导数中分类讨论的三种常见类型
考前归纳总结：导数中常见的分类讨论
5．（广东省珠海一中等六校 2014 届高三上学期第二次联考数学（理）试题）已知函数
三、针对性练习
1.已知函数 f (x) a ln x ax 3(a R且a 0)
．
（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）当 a 2 时，设函数 h(x) ( p 2)x p 2e 3 ，若在区间 [1, e] 上至少存在一个 x
x0 ，
使得 h(x0 ) f (x0 ) 成立，试求实数 p 的取值范围．
（Ⅱ） a 2, f (x) 2 ln x 2x 3. 令 F (x) h(x) f (x) ，
则 F (x) ( p 2)x p 2e 3 2 ln x 2x 3 px p 2e 2 ln x .
x
xx
1. 当 p 0 时，由 x [1, e]得 px p 0, 2e 2 ln x 0 ，
2
综 上 ， 当 a 1 时 ， f (x) 在 (0, ) 上 为 增 函 数 ; 当 0 a 1 时 ， f (x) 在
8
8
[1
1 8a ,1
1 8a ] 上为减函数，
f (x) 在 (0,1
1 8a 1 ],[
1 8a , ) 上为增函数，
2
2
2
2
当 a＜0 时， f (x) 在（0， 1 1 8a ]上为减函数， f (x) 在[ 1 1 8a ＋∞）上为增函数．
近些年年高考模拟题及真题： 1．已知二次函数 f(x)＝ax2＋2ax＋1 在区间[－3,2]上的最大值为 4，则 a 等于( )
导数应用中对含参问题的分类讨论
导数应用中对含参问题的分类讨论作者：张艳来源：《考试·高考数学版》2012年第02期导数是解决函数单调性、最值等问题十分有利的工具，但学生在运用导数解决含参的问题时，往往会束手无措，特别是对其中的分类讨论感到无从下手。
其实联想到含参的二次函数求最值中，主要有两类：动轴定区间和定轴动区间，不论哪一类，我们通常是按照轴在区间左侧、轴在区间内和轴在区间右侧分三类来讨论。
类比上述方法，就可以轻松解决导数应用中对含参问题的分类讨论。
举例说明如下：一、动点定区间例1 已知函数f(x)=lnx-ax，若f(x)在［1,e］上的最小值为32，求a的值.分析：先假设函数f(x)的定义域为R，由f(x)=lnx-ax，得f′（x）=1x+ax2=x+ax2，由f′（x）=0，解得x=-a.令f′(x)＞0，解得x＞-a;令f′(x)＜0，解得x＜-a.所以f(x)在（-∞，-a）上是减函数，在（-a，+∞）上是增函数，若仅考虑函数的单调性，那么f(x)图像的增减情况大致为图1，则f(x)在［1，e］上的图像应为图1在［1，e］上的部分。
考虑到极值点-a是动点，［1,e］是定区间，即动点定区间，联想到二次函数动轴定区间求最值的方法，将问题分为极值点在区间左侧，内部，右侧三类来讨论。
解：由f(x)=lnx-ax，得f′（x）=1x+ax2=x+ax2，（1）（若极值点在区间左侧）如图11.当-a≤1即a≥-1时，∵ 1≤x≤e，∴ x+a≥0，即f′(x)≥0对x∈［1,e］恒成立，当且仅当x=-a 时，f′(x)=0.所以f(x)在［1,e］上是增函数。
当x=1时，f(x)min=f(1)=ln1-a1=-a=32,解得a=-32，不满足a≥-1，故舍去；（2）（若极值点在区间内）如图12.当1＜-a＜e即-e＜a＜-1时，当x变化时，f′（x）、f(x)的变化情况如下表：x=-a是f(x)在［1，e］上的唯一极小值点，也是最小值点.当x=-a时，f(x)min=f(-a)=ln(-a)-a-a=ln（-a）+1=32，解得a=-e∈（-e，-1），符合题意；（3）（若极值点在区间右侧）如图13.当-a≥e即a≤-e时，∵ 1≤x≤e，∴ x+a≤0，即f′（x）≤0对x∈［1,e］恒成立，当且仅当x=-a时，f′（x）=0.所以f(x)在［1,e］上是减函数。
导数中的分类讨论
分类讨论在导数中的应用 (a 0) 的单调性； 1、讨论函数 f ( x) x a x 3 a 2、已知函数 f ( x) ln x x (a 0) 在区间 1, e 上的最小值为 ，求a 2 的值； a f ( x ) x (a 1) ln x(a 0,a 1) 的单调性。 3、讨论函数 x 从上可见，用导数解决函数问题遇到参数时，如何对参 数进行分类讨论，分类的标准是什么？可从以下几个步骤来 思考： （1）方程 f ' ( x) 0 有解吗？什么条件下有解，什么条件下 无解？ （2）方程 f ' ( x) 0 的解在定义域中吗？在内还是在外？ （3）在定义域中的方程 f ' ( x) 0 的解的大小次序是否明了？ （4）在定义域中的方程 的解与限定区间的关系。 f ' ( x) 0 当然以上四个方面在具体的题目中并不是每一步都要用 到，但思考的次序应该如此。
