含参数导数问题分类讨论

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导数应用中对含参问题的分类讨论

导数应用中对含参问题的分类讨论

导数应用中对含参问题的分类讨论作者:张艳来源:《考试·高考数学版》2012年第02期导数是解决函数单调性、最值等问题十分有利的工具,但学生在运用导数解决含参的问题时,往往会束手无措,特别是对其中的分类讨论感到无从下手。

其实联想到含参的二次函数求最值中,主要有两类:动轴定区间和定轴动区间,不论哪一类,我们通常是按照轴在区间左侧、轴在区间内和轴在区间右侧分三类来讨论。

类比上述方法,就可以轻松解决导数应用中对含参问题的分类讨论。

举例说明如下:一、动点定区间例1 已知函数f(x)=lnx-ax,若f(x)在[1,e]上的最小值为32,求a的值.分析:先假设函数f(x)的定义域为R,由f(x)=lnx-ax,得f′(x)=1x+ax2=x+ax2,由f′(x)=0,解得x=-a.令f′(x)>0,解得x>-a;令f′(x)<0,解得x<-a.所以f(x)在(-∞,-a)上是减函数,在(-a,+∞)上是增函数,若仅考虑函数的单调性,那么f(x)图像的增减情况大致为图1,则f(x)在[1,e]上的图像应为图1在[1,e]上的部分。

考虑到极值点-a是动点,[1,e]是定区间,即动点定区间,联想到二次函数动轴定区间求最值的方法,将问题分为极值点在区间左侧,内部,右侧三类来讨论。

解:由f(x)=lnx-ax,得f′(x)=1x+ax2=x+ax2,(1)(若极值点在区间左侧)如图11.当-a≤1即a≥-1时,∵ 1≤x≤e,∴ x+a≥0,即f′(x)≥0对x∈[1,e]恒成立,当且仅当x=-a 时,f′(x)=0.所以f(x)在[1,e]上是增函数。

当x=1时,f(x)min=f(1)=ln1-a1=-a=32,解得a=-32,不满足a≥-1,故舍去;(2)(若极值点在区间内)如图12.当1<-a<e即-e<a<-1时,当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:x=-a是f(x)在[1,e]上的唯一极小值点,也是最小值点.当x=-a时,f(x)min=f(-a)=ln(-a)-a-a=ln(-a)+1=32,解得a=-e∈(-e,-1),符合题意;(3)(若极值点在区间右侧)如图13.当-a≥e即a≤-e时,∵ 1≤x≤e,∴ x+a≤0,即f′(x)≤0对x∈[1,e]恒成立,当且仅当x=-a时,f′(x)=0.所以f(x)在[1,e]上是减函数。

第3讲 导数中含参问题的分类讨论(解析版)

第3讲 导数中含参问题的分类讨论(解析版)

第3讲导数中含参问题的分类讨论(解析版)第3讲导数中含参问题的分类讨论(解析版)在数学中,导数是研究函数变化率的重要工具之一。

在第2讲中,我们已经学习了导数的基本定义和求法,并且在一些具体的例子中进行了应用。

而在本讲中,我们将进一步讨论导数中含参问题的分类。

一、常函数的导数首先,我们来看一类比较简单的情况——常函数的导数。

常函数指的是函数中的自变量对应的函数值都是一个常数。

例如,函数f(x) = 2是一个常函数,因为对于任意的x值,f(x)的值都是2。

那么,对于常函数来说,它的导数是多少呢?我们回顾一下导数的定义:当x的增量趋于0时,函数f(x)的增量与x的增量之比的极限,即为f(x)的导数。

而对于常函数来说,不管x 的取值如何变化,函数f(x)的值都保持不变,因此其导数为0。

所以,对于常函数 f(x) = c 来说,它的导数始终等于0。

二、幂函数的导数接下来,我们来看一类更为常见的函数——幂函数的导数。

幂函数指的是函数中的自变量的幂次不同,例如 f(x) = x^2 和 f(x) = x^3 均为幂函数。

那么,对于幂函数来说,它的导数又是怎样计算的呢?我们可以利用导数的定义来计算幂函数的导数。

假设 f(x) = x^n ,其中n是正整数。

我们固定x的值,令x的增量为h,那么 f(x) 的值就会增加到 f(x+h)。

接下来,我们计算 f(x+h) 与 f(x) 之差与 h 之比的极限。

根据幂函数的性质,我们可以展开计算,并通过化简得到幂函数的导数公式。

通过计算可以得出以下结论:当n为正整数时,幂函数 f(x) = x^n 的导数为 f'(x) = n * x^(n-1)。

例如,当n=2时,即为二次函数,导数为 f'(x) = 2 * x^(2-1) = 2x。

当n=3时,即为三次函数,导数为 f'(x) = 3 * x^(3-1) = 3x^2。

三、三角函数的导数另外一个常见的函数类型是三角函数。

第3讲 导数中含参问题的分类讨论(解析版)

