2019年高考导数问题常见的分类讨论典型例题

高考导数问题常见的分类讨论典型例题

1.需对函数c bx ax x f ++=2)(是否为二次函数进行讨论或需对一元二次方程的判别式进行讨论的问题。由于许多问题通过求导后转化为二次函数或二次不等式，它们对应的二次方程是否有解，就要对判别式讨论。

例1、已知函数32()3(0),()()2f x x ax bx c b g x f x =+++≠=-且是奇函数.（Ⅰ）求a ,c 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的单调区间.

例2、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.

（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.

例3、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x

=-+->，讨论()f x 的单调性. 例4、已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f ,讨论)(x f 的单调性；

例5、设函数2

()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若函数()()

e g x

f x =，讨论()

g x 的单调性．例6、函数31()3

f x x kx =-,其中实数k 为常数. (I) 当4k =时，求函数的单调区间；

(II) 若曲线()y f x =与直线y k =只有一个交点，求实数k 的取值范围.

练习：设函数()()2

ln 1f x x b x =++，其中0b ≠，求函数()f x 的极值点。 2、需对一元二次方程两根大小为标准分类讨论的问题。由于求单调区间通常要解一元二次不等式，要写出它的解，就必须知道它两根的大小，否则就要对两根大小分类讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

例7、设函数（），其中．当时,求函数的极大值和极小值

练习：已知函数()()22211

ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程；

（2）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

练习：已知a 是实数，函数())f x x a =

-。

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。

①写出()g a 的表达式；

②求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-。例8、已知函数f(x)=

1x 2－ax+(a －1)ln x ，1a >。（1）讨论函数()f x 的单调性；例9、已知函数21()e ()(0)kx f x x x k k

-=+-<，求()f x 的单调区间；例10、已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈，当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

例11、已知函数21()(21)2ln ()2

f x ax a x x a =

-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；

例12、已知函数2()()e x

f x x ax a -=++，（a 为常数，e 为自然对数的底）．

（Ⅰ）若()f x 在0x =时取得极小值，试确定a 的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设由()f x 的极大值构成的函数为()g a ，将a 换元为x ，试判断曲线()y g x =是否能与直线320x y m -+=（ m 为确定的常数）相切，并说明理由．例13、例已知0>a ，函数x a x a a x x f )13(ln )1(22

)(2

+-++=．（1）若函数)(x f 在1=x 处的切线与直线03=-x y 平行，求a 的值；

（2）求函数)(x f 的单调递增区间；

（3）在（1）的条件下，若对任意[]2,1∈x ，06)(2

≥--b b x f 恒成立，求实数b 的取值组成的集合．

例14、已知函数2()()x k f x x k e =-。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤

1e ，求k 的取值范围。例15、已知函数2()ln f x x ax b x =++（0x >，实数a ，b 为常数）.若2a b +=-，讨论函数()f x 的

单调性．

例16、已知函数)1ln(2

1)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R .（Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间. 练习：已知函数2()=(1)x a f x x ， (1,)x ∈+∞. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；

(Ⅱ)函数()f x 在区间[2,)+∞上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

例17、已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k 2

x 2(k ≥0)． (1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间．

练习1、设函数21()ln (

a f x x ax x a -=+-∈1a >时，讨论函数()f x 的单调性.（Ⅱ）若对任意(2,3)a ∈及任意12,[1,2]x x ∈，恒有2)()ma f x +- 成立，求实数m 的取值范围.

3、需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。也就是要讨论导数为零的点是否在定义域内，在定义域内要讨论它给定的区间左、中、右，以确认函数在此区间上的单调性。例19、（2012年北京高考题）已知函数f （x ）=ax 2+1（a>0）,g(x)=x 3+bx

(1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值；

(2) 当a 2=4b 时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值，

例20、已知函数1()f x x a

=+，2()3g x bx x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值；

(Ⅱ)当[3,)a ∈+∞，且ab=8时，求函数()()()

g x x f x ?=

的单调区间，并讨论函数在区间[-2，-1]上的最小值.

例21、已知a 是实数，函数f (x )=x 2(x -a ).求)(x f 在区间[0，2]上的最大值。

例22、已知函数()e x f x ax =+，()ln g x ax x =-，其中0a ≤．

（Ⅰ）求)(x f 的极值；

（Ⅱ）若存在区间M ，使)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．

例23、已知函数()ln f x ax x =-，()e 3ax g x x =+，其中a ∈R ．

（Ⅰ）求)(x f 的极值；

（Ⅱ）若存在区间M ，使)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．

例24、已知函数()()x f x x k e =-。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值。

例25、已知函数()ln f x x ax =-()a ∈R .

(Ⅰ) 求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当a >0时，求函数()f x 在[1,2]上最小值.

例26、已知函数2()ln f x x ax bx =++(其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处取得极值.