第3讲 导数中含参问题的分类讨论(解析版)
第3讲导数中含参问题的分类讨论(解析版)第3讲导数中含参问题的分类讨论(解析版)在数学中，导数是研究函数变化率的重要工具之一。
在第2讲中，我们已经学习了导数的基本定义和求法，并且在一些具体的例子中进行了应用。
而在本讲中，我们将进一步讨论导数中含参问题的分类。
一、常函数的导数首先，我们来看一类比较简单的情况——常函数的导数。
常函数指的是函数中的自变量对应的函数值都是一个常数。
例如，函数f(x) = 2是一个常函数，因为对于任意的x值，f(x)的值都是2。
那么，对于常函数来说，它的导数是多少呢？我们回顾一下导数的定义：当x的增量趋于0时，函数f(x)的增量与x的增量之比的极限，即为f(x)的导数。
而对于常函数来说，不管x 的取值如何变化，函数f(x)的值都保持不变，因此其导数为0。
所以，对于常函数 f(x) = c 来说，它的导数始终等于0。
二、幂函数的导数接下来，我们来看一类更为常见的函数——幂函数的导数。
幂函数指的是函数中的自变量的幂次不同，例如 f(x) = x^2 和 f(x) = x^3 均为幂函数。
那么，对于幂函数来说，它的导数又是怎样计算的呢？我们可以利用导数的定义来计算幂函数的导数。
假设 f(x) = x^n ，其中n是正整数。
我们固定x的值，令x的增量为h，那么 f(x) 的值就会增加到 f(x+h)。
接下来，我们计算 f(x+h) 与 f(x) 之差与 h 之比的极限。
根据幂函数的性质，我们可以展开计算，并通过化简得到幂函数的导数公式。
通过计算可以得出以下结论：当n为正整数时，幂函数 f(x) = x^n 的导数为 f'(x) = n * x^(n-1)。
例如，当n=2时，即为二次函数，导数为 f'(x) = 2 * x^(2-1) = 2x。
当n=3时，即为三次函数，导数为 f'(x) = 3 * x^(3-1) = 3x^2。
三、三角函数的导数另外一个常见的函数类型是三角函数。
导数中分类讨论地三种常见类型
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论. 1.导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -. 当1a =-时， ()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -. 综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间； 当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况. 2.导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x > 在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得1x =，2x =12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：综上所述，当a ≤≤()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
第3讲 导数中含参问题的分类讨论(解析版)
导数中含参问题的分类讨论本讲义由作业帮周永亮老师(白哥)独家编撰，侵权必究或知识导航★ 1.-次型导函数一次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是一次函数形式，或者说导函数中，除去里面的一次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负).例：f (x) = ax + b；f (a:) = (ax + b) e x ; f' (a;) = 口“ * " (z > 0)X★ 2.二次型导函数二次型导函数：二次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是二次函数形式，或者说导函数中，除去里面的二次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负).例：f (a:) = ax2 +bx + c；f (x) = (ax2 +bx + cj e x ; f (x) —* 况* ° (a； > 0)注：以上a尹0，若不确定a是否可以为0,就先讨论是一次型还是二次型；★ 3 .含参函数单调性的分类讨论(1)先确定导函数是一次型还是二次型，一次型按照一次型的讨论方式讨论;①判断是否有根，没有根会出现恒成立状况；②求出导函数的根，判断根是否在定义域内，不在定义域会出现恒成立问题；③根在定义域内，穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；(2)若是二次型，先判断二次型函数是否有根，没有根会出现恒成立状况；①如果二次型函数有根，就先求出根(能因式分解就因式分解)；②判断根是否在定义域内(讨论根与定义域端点值的大小关系)；③如果两根全在定义域，那么确定两根大小关系；④穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；★ 4.拟合函数(1)拟合函数是指，根据散点图，拟合出函数的解析式，这里考虑到的点越多，拟合的解析式就越精确.(2 )在求导中，我们会发现很多函数的导函数是指数型或者对数型的，如：f' (x) = e x—2 ; (/ (x) = (a; — a) (In x — S),这种类型的导函数，我们判断原函数的单调性比较麻烦，所以我们会采用拟合函数的形式进行讨论就可以了；(3)在单调性讨论中，拟合的形式比较简单，只需要参考两个关键点就可以了，分别是：①等于0的解，②所需拟合函数单调性；例如：f (a；) = e x -2，①当 / (a:) = 0 时，c = ln2 :② f (时=e x -2单调递增；则，我们也可以找到一个具有相同性质的一次函数，所以f (x) = 可以拟合成f' {x) — x — \n.2 ;再如：寸(x) = (a; — a) (In a: — 3),只需要讨论g = In r - 3这部分就可以了，此函数可以拟合成：y = x-^(x>0)；则寸(c) = (z — a) (Ina: — 3)可以拟合成(/ (x) = (x — a) (x — e3) (z > 0).知识札记歩经典例题考点1 一次型含参导函数的分类讨论已知函数f(x) = lnx + --l ^R)，讨论函数六z)的单调性. X解答：由题意知该函数的定义域为(0, +8)，且/ (^) = - - 4 = 与凸从而当a W0时，/(苛>0,则,(z)在(0,+8)上单调递增当a > 0时(1 )若z € (0,a)，则「(r) < 0,从而/(a:)在(0,a)上单调递减(2)若z€(a,+8),则f(z)>0,从而f(3!)在(a,+8)上单调递增综上所述，当aWO时，义时在(0,+8)上单调递增；当a>0时，山z)在(0,a)上单调递减，在(a, +oo)上单调递增讨论函数f(x)=ax-inx的单调区间.解答：函数，(z)的定义域是(0,+8) m—，若aWO,则/ (x) <。
含参导数问题常见的分类讨论
题型4.求导后,导函数等于零有实根,需要判断实根是否在定
义域内,从而引发讨论:
例4.设f (x) 1 x2 (a 1)x a ln x,求f (x)的单调减区间。 2
f (x)的定义域为（0，+） 1)a 0时，f(x)<0 0 x 1
f (x) x (a 1) a x
x2 (a+1)x a x
解:f(x)的定义域为R f (x) 3x2 6ax 3
反思：分类点如何确定？
解f (x) 0; f (x) 0? 导函数等于零是否有解
解不等式：3x2 6ax 3 0或3x2 6ax 3 0
=b2 4ac 36(a2 1)
1)当-1 a 1时， 0，f (x) 0解为R, f (x) 0解为
a
a
3)a 0, f (x) 0恒成立
f (x) 0 3)当a 11，即a<2,f(x)0 x<a-1或x>1 f(x)>0 a 1 x 1
反思：讨论点在哪里？
根的大小不确定引发的讨论
题型3.求导后,对于导数最高次项系数影响不等式类型或性质,
从而引发讨论:
例3.(10辽文21)已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. (1)讨论函数f(x)的单调性;
基础回顾：
1.已知函数f (x) ln x x,求函数的单调区间？
基本步骤：
1.求定义域
2.求导函数 f (x)
3.在定义域内解不等式 f (x) 0, f (x) 0
4.根据第三步的结果写出f(x)单调区间
题型1.求导后,需要判断导数等于零是否有实根,从而引发讨论:
例1.求函数f (x) x3 3ax2 3x 1的单调区间。
导数中的分类讨论，这样分，不会错！
导数中的分类讨论，这样分，不会错！小数老师说导数里的分类讨论是同学们最头疼的点，其实在小数老师看来，导数题目不难，关键是要找准分类讨论的标准，然后计算能力过关就OK了，这个假期小数老师会通过几道例题分别给大家讲解一下这个知识点，希望能让绝大多数同学都能拿到满分！分析这道题显然是一道典型的利用导数求函数极值的题目，函数也是比较中规中矩的三次函数，因此，只要是基础知识扎实，这道题的难度不大！但是对于分类讨论部分，很多同学分类不清晰，再加上导数里面有参数a还有自变量x，同学们很容易会出现错误，下面，跟着小数老师一起看看，怎么分类才能拿满分？！一般小数老师会根据求导后需要讨论的那部分解析式进行分类，比如，一次函数型，二次函数能分解因式型，二次函数不能分解因式型，能转化为一次或二次函数型，等，其中前三类是基础类型，同学们务必要掌握好，今天这道题属于二次函数能分解因式型。
解析（1）对于求极值或者求单调性的题目，第一步是求导并求函数定义域（是原函数的定义域，而不是导函数的定义域哦）所以接下来，观察导函数，会发现导函数可以是一个二次函数型的（一定不能直接说是二次函数，因为a的范围不确定），再回到条件里，可以看到a>0，所以就是属于二次函数，还是能分解因式的，所以继续往下，我们知道，求函数的极值，一般是令导函数为0，求出根，然后判断函数在区间上的单调性，得到极值，所以，令，即ax(ax-2)=0,所以，由于a>0，所以x2>x1，所以可以得到x （-∞，0）0 （0,2/a）2/a （2/a，+∞）f‘（x）+ 0 —0 +f(x) 递增极大值递减极小值递增注意：第一问由于限制了条件a>0，所以不需要讨论，只要比较一下两根的关系即可，难度不是很大！（2）第二问与第一问的区别在于两点：一是a的范围放大了，二是函数的定义域变小了，这样一来难度就有点增大了，我们从上面求出的导函数开始，由于a的范围扩大了，对于这个导函数，形式上是二次函数，但其实不一定，因为二次项系数是a^2，所以第一步要先考虑a=0时，此时f’（x）=0，所以此时f(x)是常函数，不存在极值；当a不等于0时，导函数为二次函数型的，由（1）得，两根为，接下来由于a的范围不定，再加上定义域是[-1,1]，必须要分类讨论了，那么应该怎么分类呢？小数老师送你一个法宝，数轴，请看图：这个图上三个点分别是定义域的两个端点，以及根x1，对于根x2，此时无法确定位置，但是我们要分类讨论了，通过数轴我们可以看到x2可以有以下几种情况了，x2≤-1,-1<><>0<><>X2≥1共四种情况，接下来，我们就这四种情况进行讨论，①当x2≤-1，即-2≤a<>导函数的大体图像为通过图像列表可得x [-1,0）0 (0,1]f’(x)- 0 +f(x) 递减极小值递增②当-1<><>，即a<>导函数的大体图像为通过图像列表为2/a （2/a，0）0 (0,1]x [-1,2/a）f’(x)+ 0 - 0 +f(x) 递增极大值递减极小值递增③当0<><>，即a>2时，导函数的大体图像为：通过图像列表为2/a (2/a,1]x [-1,0） 0 （0，2/a，）f’(x)+ 0 - 0 +f(x) 递增极大值递减极小值递增④当X2≥1，即0<>≤2时，导函数的大体图像为：通过图像列表为x [-1,0）0 (0,1] f’(x)+ 0 -f(x) 递增极大值递减最后注意：刚才小数老师画的数轴与导函数的简图，不要出现在答题纸上，那仅仅是帮助你解题的一个工具而已哦，答题格式可以是列表，可以是描述，但是最后都不要忘了综上所述，把所有的情况都说明白，今天小数老师的目标是让大家会分类讨论，所以这题没有写标准答案，同学们自己要注意哈！。
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类一、根据判别式 △=b ²-4ac 讨论↵例1.已知函数. f(x)=x ³+ax ²+x+1(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=3x²+2ax +1,判别式△=b ²-4ac=4(a ²-3),(1)当 a >√3或 a <−√3时，则在 (−∞,−a−√a 2−33)和 (−a+√a 2−33,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;在 (−a−√a 2−33,−a+√a 2−33),f ′(x )<0,f(x)是减函数;(2)当 −√3<a <√3时,则对所有x∈R, f'(x)>0, f(x)是(-∞,+∞)上的增函数;↵二、根据判二次函数根的大小讨论↵例2：已知函数. f (x )=(x²+ax −3a²+3a )eˣ(a ∈R 且 a ≠23),求f(x)的单调区间. 解: f ′(x )=[x²+(a +2)x −2a²+4a ]⋅eˣ,f ′(x )=(0得x=-2a 或x=a-2↵(1)当 a >23时,则-2a<a-2,在(-∞,-2a)和(a-2,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(-2a,a-2)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;(2)当 a <23时,则a-2<-2a,在(-∞,a -2)和(-2a,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(a-2,-2a)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;题型归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间.练习2↵三、根据定义域的隐含条件讨论。
例3:已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=1x −a (x ⟩0), (1)当a≤0时, f ′(x )=1x −a >0,在(0,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;(2)当a>0时,令 f ′(x )=1x −a =0,得 x =1a ,题型归纳总结：定义域有限制时，定义域与不等式解集的交集为分类标准讨论。
导数分类讨论解决含参问题(三种常见类型)
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
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导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论. 1.导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -. 当1a =-时， ()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -. 综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间； 当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况. 2.导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x > 在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得1x =，2x =12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：综上所述，当a ≤≤()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛⎫---∞ ⎪ ⎪⎝⎭和3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为33a a ⎛--+ ⎪⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
通过这两道实例可以知道，在分情况讨论的时候弄清楚讨论的必要性是很重要的，不能以偏概全。
3.导函数的根与给定区间的关系实例3：已知函数()2ln f x x x =-，函数()()2g x f x x ax =-+，0a >，若(]0,x e ∈ 时，()g x 的最小值是3，数a 的值.（e 是自然对数的底数）分析：由题意可以求得()ln g x ax x =-，且函数()g x 的定义域为()0,+∞，已知的是函数()g x 在(]0,e 上的最小值是3，而函数最值的讨论通常是以单调性的讨论为基础，所以可以先考虑函数()g x 在(]0,e 上的单调性，因此对()g x 进行求导，得到导函数()'11ax g x a x x -=-=，因为0a >，所以令()'0g x =解得1x a=，则()g x ，()'g x 随x 的变化情况如下：这是()g x 在()0,+∞上的单调性，而要讨论其在(]0,e 上的单调性，这里涉及到e跟1a 的大小，也即是1a是在给定区间还是在区间外的问题，可以知道，题目中并没有条件可以让我们确定e 跟1a的大小关系，所以这里需要分情况讨论：若1e a ≤即10a e<≤，则()g x 在(]0,e 上单调递减，()()min 1g x g e ae ==-，令13ae -=，解得4a e=（舍去）若1e a >即1a e >，则()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以()min 11ln g x g a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，令1ln 3a +=，解得2a e =，满足条件.综上所述，所数a 的值为2e .点评：这道题实质上就是讨论函数在给定区间上的单调性，在这道例题中，导函数存在唯一的实根，所以可以确定原函数()g x 在定义域()0,+∞上的单调性，而要讨论其在区间(]0,e 的单调性，则涉及到e 跟1a的大小关系，也就是确定导函数等于零的点跟给定区间的关系.