第3讲 导数中含参问题的分类讨论(解析版)

导数中含参问题的分类讨论本讲义由作业帮周永亮老师(白哥)独家编撰,侵权必究或知识导航★ 1.-次型导函数一次型导函数,是指能够影响原函数单调性的部分是一次函数形式,或者说导函数中,除去里面的一次函数形式,剩余的部分全部恒为正(负).例:f (x) = ax + b;f (a:) = (ax + b) e x ; f' (a;) = 口“ * " (z > 0)X★ 2.二次型导函数二次型导函数:二次型导函数,是指能够影响原函数单调性的部分是二次函数形式,或者说导函数中,除去里面的二次函数形式,剩余的部分全部恒为正(负).例:f (a:) = ax2 +bx + c;f (x) = (ax2 +bx + cj e x ; f (x) —* 况* ° (a; > 0)注:以上a尹0,若不确定a是否可以为0,就先讨论是一次型还是二次型;★ 3 .含参函数单调性的分类讨论(1)先确定导函数是一次型还是二次型,一次型按照一次型的讨论方式讨论;①判断是否有根,没有根会出现恒成立状况;②求出导函数的根,判断根是否在定义域内,不在定义域会出现恒成立问题;③根在定义域内,穿根法确定导函数正负,进而确定原函数的单调性;(2)若是二次型,先判断二次型函数是否有根,没有根会出现恒成立状况;①如果二次型函数有根,就先求出根(能因式分解就因式分解);②判断根是否在定义域内(讨论根与定义域端点值的大小关系);③如果两根全在定义域,那么确定两根大小关系;④穿根法确定导函数正负,进而确定原函数的单调性;★ 4.拟合函数(1)拟合函数是指,根据散点图,拟合出函数的解析式,这里考虑到的点越多,拟合的解析式就越精确.(2 )在求导中,我们会发现很多函数的导函数是指数型或者对数型的,如:f' (x) = e x—2 ; (/ (x) = (a; — a) (In x — S),这种类型的导函数,我们判断原函数的单调性比较麻烦,所以我们会采用拟合函数的形式进行讨论就可以了;(3)在单调性讨论中,拟合的形式比较简单,只需要参考两个关键点就可以了,分别是:①等于0的解,②所需拟合函数单调性;例如:f (a;) = e x -2,①当 / (a:) = 0 时,c = ln2 :② f (时=e x -2单调递增;则,我们也可以找到一个具有相同性质的一次函数,所以f (x) = 可以拟合成f' {x) — x — \n.2 ;再如:寸(x) = (a; — a) (In a: — 3),只需要讨论g = In r - 3这部分就可以了,此函数可以拟合成:y = x-^(x>0);则寸(c) = (z — a) (Ina: — 3)可以拟合成(/ (x) = (x — a) (x — e3) (z > 0).知识札记歩经典例题考点1 一次型含参导函数的分类讨论已知函数f(x) = lnx + --l ^R),讨论函数六z)的单调性. X解答:由题意知该函数的定义域为(0, +8),且/ (^) = - - 4 = 与凸从而当a W0时,/(苛>0,则,(z)在(0,+8)上单调递增当a > 0时(1 )若z € (0,a),则「(r) < 0,从而/(a:)在(0,a)上单调递减(2)若z€(a,+8),则f(z)>0,从而f(3!)在(a,+8)上单调递增综上所述,当aWO时,义时在(0,+8)上单调递增;当a>0时,山z)在(0,a)上单调递减,在(a, +oo)上单调递增讨论函数f(x)=ax-inx的单调区间.解答:函数,(z)的定义域是(0,+8) m—,若aWO,则/ (x) <。

含参导数问题常见的分类讨论

含参导数问题常见的分类讨论

题型4.求导后,导函数等于零有实根,需要判断实根是否在定
义域内,从而引发讨论:
例4.设f (x) 1 x2 (a 1)x a ln x,求f (x)的单调减区间。 2
f (x)的定义域为(0,+) 1)a 0时,f(x)<0 0 x 1
f (x) x (a 1) a x
x2 (a+1)x a x
解:f(x)的定义域为R f (x) 3x2 6ax 3
反思:分类点如何确定?
解f (x) 0; f (x) 0? 导函数等于零是否有解
解不等式:3x2 6ax 3 0或3x2 6ax 3 0
=b2 4ac 36(a2 1)
1)当-1 a 1时, 0,f (x) 0解为R, f (x) 0解为
a
a
3)a 0, f (x) 0恒成立
f (x) 0 3)当a 11,即a<2,f(x)0 x<a-1或x>1 f(x)>0 a 1 x 1
反思:讨论点在哪里?
根的大小不确定引发的讨论
题型3.求导后,对于导数最高次项系数影响不等式类型或性质,
从而引发讨论:
例3.(10辽文21)已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. (1)讨论函数f(x)的单调性;
基础回顾:
1.已知函数f (x) ln x x,求函数的单调区间?
基本步骤:
1.求定义域
2.求导函数 f (x)
3.在定义域内解不等式 f (x) 0, f (x) 0
4.根据第三步的结果写出f(x)单调区间
题型1.求导后,需要判断导数等于零是否有实根,从而引发讨论:
例1.求函数f (x) x3 3ax2 3x 1的单调区间。

(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

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导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1.求导后,导函数的解析式含有参数,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。

★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0),求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=(a 〉0)求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+,其中a R ∈。

(Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; (Ⅱ)当0a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值。

解:(Ⅰ)当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。

(Ⅱ)由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ,由()'0f x =,得121,x x a a=-=。

这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内,但不知它们之间 的大小。

因此,需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

(1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,(),a +∞内为减函数,在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。

故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭;函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

专题1 含参数导数问题的分类讨论

专题1 含参数导数问题的分类讨论

专题一 含参数导数问题的分类讨论导数是研究函数的图象和性质的重要工具,自从导数进入高中数学教材以来,有关导数问题几乎是每年高考的必考试题之一.随着高考对导数考查的不断深入,含参数的导数问题成为了历年高考命题的热点.由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行分类讨论,如何进行分类讨论成为绝大多数考生答题的难点.模块1 整理方法 提升能力在众多的含参数导数问题中,根据所给的参数的不同范围去讨论函数的单调性是最常见的题目之一,求函数的极值、最值等问题,最终也需要讨论函数单调性.对于含参数导数问题的单调性的分类讨论,常见的分类讨论点有以下三个:分类讨论点1:求导后,考虑()0f x '=是否有实根,从而引起分类讨论;分类讨论点2:求导后,()0f x '=有实根,但不清楚()0f x '=的实根是否落在定义域内,从而引起分类讨论;分类讨论点3:求导后,()0f x '=有实根,()0f x '=的实根也落在定义域内,但不清楚这些实根的大小关系,从而引起分类讨论.以上三点是讨论含参数导数问题的单调性的三个基本分类点,在求解有关含参数导数问题的单调性时,可按上述三点的顺序对参数进行讨论.因此,对含参数的导数问题的分类讨论,还是有一定的规律可循的.当然,在具体解题中,可能要讨论其中的两点或三点,这时的讨论就会复杂一些了,也有些题目可以根据其式子和题目的特点进行灵活处理,减少分类讨论,需要灵活把握.例1设0a >,讨论函数()()()2ln 121f x x a a x a x =+---的单调性. 【解析】()f x 的定义域是()0,+∞.()()()12121f x a a x a x'=+--- ()()221211a a x a x x---+=.令()()()221211g x a a x a x =---+,则()0f x '=的根的情况等价于()0g x =的根的情况.由于()g x 的函数类型不能确定,所以需要对a 进行分类讨论从而确定函数的类型.(1)当1a =时,()g x 是常数函数,此时()1g x =,()10f x x'=>,于是()f x 在()0,+∞上递增.(2)当1a ≠时,()g x 是二次函数,类型确定后,我们首先考虑讨论点1——()0f x '=是否有实根的问题.由于()g x 不能因式分解,所以我们考虑其判别式()()4131a a ∆=--,判别式的正负影响到()0g x =的根的情况,由此可初步分为以下三种情况:①当0∆<,即113a <<时,()0g x =没有实根;②当0∆=,即13a =时,()0g x =有两个相等的实根;③当0∆>,即103a <<或1a >时,()0g x =有两个不等的实根.对于第①种情况,()0g x =没有实根且永远在x 轴上方,于是()0f x '>,所以()f x 在()0,+∞上递增.对于第②种情况,()0g x =有两个相等的实根32x =,于是()0f x '≥,所以()f x 在()0,+∞上递增.对于第③种情况,()0g x =有两个不等的实根,112x a=-和212x a=.由于不知道两根是否落在定义域()0,+∞内,因此要考虑讨论点2,而利用韦达定理进行判断是一个快捷的方法.因为121x x a +=,()12121x x a a =-,所以当103a <<时,有120x x +>且120x x >,此时两个根都在定义域内切120x x <<(因为1x 与2x 的大小关系已经确定,所以不需要考虑讨论点3).由()0f x '>可得10x x <<或2x x >,所以()f x 在()10,x 和()2,x +∞上递增;由()0f x '<可得12x x x <<,所以()f x 在()12,x x 上递减.当1a >时,有120x x +>且120x x <,此时210x x <<,由()0f x '>可得10x x <<,所以()f x 在()10,x 上递增;由()0f x '<可得1x x >,所以()f x 在()1,x +∞上递减.综上所述,当103a <<时,()f x 在()10,x 和()2,x +∞上递增,在()12,x x 上递减;当113a ≤≤时,()f x 在()0,+∞上递增;当1a >时,()f x 在()10,x 上递增,在()1,x +∞上递减.其中112x a=212x a =.【点评】只要按照3个分类讨论点进行思考,就能很好地处理含参数导数问题的单调性.此外,涉及两根与0的大小比较的时候,利用韦达定理往往比较简单.例2已知函数()ln f x x kx k =-+(k ∈R ). (1)求()f x 在[]1,2上的最小值;(2)若1ln 1x a x x ⎛⎫+≥ ⎪ ⎪-⎝⎭对()1,1x ∈-恒成立,求正数a 的最大值.【解析】(1)定义域为()0,+∞,()11kx f x k x x-+'=-=. 法1:①当0k =时,()10f x x'=>,函数()f x 在[]1,2为增函数,所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦.②当0k ≠时,令()0f x '=可得1x k=. (i )当10k<,即0k <时,()0f x '>在[]1,2上恒成立,函数()f x 在[]1,2为增函数,所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦.(ii )当101k<≤,即1k ≥时,()0f x '≤在[]1,2上恒成立,所以()f x 在[]1,2为减函数,所以()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦.(iii )当12k ≥,即102k <≤时,()0f x '≥在[]1,2上恒成立,所以()f x 在[]1,2为增函数,所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦.(iv )当112k <<,即112k <<时,由()0f x '>可得11x k <<,由()0f x '<可得12x k<<,所以()f x 在11,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增,在1,2k ⎛⎫⎪⎝⎭上递减.于是()f x 在[]1,2上的最小值为()10f =或()2ln 2f k =-.当0ln2k <-,即1ln 22k <<时,()()min10f x f ⎡⎤==⎣⎦;当0ln2k ≥-,即ln21k ≤≤时,()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦.综上所述,当ln2k <时,()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦;当ln2k ≥时,()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦. 法2:①当0k ≤时,()0f x '>,函数()f x 在[]1,2为增函数,所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦. ②当0k >时,由()0f x '>可得10x k <<,由()0f x '<可得1x k >,所以()f x 在10,k ⎛⎫⎪⎝⎭上递增,在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减.于是()f x 在[]1,2上的最小值为()10f =或()2ln 2f k =-.(i )当0ln2k <-,即0ln2k <<时,()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦. (ii )当0ln2k ≥-,即ln2k ≥时,()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦.综上所述,当ln2k <时,()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦;当ln2k ≥时,()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦. (2)解答详见专题三例1.【点评】处理好函数的单调性,就能求出函数的最值.法1是按照常见的3个分类讨论点进行讨论:当0k =时,()0f x '=没有实根.当0k ≠时,()0f x '=有实根1x k=,此时需考虑根在不在定义域[]1,2内.当10k <或101k <≤或12k ≥时,根都不在定义域内(把11k=和12k =并在里面是为了减少分类的情况);当112k<<时,根在定义域内,由于定义域内只有1个根,所以就不用考虑第3个分类讨论点了.法2是根据式子和题目的特点进行分类:由()1f x k x'=-可知当0k ≤时,()f x 在[]1,2上递增;当0k >时,()f x 在()0,+∞上先增后减,所以最小值只能在()1f 或()2f 处取到,此时只需要比较两者的大小就可以了.由于法2是根据式子和题目的特点进行分类的,所以能减少分类的情况.例3设函数()()2ln 1f x x b x =++,其中0b ≠. (1)当12b >时,判断函数()f x 在定义域上的单调性; (2)当0b ≠时,求函数()f x 的极值点.【解析】(1)函数()()2ln 1f x x b x =++的定义域为()1,-+∞,()222211b x x b f x x x x ++'=+=++.令()222g x x x b =++,则48b ∆=-.当12b >时,0∆<,所以()g x 在()1,-+∞上恒大于0,所以()0f x '>,于是当12b >时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上递增.(2)首先考虑()0g x =是否有实根. ①当0∆<,即12b >时,由(1)知函数()f x 无极值点.②当0∆=,即12b =时,()0g x =有唯一的实根,()0g x ≥,于是()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立,所以函数()f x 在()1,-+∞上递增,从而函数()f x 在()1,-+∞上无极值点.③当0∆>,即12b <时,()0g x =有两个不同的根1x =,2x =,其中12x x <.这两个根是否都在定义域()1,-+∞内呢?这需要对参数b 的取值进一步分类讨论.当0b <时,11x <-,21x =>-,由()0f x '>可得2x x >,由()0f x '<可得21x x -<<,所以()f x 在()21,x -上递减,在()2,x +∞上递增,所以当0b <时,()f x 在()1,-+∞上有唯一极小值点2x =.当102b <<时,1112x -=>-,2112x -+=>-,由()0f x '>可得11x x -<<或2x x >,由()0f x '<可得12x x x <<,所以()f x 在()11,x -上递增,在()12,x x 上递减,在()2,x +∞上递增,所以当102b <<时,()f x 在()1,-+∞上有一个极大值点1x和一个极小值点2x =. 综上所述,当0b <时,()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点2x =;当102b <<时,()f x有一个极大值点112x -=和一个极小值点212x -=;当1b ≥时,函数()f x 在()1,-+∞上无极值点.12x x <,所以只需要考虑讨论点2,判断这两个根是否都在定义域()1,-+∞内就可以了,显然之间的大小符号待定为,则有11122112bb b -⇔----⇔-⇔1120b b -⇔,所以当0理,判断1x 、2x 与1-的大小关系等价于判断121x x +=-⎧⎪(1x ⎧+⎪模块2 练习巩固 整合提升练习1:设函数()1ln 1x f x a x x -=++,其中a 为常数. (1)若0a =,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; (2)讨论函数()f x 的单调性. 【解析】(1)当0a =时,()11x f x x -=+,()0,x ∈+∞.此时()()221f x x '=+,于是()112f '=,()10f =,所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为210x y --=.(2)函数()f x 的定义域为()0,+∞,()()()()22221211ax a x a a f x x x x x +++'=+=++. ①当0a ≥时,()0f x '>,所以函数()f x 在()0,+∞上递增.②当0a <时,令()()221g x ax a x a =+++,则()()22414421a a a ∆=+-=+. (i )当12a ≤-时,0∆≤,所以()0g x ≤,于是()0f x '≤,所以函数()f x 在()0,+∞上递减.(ii )当102a -<<时,0∆>,此时()0g x =有两个不同的根,()11a x a -++=,()21a x a-+=,12xx <.下判断1x 、2x 是否在定义域()0,+∞内.法1:(待定符号法)()()101210121a a a a a a-+⇔+-+⇔++⇔()221210a a a ++⇔,由于0a >,所以10x >.法2:(韦达定理)由()121221010a x x ax x ⎧++=->⎪⎨⎪=>⎩可得120x x <<. 法3:(图象法)()g x 是开口方向向下的抛物线,对称轴为10a a+->,()00g a =<,由图象可知1x 、2x 都在定义域()0,+∞内.当10x x <<或2x x >时,有()0g x <,()0f x '<,所以函数()f x 递减;当12x x x <<时,有()0g x >,()0f x '>,所以函数()f x 递增.综上所述,当0a ≥时,函数()f x 在()0,+∞上递增;当12a ≤-时,函数()f x 在()0,+∞上递减;当102a -<<时,函数()f x 在()10,a a ⎛-++ ⎪⎝⎭,()1a a ⎛⎫-+-+∞⎪ ⎪⎝⎭上递减,在()()11a a a a ⎛-++-+ ⎪⎝⎭上递增.练习2:设函数()()2ln f x x a x =++.(1)若当1x =-时,()f x 取得极值,求a 的值,并讨论()f x 的单调性; (2)若()f x 存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于eln2. 【解析】(1)由()10f '-=解得32a =,此时()2123123322x x f x x x x ++'=+=++,由()0f x '>解得312x -<<-或12x >-,由()0f x '<解得112x -<<-,所以()f x 在区间3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭,1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增,在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递减. (2)()f x 的定义域为(),a -+∞,()2221x ax f x x a++'=+,记()2221g x x ax =++,其判别式为248a ∆=-.①若0∆≤,即a ≤时,()0f x '≥在(),a -+∞上恒成立,所以()f x 无极值.②若0∆>,即a >a <()0g x =有两个不同的实根1x =22a x -=,且12x x <,由韦达定理可得121212x x ax x +=-⎧⎪⎨⋅=⎪⎩,即()()()()121212x a x a a x a x a ⎧+++=⎪⎨+⋅+=⎪⎩.(i)当a <10x a +<,20x a +<,即1x a <-,2x a <-,从而()0f x '=在(),a -+∞上没有实根,所以()f x 无极值.(ii)当a 10x a +>,20x a +>,即1x a >-,2x a >-,从而()0f x '=在(),a -+∞上有两个不同的根,且()f x 在1x x =,2x x =处取得极值.综上所述,()f x 存在极值时,a的取值范围为)+∞.()f x 的极值之和为()()()()()()()222121122121212ln ln ln 2f x f x x a x x a x x a x a x x x x +=+++++=⎡++⎤++-⎣⎦,而()()121ln ln 2x a x a ⎡++⎤=⎣⎦,()()222121212212x x x x a a +-=--⨯=-,所以()()21211eln 1ln 1ln 222f x f x a +=+->+=.练习3:已知函数()2e 1x f x ax bx =---,其中a 、b ∈R ,e 2.71828=为自然对数的底数.(1)设()g x 是函数()f x 的导函数,求函数()g x 在区间[]0,1上的最小值; (2)若()10f =,函数()f x 在区间()0,1内有零点,求a 的取值范围. 【解析】(1)()()e 2x g x f x ax b '==--,()e 2x g x a '=-.因为[]0,1x ∈,所以()12e 2a g x a '-≤≤-.①若21a ≤,即12a ≤时,有()e 20x g x a '=-≥,所以函数()g x 在区间[]0,1上递增,于是()()min 01g x g b ⎡⎤==-⎣⎦.②若12e a <<,即1e22a <<时,当()0ln 2x a <<时,()e 20x g x a '=-<,当()ln 21a x <<时()e 20x g x a '=->,所以函数()g x 在区间()()0,ln 2a 上递减,在区间()ln 2,1a ⎡⎤⎣⎦上递增,于是()()()min ln 222ln 2g x g a a a a b ⎡⎤=⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦.③若2e a ≥,即e2a ≥时,有()e 20x g x a '=-≤,所以函数()g x 在区间[]0,1上递减,于是()()min 1e 2g x g a b ⎡⎤==--⎣⎦.综上所述,()g x 在区间[]0,1上的最小值为()()min11,21e 22ln 2,22e e 2,2b a g x a a a b a a b a ⎧-≤⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩.(2)法1:由()10f =可得e 10a b ---=,于是e 1b a =--,又()00f =,所以函数()f x 在区间()0,1内有零点,则函数()f x 在区间()0,1内至少有三个单调区间.由(1)知当12a ≤或e2a ≥时,函数()g x 即()f x '在区间[]0,1上递增或递减,所以不可能满足“函数()f x 在区间()0,1内至少有三个单调区间”这一要求.若1e22a <<,则()()()min22ln 232ln 2e 1g x a a a b a a a ⎡⎤=--=---⎣⎦.令()()32ln 2e 1h x x x x =---(1e 22x <<),则()()12ln 2h x x '=-.由()0h x '>可得1e2x <<,由()0h x '<e e2x <<,所以()h x 在区间1e 2⎛ ⎝上递增,在区间e e 2⎫⎪⎪⎭上递减,所以()max e e e e 32ln 2e 1e e 10h x h ⎡⎤⎡⎤==---=--<⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦,即()min 0g x ⎡⎤<⎣⎦,于是函数()f x 在区间()0,1内至少有三个单调区间⇔()()02e 0110g a g a ⎧=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩,由此解得e 21a -<<,又因为1e22a <<,所以e 21a -<<.综上所述,a 的取值范围为()e 2,1-.法2:由()10f =可得e 10a b ---=,于是e 1b a =--,又()00f =,所以函数()g x 在区间()0,1上至少有两个零点.()e e 10e 2e 1021x xg x ax a a x -+=⇔--++=⇔=-,所以()g x 在区间()0,1上至少有两个零点y a ⇔=与()e e 121x k x x -+=-,110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象至少有两个交点.()()()22e 3e 2e 121x x x k x x -+-'=-,令()()2e 3e 2e 1x x p x x =-+-,则()()e 21x p x x '=-,由()0p x '>可得12x >,由()0p x '<可得12x <,所以()p x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减,在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上递增,()min12e 2e 202p x p ⎛⎫⎡⎤==-> ⎪⎣⎦⎝⎭,所以()0k x '>,于是 ()k x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增,在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上也递增.因为()0e 2k =-,()11k =,当12x -→时,()k x →+∞,当12x +→时,()k x →-∞,于是y a =与()e e 121x k x x -+=-,110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象有两个交点时,a 的取值范围是() -.e2,1。

利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类

利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类

利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类一、根据判别式 △=b ²-4ac 讨论↵例1.已知函数. f(x)=x ³+ax ²+x+1(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=3x²+2ax +1,判别式△=b ²-4ac=4(a ²-3),(1)当 a >√3或 a <−√3时,则在 (−∞,−a−√a 2−33)和 (−a+√a 2−33,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;在 (−a−√a 2−33,−a+√a 2−33),f ′(x )<0,f(x)是减函数;(2)当 −√3<a <√3时,则对所有x∈R, f'(x)>0, f(x)是(-∞,+∞)上的增函数;↵二、根据判二次函数根的大小讨论↵例2:已知函数. f (x )=(x²+ax −3a²+3a )eˣ(a ∈R 且 a ≠23),求f(x)的单调区间. 解: f ′(x )=[x²+(a +2)x −2a²+4a ]⋅eˣ,f ′(x )=(0得x=-2a 或x=a-2↵(1)当 a >23时,则-2a<a-2,在(-∞,-2a)和(a-2,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(-2a,a-2)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;(2)当 a <23时,则a-2<-2a,在(-∞,a -2)和(-2a,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(a-2,-2a)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;题型归纳总结:求导后是二次函数的形式,如果根的大小不确定,应对根的大小讨论确定单调区间.练习2↵三、根据定义域的隐含条件讨论。

例3:已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=1x −a (x ⟩0), (1)当a≤0时, f ′(x )=1x −a >0,在(0,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;(2)当a>0时,令 f ′(x )=1x −a =0,得 x =1a ,题型归纳总结:定义域有限制时,定义域与不等式解集的交集为分类标准讨论。

帮你归纳总结五导数中常见的分类讨论

帮你归纳总结五导数中常见的分类讨论

帮你归纳总结五导数中常见的分类讨论在导数的学习中,我们经常会遇到各种不同的函数和问题,为了更好地理解和解决这些问题,我们需要进行分类讨论。

下面将介绍导数中常见的五种分类讨论,并探讨每种分类讨论的应用。

一、基本函数的导数基本函数是指一些常见的函数,如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

对于这些函数,我们可以通过公式或运用基本性质来求导数。

例如,对于常数函数f(x) = c,其导数为f'(x) = 0;对于幂函数f(x) = x^n,其中n为常数,其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

基本函数的导数可以通过记忆公式或基本性质来求解,这是导数求解中最基础的分类讨论。

二、复合函数的导数复合函数是指由两个或多个函数相互组合而成的函数。

对于复合函数的导数求解,我们可以运用链式法则。

链式法则指出,若y=f(g(x)),其中f(u)和g(x)分别是两个可导函数,则复合函数y的导数可以表示为y'=f'(g(x))*g'(x)。

通过链式法则的应用,我们可以将复合函数的导数求解转化为求两个基本函数的导数,从而简化导数的计算。

三、隐函数的导数隐函数是指由一个关系式所定义的函数,其自变量和因变量的关系并不明显。

对于隐函数的导数求解,我们可以运用隐函数求导法。

隐函数求导法是一种通过求全微分和利用导数的定义来求解隐函数的导数的方法。

具体而言,我们可以将隐函数的方程两边求导,并利用导数的表示推导出隐函数的导数表达式。

隐函数的导数求解不仅可以帮助我们理解隐函数的性质,还可以解决一些与隐函数相关的问题。

四、参数方程的导数参数方程是指用参数的形式表示的函数。

对于参数方程的导数求解,我们可以运用参数方程的求导法。

参数方程的求导法是一种通过将参数作为自变量,并利用导数的定义和基本性质来求解参数方程的导数的方法。

具体而言,我们可以将参数方程中的每个参数视为独立的变量,然后对每个参数分别求导得到参数方程对应的导数表达式。

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含参数导数的解题策略导数是研究函数性质的一种重要工具,利用导数可判断函数单调性、极值、最值等,其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法,导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。

而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点,本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳. 一、分离参数,转化为最值策略在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若()a f x ≥恒成立,只须求出()max f x ,则()max a f x ≥;若()a f x ≤恒成立,只须求出()min f x ,则()min a f x ≤,转化为函数求最值.例1、已知函数x x x f ln )(=.(Ⅰ)求)(x f 的最小值; (Ⅱ)若对所有1≥x 都有,1)(-≥ax x f 求实数a 的取值范围.二、导数为0的点是否在定义域内,分类讨论策略求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,所以必须分类,通过令导函数为零的实根等于定义域端点值,求分点,从而引起讨论.例2.已知a 是实数,函数))(2a x xx f -=(. (Ⅰ)若3)1(='f ,求a 的值及曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程; (Ⅱ)求)(x f 在区间[0,2]上的最大值.三、导函数为0是否存在,分类讨论策略求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定,所以必须分类,通过导函数是二次函数或者与二次函数有关,令△=0,求分点,从而引起讨论.例3、已知函数,,讨论在定义域上的单调性.四、导函数为0的方程的根大小不确定,分类讨论策略求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落在定义域内,但这些实根的大小关系不确定,分不了区间.所以必须分类,通过令几个根相等求分点,从而引起讨论.例4、已知0>m ,讨论函数xe m x m mx xf 63)1(3)(2++++=的单调性.练习求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),从而引起讨论。

一、求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,从而引起讨论。

二、求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。

三、1.08广东(理) 设k R ∈,函数1,11(),()(),1x x f x F x f x kx x R x ⎧<⎪-==-∈⎨⎪≥⎩,试讨论函数()F x 的单调性。

2. (08浙江理)已知a 是实数,函数())f x x a =-(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。

(i )写出()g a 的表达式;(ii )求a 的取值范围,使得()62g a -≤≤-。

3(07天津理)已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+,其中a R ∈。

(Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; (Ⅱ)当0a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值。