(I) 当1a =时，求()f x 的单调区间；(II) 若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值.

例27、已知函数()ln ()a f x x a R x =-

∈.(1)判断()f x 在定义域上的单调性; (2)若()f x 在[1,]e 上的最小值为2,求a 的值.

例28、已知函数x ax x x f ln )(2-+=， .a R ∈

（1）若函数)(x f 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；

（2）令2

)()(x x f x g -=，是否存在实数a ，当∈x ],0(e （e 是自然常数）时，函数)(x g 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.

例29、已知函数32()2f x x mx nx =++-的图像过点（-1，-6），且函数()'()6g x f x x =+的图像关于y 轴对称。（1）求m,n 的值；（2）若a>0，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+内的极值。例30、已知：函数()x

e f x x a =-（其中常数0a ）.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域及单调区间；

（Ⅱ）若存在实数(],0x a ∈，使得不等式()12f x ≤

成立，求a 的取值范围．例31、如图，抛物线29y x =-+与x 轴交于两点,A B ，点,C D 在抛物线上（点C 在第一象限），CD ∥

AB ．记||2CD x =，梯形ABCD 面积为S ．

（Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式；

（Ⅱ）若||||

CD k AB ≤，其中k 为常数，且01k <<，求S 的最大值．

例32、已知函数3

22()1,a f x x x =++其中0a >. （I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值；（II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值.

例33、已知函数f(x)=mx x 2+n

(m,n ∈R)在x=1处取到极值2 . (1) 求f(x)的解析式;（2）设函数g(x)=lnx+a x

.若对任意的x 1∈[-1,1]，总存在x 2∈[1,e]，使得g(x 2)≤f(x 1)+72

,求实数a 的取值范围。（此题满14分）练习1、已知函数211()ln (0)22

f x a x x a a =-+∈≠且R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. ５. “曲线过一点的切线”与“曲线在该点处的切线”两个概念是不同的

例34、求曲线33y x x =-的过点(22)A -，的切线方程．

例35、已知函数32()231()f x x ax x =++∈R ．

（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；

（Ⅲ）求函数()f x 在闭区间[]0,2的最小值.

6、不等式两边同除一个数或式子，要讨论它的正负的问题。

例36、设函数()(0)kx f x xe k =≠

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.

例37、已知函数()(1)e x f x ax ．

（I ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a

时，求函数()f x 在区间[2,0]上的最小值．

2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练

a - a (- ),( , +∞) 单调递增，在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练【题型归纳】题型一含参数的分类讨论例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ，（1）求函数 f ( x ) 的单调区间；（2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。【答案】略【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分类标准是零）当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减；当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值极小值此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。题型二已知单调性求参数取值范围问题例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ，若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围

2020高考导数压轴题型归类总结

导数压轴题型归类总结目录一、导数单调性、极值、最值的直接应用（1）二、交点与根的分布（23）三、不等式证明（31）（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式（三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围（51）（一）恒成立之最值的直接应用（二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用（70）六、导数应用题（84）七、导数结合三角函数（85）书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3 3 ±=x .

所以当33= x 时，)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12 122x a x x +=，∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1，∴ 021 21 <-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当2 3 a ≠ 时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令以下分两种情况讨论： ①a 若＞ 3 2 ，则a 2-＜2-a .当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表： )(所以x f .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数 .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在函数 ②a 若＜3 2 ，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

高考数学导数题型归纳(_好)

导数题型归纳请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)(' =x f 得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2 ()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”，则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330g m g m <-? ?<--

高考导数压轴题型归类总结

一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3 3 ±=x . 所以当33= x 时，)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12 122x a x x +=，∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1，∴ 021 21 <-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当2 3 a ≠ 时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令

(完整)高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。（1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）极值的求法与极值的性质（2）由导数求最值（3）单调区间零点驻点拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间零点驻点拐点————草图（2）草图——讨论题型二：利用导数解决恒成立的问题例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．

例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=．（1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数；（2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；（3）证明：3()2 f x ≥．解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值（2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围解：讨论点x=1/e 1/e

高考数学导数题型归纳(文科)-

文科导数题型归纳高度重视：首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量；２变更主元;3根分布；４判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴（重视单调区间) 与定义域的关系（２）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后,在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0，=0,<0) 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元)； (请同学们参看2０10省统测2）例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” ，则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3］上恒成立解法一:从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330 g m g m <-? ?<--

导数高考常见题型

导数的应用常见题型一、常用不等式与常见函数图像 1、1+≥x e x x x ≤+)1ln( 1-ln 1-1x x x ≤≤ 2、常见函数图像二、选择题中的函数图像问题 (一)新型定义问题对与实数,a b ，定义运算“*”：a *b=22,,a ab a b b ab a b ì-??í?->?,设()(21)*(1)f x x x =--且关于x 的方程()()f x m m R =?恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围为（二）利用导数确定函数图像 ①已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围为（） A 、(2,)+? B 、(,2)-? C 、(1,)+? D 、(,1)-? ②设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（） (A)[-32e ，1） (B)[-32e ，34） (C)[32e ，34） (D)[32e ，1）三、导数与单调性

