高中数学选修1-1课件1-4-1~3

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对含有量词的命题进行否定时，一要牢记全称命题 的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，注意不能只 否定结论，而忘记了对量词的否定；也不能只否定量词，而忘 记了对结论的否定．二要牢记命题的否定与原命题的真假性相 反，可以以此检验命题的否定是否正确．
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[规范解答]
(1)是特称命题，其否定为：所有的素数都不是奇
数，假命题．(3分) (2)是全称命题，其否定为：存在一个矩形，不是平行四边 形，假命题．(6分) (3)是全称命题，其否定为：存在实数m，使得x2＋2x－m＝0没 有实数根， ∵Δ ＝4＋4m<0，即m<－1时，一元二次方程没有实根， ∴其否定是真命题．(9分) (4)是特称命题，其否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≤0， ∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4，∴命题的否定是假命题．(12分)
结合命题的具体意义进行判断．
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解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”， 故为全称命题． (2)含有存在量词“有的”，故是特称命题． (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题． (4)含有存在量词“有一个”，故为特称命题． (5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题． 规律方法 判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看 命题中是否含有全称量词和存在量词；另外，有些全称命题并 不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
[错解一] 綈p：存在一个实数x0，使得x2－x0－2≥0. 0
[错解二]綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
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写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命 题是全称命题还是特称命题，并找出其量词的位置及相应结 论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全 称量词，同时否定结论． [正解] 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
∴原命题是假命题． (2)∵当x＝0时，|x|≤0成立，∴原命题是真命题． (3)∵当x＝1时，log2x＝0，∴原命题是假命题． π (4)∵当x∈R时，cos x∈[－1，1]，而 >1， 2 π ∴不存在x0∈R，使cos x0＝ ，∴原命题是假命题． 2
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题型三 含有一个量词的命题的否定 【例3】 (12分)首先判断下列命题是全称命题还是特称命题， 然后写出命题的否定，并判断其真假． (1)有些素数是奇数； (2)所有的矩形都是平行四边形； (3)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根； (4)∃x0∈R，x2＋2x0＋5>0. 0 审题指导 确定命 存在量词改全称量词 写出命 ―――――――――― ―――――――――→ → 判断真假 题形式 全称量词改存在量词 题的否定
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【变式1】 用量词符号“∀”“∃”表达下列命题： (1)实数都能写成小数形式； (2)有一个实数α，tan α 无意义； (3)对任意实数x，都有x3>x2. 解 (1)∀x∈R，x能写成小数形式． (2)∃α ∈R，使tan α 无意义． (3)∀x∈R，x3>x2.
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自学导引 1．全称量词和全称命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做
全称量词 “∀”
，并用符号
表示．
(2)全称命题：含有 全称量词的命题叫做全称命题．全称命题“对M 中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为 ∀x∈M，p(x) “对任意x属于M，有p(x)成立”．
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题型二 全称命题和特称命题真假的判断 【例2】 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命 题，并判断真假． (1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0； (2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2； (3)∃T0∈R，使sin(x＋T0)＝sin x； (4)∃x0∈R，使x2＋1<0. 0 [思路探索] 判断全称命题为假时，可以用特例进行否定，判
1．4 全称量词与存在量词
1．4.1 全称量词 1．4.2 存在量词
1．4.3 含有一个量词的命题的否定
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【课标要求】 1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词 的意义． 2．能正确对含有一个量词的命题进行否定． 3．知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称 命题． 【核心扫描】 1．全称命题和特称命题真假的判定．(重点) 2．对含有一个量词的命题进行否定．(难点) 3．常与命题的真假性判断结合考查．
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规律方法
对于全称命题“∀x∈M，p(x)”，要判断它为真，
需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假， 只需在M中找到一个x0，使p(x0)不成立，即“∃x0∈M，p(x0)不 成立．” 对于特称命题“∃x0∈M，p(x0)”，要判断它为真，只需在M 中找到x0，使p(x0)成立，要判断它为假，需要判断“∀x∈M， p(x)不成立”．
(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x) ．
(3)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
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课堂？ 提示 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特 称命题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所 有的”或“对任意”，它的否定是特称命题．
断特称命题为真时，可以用特例进行肯定．
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解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题． (1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)存在x1＝0，x2＝π ，x1<x2，但tan 0＝tan π ， ∴命题(2)是假命题． (3)y＝sin x是周期函数，2π 就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题． (4)对任意x∈R，x2＋1>0.∴命题(4)是假命题．
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【变式2】 判断下列命题的真假： (1)∀x∈R，x2＋2x＋1>0； (2)∃x0∈R，|x0|≤0； (3)∀x∈N*，log2x>0； π (4)∃x0∈R，cos x0＝ 2 .
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解
(1)∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，
小于(<)
是
都是
否定词语 不等于 不大于(≤)
原词语 否定词语 原词语 否定词语 至多有一个 至少有两个 任意的 某个
不小于≥
不是
不都是
至少有一个 一个也没有
至多有n个 至少有n＋1个 能 不能 或 且
任意两个 所有的 某两个 某些
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题型一 全称命题与特称命题的概念 【例1】 判断下列语句是全称命题，还是特称命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的向量方向不定； (3)对任意角α，都有sin2α ＋cos2α ＝1； (4)有一个函数，既是奇函数又是偶函数； (5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． [思路探索] 先看是否有全称量词和存在量词，当没有时，要
，读作
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2．存在量词和特称命题 (1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫 做
存在量词
，并用符号 “∃”
表示．
(2)特称命题：含有存在量词 的命题叫做特称命题．特称命题“存在 M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为 ∃x0∈M，p(x0) ，读 作“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”．
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【题后反思】 (1)含有一个量词的命题的否定中，全称命题的 否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题． (2)注意有些命题省略了量词，但隐含着其含义，要注意辨 析，必要时先改写原命题，再进行否定．
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【变式3】 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：所有的正方形都是菱形； (2)p：有些平行四边形不是矩形； (3)p：对任意不相交的直线a、b都有a∥b； (4)p：有些棱柱侧棱垂直于底面．
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解 (1)綈 p：有些正方形不是菱形．假命题．
(2)綈 p：所有平行四边形都是矩形．假命题．
(3)綈 p：存在不相交的两条直线 a，b 使 a
b 成立．真命题．
(4)綈 p：所有棱柱的侧棱都不垂直于底面．假命题．
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误区警示 对含有一个量词的命题否定不完全 【示例】 已知命题p：存在一个实数x0，使得x 2 －x0－2<0，写 0 出綈p.
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2．含有一个量词的命题的否定 全称命题和特称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称 量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．具有性质p变为 具有性质綈p，熟练掌握了以下常用词语的否定，对否定含量
词的命题很有利.
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原词语
等于
大于(>)