这道题中如果把a 的围改为a R ∈，问题就稍微复杂一点，首先得考虑导函数()'11ax g x a x x-=-=根是否存在，可以发现，如果0a =，则不存在导函数等于零的点，此时()'110g x a x x=-=-<，函数()g x 在(]0,e 上单调递减；而如果0a ≠，则导函数存在唯一的实根1a，其中0a ≠又包含了两种情况：0a <和0a >，如果0a <，那么10a <，()10,a∉+∞，此时()'110ax g x a x x -=-=<，函数()g x 在(]0,e 上单调递减；至于0a >的情况，讨论如实例3.分类讨论思想是对研究对象进行分类，简化所要研究的对象，它是解决问题的一种逻辑方法，也是锻炼人思维模式的方法，但在分类讨论时要明确讨论的对象以及按什么标准进行分类，做到不重复、不遗漏.导数中的分类讨论在历年高考中也是经常出现，主要是在研究函数的单调性、极值与最值中应用比较多.导数问题中分类讨论的方法摘要：近年，高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，而考生的在这一题中的得分率并不高。
主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。
而分类讨论在高考中处于重要的“地位”：分类讨论思想是历年高考的必考容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。
每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。
本人在几年的教学生涯中，对这类问题作了一定的探讨，并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引起分类讨论的原因。
关键词：单调区间，极值，分类，最值，取值围为了更好的解决导数中分类讨论的问题，笔者建议按照下列步骤来解决导数解答题 （1） 求导)('x f （2） 令)('x f =0 （3） 求出)('x f =0的根（4） 作出导数的图像或等价于导数的图像（一般是二次函数或一次函数的图像） （5） 由图像写出函数的单调区间，极值，或最值规了步骤后，在解题过程中涉及到的分类讨论一般有：方程)('x f =0的类型引起的讨论、根的存在引起的讨论、根的大小引起的讨论、画图像时开口或斜率的讨论、根与给定区间:或定义域的端点的大小的讨论） 下面笔者结合若干例题对上述的分类讨论方法作一一阐述 例1：若函数x xax x f ln 2)(++=（a ≥0），求函数的单调区间。
解：)0(212)(222>-+=+-='x xx ax x x a x f 令)('x f =0，即：022=-+x ax （注意这里方程的类型需要讨论）,20==x a ，则若作出2)(-=x x g 的图像，由图像可知)(x f 在（0,2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数若,0810>+=∆>a a ，则 由022=-+x ax ，得aax 28111+--=<0,a a x 28112++-=>0作出2)(2-+=x ax x h 的图像，由图像可知)(x f 在上为增函数上为减函数，在（),),0(22+∞x x综上所述：时0=a ，)(x f 在（0,2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数在时，)(0x f a >）上为减函数，（aa28110++- 在）上为增函数，（∞+++-aa2811例2：(08全国高考)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R ，讨论函数f(x)的单调区间解：123)(2++='ax x x f令0123)(2=++='ax x x f （注意这里根的存在需要讨论）1242-=∆a若01242≤-=∆a ，即33≤≤-a ，则上为增函数在R x f )(若33,01242>-<>-=∆a a a 或即由0123)(2=++='ax x x f 得，3321---=a a x ,3322-+-=a a x在)(x f 或)33,(2----∞a a ），（∞+-+-332a a 上为增函数在)33-3322-+---a a a a ，（上为减函数 综上所述：33≤≤-a 时，上为增函数在R x f )(时，或33>-<a a 在)(x f 或)33,(2----∞a a ），（∞+-+-332a a上为增函数，在)33-3322-+---a a a a ，（上为减函数 例3.（2010） 已知函数f (x )=In(1+x )-x +22x k (k ≥0)。