实质：导数的正负决定了原函数的单调性处理思路：①求导,解不等式[0)('0)('<>x f x f 或] ②求解0)('=x f ，分段列表 ③根据)('x f y =的图像确定 (一)分段列表 ①已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； ②已知函数x x xe e x x f -+-=2)2()(，讨论函数的单调性 ③设函数mx x e x f mx -+=2)( （Ⅰ）证明：)(x f 在(-∞，0)单调递减，在(0,+∞+)单调递增；（Ⅱ）若对于任意]1,0[,21∈x x ，都有1)()(21-≤-e x f x f ，求m 的取值范围（二）根据导函数图像确定 ①已知函数x x a ax x f ln )1(2 1)(2+-+-=，试讨论函数的单调性 ②已知函数a a ax x x a x x f +--++-=2222ln )(2)(，其中0>a .设)(x g 是)(x f 的导函数，讨论)(x g 的单调性

(完整版)函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈．（Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。（Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或因为0t ≠，以下分两种情况讨论：（1）若0,,2 t t t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。（2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x

(完整word版)高考导数题型归纳

高考压轴题：导数题型及解题方法（自己总结供参考）一．切线问题题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。例已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、（提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--）练习 1. 已知曲线x x y 33 -= （1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案：（03=+y x 或027415=--y x ）（2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1）题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）；

高考导数压轴题型归类总结

高考导数压轴题型归类总结一、导数单调性、极值、最值的直接应用已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+-∈ ⑴当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； ⑵当1 2 a ≤时，讨论()f x 的单调性. 1. 已知函数221()2,()3ln .2 f x x ax g x a x b =+=+ ⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点，且在公共点处的切线相同，若0a >，试建立b 关于a 的函数关系式，并求b 的最大值； ⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数，求a 的取值范围。 2. （最值直接应用）已知函数)1ln(2 1)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围. 设函数221 ()(2)ln (0)ax f x a x a x +=-+ <． (1)讨论函数()f x 在定义域内的单调性； (2)当(3,2)a ∈--时，任意12,[1,3]x x ∈， 12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围． 3. （最值应用，转换变量） 4. （最值应用）已知二次函数()g x 对x R ?∈都满足2(1)(1)21g x g x x x -+-=--且(1)1g =-，设函数19 ()()ln 28 f x g x m x =+++（m R ∈，0x >）．（Ⅰ）求()g x 的表达式；（Ⅱ）若x R +?∈，使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；

导数典型例题包括答案.doc

导数典型例题数作考内容的考力度逐年增大 .考点涉及到了数的所有内容，如数的定，数的几何意、物理意，用数研究函数的性，求函数的最（极）等等，考的型有客（、填空）、主（解答）、考的形式具有合性和多性的特点 .并且，数与内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的合考成新的点 . 一、与导数概念有关的问题【例 1】函数 f(x)=x(x-1) ( x-2)? (x-100) 在 x=0 的数 .100 2 C ！ f ( 0 x) f ( 0) x( x 1)( x 2) (100 ) 解法一 f ＇ (0)= lim x = lim x x 0 x 0 = lim ( x-1)( x-2)? ( x-100)= （ -1 ）（ -2）?（ -100 ） =100 ！ ∴ D. x 0 解法二 f(x)=a 101 x 101 + a 100 x 100 +? + a 1x+a 0， f ＇(0)= a 1，而 a 1 =（ -1）（ -2 ）?（ -100 ） =100 ！ . ∴ D. 点解法一是用数的定直接求解，函数在某点的数就是函数在点平均化率的极限 .解法二是根据数的四运算求法使解 . 【例 2】已知函数 f (x)= c n 0 c 1 n x 1 c n 2 x 2 1 c n k x k 1 c n n x n ， n ∈ N * ， 2 k n f ( 2 2 x ) f ( 2x) lim x = . x 0 f (2 2 x) f ( 2 x) f ( 2 2 x) f (2) 解 ∵ lim x =2 lim 2 x + x x 0 f 2 ( x) f ( 2) lim x =2f ＇ (2)+ f ＇(2)=3 f ＇ (2)， x 0 又∵ f ＇(x)= c n 1 c n 2 x c n k x k 1 c n n x n 1 ， ∴ f ＇(2)= 1 （ 2 c n 1 22 c n 2 2k c n k 2 n c n n ） = 1 [(1+2) n -1]= 1 ( 3 n -1). 2 2 2 点数定中的“增量 x ”有多种形式，可以正也可以，如 f ( x 0 m x) f ( x 0 ) ，且其定形式可以是 lim f ( x 0 m x) f ( x 0 ) lim m x m x ，也可以是 x 0 x 0 f (x) f (x 0 ) （令 x=x-x 得到），本是数的定与多式函数求及二式定理有关 lim x x x 0 知的合，接交、自然，背景新 . 【例 3】如的半径以 2 cm/s 的等速度增加，半径 R=10 cm ，面增加的速度是 .