4(07高考山东理改编)设函数()()2ln 1f x x b x =++,其中0b ≠,求函数()f x 的极值点。

含参数导数的解题策略例1、解:(Ⅰ)略. (Ⅱ)∵ 对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f , ∴ 对所有1≥x 都有1ln -≥ax x x ,即.1ln xx a +≤ 记),0(,1ln )(>+=x x x x g 只需 .)(min x g a ≤ 令,011)('2=-=x x x g 解得.1=x.100)(',10)('<<⇔<>⇔>x x g x x g∴ 当1=x 时,)(x g 取最小值.1)1(=g ∴ .1≤a 即a 的取值范围是{}.1≤a a 例2. 解:(I )略.(II )令'()0f x =,解得1220,3ax x ==. 当203a≤,即0≤a 时,()f x 在[0,2]上单调递增,从而max (2)84f f a ==-. 当223a ≥时,即3≥a 时,()f x 在[0,2]上单调递减,从而max (0)0f f ==.当2023a <<,即03a <<,()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,从而 max84,0 2.0,2 3.a a f a -<≤⎧⎪=⎨<<⎪⎩ 综上所述,max84, 2.0, 2.a a f a -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 例3、 解:由已知得22()21,(0)a x x af x x x x x-+'=-+=>, (1)当180a ∆=-≤,18a ≥时,()0f x '≥恒成立,()f x 在(0,)+∞上为增函数. (2)当180a ∆=->,18a <时,1)108a <<时,11022->>,()f x在11[22+上为减函数,()f x 在)+∞上为增函数, 2)当0a <时,,故()f x 在1[0,]2+上为减函数, ()f x 在[,+∞)上为增函数. 综上,当18a ≥时,()f x 在(0,)+∞上为增函数.当108a <<时,()f x 在上为减函数,()f x 在11(0,],[)22-++∞上为增函数, 当0<a 时,()f x 在(0,]上为减函数,()f x 在[, +∞)上为增函数.例4、解:xex m mx x f 3)3()(2-+--=',设3)3()(2-+--=x m mx x g ,令0)(=x g ,得mx 31-=,12-=x . 1)当30<<m 时,21x x <,在区间)3,(m--∞,),1(+∞-上0)(<x g ,即0)(<'x f ,所以)(x f 在区间)3,(m--∞,),1(+∞-上是减函数; 在区间)13(--,m ,0)(>x g ,即0)(>'x f ,所以)(x f 在区间)13(--,m上是增函数;2)当3=m 时,21x x =,在区间)1,(--∞,),1(+∞-上0)(<x g ,即0)(<'x f ,又)(x f 在1=x 处连续,所以)(x f 在区间),(+∞-∞上是减函数;3)当3>m 时,21x x >,在区间)1,(--∞,)3(∞+-,m上0)(<x g ,即0)(<'x f ,所以)(x f 在区间)1,(--∞,)3(∞+-,m上是减函数; 在区间)31(m --,上,0)(>x g ,即0)(>'x f ,所以)(x f 在区间)31(m--,上是增函数.练习1.解:()()2211,11,1,11()(),'(),11k x x kx x x x F x f x kx F x kx x x ⎧--<⎪⎧-<-⎪⎪-=-==⎨⎨⎪⎪≥⎩>⎪⎩。

考虑导函数'()0F x =是否有实根,从而需要对参数k 的取值进行讨论。

(一)若1x <,则()()2211'()1k x F x x --=-。

由于当0k ≤时,'()0F x =无实根,而当0k >时,'()0F x =有实根,因此,对参数k 分0k ≤和0k >两种情况讨论。

(1) 当0k ≤时,'()0F x ≥在(,1)-∞上恒成立,所以函数()F x 在(,1)-∞上为增函数;(2) 当0k >时,()()2211'()11k x F x x x --==--。

由'()0F x =,得121,1x x ⎛⎛== ⎝⎝,因为0k >,所以121x x <<。

由'()0F x >,得11x <<;由'()0F x <,得1x <- 因此,当0k >时,函数()F x在(,1-∞上为减函数,在(1上为增函数。

(二)若1x >,则'()F x =0k ≥时,'()0F x =无实根,而当0k <时,'()0F x =有实根,因此,对参数k 分0k ≥和0k <两种情况讨论。

(1) 当0k ≥时,'()0F x <在[)1,+∞上恒成立,所以函数()F x 在[)1,+∞上为减函数;(2) 当0k <时,1'()k F x ⎫-⎪==。

由'()0F x >,得2114x k >+;由'()0F x <,得21114x k<<+。

因此,当0k <时,函数()F x 在211,14k ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上为减函数,在211,4k ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭上为增函数。

综上所述:(1) 当0k >时,函数()F x在(,1-∞上为减函数,在(1上为增函数,在[)1,+∞上为减函数。

(2) 当0k =时,函数()F x 在(,1)-∞上为增函数,在[)1,+∞上为减函数。

(3) 当0k <时,函数()F x 在(,1)-∞上为增函数,在211,14k ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上为减函数,在211,4k ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭上为增函数。

2.解:(Ⅰ)函数的定义域为[)0,+∞,())'30a x f x x ⎛⎫- ⎪===>,由'()0f x =得3a x =。

考虑3a 是否落在导函数'()f x 的定义域()0,+∞内,需对参数a 的取值分0a ≤及0a >两种情况进行讨论。

(1) 当0a ≤时,则'()0f x >在()0,+∞上恒成立,所以()f x 的单调递增区间为[)0,+∞。

(2) 当0a >时,由'()0f x >,得3a x >;由'()0f x <,得03a x <<。

因此,当0a >时,()f x 的单调递减区间为0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,()f x 的单调递增区间为,3a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

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