，＋∞)上为增函数．又g (1)＝0，且当x →∞时，g (x )→∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点．故0＜m ＜1不合题意． ……………………… 10分②当m ＝1时，g ′(x )≥0，g (x )在(0，＋∞)上为增函数，且g (1)＝0，故m ＝1符合题意． ③当m ＞1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1m 或x ＞1，由g ′(x )＜0得1m＜x ＜1，所以函数g (x )在(0，1m ) 为增函数，在(1m ，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．又g (1)＝0，且当x →0时，g (x )→－∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点． 故m ＞1不合题意．综上，实数m 的值为m ＝1．变式：已知函数2()ln f x x ax x =--，a ∈R ．（1）若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数，求a 的取值范围；（2）设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c （点P 除外），该函数图象在点P 处的切线为l ，且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧，试求所有满足条件的a 的值．解：（1）2121()21(0)ax x f x ax x x x-'=--=->+，只需要2210ax x +-≤，即22111112()24a x x x -=--≤，所以18a -≤．（2）因为1()21f x ax x '=--．所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦，则(2)0g =．212(4)1112()242ax a x g x ax a x x---'=-+-=-． 若0a =，则2()2xg x x-'=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<， 所以()(2)0g x g =≥，12,c c 在直线l 同侧，不合题意；若0a ≠，12(2)()4()a x x a g x x-+'=-，若18a =-，2(1)2()0xg x x -'=≥，()g x 是单调增函数， 当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，符合题意；…10分 若18a <-，当1(,2)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g >=， 当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(2)0g x g >=，不合题意； 若108a -<<，当1(2,)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g <=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=，不合题意； 若0a >，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=， 当(2.)x ∈+∞时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，不合题意． 故只有18a =-符合题意．拓展3：已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=． （1）讨论)(x f 的单调性； （2）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+； （3）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：0)(0<'x f ．解：（1）()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=- （i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加. （ii ）若10,()0,a f x x a'>==则由得且当 11(0,),()0,,()0.x f x x f x a a''∈>><时当时所以1()(0,)f x a 在单调增加，在1(,)a +∞单调减少.（2）设函数11()()(),g x f x f x a a=+--则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x=+---'=+-=+--当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<<>=>时而所以. 故当10x a <<时，11()().f x f x a a+>-（3）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点， 故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a>且 不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a<<<<<则 由（II ）得111211()()()0.f x f x f x a a a-=+->=从而 1221021,.2x x x x x a a+>-=>于是 由（I ）知，0()0.f x '<拓展4：已知函数32()(,f x ax x ax a x =+-∈R)．（1）若a ＝1，求函数()f x 对应曲线上平行于x 轴的所有切线的方程； （2）直接写出（不需给出演算步骤）函数()1()ln ()2f xg x x x x =->的单调递增区间； （3）如果存在(,1]a ∈-∞-，使函数()()()h x f x f x '=+，[1,]x b ∈-，在1x =-处取得最小值，试求b 的取值范围．解：（1）由题意知，2()321f x x x '=+-，由23210x x +-=，得113x x =-=或. 当1x =-时，(1)1f -=；当13x =时，15()327f =-．∴所求切线方程为1y =和527y =-．（2）当18a -≤时，不存在增区间；当108a -<<时，增区间为；当01a <≤时，增区间为)+∞； 当1a ≥时，增区间为1(,)2+∞．（3）32()(31)(2)h x ax a x a x a =+++--，由题意知，()(1)h x h -≥在区间[1,]b -上恒成立， 即2(1)[(21)(13)]0x ax a x a ++++-≥在区间[1,]b -上恒成立． 当1x =-时，上式显然成立，∴1b >-；当1x b -<≤时，可转化为2(21)(13)0ax a x a +++-≥在区间(1,]b -上恒成立，令2()(21)(13)x ax a x a ϕ=+++-，由于二次函数()x ϕ的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，又(1)40a ϕ-=->，所以只要()0b ϕ≥，即关于a 的不等式2(21)(13)0ab a b a +++-≥在(,1]a ∈-∞-上有解，即22311b b b a +--+≤在(,1]a ∈-∞-上有解，所以2max 231()1b b b a+--+≤，即22311b b b +-+≤b ，又1b >-，∴112b --<≤．综上可得，所求b 的取值范围为1b -<【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）， 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。
(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。
这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。
因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。
（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。
故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。
导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1 •求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论 1 1 ★已知函数f(x)x 3 (a 2)x 2 2ax (a>0),求函数的单调区间 3 2f (x) =x _(a 亠2)x 亠2a =(x _a)(x -2)2a★★例1已知函数f(x)二x (a U 2)lnx (a>0)求函数的单调区间x2x -(a 2)x 2a f (x)2 x(I)当a =1时，求曲线y = f x 在点2, f 2 处的切线方程； (n)当a=0时，求函数f x 的单调区间与极值。
解: (I)当a =1时，曲线y = f x 在点2,f 2处的切线方程为6x 25y-32 = 0。
2(n)由于a 式0，所以f ⑺/嗔切了 ,由f'(x)=O ，得x 1 =(x +1 )I 1 '■-2a x - a x2―—义域R 内，但不知它们之间(x 2+1)a 的取值分a 0和a ：：： 0两种情况进行讨论。
函数f x 在x 2 =a 处取得极大值f a =1 o1 —(-一「：)内为增函数，在区间a1 」 1(a,)为减函数。
故函数 f x 在％处取得极小值aaX 2二a 处取得极大值f a = 1。
(x-2)(x-a)2x22ax -a 1 x 21x R ，其中a R 。
1, X 2 = a 。
这两个实根都在定 a2 22a x 1；-2x 2ax - a 1f x二2 2 (x 2+1)的大小。
因此，需对参数 (1)当 a 0 时，则 x 'x 2。
易得f x 在区间，a, •：：内为减函数,在区间i l,aI a为增函数。
故函数1i 1 f x 在为处取得极小值f a [1 I a 」2--a ; (1) 当a ”：0时，则x 1 x 2。
导数分类讨论解决含参问题(三种常见类型)
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
含参导数问题常见的分类讨论
含参导数问题常见的分类讨论学生1.求导后,需要判断导数等于零是否有实根,从而引发讨论:例1.(11全国Ⅱ文21)已知函数f(x)=x 3+3ax 2+(3-6a)x+12a-4 (a ∈R).(1)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2):(2)若f(x)在x=x 0处取得极小值,x 0∈(1,3),求a 的取值范围.2.求导后,需要比较导数等于零的不同实根的大小,从而引发讨论:例2.(09辽理)已知函数f(x)=0.5x 2-ax+(a-1)lnx,a>1.(1)讨论函数f(x)的单调性;（2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212()()1f x f x x x ->--。
解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211(1)[(1)]()a x ax a x x a f x x a x x x--+----'=-+==--------------2分 （i ）若11a -=，即a=2，则2(1)()x f x x-'=，故()f x 在(0,)+∞上单调增加。
（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<；当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，()0f x '>。
故()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。
（iii ）若11a ->，即2a >， 同理可得()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。
-----------------6分（2）考虑函数21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+，则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=-， 由于15a <<，故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞上单调增加，从而当210x x <<时，有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--；当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---。
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含参导数问题常见的分类讨论
1.求导后,需要判断导数等于零是否有实根,从而引发讨论:
例1.(11全国Ⅱ文21)已知函数f(x)=x 3+3ax 2+(3-6a)x+12a-4 (a ∈R).
(1)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2):
(2)若f(x)在x=x 0处取得极小值,x 0∈(1,3),求a 的取值范围.
2.求导后,需要比较导数等于零的不同实根的大小,从而引发讨论:
例2.(09辽理)已知函数f(x)=0.5x 2-ax+(a-1)lnx,a>1.(1)讨论函数f(x)的单调性;
（2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212
()()1f x f x x x ->--。
3.求导后,对于导数大于或小于零的不等式,两边同除一个代数式,需考虑代数式的正负,从而引发讨论:
例3.(10辽文21)已知函数f(x)=(a+1)ln x +ax 2+1.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)设a ≤-2,证明:对任意x 1,x 2∈(0,+∞),|f(x 1)-f(x 2)|≥4|x 1-x 2|
4. 求导后,导函数等于零有实根,需要判断实根是否在定义域内,从而引发讨论:
例4.(10天津文20)已知函数f(x)=ax 3-32x 2+1 (x ∈R),其中a>0.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程:
(2)若在区间11[,]22-上f(x)>0,恒成立,求a 的取值范围.。