高中数学导数题型总结

导数经典例题剖析考点一：求导公式。例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是。考点二：导数的几何意义。例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。考点四：函数的单调性。例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值围。例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值围。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。（2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ，则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最小值为()2 9 1= -f 。答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

高中数学导数典型例题精讲(详细版)

导数经典例题精讲导数知识点导数是一种特殊的极限几个常用极限:(１）1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=（||1a <);(2)00lim x x x x →=，0011lim x x x x →= . 两个重要的极限：（1)0sin lim 1x x x →=;（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? （ｅ=2.7182818４５…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=,则 (１)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;（2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;（3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(１)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞?=?（3)()lim 0n n n a a b b b →∞ =≠(４)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?（ c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='．x x sin )(cos -=' (4） x x 1 )(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='．导数的运算法则 (1）' ' ' ()u v u v ±=±．（2)' ' ' ()uv u v uv =+.（3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点Ｕ处有导数 ''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且''' x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=．【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力．

2019《导数》题型全归纳

2019届高三理科数学《导数》题型全归纳学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、导数概念 29．函数，若满足，则__________．二、导数计算（初等函数的导数、运算法则、简单复合函数求导） 1．下列式子不正确的是( ) A． B． C． D． 2．函数的导数为（） A． B． C． D． 3．已知函数，则（） A． B． C． D． 33．已知函数，为的导函数，则的值为______． 34．已知，则__________．三、导数几何意义（有关切线方程） 31．若曲线在点处的切线方程为_________. 30．若曲线在点处的切线与曲线相切，则的值是_________. 32．已知,过点作函数图像的切线,则切线方程为__________. 4．已知曲线f(x)=lnx+在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a的值为（）A． 1 B．﹣4 C．﹣ D．﹣1 1

5．若曲线y=在点P处的切线斜率为﹣4，则点P的坐标是（） A．（，2） B．（，2）或（﹣，﹣2） C．（﹣，﹣2） D．（，﹣2） 6．若直线与曲线相切于点,则( ) A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 7．如果曲线在点处的切线垂直于直线，那么点的坐标为（）A． B． C． D． 8．直线分别与曲线交于，则的最小值为（） A． 3 B． 2 C． D．四、导数应用（一）导数应用之求函数单调区间问题 9．函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为( ) A． (0,1) B． (0，＋∞) C． (1，＋∞) D． (－∞，0)∪(1，＋∞) 10．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是( ) A． B．和 C． D．和 11．的单调增区间是 A． B． C． D． 12．函数在区间上( ) A．是减函数 B．是增函数 C．有极小值 D．有极大值 13．已知函数在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是

导数题型分类大全

导数题型分类（A ）题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则（一）导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/ x f 或0/x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数 )(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝ x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(x f y =在0x 处的导数0 / x x y =，就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值，即0 / x x y =＝)(0/ x f 。例1.函数()a x x f y ==在处的导数为A ，求 ()()t t a f t a f t 54lim +-+→。例2．2 3 33 x y x x += =+求在点处的导数。（二）常见基本初等函数的导数公式和运算法则： +-∈==N n nx x C C n n ,)(; )(01''为常数； ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(;)(''==； e x x x x a a log 1)(log ;1)(ln ''== 法则1： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()([' ''x v x u x v x u x v x u += 法则3： )0)(() ()()()()(])()([2' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （理）复合函数的求导：若(),()y f u u x ?==，则'()'()x y f x x ?'= 如，sin ()'x e =_______________;(sin )'x e =_____________ 公式1 / )(-=n n nx x 的特例：①=')x (______; ②=' ?? ? ??x 1_______, ③=')x (_________. 题型二：利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率.因此，如果)(0x f '存在，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为______________________

导数典型例题(含答案)

导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 .1002 C ！解法一 f ＇(0)=x f x f x ?-?+→?) 0()0(lim = x x x x x ?--?-?-??→?0 )100()2)(1(lim 0 Λ =lim 0 →?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 11212210 ++++++ΛΛ，n ∈N *，则 x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 = . 解 ∵ x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 =2x f x f x ?-?+→?2) 2()22(lim + []x f x f x ?--?-+→?-) 2()(2lim 0 =2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)，又∵f ＇(x )=1 1 2 1 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ΛΛ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ΛΛ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000 lim ，且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ?--?-→?) ()(000 lim ，也可以是 00 ) ()(lim x x x f x f x --→?（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .